【文档说明】新疆乌鲁木齐市第四十中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.056 MB，由小赞的店铺上传

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乌鲁木齐市第四十中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（考试范围：选择性必修一全册）总分150分考试时间120分钟一、单项选择题（12小题每题5分共60分）1已知直线310axy+−=与320xy−−=互

相垂直，则=a（）A.3−B.1−C.3D.1【答案】D【解析】【分析】分别求出两条直线的斜率，利用斜率乘积为1−即可得解【详解】直线31axy+=的斜率为3a−，直线320xy−+=的斜率为3，由题意，()313a−=−，解得1a=故选：D【点睛】两直线垂直得

到斜率乘积为1−是解题关键.属于基础题.2.过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（）A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B【解析】【分析】根据题意，判断点(2，4)是否在抛物线上，即可求解.【详解】因点(2，4)在抛物线y2＝8x

上，所以过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点.故选B.3.抛物线22ypx=的焦点坐标为()()2,0,4,FMt是抛物线上一点，则点M到抛物线的准线的距离是（）A.4B.5C.6D.

7【答案】C【解析】..【分析】由点到准线距离2pdx=+求得结果【详解】由于()2,0F知22p=，所以点M到抛物线的准线的距离4262pdx=+=+=故选：C4.已知椭圆的长轴长为10，离心率为35，则椭圆的短轴长为（）A.3B.4C.6D.8【

答案】D【解析】【分析】根据已知求出,ac，再求出b即得解.【详解】由题意，得210a=，35ca=，所以5,3ac==，所以224bac=−=，所以椭圆的短轴长为8.故选：D.5.曲线22:4Cyxx=−表示（）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆【答案】D【解

析】【分析】化简整理方程即得解.【详解】解：由题得2240xxy−+=，所以22(2)4xy−+=，它表示以点(2,0)为圆心，以2为半径的圆.故选：D6.设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相

交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|BF|32=，则AFBF=（）A.32B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】过A，B分别作准线的垂线，再过B作AA'的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可

得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值.【详解】解：设|BF|＝m，则由|AF|﹣|BF|32=可得|AF|32=+m，由抛物线的方程可得：F（1，0），过A，B分别作准线的垂线交于A'，B'，过B作AA'的垂线交AA'，OF分别于C，D点，则△BFD∽△BAC，所以BFDFAB

AC=，即233222mmm−=+，解得：m32=，所以332232AFBF+==2，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题.7.已知221xy+=，xR，Ry，且0xy，则（）A.2xy+B.1

2xyC.22loglog1xy+−D.112xy+【答案】C【解析】【分析】对于A，作出方程221xy+=的图形，结合圆心到直线的距离即可判断；对于B，利用重要不等式222xyxy+（当且仅当xy=等

号成立）即可判断；对于C，利用重要不等式及对数运算即可判断；对于D，根据222112xyxy++（当且仅当xy=等号成立）即可判断.【详解】对于A，令mxy=+，则直线0xym+−=，如图所示，当直线与圆相切或相交时，dr，此时满足

题意，圆心到直线0xym+−=距离为md+−=+2200111，即m2，于是有，2xy+，1xy+，故A不正确；对于B，由222xyxy+，得12xy，故B不正确；对于C，由12xy，得22221loglogloglog12xyxy=

+=−，故C正确；对于D，由222112xyxy++，得1122xy+，故D不正确；故选：C.【点睛】本题解决的关键对于A选项，作出图形利用数形结合即可解决，对于BCD三个选项，记住不等式链2221122x

yxyxyxy+++（当且仅当xy=时等号成立）即可解决该问题.8.若直线1:0lxy−=与直线22:0lxay++=互相垂直，则a的值为（）A.1−B.1C.2−D.2【答案】B【解析】【分析】根据两

直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；【详解】解：因为直线1:0lxy−=与直线22:0lxay++=互相垂直，所以()1110a+−=解得1a=；故选：B9.在平行六面体1111ABCDABCD−中，14ABADAA===，90BAD=，1160BAADA

A==，则异面直线1AC与1BC所成角的余弦值是（）A.33B.23C.36D.13【答案】C【解析】【分析】构建基向量AB，AD，1AA表示11,ACBC，并根据向量的夹角公式求其夹角的余弦值即可.【详解】如下图，构建基向量AB，AD，1AA.则11

ACAAABAD=++，111BCADADAA==+所以22222111111()222ACACAAABADAAABADAAABAAADADAB==++=+++++161616244cos120244cos120244cos90=++++

