【文档说明】云南省昭通市云天化中学教研联盟2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(23)页，2.028 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-c638d71977d61f2c24df0d735e36baca.html

以下为本文档部分文字说明：

云天化中学教研联盟2024年春季学期期末考试高二数学试卷注意事项：1．答题前为生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在符图卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座

位号，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动.用像皮擦干净后，再选涂其它符案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试

卷上无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.复数12i3i−−在复平面内对应的点位于（）A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量(0,1),(2,)abx==，若(4)bba⊥−，则x=（）A.2−B.1−C.1D.23.曲线()631fxxx=+−在()0,

1−处的切线与坐标轴围成的面积为（）A.16B.32C.12D.32−4.已知等差数列na的前n项和为nS，若399,81SS==，则12S=（）A.288B.144C.96D.255.抛物线24y

x=上的点到其准线的距离与到直线3yx=+的距离之和的最小值为（）．A.22B.32C.4D.56.已知等比数列na的公比不为1，若12a=，且1233,,aaa−成等差数列，则na=（）A.123n−

B.3nC.12(3)n−−D.(3)n−7.下列说法错误的是（）A.若随机变量、满足21=−且()3D=，则()12D=.B.已知随机变量X～(,)Bnp，若()2,()1EXDX==，则12p=C.若事件AB、相互独立，则()()PABP

A=D.若AB、两组成对数据的相关系数分别为0.95Ar=、0.98Br=−，则A组数据的相关性更强8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，

圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则2e=（）A.19B.723−C.322−D.335−二、多选题（每小题

6分，共18分）9.如图为函数()()sin(0,0)fxAxA=+的部分图象，则下列说法中正确的是（）A.函数()fx的最小正周期是2πB.函数()fx的图象关于点4π,03成中心对称

C.函数()fx在区间5ππ,126−−上单调递增D.函数()fx图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π3后关于y轴对称10.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，()1fx+是偶函数，当

0,1x，()2fxxx=+，则下列说法中正确的有（）的A.函数()fx的图象关于直线1x=对称B.4是函数()fx的周期C.()()202320240ff+=D.方程()lnfxx=恰有4个不同根11.如图，正方体1111ABCDABCD−棱长为2

，P是直线1AD上的一个动点，则下列结论中正确的是（）A.BP的最小值为6B.PAPC+的最小值为222−C.三棱锥11BACD−的体积为83D.以点B为球心，2为半径的球面与平面1ABC的交线长26π3第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题

（每小题5分，共15分）12.在(1)nx+的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x项的系数为______．13.盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是

黄球的概率为__________.14.如图所示，已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于AB，两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，2ABBF=，

且三点AOG，，共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________．四、解答题（本大题共77分）的15.在ABC中，、、ABC所对的边分别为abc、、，且满足sinsin2aBbA=．（1）求A;（2）点D在线段AC延长线上，且π2ABD

=，若2,23aBD==，求ABC的面积．16.四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，2PAAB==，点E是棱PC上一点.（1）求证：平面PAC⊥平面BDE；（2）当E为PC中点时，求ABED−−所成二面角锐角的大小.17.

随着移动互联网和直播带货技术的发展，直播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量iy(万件)(1,2,3,4,5)i=的数据，得

到如图所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为(1,2,3,4,5)ixi=，如:11x=表示6月份.（1）根据散点图判断，模型①yabx=+与模型②2ycdx=+哪一个更适宜作为月销售量y关于月份代码x的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由

）（2）（i）根据（1）的判断结果，建立y关于x的回归方程;(计算结果精确到0.01)（ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件?参考公式与数据:()()()1122211ˆ,nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx===

=−−−==−−.ˆˆaybx=−52155iix==，521979iit==，5180.8,iiixy==51335.6iiity==，其中2iitx=.的18已知函数()()1ln1fxaxx=−−+．（1）求()fx的

单调区间；（2）当2a时，证明：当1x时，()1exfx−恒成立．19.已知圆()22:11Mxy++=，圆()22:19Nxy−+=动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设不

