【文档说明】吉林省长春外国语学校2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(20)页，1.768 MB，由小赞的店铺上传

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长春外国语学校2024-2025学年第一学期高二年级第一次月考数学试卷出题人：康乐审题人：李宁波本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页.考试结束后，将答题卡交回.注意事项：1.答题前，考生先将自

己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答

题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.第Ⅰ卷(选择题)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1

.若直线l的方向向量为),,2(1mx−=，平面的法向量为)2,(2,4n−=−，且l⊥，则实数x的值是（）A.1B.2C.1−D.2−【答案】C【解析】【分析】根据直线与平面垂直时直线的方向量与平面的法向量共线，利用共线时对应的坐

标关系即可计算出x的值.【详解】因为直线l⊥平面，直线l的方向向量为m，平面的法向量为n，所以//mn，又),,2(1mx−=，)2,(2,4n−=−所以12224x−==−−，所以1x=−.故选：C.2.已知直线12:10,:(2)20lxaylaxay++=+++=，若12ll⊥，则

实数a=（）A.1−或0B.0C.3−或0D.3−【答案】C【解析】【分析】根据12ll⊥及线线垂直公式12120AABB+=，即可求a的值【详解】因为12:10,:(2)20lxaylaxay++=+++=且12ll⊥所以()20aaa++=解得：0a=或3a=−故选：C3.在空间四点

O，A，B，C中，若,,OAOBOC是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（）A.O，A，B，C四点不共线B.O，A，B，C四点共面，但不共线C.O，A，B，C四点不共面D.O，A，B，C四点中任意三点不共线【答案】B【解析】【分析】根据基底的含义，非零向量,,OAOBOC不在同一平面内

，即O，A，B，C四点不共面，即可判断【详解】因为,,OAOBOC为基底，所以非零向量,,OAOBOC不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，所以A、C、D选项说法正确，B错误．故选：B4.若

直线5x＋4y＝2m＋1与直线2x＋3y＝m的交点在第四象限，则实数m的取值范围是（）A.(－∞，2)B.3,2+C.(－∞，－3)D.3,22−【答案】D【解析】【分析】联立两直线方程，求得交点坐标，根据交点在第四

象限，可得坐标的正负，即可得答案.【详解】联立542123xymxym+=++=，解得23727mxmy+=−=，因为交点在第四象限，所以2307207mm+−，解得322m−，故选：D5.已知Rk，

223bkk=−+，则下列直线的方程不可能是ykxb=+的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据直线斜率k与y轴上的截距b的关系判断选项即可得解.【详解】2223(1)2bkkk=−+=−+，直线的方程ykxb=+在y轴

上的截距不小于2，且当1k=时，y轴上的截距为2，故D正确，当1k=−时，6b=,故B不正确，当3b=时，0k=或2k=，由图象知AC正确.故选：B6.如图，长方体1111ABCDABCD−中，14AAAB==，2AD=，E、F、G分别是1DD、AB、1CC的中点，则异面直线1AE与

GF所成角的余弦值是（）A.0B.105C.22D.155【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，表示1,AEGF，然后利用空间向量的夹角公式计算即可.【详解】如图()()()()12,0,40,0,2,2,2,0,0,4,2AEFG，所以()()12,0,2

,2,2,2AEGF=−−=−−所以异面直线1AE与GF所成角的余弦值110=AEGFAEGF故选：A【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，利用向量的方法，便于计算，将几何问题代数化，属基础题.7.2023年暑期档动画电影《长安三万里》重

新点燃了人们对唐诗的热情，唐诗中边塞诗又称出塞诗，是唐代汉族诗歌的主要题材，是唐诗当中思想性最深刻，想象力最丰富，艺术性最强的一部分，唐代诗人李颀的边塞诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”.诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出

发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是()2,4A，军营所在位置为()6,2B，河岸线所在直线的方程为30xy+−=，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（）A.将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是680xy−−