+14864()42=+−=222211111()2BCBCADAAADAAADAA==+=++1616244cos6043=++=1111()()ACBCAAABADADAA=+++11111AAADAAAAABADABAAADADADAA=+++

++44cos12044044cos604444cos608=−++++=所以11111183cos,6443ACBCACBCACBC===.故选：C.10.已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F、

2F，过2F作垂直于实轴的弦PQ，若12PFQ=，则C的离心率e为（）A.21−B.2C.21+D.22+【答案】C【解析】【分析】首先根据已知条件建立等量关系，进一步利用通径和焦距间的等量求出双曲线的离心率．【详解】解：双曲线的左右

焦点分别为1F、2F，过2F作垂直于实轴的弦PQ，若12PFQ=，则：△1PFQ为等腰直角三角形．由于通径22bPQa=，则：22bca=，解得：2220caac−−=，所以：2210ee−−=，解得：12e=；由于e＞1，所以：12e=+，故选：

C．【点睛】本题考查通径在求离心率中的应用，等腰直角三角形的性质的应用．属于基础题型．11.已知点P在直线:70lxy++=上，点Q在椭圆221169xy+=上，则||PQ的最小值是（）A.2B.2C.32D.62【答案】A【解析】【分析】设(4co

s,3sin)Q，则点Q到直线l的距离|4cos3sin7||5sin()7|22d++++==,然后根据三角函数求出最值.【详解】设(4cos,3sin)Q，则点Q到直线l的距离|4cos3sin7||5sin()

7|22d++++==.因为5sin()55+−，所以2|5sin()7|12++，则262d.故选：A.【点睛】本题考查求椭圆上的点到直线的距离的最小值问题，属于中档题.12.圆224xy+=与圆2286160xyxy+−

−+=的位置关系是（）A.相离B.相交C.内含D.外切【答案】D【解析】【分析】由圆的方程得到两圆的圆心和半径，通过比较圆心距与半径关系即可判断.【详解】由题，圆224xy+=的圆心为()0,0，半径为2；圆2286160xyxy+−−+=，即()()22439xy−+−=，所以圆心为()4,

3，半径为3；所以两圆圆心距离为()()224030523−+−==+，所以两圆外切.故选：D二、填空题（共4小题，每题5分共20分）13.在正方体1111ABCDABCD−中，给出以下向量表达式：①111()ADAAAB−−；②111()

BCBBDC+−；③1()2ADABDD−−；④1111()BDAADD++.其中能够化简为向量1BD的是______________（填序号）.【答案】①②【解析】【分析】根据空间向量的加法、减法运算的几何意义，即可得答案；【详解】①中，11111()ADAAABADABBD−−=−=；

②中，1111111()BCBBDCBCDCBD+−=−=；③中，111()22ADABDDBDDDBD−−=−；④中，111111111()BDAADDBDDDBDBD++=+=.故答案为：①②.【点睛】本题

考查空间向量的加法、减法运算的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题.14.平面的斜线l与它在这个平面上的射影l的方向向量分别为(1,0,1),(0,1,1)ab==，则斜线l与平面所成角为__________.【答案】60【解析】【分析】根据线面角的定义可得，,ab

即为线面所成角或其补角，利用两的夹角公式求解即可.【详解】由线面角的含义知，,ab即为线面所成角或其补角，又因为线面角,[0,90]ab，所以2222(1,0,1)(0,1,1)1cos,2||||1111ababab===++，所

以,60ab=，即斜线l与平面所成角为60°.故答案为：60.【点睛】本题考查线面角的定义、空间中线面角的求法，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题.15.已知空间三点(0,2,3)A，(2,1,

6)B−，(1,1,5)C−，向量a分别与AB，AC都垂直，且3a=，且a的横､纵､竖坐标均为正，则向量a的坐标为___________.【答案】(1,1,1)【解析】【分析】设向量a的坐标为(),,xyz，根据0aAB=，0aAC=，以及3a=列方程组，解方程组即可

求解.【详解】设向量a的坐标为(),,xyz，因为(0,2,3)A，(2,1,6)B−，(1,1,5)C−，所以(2,1,3)AB=−−，(1,3,2)AC=−，因为向量a分别与AB，AC都垂直，且3a=，所以2222303203aABxyaACxyaxyz=−−+==−+=

=++=，解得：111xyz===，所以向量a的坐标为(1,1,1)，故答案为：(1,1,1).16.已知直线()110axay+−−=与圆22(1)(1)2xy−+−=相交于A，B两点，则线段AB的长为___________.【答案】22【解析】【分析】根据题意,求出直线

