【文档说明】浙江省湖州市德清县第三中学2020-2021学年高二3月月考数学试题 含答案.doc，共(17)页，1.708 MB，由小赞的店铺上传

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德清三中2020学年第二学期月考试卷高二数学本试卷满分150分，考试时间120分钟选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知()sinfxxx=，则导数()

f=（）A．0B．1−C．D．−2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.43B.1C.23D.133.汽车上有10名乘客，沿途有5个车站.则乘客不同的下车方法有（）种.A.510B.105C.51

0AD.510C4.设函数()xefxx=，则函数()fx的单调增区间是（）.A.(),0−B.()0,1C.()1,+D.()e,+5.在正方体1111ABCDABCD−中，M是正方形ABCD的中心，则直线1AD与直线1BM所成角大

小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°6.点()5,3M到抛物线2xay=的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（）A.212yx=B.236yx=−C.212yx=或236yx=−D.2112yx=或2136yx=−

7.函数32123yxxmx=+++是R上的单调函数，则m的范围是（）A.(,1)−B.(,1]−C.(1,)+D.[1,)+8.函数()21cos2=+fxxx的导函数()fx¢的图象大致是（）A.B.C.D.9.已知双曲线()222210

,0xyabab−=的左焦点为()()1,00Fcc−，过点1F作直线与圆2224axy+=相切于点A，与双曲线的右支交于点B，若12OBOAOF=−，则双曲线的离心率为（）A.2B.102C.72D.5210

.下列命题正确的是()A.若lnln2abab−=−，则0abB.若lnln2abab−=−，则0baC.若lnln2abba−=−，则0abD.若lnln2abba−=−，则0ba非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空

题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.双曲线22:14xCy−=的离心率是____________；渐近线方程是____________．14．已知复数z满足(1i)2+iz+=−（i为虚数单位），则z的虚部是____，||z=____．13.设函数3()3fx

xx=−，则曲线()yfx=在点(0,0)处的切线方程为________；函数()fx的极大值点为________.14.已知抛物线28yx=，焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl⊥，A为垂足，如果直线AF的斜率为5−，那么PF=________，POFS=

________（O是坐标原点）.15.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）．16.已知函数()2()ln222xxfxx−=+++，则是不等式(1)(2)fxfx+成立的x的取

值范围是________.17.椭圆22:194xyC+=的右焦点为2F，点P为椭圆上的动点，点Q为圆()22:41Cxy+−=上的动点，则2PQPF+的最大值为________.三、解答题：本大题共5小

题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（2）能组成多少个无重复数字且比1325大的四位数？19.已知函数()321fxxaxbx=+++在1x=−与

2x=处有极值.（1）求函数()fx的解析式；（2）求()fx在2,3−上的最值.20.如图，已知三棱锥PABC−，PCAB⊥，ABC是边长为2的正三角形，4PB=，60PBC=，点F为线段AP的中点．（Ⅰ）证明：PC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角

的正弦值．21．已知椭圆()22122:10xyCabab+=，抛物线()22:20Cypxp=，2C的焦点F与1C的一个焦点重合，且1C、2C有一个交点226,33A.（1）求1C、2C的标准方程；（2）若直线l过点()1,0

且交1C于M、N两点，交2C于P、Q两点，求2MNPQ的取值范围.22.已知函数2(),xfxexaxR=−+的图像在点0x=处的切线为ybx=．（1）求函数()fx的解析式；（2）当xR时，求证：()2fxxx−+；（3）若()fxkx对任意的(0,)x+

恒成立，求实数k的取值范围.德清三中2020学年第二学期月考试卷高二数学本试卷满分150分，考试时间120分钟选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知()sinfxxx=，则导数()f=（）

A．0B．1−C．D．−【答案】D【详解】()sinfxxx=，()sincosfxxxx=+，因此，()f=−.故选：D.2.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.43B.1C.23D.13【答案】C【详解】根据三视图可知几何体

是一个三棱锥，且底面是一个等腰三角形：底边长是2，、高是1，几何体的高是2，几何体的体积112212323V==，故选：C．3.汽车上有10名乘客，沿途有5个车站.则乘客不同的下车方法有（）种.A.510B.105C.510AD.510C【答案】B【详解

】解：根据题意，汽车上有10名乘客，沿途有5个车站，每名乘客可以在任意一个车站下车，即每名乘客都有5种下车方式，则10名乘客有105种下车的可能方式；故选：B．4.设函数()xefxx=，则函数()fx的单调增区间是（）.A.(),0−B.()0,1C.