=B.将军在河边饮马的地点的坐标为1311,88C.将军从河边回军营的路线所在直线的方程是660xy−+=D.“将军饮马”走过的总路程为5【答案】B【解析】【分析】由题意画出图形，则由三角形三边关系可知点C为使得总路程最短“最佳饮水点”，1,,ACB三点共线满足题意，其中点1B为

点B关于直线的对称点，对于A，由根据1BB被30xy+−=垂直平分求出1B的坐标进一步可求得方程对比即可；对于B，联立直线方程求解即可；对于C，由两点求出斜率，写出直线的点斜式方程，化简对比即可；对于D，根据两点间

距离公式求解即可.【详解】如图所示：由题意可知,AB在30xy+−=的同侧，设点B关于直线30xy+−=的对称点为()1,Bab，1,,ACB三点共线满足题意，点C为使得总路程最短的“最佳饮水点”，则()6230222116abba+++−=−

−=−−，解得13ab==−，即()11,3B−，的对于A，直线1AB的斜率为()43721k−−==−，所以将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是()371yx+=−，即7100xy−−=

，故A正确；对于B，联立710030xyxy−−=+−=，解得138118xy==，即将军在河边饮马的地点的坐标为1311,88，故B正确；对于C，由C选项分析可知点1311,88C，直线CB的斜率为1121813768k−==−，所以直线CB的方程

为()1267yx−=−，即780xy−+=，故C错误；对于D，22111752ACCBACCBAB+=+==+=，即“将军饮马”走过的总路程为52，故D错误.故选：B.8.如图，在正方体1111ABCD

ABCD−中，E为棱1AA上的一个动点，F为棱11BC上的一个动点，则平面EFB与底面ABCD所成角的余弦值的取值范围是（）A.20,2B.32,32C.30,3D.50,5【答案】A【解析】【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出所需点

的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面EFB的法向量，由向量的夹角公式求解二面角的余弦值的取值范围，由此判断求解即可．【详解】设平面EFB与底面ABCD所成的二面角的平面角为θ，由图可得θ不为钝角.以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则1(0,0,0),(1

,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,0,),(,1,1)DABCDEmFn，所以()()0,1,,1,0,1BEmBFn=−=−，设平面EFB的法向量为(,,)nxyz=，则00nBEnBF==，即0(1)0ymxnxz−+=−+=，令=

1x−，则(1),1ymnzn=−=−，故(1,(1),1)nmnn=−−−，又底面ABCD的一个法向量为(0,0,1)m=，所以()()2221coscos,111nmnnmnmmnn−===+−+−，因为

,0,1mn，则()()2221cos111nmnn−=+−+−，当1n=时，cos0=，当1n时，()221cos111mn=++−，当)0,1n，0,1m，则()(210,1n−

，20,1m，则())211,1n+−，则当0,0nm==时，分母取到最小值2，此时()max2cos2=，当1n→，0n时，则()2210111mn→++−，此时2cos0,2

，综上2cos0,2，故选：A.二、多项选择题：本题共3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.直线l过()2,1A，()()

23,RBmm两点，那么直线l的倾斜角有可能是（）A.π3B.π2C.2π3D.5π6【答案】AD【解析】【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围，进而选择正确答案.【详解】设l的倾斜角分别为，直线l的斜率22111mkm−==−，2tan11m=−−，

又)0,π，直线l的倾斜角的取值范围是π3π0,,π24.故选：AD.10.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，设1,,ABaADbAAc===，若M为11AC与11

BD的交点，则下列等式正确的是（）A.1122BMabc=++B.11122AMab=+C.1122AMabc=+−D.1ACabc=++【答案】BD【解析】【分析】利用向量加法的三角形法则，平行四边形法则即可求答案.【详解】()()11111112222B

MBBBMAAADABcbaabc=+=+−=+−=−++，故A错误；()111111111112222AMACADABab==+=+，故B正确；111122AMAAAMcab=+=++，故C错误；11ACABBCCCa

bc=++=++，故D正确；故选：BD11.已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条

异面直线的距离.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点E在BD上，且13BEBD=；点F在1CB上，且113CFCB=.则下列结论正确的是（）A.线段EF是异面直线BD与1CB的公垂线段B.异面直线1AA与BD距离为12C.点1D到

直线EF的距离为143D.点1D到平面DEF的距离为63【答案】ACD【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法依次求解判断.【详解】以D为坐标原点，DA，DC，1DD所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直的角坐标系.