经过点()0,3Q的直线l与曲线C相交于,AB两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜率之和为2−，直线AB是否过定点，若过定点，写出定点坐标．.云天化中学教研联盟2024年春季学期期末考试高二数学试卷注意事项：1．答题前

为生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在符图卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码.2．回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动.用像皮擦干净后，再选涂其它

符案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（每小题5分，共40分）1.复数12i3i−−在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【

答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标可得答案．【详解】()()()()2212i3i12i3i6i2i55i11i3i3i3i9i1022−+−+−−−====−−−

+−，复数12i3i−−在复平面内对应的点的坐标为11,22−，位于第四象限．故选：D.2.已知向量(0,1),(2,)abx==，若(4)bba⊥−，则x=（）A.2−B.1−C.1D.2【答案】D【解析】【分析】根

据向量垂直的坐标运算可求x的值.【详解】因为()4bba⊥−，所以()40bba−=，所以240bab−=即2440xx+−=，故2x=，故选：D.3.曲线()631fxxx=+−在()0,1−处的切线与坐标

轴围成的面积为（）A.16B.32C.12D.32−【答案】A【解析】【分析】运用导数求得切线方程，再求得切线与两坐标轴的交点，进而可求得三角形面积.【详解】由()631fxxx=+−，则()563fx

x=+，()03f=，所以()fx在()0,1−处切线的方程为13yx+=，即31yx=−，令0x=，得1y=−；令0y=，得13x=，所以切线与坐标轴围成的三角形面积为1111236=.故选：A4.已知等差数列na前n项和为nS，若399,81SS=

=，则12S=（）A.288B.144C.96D.25【答案】B【解析】【分析】利用等差数列的前n项和列方程组求出1,ad，进而即可求解12S.【详解】由题意319132392989812SadSad=+==+=，即11349adad+=+=

，解得112ad==.于是12121112121442S=+=.故选：B.5.抛物线24yx=上的点到其准线的距离与到直线3yx=+的距离之和的最小值为（）．A.22B.32C.4D.5【答案】A【解

析】.的【分析】抛物线24yx=上的点到其准线的距离与到直线3yx=+的距离之和，等于此点到焦点的距离与到直线3yx=+的距离之和，其最小值为焦点到直线3yx=+的距离，求值即可.【详解】抛物线24yx=，焦点()1,0F，准线方程为=1x−，抛物线上的点M，到其准线的距离为MM，到

直线3yx=+的距离为MN，由抛物线的定义可知MMMF=，则有MMMNMFMN+=+，其最小值为焦点()1,0F到直线3yx=+的距离42211d==+．即抛物线24yx=上的点到其准线的距离与到直线3yx=+的

距离之和的最小值为22.故选：A.6.已知等比数列na的公比不为1，若12a=，且1233,,aaa−成等差数列，则na=（）A.123n−B.3nC.12(3)n−−D.(3)n−【答案】C【解

析】【分析】利用等差中项的性质及等比数列基本量的计算求通项公式即可.【详解】设na的公比为q，则依题意有2213246223023qqqaqaa==−+−=−，解方程得3q=−或1q=（舍去），所以na=12(3)n−−.故选

：C7.下列说法错误的是（）A.若随机变量、满足21=−且()3D=，则()12D=B.已知随机变量X～(,)Bnp，若()2,()1EXDX==，则12p=C.若事件AB、相互独立，则()()PABPA=D.若AB、两组成对数据的

相关系数分别为0.95Ar=、0.98Br=−，则A组数据的相关性更强【答案】D【解析】【分析】根据方差的性质判断A，根据二项分布的期望和方差的计算公式判断B，根据相互独立事件及条件概率概率公式判断C，根

据相关系数的概念判断D.【详解】对于A：因21=−且()3D=，所以()()()221212DDD=−==，故A正确；对于B：随机变量X～(,)Bnp，则()2,()(1)1EXnpDXnpp===−=，解得：12p=，故B正确；