()1,+D.()e,+【答案】C【详解】解：因为()xefxx=定义域为()(),00,−+，所以()()()2221xxxxxexxeexexefxxxx−−−===令()0fx，即(

)210xexx−，解得1x，故函数的单调递增区间为：()1,+，故选：C5.在正方体1111ABCDABCD−中，M是正方形ABCD的中心，则直线1AD与直线1BM所成角大小为（）A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【详解】设正方体的棱长为

2a，连接1BC，MC，MB，因为11//BCAD，故1CBM或其补角为直线1AD与直线1BM所成角.而122BCa=，2MCa=，222211426BMBBBMaaa=+=+=，故22211BCBMCM=+，所以1MBCM⊥，所以163cos222aCBMa==，因为1CBM为锐

角，故130CBM=，故选：A.6.点()5,3M到抛物线2xay=的准线的距离为6，则该抛物线的方程是（）A.212yx=B.236yx=−C.212yx=或236yx=−D.2112yx=或2136yx=−【答案】D【详解】当0a时，开口向上，准线方程为14ya=−，则点M到准

线的距离为1364a+=，求得12a=，抛物线方程为212xy=，当0a时，开口向下，准线方程为14ya=−，点M到准线的距离为1|3|64a+=解得36a=−，抛物线方程为2=-36xy．故选：D7.函数32123yxxmx=+++是R上的单调函数，则m的范围是（）A.(,1)−B.(,1]

−C.(1,)+D.[1,)+【答案】D【详解】函数32123yxxmx=+++是R上的单调函数，即220yxxm=++或220yxxm=++(舍)在R上恒成立440m=−，解得m1故选：D8.函数()21cos2=+fxxx的导函数()fx¢的图

象大致是（）A.B.C.D.【答案】C【详解】函数()21cos2=+fxxx，则()sinfxxx=−，令()()singxfxxx==−，则()1cosgxx=−，当()0,x+时，()1cos0gxx=−，即()fx¢在()0,+?上单调递增，只有选项C符合题意

.故选：C.9.已知双曲线()222210,0xyabab−=的左焦点为()()1,00Fcc−，过点1F作直线与圆2224axy+=相切于点A，与双曲线的右支交于点B，若12OBOAOF=−，则双曲线的离心率为（）A.2B.102C.72D.52【答案】B【详解】设双曲线22221(

0,0)xyabab−=的左焦点为2(,0)Fc12OBOAOF=−，12OAOBOF=+，A是1BF的中点，点1F作直线与圆2224axy+=相切于点A，1OABF⊥，O是12FF的中点，2/

/OABF，12BFBF⊥，2||BFa=，222221122||||||4BFFFBFca=+=−，12||2||3BFaBFa=+=，22294aca=−，22104ac=，102e=，故选：B．10.下列命题正确的是()A.若lnln2abab−=−，则

0abB.若lnln2abab−=−，则0baC.若lnln2abba−=−，则0abD.若lnln2abba−=−，则0ba【答案】C【详解】根据对数函数lnyx=的定义域可知,0ab.构造函数()()ln0fxxxx=+，()110fxx+=，故()fx在()

0,+上是增函数.故当lnln2abba−=−，即()lnlnnaabbblbb+=+++时，根据单调性可知0ab.故选C.非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.双曲线22:14xCy−=的离心率是_

___________；渐近线方程是____________．【答案】(1).52(2).12yx=【详解】试题分析：222224,15abcab===+=，所以离心率e=52ca=，渐近线方程为12byxxa==,14．已知复数z满足(1i)2+iz+=−（i为虚

数单位），则z的虚部是_____，||z=______．【答案】32102【详解】因为复数z满足(1i)2+iz+=−，所以()()()()2121311122iiiziiii−+−−+===−+++−所以z的虚部是32，22131

0||222z=−+=，故答案为：①32；②10213.设函数3()3fxxx=−，则曲线()yfx=在点(0,0)处的切线方程为________；函数()fx的极大值点为________.【答案】(1).30xy+=(2).1−【详解】因为2

