【文档说明】-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题24 正弦定理和余弦定理(基础训练)(解析版).docx，共(7)页，44.030 KB，由管理员店铺上传

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专题24正弦定理和余弦定理[基础题组练]1．(2020·湖北武汉调研测试)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3b，A－B＝π2，则角C＝()A.π12B．π6C.π4D．π3解析：选B.因为在△ABC中，A－B＝π2，所以

A＝B＋π2，所以sinA＝sinB＋π2＝cosB，因为a＝3b，所以由正弦定理得sinA＝3sinB，所以cosB＝3sinB，所以tanB＝33，因为B∈(0，π)，所以B＝π6，所以C＝π－

π6＋π2－π6＝π6，故选B.2．(2020·湖南怀化一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若2S＝(a＋b)2－c2，则tanC的值是()A.43B．34C．－43D．－34解析

：选C.因为S＝12absinC，c2＝a2＋b2－2abcosC，所以由2S＝(a＋b)2－c2，可得absinC＝(a＋b)2－(a2＋b2－2ab·cosC)，整理得sinC－2cosC＝2，所以(sinC－2cosC)2＝4，所以（sinC－2c

osC）2sin2C＋cos2C＝4，sin2C＋4cos2C－4sinCcosCsin2C＋cos2C＝4，化简得3tan2C＋4tanC＝0，因为C∈(0，π)，所以tanC＝－43，故选C.3．设△ABC的内角A，B，C所对的

边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定解析：选B.因为bcosC＋ccosB＝asinA，所以由正弦定理得sinBcosC＋sinCc

osB＝sin2A，所以sin(B＋C)＝sin2A.又sin(B＋C)＝sinA且sinA≠0，所以sinA＝1，所以A＝π2，所以△ABC为直角三角形，故选B.4．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝3，则S△ABC

＝()A.2B．3C.32D．2解析：选C.因为A，B，C依次成等差数列，所以B＝60°，所以由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，得c＝2，所以由正弦定理得S△ABC＝12acsinB＝32，故选C.5．在△ABC中，已知

a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△ABC＝332且2sinB＝3sinC，则△ABC的周长等于()A．5＋7B．12C．10＋7D．5＋27解析：选A.在△ABC中，∠A＝60°.因为2sinB＝3sinC，故由正弦定理可得2b＝3c，再由S△ABC＝332＝1

2bc·sinA，可得bc＝6，所以b＝3，c＝2.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bc·cosA＝7，所以a＝7，故△ABC的周长为a＋b＋c＝5＋7，故选A.6．(2020·河北衡水模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别

为a，b，c且有a＝1，3sinAcosC＋(3sinC＋b)cosA＝0，则A＝________．解析：由3sinAcosC＋(3sinC＋b)cosA＝0，得3sinAcosC＋3sinCcosA＝－bcosA，所以3sin(

A＋C)＝－bcosA，即3sinB＝－bcosA，又asinA＝bsinB，所以3cosA＝－bsinB＝－asinA，从而sinAcosA＝－13⇒tanA＝－33，又因为0<A<π，所以A＝5π6.答案：5π

67．(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．解析：法一：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3

，得c＝23，所以a＝43，所以△ABC的面积S＝12acsinB＝12×43×23×sinπ3＝63.法二：因为a＝2c，b＝6，B＝π3，所以由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得62＝(2c)2＋c2－2×2c×ccosπ3

，得c＝23，所以a＝43，所以a2＝b2＋c2，所以A＝π2，所以△ABC的面积S＝12×23×6＝63.答案：638．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB－c－b2＝0，a2＝

72bc，b>c，则bc＝________．解析：由acosB－c－b2＝0及正弦定理可得sinAcosB－sinC－sinB2＝0.因为sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，所以－sinB2－cosAsinB＝0，所以cosA＝－12，即A

＝2π3.由余弦定理得a2＝72bc＝b2＋c2＋bc，即2b2－5bc＋2c2＝0，又b>c，所以bc＝2.答案：29．(2020·河南郑州一模)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为S，且满足

sinB＝b24S.(1)求sinAsinC；(2)若4cosAcosC＝3，b＝15，求△ABC的周长．解：(1)因为△ABC的面积为S＝12acsinB，sinB＝b24S，所以4×12acsinB×sinB

＝b2，所以ac＝b22sin2B，所以由正弦定理可得sinAsinC＝sin2B2sin2B＝12.(2)因为4cosAcosC＝3，sinAsinC＝12，所以cosB＝－cos(A＋C)＝sinAsinC－cosAcosC＝12－34＝－14，因为b＝15，所以a

c＝b22sin2B＝b22（1－cos2B）＝（15）22×1－116＝8，所以由余弦定理可得15＝a2＋c2＋12ac＝(a＋c)2－32ac＝()a＋c2－12，解得a＋c＝33，所以△ABC的周长为a

＋b＋c＝33＋15.10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且a2＋c2－b2＝abcosA＋a2cosB．(1)求角B；(2)若b＝27，tanC＝32，求△ABC的面积．解：(1)因为a2＋c2－b2＝abcosA＋a2cosB，所以由余弦定理，得2accosB＝abcosA