()0,0,0D，𝐴(1,0,0)，()1,1,0B，()0,1,0C，()11,0,1A，()11,1,1B，()10,0,1D，()11111,1,0,,03333EBDB===，1111,0,333CFCB==

，22,,033E，11,1,33F.对于A，111,,333EF=−，()1,1,0DB=，()11,0,1CB=，11033EFDB=−+=uuuruuur，111033EFCB=−+=uuuruuur，即EFDB⊥，1EFCB⊥，所以线段E

F是异面直线BD与1CB的公垂线段，故A正确；对于B，由正方体可得异面直线1AA与BD的公垂线的方向向量为()1,1,0AC=−，又()1,0,0DA=，所以异面直线1AA与BD的距离为1222ACDAAC==.故B错误；对于C，122,,133DE=−，111,,

333EF=−，所以1DE在EF方向的投影向量的模为133DEEFhEF==，所以点1D到直线EF的距离为22117114149393DEh−=−==.故C正确；对于D，设平面DEF的一个法向量为

(),,nxyz=，则00nDBnDF==，即011033xyxyz+=++=，令1x=，得1y=−，2z=，()1,1,2n=−，又()10,0,1DD=，所以点1D到平面DEF的距离为

1263114nDDdn===++.故D正确.故选：ACD.【点睛】思路点睛：本题考查空间中的距离问题.解题思路是建立空间直角坐标系，求出点,EF坐标，根据点到直线距离公式，异面直线距离公式，点到面的距离公式，利用向

量的坐标运算求解.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是________．【答案】(2,3)【解

析】【分析】由于点N在直线x－y＋1＝0上可设点N的坐标为(,1)xx+，然后根据直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0可求出2x=，进而得到点N的坐标．【详解】由点N在直线x－y＋1＝0上可设点N的坐标为(,1)xx+，∴2MNxkx+=．又直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，∴112122MN

xkx+−=−=−，解得2x=，∴点N的坐标为(2,3)．故答案为(2,3)【点睛】本题考查两直线垂直的条件及有关计算，解题时注意把两直线的位置关系转化为数的计算问题处理，属于基础题．13.已知两条平行

直线1l：()()()()324220Rxy+−++−+=，2l：1yx=+，则1l与2l间的距离为______.【答案】22【解析】【分析】先根据两直线平行求出直线方程，然后根据平行直线的距离公式直接求解.【详解】由12ll∥，得()43222111−++−+=

−，得1=，所以1l：550xy−=，即0xy−=，又2l：10xy−+=，所以1l与2l间的距离01222d−==.故答案为：2214.在棱长为1的正方体1111ABCDABCD－中，E，F，G分别在棱1BB，BC，BA上，且满

足134BEBB=，12BFBC=，12BGBA=，O是平面1BGF，平面ACE与平面11BBDD的一个公共点，设BOxBGyBFzBE=++，则xyz++=_________.【答案】65##1.2【

解析】【分析】根据共面定理列方程组可解.【详解】如图所示，正方体1111ABCDABCD－中，1311422BEBBBFBCBGBA===，，，1113224BOxBGyBFzBExBAyBCzBExBGyBFzBB=++=++=++，O，

