【文档说明】新疆乌鲁木齐市第四十中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题 含答案.docx，共(15)页，764.166 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-3cb179c0078abd2733bc46b3b83237ea.html

以下为本文档部分文字说明：

乌鲁木齐市第四十中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试题（考试范围：选择性必修一全册）总分150分考试时间120分钟一、单项选择题（12小题每题5分共60分）1．已知直线310axy+−=与320xy−−=互相垂直，则

=a（）A．3−B．1−C．3D．12．过点(2，4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有（）A．1条B．2条C．3条D．4条3．抛物线22ypx=的焦点坐标为()()2,0,4,FMt是抛物线上一点，则点M到抛物线的准线的距离是（）A．4B．5C．6D．7

4．已知椭圆的长轴长为10，离心率为35，则椭圆的短轴长为（）A．3B．4C．6D．85．曲线22:4Cyxx=−表示（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆6．设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线相交于A，B，点A在第一象限，且|AF|﹣|

BF|32=，则AFBF=（）A．32B．2C．3D．47．已知221xy+=，xR，Ry，且0xy，则（）A．2xy+B．12xyC．22loglog1xy+−D．112xy+8．若直线1:0lxy−=与直线22:0l

xay++=互相垂直，则a的值为（）A．1−B．1C．2−D．29．在平行六面体1111ABCDABCD−中，14ABADAA===，90BAD=，1160BAADAA==，则异面直线1AC与1BC所成角的余弦值是（）A．33B．23C．36D．1310．已知

双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别为1F、2F，过2F作垂直于实轴的弦PQ，若12PFQ=，则C的离心率e为（）A．21−B．2C．21+D．22+11．已知点P在直线:70lxy++=上，

点Q在椭圆221169xy+=上，则||PQ的最小值是（）A．2B．2C．32D．6212．圆224xy+=与圆2286160xyxy+−−+=的位置关系是（）A．相离B．相交C．内含D．外切二、填空题（共4小题，每题

5分共20分）13．在正方体1111ABCDABCD−中，给出以下向量表达式：①111()ADAAAB−−；②111()BCBBDC+−；③1()2ADABDD−−；④1111()BDAADD++.其中能够化简为向量1BD的是______________（填序号

）.14．平面的斜线l与它在这个平面上的射影l的方向向量分别为(1,0,1),(0,1,1)ab==，则斜线l与平面所成角为__________.15．已知空间三点(0,2,3)A，(2,1,6)B−，

(1,1,5)C−，向量a分别与AB，AC都垂直，且3a=，且a的横､纵､竖坐标均为正，则向量a的坐标为___________.16．已知直线()110axay+−−=与圆22(1)(1)2xy−+−=相

交于A，B两点，则线段AB的长为___________.三、解答题（共70分，请根据答题卡题号及分值在各题目的答题区域内作答，超出答题区域的答案无效。）17．如图，在四棱锥PABCD−中，3PC=，PC⊥底面ABCD，ABCD是边长为2的菱形，60BAD=，正ADQ△所在平面与底面ABCD垂

直．(1)求证：//PQ平面ABCD；(2)求二面角PQDA−−的正弦值．18．已知四棱锥PABCD−的底面为直角梯形，//,90,ABDCDABPA=⊥平面ABCD，112PAADDCAB====.(1)若点

M是棱PB上的动点请判断下列条件：①直线AM与平面ABCD所成角的正切值为12；②12PMMB=中哪一个条件可以推断出//PD平面ACM（无需说明理由），并用你的选择证明该结论；(2)若点N为棱PC上的一点（不含端点），试探究PC上是否存在一点N，使得平面ADN⊥平面BDN？若存在，请求

出PNNC的值，若不存在，请说明理由.19．判断下列不同的直线1l与2l是否平行.（1）1l的斜率为2，2l经过()1,2A，()4,8B两点；（2）1l经过()3,3P，()5,3Q−两点，2l平行于x轴，但不经过P，Q两点；（3）1l经过()1,0M−，()5,2N−−两点，2l经