对于C：若事件A、B相互独立，则()()()PABPAPB=，所以()()()()()()(|)PABPAPBPABPAPBPB===，故C正确；对于D：若A、B两组成对数据的相关系数分别为0.95Ar=、0.98Br=−，因为BArr，所以B组数据

的相关性更强，故D错误.故选：D8.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳

光与地面夹角为60时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则2e=（）A.19B.723−C.322−D.335−【答案】D【解析】【分析】根据题意先求得短半轴长2b=，再根据正弦定理求得623a=+，进而根据离心率的公式求为解

即可【详解】因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长2b=，在ABC中，60,45,4BCAC===，由正弦定理得：()2424sinsinsin60sin60cos45cos60sin45sin60sin180604

5BCACaaAB===+−−321242222622332aa+==+，所以222222222211335623cabbeaaa−===−=−=−+，故选：D.二、多选题（

每小题6分，共18分）9.如图为函数()()sin(0,0)fxAxA=+的部分图象，则下列说法中正确的是（）A.函数()fx的最小正周期是2πB.函数()fx的图象关于点4π,03成中心

对称C.函数()fx在区间5ππ,126−−上单调递增D.函数()fx的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移π3后关于y轴对称【答案】BC【解析】【分析】根据图象直接求出周期可判断

A；利用周期求，代点π,06−求，然后代入法验证即可判断B；根据正弦函数单调性，利用整体代入法求解可判断C；根据周期变换和平移变换，求出变换后的解析式即可判断D.【详解】对于A，由图可知πππ2362T=−−=

，所以πT=，A错误；对于B，因为2π2T==，图象过点π,06−，所以ππsin063fA−=−+=，所以π2π,3kk−+=Z，即π2π,3kk=+Z，所以()ππsin22πsin233f

xAxkAx=++=+，因为4π4ππsin2sin3π0333fAA=+==，所以点4π,03为函数()fx的一个对称中心，B正确；对于C，0A，由πππ2π22π232kxk−+++解得5ππππ,1212kxkk−+

+Z，所以5ππ,1212−为函数()fx的一个单调递增区间，所以，()fx在区间5ππ,126−−上单调递增，C正确；对于D，将()fx的图象上所有的点横坐标扩大到原来的2倍得πsin3yAx=+，再向右平移π3得sin=yAx，sin=yAx为奇

函数，D错误.故选：BC10.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，()1fx+是偶函数，当0,1x，()2fxxx=+，则下列说法中正确的有（）A.函数()fx的图象关于直线1x=对称B.4是函数()fx的周期C.()()202320240ff+

=D.方程()lnfxx=恰有4个不同的根【答案】ABD【解析】【分析】利用()()1gxfx=+是偶函数，可得()()11fxfx−=+，()fx关于1x=对称，又因为()fx是奇函数，即()fx是双对称函数，从而可证

明()fx是周期函数，这样可以由[0,1]x的图象，根据()fx关于1x=对称，作出[1,2]x，再根据()fx关于点()2,0对称,作出[2,4]x,这样就有了一个完整周期为4的图象，再利用周期为4进行不断的延伸，这样后面的选项就可以利用数

形结合来分析解决.【详解】对于A：令()()1gxfx=+是偶函数，则()()gxgx−=，即()()11fxfx−=+，所以()fx关于1x=对称，故A正确；对于B：因为()()11fxfx−=+，所

以()()()()211fxfxfxfx+=−+=−=−，即()()()()()42fxfxfxfx+=−+=−−=，即周期4T=，故B正确；对于C：()()()()20233112ffff==−=−=−，()()202400f

f==，所以()()2023202420ff+=−，故C错误；对于D：因为0,1x，()2fxxx=+，且()fx关于直线1x=对称，根据对称性可以作出1,2x上的图象，又()()()4=fxfxfx+=−−，可知()fx关于点()2,0对称，又可作出

24x,上的图象，又()fx的周期4T=，作出()yfx=的图象与lnyx=的图象，如图所示：所以()fx与lnyx=有4个交点，故D正确，故选：ABD．11.如图，正方体1111ABCDABCD−棱长为2，P是直线1AD上的一个动点，