'()33fxx=−，所以'(0)3f=−，所以曲线()yfx=在点(0,0)处的切线方程为3yx=−，2'()330fxx=−，则11x−，所以函数在(1,1)−上是减函数，在(,1),(1,)−

−+是增函数，所以函数的极大值点是1−故答案为:30xy+=；1−14.已知抛物线28yx=，焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl⊥，A为垂足，如果直线AF的斜率为5−，那么PF=________，POFS=________（O是坐标原点）.【答案】(1).12(2

).45【详解】抛物线28yx=，焦点为(2,0)F，准线l方程为2x=−，由直线AF的斜率为5−，直线AF的方程为5(2)yx=−−，由25(2)xyx=−=−−，可得A点坐标为(2,45)−PAl⊥，A为垂足，P点纵坐标为45，代入抛物线方程得P点坐标为(10,45)，||

||10(2)12PFPA==−−=；11||||2454522POFPSOFy===．故答案为：12，45．15.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示

）．【答案】120【解析】①1男4女，1436CC45=种；②2男3女，2336CC60=种；③3男2女，3236CC15=种；∴一共有456015120++=种．故答案为120.16.已知函数()2()ln222xxfxx−=+++，则是不等式(1)(2)fx

fx+成立的x的取值范围是________.【答案】1,(1,)3−−+【详解】()2()ln222xxfxx−=+++的定义域为R，()2()ln222()xxfxxfx−−=−+++=，所以()2()ln222xxfxx−=

+++是偶函数，所以()()12fxfx+当0x时，22xxy−=+单调递增，根据符合函数的单调性知()2ln1yx=+单调递增，所以()2()ln222xxfxx−=+++在()0,+单调递增，因为()()12fxfx+，所以12xx+，所以()()2212xx+，所以232

10xx−−，解得：1x或13x−，所以不等式(1)(2)fxfx+成立的x的取值范围是：1,(1,)3−−+故选：A17.椭圆22:194xyC+=的右焦点为2F，点P为椭圆上的动点，点Q为圆()22:41Cxy+−=上的动点，则2PQPF+的最大值

为________.【答案】721+.【详解】椭圆22:194xyC+=，可得5c=，可得焦点(5,0)．22211||||||16||||7(5)47721PQPFPCPFCF+++−+=++=+„．当且仅当1,,，CPQF三点共线等号成立故答案

为：721+．三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18．用0，1，2，3，4，5这六个数字：（1）能组成多少个无重复数字的四位数？（2）能组成多少个无重复数字的四位奇数？（2）能组成多

少个无重复数字且比1325大的四位数？【答案】（1）；（2）144；（3）270.【详解】（1）由题意知，因为数字中有0，0不能放在首位，先安排首位的数字，从五个非0数字中选一个，共有15C种结果，余下的五个

数字在五个位置进行全排列，共有35A种结果，根据乘法原理得到结果．（2）先排个位数，方法数有13C种，然后排千位数，方法数有14C种，剩下百位和十位任意排，方法数有24A种，再按分步乘法计数原理即可求的种类数,121443144CAC=个.（3）有三类，

第一类是千位是2,3,4,5中任意一个的、第二类是千位是1，且百位是4,5中的一个的、第三类是千位是1，且百位是3和十位是3,4,5中的一个的.把这三种情况的种类数相加，131211452423···270AAAAAA++=个.19.已知函数()321fxxaxbx=+

++在1x=−与2x=处有极值.（1）求函数()fx的解析式；（2）求()fx在2,3−上的最值.【答案】（1）()323612fxxxx=−−+；（2）最大值92，最小值9−.【详解】（1）()321fxxaxbx=+++，则()232fxxaxb=++，函数()321fxxaxbx=+

++在1x=−与2x=处有极值，1−、2是()0fx=的两个实数根，3201240abab−+=++=，解得326ab=−=−.()323612fxxxx=−−+；（2）由（1）可得()()(

)2336321fxxxxx=−−=−+.令()0fx=，解得1x=−或2，列表如下：x)2,1−−1−()1,2−2(2,3()fx+0−0+()fx极大值极小值由表格可知：当1x=−时，函数()yfx=取得极大值()912f−=；当2x=时，函数()yf

x=取得极小值()29f=−.又()21f−=−，()732f=−，可得：当1x=−时，函数()yfx=取得最大值92；当2x=时，函数()yfx=取得最小值9−.20.如图，已知三棱锥PABC−，PCAB⊥，ABC是边长为2的正三角形，4PB=，60PBC=，点F为线段AP的中点．（