A，C，E四点共面，O，G，F，1B四点共面，11122314xyzxyz++=++=，解得25xy+=，45z=；65xyz++=．故答案为：65四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤．15.根据下列各条件分别写出直线的方程，并化成一般式.（1）斜率是12−，且经过点()8,6A−；（2）在x轴和y轴上的截距分别是32和3−；（3）经过点()2,3−，且一个方向向量()2,4a=r.【答案】（1）240xy++=（2）230xy−−=（3）270x

y−−=【解析】【分析】（1）根据直线方程的点斜式即可得解；（2）根据直线方程的截距式即可得解；（3）首先根据方向方程可得直线斜率2k=，再根据点斜式即可得解.【小问1详解】解：根据点斜式可得直线方程为16()(8)2yx+=−−，化简可得240xy+

+=；【小问2详解】解：根据截距式可得：1332xy+=−，化简可得230xy−−=；【小问3详解】解：由直线的方向向量为()2,4a=r可得直线的斜率2k=，为所以所求直线方程32(2)yx+=−即270xy−−=.16.如图所示，在几何体ABCDEFG中，四边形ABCD和A

BFE均为边长为2的正方形，//ADEG，AE⊥底面ABCD，M、N分别为DG、EF的中点，1EG=.（1）求证：//MN平面CFG；（2）求直线AN与平面CFG所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）53【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，

求得直线MN的方向向量31,,12MN=−，求得平面CFG的法向量1n，然后利用10nMN=，证明1MNn⊥，从而得出//MN平面CFG；（2）求得直线AN的方向向量()1,0,2AN=，由

（1）知平面CFG的法向量1n，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD为正方形，AE⊥底面ABCD，所以AB，AD，AE两两相互垂直，如图，以A为原点，分别以AB，AD，AE方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系Axyz−，由题意可得𝐴(0,0,

0)，()2,0,0B，()2,2,0C，()0,2,0D，()0,0,2E，()2,0,2F，为()0,1,2G，30,,12M，()1,0,2N，则()0,2,2CF=−，()2,1,2CG=−−，31,,12MN=−设平面CFG的一个法

向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则11nCFnCG⊥⊥，故11·=0·=0nCFnCG，即11111220220yzxyz−+=−−+=，则111112yzxz==，令12z=，得()11,2,2n=，所以()1

331,2,21,,111221022nMN=−=+−+=，所以1MNn⊥，又MN平面CFG，所以//MN平面CFG.【小问2详解】由（1）得直线AN的一个方向向量为()1,0,2AN=，平面CFG的一个法向量为()11

,2,2n=，设直线AN与平面CFG所成角为，则1122222111022255sincos,33512122nANnANnAN++=====+++，所以直线AN与平面CFG所成角的正弦值为53.17.

已知直线方程为()21ykx+=+．（1）若直线的倾斜角为135，求k的值；（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，O为坐标原点，求AOBV面积的最小值及此时直线的方程．【答案】（1）1k=−；（2）AOBV面积的最小值为4，此时直线l的方程为240xy++=.【解析】【分析】

（1）由直线斜率和倾斜角的关系可求得k的值；（2）求出点A、B的坐标，根据已知条件求出k的取值范围，求出AOBV的面积关于k的表达式，利用的基本不等式可求得AOBV面积的最小值，利用等号成立的条件可求得k的值

，即可得出直线的方程.【小问1详解】解：由题意可得()tan135tan18045tan451k==−=−=−.【小问2详解】解：在直线AB的方程中，令0y=可得2kxk−=，即点2,0kAk−，令0x=可得2yk=−，即点()0,

2Bk−，由已知可得2020kkk−−，解得0k，所以，()()()2212114142442222AOBkkSkkkkkkk−−=−=−=−+−=−++−△()142442kk−+=−，

当且仅当2k=−时，等号成立，此时直线的方程为()221yx+=−+，即240xy++=.18.已知直线l：()()231370axaya+−−++=，aR.（1）证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；（2）在（1）的条件下，若直线l过点A，且