则下列结论中正确的是（）A.BP的最小值为6B.PAPC+的最小值为222−C.三棱锥11BACD−的体积为83D.以点B为球心，2为半径的球面与平面1ABC的交线长26π3【答案】ACD【解析】【分析】利用三角形的高可判定A，利用展开图

形可判定B，利用体积公式可求C，利用球的截面圆的半径可判定D.【详解】对于A，在1BAD中，1122BABDAD===，P是直线1AD上的一个动点，所以BP的最小值为1BAD高，最小值为()()222226−=

，A正确.对于B，将1AAD△沿1AD翻折，使1AAD△与矩形11ABCD在同一个平面内，如图，当,,PAC三点共线时，PAPC+取到最小值AC，ACD中，2ADDC==，135ADC=，由余弦定理可得2222cos842ACADDCADDCADC=+−=+，所以84222

2AC=+=+，所以PAPC+的最小值为222+，B不正确.对于C，易知三棱锥11BACD−为正四面体，且棱长为22，如图，作1BO⊥平面1ACD于O，则O为1ACD△的中心，由正弦定理可得22232OA=，即263OA=，所以2211433BOABOA=−=，所以三棱锥11BAC

D−的体积为()1211134382233433ACDVSBO===，C正确.对于D，设点B到平面1ABC的距离为d，因为11BABCBABCVV−−=，所以111133ABCABCSdSBB=,所以()2131

22222222d=，解得233d=；以点B为球心，2为半径的球面与平面1ABC的交线是以()22623d−=为半径的圆，其周长为26π3,D正确.故选：ACD第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（

每小题5分，共15分）12.在(1)nx+的二项展开式中，若各项系数和为32，则2x项的系数为______．【答案】10【解析】【分析】令1x=，解出5n=，再利用二项式的展开式的通项合理赋值即可.【详解】令1x=，(11)32n+=，即232n=，解

得5n=，所以5(1)x+的展开式通项公式为515CrrrTx−+=，令52r-=，则3r=，32245C10Txx==．故答案为：10．13.盒中有4个白球，5个黄球，先随机地从中取出一个球，观察其颜色后放回，并另放入同色球

2个，第二次再从盒中取一个球，则第二次取出的是黄球的概率为__________.【答案】59【解析】【分析】运用全概率公式进行求解即可.【详解】设事件A表示第一次抽取的是黄球，则5()9=PA，54()199PA=−=，事件B表示第二次抽取的是黄球，因此有BABAB=+，所以5

52455()()()()()9929929PBPAPBAPAPBA+=+=+=++.故答案为：5914.如图所示，已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于AB，两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，2ABBF=，

且三点AOG，，共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________．【答案】5【解析】【分析】利用双曲线的几何定义，设,BFm=就可以来研究各焦半径的长度，再利用两个勾股定理就可以求出离心率.【详解】设另一

个焦点1F，连接11,,FAFBFG，设,BFm=则2,ABm=再根据双曲线的定义可知：122,BFBFama=+=+1232,AFAFama=−=−由双曲线的对称性可知，O是AG的中点，O也是1FF的中点，所以四边形1AFGF是平行四边形，又因为

AFGF⊥，所以可得1AFAB⊥，所以由勾股定理得：()()22222211+2324BFAFABmamam=+=−+，化简得：43ma=，再由勾股定理得：()22222211+4329FFAFAFcmam==−+

，代入43ma=得：2255ccaea===，故答案为：5.四、解答题（本大题共77分）15.在ABC中，、、ABC所对的边分别为abc、、，且满足sinsin2aBbA=．（1）求A;（2）点D在线段AC的延长线上，且π2ABD=，若2,23aBD==，求ABC的面积．【答案】（1）π

3A=（2）3S=【解析】【分析】（1）根据正弦定理和倍角公式可求答案；（2）利用直角三角形的知识得出ABC为正三角形，结合面积公式可求答案.【小问1详解】因为sinsin2aBbA=，所以由正弦定理得sinsinsinsin2,ABBA=因为()0,π,sin0BB