过()4,3R−，()0,5S两点．20．双曲线22221xyab−=的实轴为12AA，点P是双曲线上的一个动点，引11AQAP⊥，22AQAP⊥，1AQ与2AQ的交点为Q，求点Q的轨迹方程.21．求经

过点(3,1)A−，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程．22．如图，在三棱锥−PABC中，,4ABBCPAPBPCAC⊥====，O为AC中点.(1)证明：直线PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，12BMMC=，且ABBC=，求直线P

C与平面PAM所成角的余弦值.高二数学开学考试答案：123456789101112DBCDDBCBCCAD13．①②【解析】①中，11111()ADAAABADABBD−−=−=；②中，1111111()BCBBDCBCDCBD+−=−=；③中，111()2

2ADABDDBDDDBD−−=−；④中，111111111()BDAADDBDDDBDBD++=+=.故答案为：①②.14．60【解析】由线面角的含义知，,ab即为线面所成角或其补角，又因为线面角,[0,90]ab，所以2222(1,0,1)(0,1,1)1cos,2||||

1111ababab===++，所以,60ab=，即斜线l与平面所成角为60°.故答案为：60.15．(1,1,1)【解析】设向量a的坐标为(),,xyz，因为(0,2,3)A，(2,1,6)B−，(1,1,5

)C−，所以(2,1,3)AB=−−，(1,3,2)AC=−，因为向量a分别与AB，AC都垂直，且3a=，所以2222303203aABxyaACxyaxyz=−−+==−+==++=，解得：111xyz===，所以向量a的坐标为(1

,1,1)，故答案为：(1,1,1).16．22【解析】直线()110axay+−−=恒过()1,1点，圆()()22112xy−+−=的圆心()1,1，半径为2，直线恒过圆的圆心，所以直线交圆的弦长为直径，所以线段AB的长为22.故答案为：22.17．(1)证明见解析

(2)22【分析】（1）设AD的中点为O，利用面面垂直的性质证明QO⊥平面ABCD，从而证明∥QOPC，进而证明四边形QPCO为平行四边形，由此可证明//PQ平面ABCD；（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出面AD

Q和平面PDQ的法向量，利用向量的夹角公式结合同角的三角函数的平方关系即可求得答案.(1)设AD的中点为O，连接,QOCO,因为ADQ△是正三角形，所以QOAD⊥，又因为平面ADQ⊥平面ABCD，所以QO⊥平面ABCD，又因为PC⊥底面ABCD，所

以∥QOPC，又因为sin603QOAQPC===，所以四边形QPCO为平行四边形，所以PQOC∥，OC平面ABCD，因此PQ∥平面ABCD．(2)因为60BAD=，2ABAD==，所以ABD△是正三角形，连接

OB,则OBAD⊥，如图，以O为原点，OA，OB，OQ所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，则(1,0,0),(0,3,0),(1,0,0),(0,0,3),(2,3,3)−−ABDQP，可取平面ADQ的法向量为(0,1,0)m=，设平面

PDQ的法向量(,,)nxyz=，由(,,)(1,0,3)030⊥=+=nDQxyzxz，由(,,)(2,3,0)0230⊥−=−+=nQPxyzxy，令13,2=−==zxy，即(3,2,1)n=−，所以22cos,||||28mnmnmn==

=，所以所求二面角的正弦值为222122−=．18．(1)②，证明见解析(2)存在，1PNNC=【分析】（1）先连接AB、CD交于E，确定E是BD的几等分点，再确定M是PB的几等分点．（2）建立空间直角坐标系，平面垂直，对应法向量垂直，数量积为0，列出方程

求解．（1）条件②可以推断//PD平面ACM.如图，连接AC，BD相交于点E，连EM.在梯形ABCD中，有//ABDC，112ADDCAB===，12DECDBEAB==.又因为12DEPMBBEM==，所以BMEBPD，故//EMPD，又PD平面ACM，E

M平面ACM，所以//PD平面ACM.故当12PMMB=时，//PD平面ACM.（2）以A为原点，AD，AB，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系，则A(0，0，0)，D(1，0，0)，P(0，0，1)，C(1，1，0)，B(0，2，0)，设(01)PNPC