经过定点，以及由圆的方程分析圆的圆心与半径,结合直线与圆的位置关系分析可得答案.【详解】直线()110axay+−−=恒过()1,1点，圆()()22112xy−+−=的圆心()1,1，半径为2，直线恒过圆

的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段AB的长为22.故答案为：22.【点睛】本题考查了直线与圆的弦长问题.对于这类问题,一般有两种方法,一是联立直线和圆的方程,利用弦长公式2121ABkxx=+−进行求解；另外还可利用几何的方法,

求出圆心到直线的距离d,求出圆的半径r,根据勾股定理可求出弦长222ABrd=−.三、解答题（共70分，请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效.）17.如图，在四棱锥PABCD−中，3PC=，PC⊥底面ABCD

，ABCD是边长为2的菱形，60BAD=，正ADQ△所在平面与底面ABCD垂直．（1）求证：//PQ平面ABCD；（2）求二面角PQDA−−的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）22【解析】【分析】（1）设AD的中点为O，利用面面垂直的性质证明

QO⊥平面ABCD，从而证明∥QOPC，进而证明四边形QPCO为平行四边形，由此可证明//PQ平面ABCD；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出面ADQ和平面PDQ的法向量，利用向量的夹角公式结合同角的三角函数的平方关系即可求得答案.【小问1详解】设AD的中点为O，连接,QOC

O,因为ADQ△是正三角形，所以QOAD⊥，又因为平面ADQ⊥平面ABCD，所以QO⊥平面ABCD，又因为PC⊥底面ABCD，所以∥QOPC，又因为sin603QOAQPC===，所以四边形QPCO为平行四边形，所以PQOC∥，OC平面A

BCD，因此PQ∥平面ABCD．【小问2详解】因为60BAD=，2ABAD==，所以ABD△是正三角形，连接OB,则OBAD⊥，如图，以O为原点，OA，OB，OQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，则(1

,0,0),(0,3,0),(1,0,0),(0,0,3),(2,3,3)−−ABDQP，可取平面ADQ的法向量为(0,1,0)m=，设平面PDQ的法向量(,,)nxyz=，由(,,)(1,0,3)030⊥=+=nDQxyzx

z，由(,,)(2,3,0)0230⊥−=−+=nQPxyzxy，令13,2=−==zxy，即(3,2,1)n=−，所以22cos,||||28mnmnmn===，所以所求二面角的正弦值为2

22122−=．18.已知四棱锥PABCD−的底面为直角梯形，//,90,ABDCDABPA=⊥平面ABCD，112PAADDCAB====.（1）若点M是棱PB上的动点请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为12；②12PMMB=中哪一个条件可以推断出//PD

平面ACM（无需说明理由），并用你的选择证明该结论；（2）若点N为棱PC上的一点（不含端点），试探究PC上是否存在一点N，使得平面ADN⊥平面BDN？若存在，请求出PNNC的值，若不存在，请说明理由.【答案】

（1）②，证明见解析（2）存在，1PNNC=【解析】【分析】（1）先连接AB、CD交于E，确定E是BD几等分点，再确定M是PB的几等分点．（2）建立空间直角坐标系，平面垂直，对应法向量垂直，数量积为0，列出方程求解．【

小问1详解】条件②可以推断//PD平面ACM.如图，连接AC，BD相交于点E，连EM.在梯形ABCD中，有//ABDC，112ADDCAB===，12DECDBEAB==.又因12DEPMBBEM==，所以BMEBPD，故//EMPD，又PD平面

ACM，EM平面ACM，所以//PD平面ACM.故当12PMMB=时，//PD平面ACM.【小问2详解】以A为原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，的为则A(0，0，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1

)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，设(01)PNPC=，则(,,1)N−对于平面ADN，设其法向量1(,,)nxyz=，满足1100ADnANn==，即()010xxyz=++−=，故取11(0,,1)n−=对于平面BDN，设

其法向量2(,,)nxyz=，满足2200BDnBNn==，即()()20210xyxyz−=+−+−=，故取232(2,1,)1n−=−，若平面ADN⊥平面BDN，则12nn⊥，即13201−−+=−，解得12=，此时

N为PC中点，1PNNC=.19.判断下列不同的直线1l与2l是否平行.（1）1l的斜率为2，2l经过()1,2A，()4,8B两点；（2）1l经过()3,3P，()5,3Q−两点，2l平行于x轴，但不经过P，Q两点；（3）1l经过()1,0M−，()5,2N−