，所以sinsin2AA=，则sin2sincosAAA=，因为sin0A，所以1cos2A=，又因为0πA，所以π3A=;【小问2详解】在ABD△中，ππ,32BADABD==，可得π6ADB=，又23BD=，可得2AB=，又2a=，π3A=，可得

ABC正三角形，故面积为23234S==.16.四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，2PAAB==，点E是棱PC上一点.（1）求证：平面PAC⊥平面BDE；（2）当E为PC中点时，求ABED−−所成二面角锐角

的大小.【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而得到BD⊥平面PAC，从而得到面面垂直；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到两平面的法向量，求出二面角的大小.【小问1详解】底面ABCD是正方形，BDAC

⊥，为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，PABD⊥，又,,,BDACPAACAPAAC⊥=平面PAC，BD⊥平面PAC，又BD平面BDE，平面PAC⊥平面BDE.【小问2详解】PA⊥平面ABCD，,ABA

D平面ABCD，所以,PAABPAAD⊥⊥，以A为坐标原点，,,ABADAP所在直线分别为,,xyz建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(2,2,0),(0,0,2),(1,1,1)ABDCPE，所以(2,0,0),(1,1,1),(2,2,0)ABB

EBD==−=−，设平面ABE的法向量为(,,)nxyz=，则200nABxnBExyz===−++=，解得0x=，令1y=得1z=−，故(0,1,1)n=−，设平面DBE的法向量为(,,)mabc=，则2200mBDabmBEabc=−+==−++=，解得0c=，令1

a=得1b=，故(1,1,0)m=，设二面角ABED−−为，由图可知二面角ABED−−为锐二面角，所以||11cos||||222mnmn===，所以锐二面角为π3.17.随着移动互联网和直播带货技术的发展，直

播带货已经成为一种热门的销售方式，特别是商家通过展示产品，使顾客对商品有更全面的了解.下面统计了某新手开启直播带货后从6月份到10月份每个月的销售量iy(万件)(1,2,3,4,5)i=的数据，得到如图

所示的散点图．其中6月份至10月份相应的代码为(1,2,3,4,5)ixi=，如:11x=表示6月份.（1）根据散点图判断，模型①yabx=+与模型②2ycdx=+哪一个更适宜作为月销售量y关于月份代码x的回归方程?（给出判断即可，不必说明理由）（2）（i）根据（1）判断结果，建立y关

于x的回归方程;(计算结果精确到0.01)（ⅱ）根据结果预测12月份的销售量大约是多少万件?参考公式与数据:()()()1122211ˆ,nniiiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−.ˆˆaybx=−52

155iix==，521979iit==，5180.8,iiixy==51335.6iiity==，其中2iitx=.【答案】（1）模型②2ycdx=+（2）（i）21.6525ˆ0.yx=+；（ⅱ）预测12月份的销售量大约是13.9万件【解析】【分析】（1）根据散点图结

合一次函数以及二次函数图象特征分析判断；（2）（i）令2tx=，根据题中数据和公式求回归方程；（ⅱ）令7x=，代入回归方程运算求解即可.【小问1详解】由散点图可知增加幅度不一致，且散点图接近于曲线，非线性，结合图象故选模型②2ycdx=+.【小问2详解】（i）令2tx=，则yc

dt=+，可得5211115iitx===，()12.22.43.85.684.45y=++++=，的则51221525335.65114.40.259795115iiiiitytydtt==−−==−−$，4

.40.25111.65cydt=−=−=$$，所以y关于t的回归方程为1.650.25ty=+$，即y关于x的回归方程21.650.25xy=+$；（ⅱ）令7x=，可得21.650.27135.9y=+=$，预测12月份的销售量大约是13.9万件.18.已知函数()()1ln1fxaxx

=−−+．（1）求()fx的单调区间；（2）当2a时，证明：当1x时，()1exfx−恒成立．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转