＋a2cosB，又a≠0，所以2ccosB＝bcosA＋acosB．由正弦定理，得2sinCcosB＝sinBcosA＋sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinC，又C∈(0，π)，sinC>0，所以cosB＝12.因为B∈()0

，π，所以B＝π3.(2)由tanC＝32，C∈(0，π)，得sinC＝217，cosC＝277，所以sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝32×277＋12×217＝32114.由正弦定理asinA＝bsinB，得a＝bsinAsinB＝27×3211432＝6，所

以△ABC的面积为12absinC＝12×6×27×217＝63.[综合题组练]1．(2020·安徽六安模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2a－cb＝cosCcosB，b＝4，则△ABC的面积的最大值为()A．43B．23C．2D．3解析：选A.因为在△

ABC中，2a－cb＝cosCcosB，所以(2a－c)cosB＝bcosC，所以(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，所以2sinAcosB＝sinCcosB＋sinBcosC＝sin(B＋C)＝sinA，所以cosB＝12，即B＝π3，由余弦定理可得16＝a2＋c2－

2accosB＝a2＋c2－ac≥2ac－ac，所以ac≤16，当且仅当a＝c时取等号，所以△ABC的面积S＝12acsinB＝34ac≤43.故选A.2．(2020·福建漳州二模)△ABC的内角A，B，C的对边

分别为a，b，c，已知3acosA＝bcosC＋ccosB，b＋c＝3，则a的最小值为()A．1B．3C．2D．3解析：选B.在△ABC中，因为3acosA＝bcosC＋ccosB，所以3sinAcosA＝sinBcosC＋s

inCcosB＝sin(B＋C)＝sinA，即3sinAcosA＝sinA，又A∈(0，π)，所以sinA≠0，所以cosA＝13.因为b＋c＝3，所以两边平方可得b2＋c2＋2bc＝9，由b2＋c2≥2bc，可得9≥2bc＋2bc＝4bc，解得bc≤94，当

且仅当b＝c时等号成立，所以由a2＝b2＋c2－2bccosA，可得a2＝b2＋c2－23bc＝(b＋c)2－8bc3≥9－83×94＝3，当且仅当b＝c时等号成立，所以a的最小值为3.故选B.3．(2020·湖北恩施2月质检)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a

，b，c，若cosB＝13，b＝4，S△ABC＝42，则△ABC的周长为________．解析：由cosB＝13，得sinB＝223，由三角形面积公式可得12acsinB＝12ac·223＝42，则ac＝12①，由b2＝a2

＋c2－2accosB，可得16＝a2＋c2－2×12×13，则a2＋c2＝24②，联立①②可得a＝c＝23，所以△ABC的周长为43＋4.答案：43＋44．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，

b，c，且(a2＋b2－c2)(acosB＋bcosA)＝abc.若a＋b＝2，则c的取值范围为________．解析：在△ABC中，因为(a2＋b2－c2)(acosB＋bcosA)＝abc，所以a2＋b2－c2a

b(acosB＋bcosA)＝c，由正、余弦定理可得2cosC(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinC，所以2cosCsin(A＋B)＝sinC，即2cosCsinC＝sinC，又sinC≠0，所以cosC＝12，因为C∈(0，π)，所以C＝π3，B＝2π3－A，所以由正弦定理asi

nA＝bsin2π3－A＝c32，可得a＝csinA32，b＝csin2π3－A32，因为a＋b＝2，所以csinA32＋csin2π3－A32＝2，整理得c＝3sinA＋sin2π3－A＝332sinA＋32cosA＝1sin

A＋π6，因为A∈0，2π3，所以A＋π6∈π6，5π6，可得sinA＋π6∈12，1，所以c＝1sinA＋π6∈[1，2)．答案：[1，2)5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝ac

osB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．解：(1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB，又由bsinA＝acosB－π6，得asinB＝acosB－π6，即sinB＝cosB－

π6，可得tanB＝3.又因为B∈(0，π)，可得B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，有b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝37.因为a<c，故cosA＝

27.因此sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17，所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，

A＝60°.(1)若△ABC的面积为33，a＝13，求b－c；(2)若△ABC是锐角三角形，求sinBsinC的取值范围．解：(1)由S△ABC＝33，得12bcsinA＝33，即12bcsin60°＝33，得bc＝12.由余弦定

理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2＋c2－bc＝13，所以(b－c)2＝13－bc＝1，所以b－c＝1或b－c＝－1.(2)因为A＝60°，所以B＋C＝120°，所以C＝120°－B.所以sinBsinC＝sinBsin(120°－B)＝sinB32cosB＋12sin

B＝34sin2B＋1－cos2B4＝1232sin2B－12cos2B＋12＝12sin()2B－30°＋14.因为△ABC是锐角三角形，所以C＝120°－B<90°，得B>30°，所以30°<B<90°，则30

°<2B－30°<150°，所以12<sin(2B－30°)≤1，14<12sin(2B－30°)≤12，所以12<12sin(2B－30°)＋14≤34，所以sinBsinC的取值范围是12，34.