=，则(,,1)N−对于平面ADN，设其法向量1(,,)nxyz=，满足1100ADnANn==，即()010xxyz=++−=，故取11(0,,1)n−=对于平面BDN，设其

法向量2(,,)nxyz=，满足2200BDnBNn==，即()()20210xyxyz−=+−+−=，故取232(2,1,)1n−=−，若平面ADN⊥平面BDN，则12nn⊥，即13201−−+=−，解得12=，此时N为PC的中

点，1PNNC=.19．（1）平行；（2）平行；（3）平行.【分析】（1）利用两直线的斜率是否相等进行判断即可.（2）根据直线PQ的斜率即可判断.（3）求出两直线的斜率即可求解.【解析】（1）2l经过()1,2A，()

4,8B两点，则282241lk−==−，则12llkk=，可得两直线平行.（2）1l经过()3,3P，()5,3Q−两点，可得1l平行于x轴，2l平行于x轴，但不经过P，Q两点，所以12ll//；（3）1l经过()1,0M−，()5,2N−−两点，

1021152lk+==−+，2l经过()4,3R−，()0,5S两点，则2351402lk−==−−，所以12ll//.20．()22224axbyaxa−=【解析】设(,)Qxy，()00,Pxy，1(,0)Aa−，2(,0)Aa，由已知条件可得0

00011yyxaxayyxaxa=−++=−−−，即202222201yyxaxa=−−，又点P在双曲线上，代入可得222221ybxaa=−，即为点Q的轨迹方程.【解析】设(,)Qxy，()00,Pxy，1(,0)Aa−，2(,0)Aa，由题意可知0

xa，xa，否则点P（或点Q）和点1A（或点2A）重合，不符合题意；11AQAP⊥Q，22AQAP⊥，利用垂直斜率关系可得000011yyxaxayyxaxa=−++=−−−，两式相乘得202222201yyxaxa=−−①又点P在双曲线22221

xyab−=上，2200221xyab−=，即2202220ybxaa=−将其代入①式得222221ybxaa=−，化简整理得：()22224axbyaxa−=所以点Q的轨迹方程为：()22224axbyaxa−=

21．22188xy−=.【分析】根据等轴双曲线可设为()220xy−=，点(3,1)A−代入直接求解即可.【解析】设所求的等轴双曲线的方程为：()220xy−=，将(3,1)A−代入得：

()2231−−=，即=8，所以等轴双曲线的标准方程：22188xy−=22．(1)证明见解析(2)134【分析】（1）证得POAC⊥和POOB⊥，然后根据线面垂直的判定定理即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角坐标公式即可求出结果.【解析】（1

）∵PAPC=，且O为AC中点，∴POAC⊥，∵ABBC⊥，且O为AC中点，∴122OBAC==，∵4PAPCAC===，且O为AC中点，∴23PO=，∵4PB=，2OB=，23PO=，∴222PBPOOB=+，∴POOB⊥，∵OB，AC平面ABC，且OBAC

O=I，∴PO⊥平面ABC，（2）∵ABBC=，且O为AC中点，∴ACOB⊥，从而OB，OC，OP两两垂直，如图，建立以O为原点，且OB，OC，OP分别为x，y，z轴的空间直角坐标系，则(0,2,0)A−，(0,0,23)P，(0,2,0)C，(2,0,0)B，

设(,,)Mxyz，由12BMMC=，即12BMMC=，所以()()12,2,2xyzxyz−=−−−，，，所以()12212212xxyyzz−=−=−=−，解得42(,,0)33M，∴(0,2,23)PC=

−，(0,2,23)PA=−−，42(,,23)33PM=−，不妨设平面PAM的一个法向量为(,,)nxyz=，故nPA⊥，nPM⊥，∴2230,42230,33yzxyz−−=+−=令1z=，则23x=，3y=−，∴(23,3,1)n=

−，设直线PC与平面PAM所成角为，∴23233sin|cos,|||41616PCn−−===，因为0,2，所以22313cos1sin144=−=−=，∴直线PC与平面PAM所成角的余弦值为134.