化成证明当1x时，1e21ln0xxx−−++即可.【小问1详解】()fx定义域为(0,)+，11()axfxaxx−=−=当0a时，1()0axfxx−=，故()fx在(0,)+上单调递减；当0a时，1,xa+时，()0fx

，()fx单调递增，当10,xa时，()0fx，()fx单调递减.综上所述，当0a时，()fx的单调递减区间为(0,)+；0a时，()fx的单调递增区间为1,a+，单调递减区间为10,a.【小问2详解】2a，且1x时，111e()e

(1)ln1e21lnxxxfxaxxxx−−−−=−−+−−++，令1()e21ln(1)xgxxxx−=−++，下证()0gx即可.11()e2xgxx−=−+，再令()()hxgx=，则121()exhxx−=

−，显然()hx在(1,)+上递增，则0()(1)e10hxh=−=，即()()gxhx=在(1,)+上递增，故0()(1)e210gxg=−+=，即()gx在(1,)+上单调递增

，故0()(1)e21ln10gxg=−++=，问题得证19.已知圆()22:11Mxy++=，圆()22:19Nxy−+=动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设不经过点()0,3Q的直线l与曲线C相交于,AB两点，直线QA与直线QB的斜率均存在且斜

率之和为2−，直线AB是否过定点，若过定点，写出定点坐标．【答案】（1）22143xy+=；（2）直线l过定点()3,3−.【解析】【分析】（1）由圆()22:11Mxy++=，可知圆心为()1,0M−，半径为1，圆()22:19Nxy−+=，圆心为()1,0N，半径

为3．设动圆P的半径为r，根据动圆P与圆M外切并与圆N内切，可得()()134PMPNrr+=++−=，由椭圆的定义即可求解；（2）①当直线l斜率存在时,设直线l:,3ykxmm=+，设()()1122,,,AxyBxy，与椭圆方程联立可得()12221228434343kmxxk

mxxk+=−+−=+，根据2QQABkk+=−，可得()()()12122230kxxmxx++−+=，代入1212,xxxx+，可得33mk=−−，可求直线l所过的定点.同理，当直线l斜率不存在时,设直线l:()0xtt=,

且()2,2t−，根据2QQABkk+=−求出t即可得直线l所过的定点，综合即可求解.【小问1详解】设动圆P的半径为r，因为动圆P与圆M外切,所以1PMr=+.因为动圆P于圆N外切,所以3PNr=−,则()()134PMPNrr+=++−=2MN=,由椭圆的定义可知,曲线C是以()()1,0,

1,0MN−为左、右焦点，长轴长为4的椭圆.设椭圆方程为()222210xyabab+=,则2,1ac==，故2223bac=−=,所以曲线C的方程为22143xy+=.【小问2详解】①当直线l斜率存在时,设直线

l:,3ykxmm=+，联立22143xyykxm+==+，消去y可得()()222438430kxkmxm+++−=,则()()()222Δ8164330kmkm=−+−，化简得22430km

−+.设()()1122,,,AxyBxy，则()12221228434343kmxxkmxxk+=−+−=+.由题意知，因为2QQABkk+=−,所以()1221121212123332xyxyxxyyxxxx+−+−−+==−,所以()1221121232

0xyxyxxxx+−++=,所以()()()12211212320xkxmxkxmxxxx+++−++=,即()()()12122230kxxmxx++−+=,()()()22243822304343mkmkmkk−++−−=++，即()()()

21330kmkmm+−−−=，即()()3310mmk−++=.因为3m，所以()310mk++=，即33mk=−−，所以直线l的方程为()3333ykxkkx=−−=−−，所以直线l过定点()3,3−.②当直线l斜率不存在时，设直线l:()0xt

t=，且()2,2t−,则点2233,3,,344AttBtt−−−.所以2233333323442QAQBttkkttt+−−−+=+=−=−−−,解得3t=,所以直线l的方程

为3x=，也过定点()3,3−.综上所述,直线l过定点()3,3−.【点睛】方法点睛:圆锥曲线中定点问题的两种解法:（1）引进参数法:先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点；（2）特殊到一般法:先根据

动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.