−两点，2l经过()4,3R−，()0,5S两点．【答案】（1）平行；（2）平行；（3）平行.【解析】【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进行判断即可.（2）根据直线PQ的斜率即可判断.的（3）求出两直线的斜率即可求解

.【详解】（1）2l经过()1,2A，()4,8B两点，则282241lk−==−，则12llkk=，可得两直线平行.（2）1l经过()3,3P，()5,3Q−两点，可得1l平行于x轴，2l平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以12

ll//；（3）1l经过()1,0M−，()5,2N−−两点，1021152lk+==−+，2l经过()4,3R−，()0,5S两点，则2351402lk−==−−，所以12ll//.20.双曲线22221xyab−=的实轴为12AA，点P是双曲线上的一个动点

，引11AQAP⊥，22AQAP⊥，1AQ与2AQ的交点为Q，求点Q的轨迹方程.【答案】()22224axbyaxa−=【解析】【分析】设(,)Qxy，()00,Pxy，1(,0)Aa−，2(,0)Aa，由已知条件可得000011yyxaxayyxaxa=−++

=−−−，即202222201yyxaxa=−−，又点P在双曲线上，代入可得222221ybxaa=−，即为点Q的轨迹方程.【详解】设(,)Qxy，()00,Pxy，1(,0)Aa−，2(,0)Aa，由题意可知0xa，xa，否则点P（或点Q）和

点1A（或点2A）重合，不符合题意；11AQAP⊥Q，22AQAP⊥，利用垂直斜率关系可得000011yyxaxayyxaxa=−++=−−−，两式相乘得202222201yyxaxa=−−①又点P在双曲线22221xyab−=

上，2200221xyab−=，即2202220ybxaa=−将其代入①式得222221ybxaa=−，化简整理得：()22224axbyaxa−=所以点Q的轨迹方程为：()22224axbya

xa−=【点睛】方法点睛：本题考查求动点的轨迹方程，求曲线的轨迹方程常用的方法：（1）直接法：如果题目中有明显的等量关系，或者可以利用平面几何知识推出等量关系，求方程时可用直接法；（2）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可用曲线定义写出方程；（3）代入法：

如果轨迹点(,)Qxy依赖于另一动点()00,Pxy，而()00,Pxy又在某已知曲线上，则可先列出关于00,,,xyxy的方程组，利用,xy表示出00,xy，把00,xy代入已知曲线方程即可得到动点Q的轨迹方程；21.求经过点(3,1)A−，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方

程．【答案】22188xy−=.【解析】【分析】根据等轴双曲线可设为()220xy−=，点(3,1)A−代入直接求解即可.【详解】设所求的等轴双曲线的方程为：()220xy−=，将(3,1)A−代入得：()

2231−−=，即=8，所以等轴双曲线的标准方程：22188xy−=22.如图，在三棱锥−PABC中，,4ABBCPAPBPCAC⊥====，O为AC中点.（1）证明：直线PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，12BMMC=，且ABBC=，求直线PC与平面PA

M所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）134【解析】【分析】（1）证得POAC⊥和POOB⊥，然后根据线面垂直的判定定理即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出

结果.【小问1详解】∵PAPC=，且O为AC中点，∴POAC⊥，∵ABBC⊥，且O为AC中点，∴122OBAC==，∵4PAPCAC===，且O为AC中点，∴23PO=，∵4PB=，2OB=，23PO=，∴222PBPOOB=+，∴POOB⊥，∵O

B，AC平面ABC，且OBACO=I，∴PO⊥平面ABC，【小问2详解】∵ABBC=，且O为AC中点，∴ACOB⊥，从而OB，OC，OP两两垂直，如图，建立以O为原点，且OB，OC，OP分别为x，y，z

轴的空间直角坐标系，则(0,2,0)A−，(0,0,23)P，(0,2,0)C，(2,0,0)B，设(,,)Mxyz，由12BMMC=，即12BMMC=，所以()()12,2,2xyzxyz−=−−−，，，所以

()12212212xxyyzz−=−=−=−，解得42(,,0)33M，∴(0,2,23)PC=−，(0,2,23)PA=−−，42(,,23)33PM=−，不妨设平面PAM的一个法向量为(,,)nxyz=，故nPA⊥，nPM⊥，∴2230,

42230,33yzxyz−−=+−=令1z=，则23x=，3y=−，∴(23,3,1)n=−，设直线PC与平面PAM所成角为，∴23233sin|cos,|||41616PCn−−===，因为0,2，所以22313cos1sin144=−=−=

，∴直线PC与平面PAM所成角的余弦值为134.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com