在y轴上的截距是在x轴上的截距的12，求直线l的方程；（3）若直线l不经过第四象限，求a的取值范围.【答案】（1）证明见解析，点A的坐标为()2,1−−（2）20xy−=或240xy++=（3）)7,1,3−−+【解析】【分析】（1）化简方程为直线系方程的形式，组

成方程组解出直线过的点；（2）根据题意分直线过原点、不过原点讨论，分析解决即可；（3）分①1a=，②32a=−，③1a，且32a−三种情况进行讨论分析解决.【小问1详解】证明：整理直线l的方程，得()23370xyaxy−++++=，

所以直线l过直线230xy−+=与370xy++=的交点，联立方程组230370xyxy−+=++=，解得21xy=−=−，所以直线l过定点A，点A的坐标为()2,1−−.【小问2详解】当截距为0时，直线l的方程为12yx=，即

20xy−=，当截距不为0时，设直l线的方程为1xyab+=，则2112abab−−+==，解得42ab=−=−，直线l的方程为142xy+=−−，即240xy++=，故直线l的方程为20xy−=或240xy++=.【小问3详解】当1a=时，直

线l的方程为2x=−，符合题意；当32a=−时，直线l的方程为1y=−，不符合题意；当1a，且32a−时，233711aayxaa++=+−−，所以()()()()232310013710370101aaaaaaaaa++−

−+−+−−解得1a或73a−，综上所述，当直线l不经过第四象限时，a的取值范围是：)7,1,3−−+.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是边长为6的正方形，PAD△是正三角形，CD⊥平面PAD，O为AD的中点，E，F，G分别

是PC，PD，BC上的点，且满足12PEPFBGECFDGC===．（1）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小;（2）在线段PA上是否存在点M，使得直线GM与平面EFG所成角为π6?若存在，求线段PM的长度；若不存在，请说明理由.【答案】（

1）π3（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）先证明⊥PO平面ABCD，然后建立空间直角坐标系，分别求出平面EFG与平面ABCD的两个法向量，借助向量法计算二面角所成角的公式即可得解.（2）令()01PMtPAt=，然后求出()31,6,3333GMtt=−−−，利用向

量法的计算线面角的公式，建立关于t的方程，得出方程无实数解，从而得出结论.【小问1详解】PADQV是正三角形，O为AD的中点，POAD⊥，又CD⊥平面PAD，PO平面PAD，POCD⊥，又CD平面ABCD，AD平面ABCD，且ADCDD=，PO⊥平面ABCD.取BC的中点H，连接O

H，又⊥PO平面ABCD，且底面ABCD是的正方形，所以以O为原点，分别以,,OAOHOP所在直线为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系，得到如下点的坐标，()()()()()()()0,0,0,0,0,33,3,0,0,3,6,

0,3,6,0,3,0,0,0,6,0,OPABCDH−−又E，F，G分别是PC，PD，BC上的点，且满足12PEPFBGECFDGC===，()()()1,2,23,1,0,23,1,6,0EFG−−，()0,0

,33OP=，()()0,2,0,2,4,23EFEG=−=−，由⊥PO平面ABCD，所以平面ABCD的法向量为()0,0,33OP=，设平面EFG的法向量为𝑛⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则00nEFnEG==，即2024230yxyz−=+−=，解

得301xyz===，()3,0,1n=，设平面EFG与平面ABCD所成锐二面角为，33,2,33,nOPnOP===331coscos,2233nOPnOPnOP====，又为锐角，所以π3=，所以平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小π3.【

小问2详解】设线段PA上是否存在点(),0,Mab，使得直线GM与平面EFG所成角为π6，且()01PMtPAt=，()(),0,33,3,0,33,PMabPA=−=−()(),0,333,0,33abt−=−，33333atbt==−()31,6,3333GMt

t=−−−，()()22π231sin62231363333GMnGMntt===−++−，整理可得:21830290tt−+=，Δ9004182911880=−=−，方程无解，不存在这样的点M.