Ⅰ）证明：PC⊥平面ABC；（Ⅱ）求直线BF与平面PBC所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）24.【详解】（Ⅰ）证明：在PBC中，60PBC=，2BC=，4PB=由余弦定理可得23PC=，因为222PC

BCPB+=，所以PCBC⊥，又PCAB⊥，ABBCB=，所以PC⊥面ABC．（Ⅱ）在平面ABC中，过点C作CMCA⊥，以C为原点，CA→，CM→，CP→的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系Cxyz−，则()0,0,0C，()0,0,23P，()2,0,0A，()1

,3,0B，()1,0,3F，所以()1,3,0CB→=，()0,0,23CP→=，()0,3,3BF→=−，设平面PBC的法向量为(),,nxyz→=，则30,230,CBnxyCPnz=+===取3x=，则1y=−，0z=，即()3,1,0n=−，所以sinα＝2cos,4B

FnBFnBFn→→→→==uuurr，故直线BF与平面PBC所成角的正弦值24．21．已知椭圆()22122:10xyCabab+=，抛物线()22:20Cypxp=，2C的焦点F与1C的一个焦点重合，且1C、2C有一个交点226,33A.（1）求1C

、2C的标准方程；（2）若直线l过点()1,0且交1C于M、N两点，交2C于P、Q两点，求2MNPQ的取值范围.【答案】（1）22143xy+=；24yx=；（2）90,4【详解】（1）把226,33A代入22ypx=，可得2p=，故2C的标准

方程为24yx=，焦点(1,0)F.故椭圆1C的两焦点为1(1,0),(1,0)FF−，由椭圆的定义知22221226226752||114333333aFAFA=+=+++−+=+=，所以2a=，则

22413bac=−=−=，故1C的标准方程为22143xy+=.（2）易知直线l的斜率不为0，设:1lxmy=+，联立241yxxmy==+，可得2440ymy−−=，则4,4PQPQyymyy+==−，所以()()22222||141161641PQPQPQmyyyymmm=+−=++=

++.联立221431xyxmy+==+，可得()2234690mymy++−=，则2269,3434MNMNmyyyymm−−+==++，则()()222222221216||14134343436MNMNmmMNmyyyymmmm+−=+−=++=++++

.则()()()()2222222212134361||||4134mmmMNPQmm+++==++，令21,1mss+=，则22||36361||(31)96MNsPQsss==+++.构造函数()196fsss=++，[1,)s+，求导得()219fss=

−，由[1,)s+，可得(210,1s，所以()0fs，即()fs在[1,)+上单调递增，且()116f=，所以())16,fs+，则()2||3690,||4fMNsPQ=.故2||||MNPQ的取值范围是90,4

.22.已知函数2(),xfxexaxR=−+的图像在点0x=处的切线为ybx=．（1）求函数()fx的解析式；（2）当xR时，求证：()2fxxx−+；（3）若()fxkx对任意的(0,)x+

恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）2()1xfxex=−−；（2）证明见解析；（3）(,2)e−−.【详解】（1）2(),()2xxfxexafxex=−+=−，由已知得(0)10(0)1fafb=+===解得11ab=−=，故2()

1xfxex=−−.（2）令2()()1xgxfxxxex=+−=−−，由()10xgxe=−=得0x=.当(,0)x−时，()0gx，()gx单调递减；当(0,)x+时，()0gx，()gx单调递增

.∴min()(0)0gxg==，从而2()fxxx−+.（3）()fxkx对任意的(0,)x+恒成立()fxkx对任意的(0,)x+恒成立.令()(),0fxhxxx=，∴()()()222221(1)1()()()xxxxexexxexxfxfxhxx

xx−−−−−−−−===由（2）可知当(0,)x+时，210ex−−恒成立令()0hx，得1x；()0hx得01x.∴()hx的增区间为(1,)+，减区间为(0,1)，min()(1)2hxhe==−，∴min()(1)2khxhe

==−，∴实数k的取值范围为(,2)e−−.