【文档说明】-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题24 正弦定理和余弦定理(提升训练)(解析版).docx，共(7)页，43.024 KB，由管理员店铺上传

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专题24正弦定理和余弦定理基础对点练(时间：30分钟)1．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若acosB＋bcosA＝csinC，S＝14(b2＋c2－a2)，则B等于()(

A)90°(B)60°(C)45°(D)30°C解析：由正弦定理得sinAcosB＋sinBcosA＝sinC·sinC，即sin(B＋A)＝sin2C，所以sinC＝1，C＝90°.根据三角形面积公式和余弦定理得S＝12bcsinA，b2＋c2－a2

＝2bccosA，代入已知得12bcsinA＝14·2bccosA，所以tanA＝1，A＝45°，因此B＝45°.故选C.2．△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()(A)32(B)332(C)

3＋62(D)3＋394B解析：设AB＝a，则由AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB知7＝a2＋4－2a，即a2－2a－3＝0，∴a＝3(负值舍去)．∴BC边上的高为AB·sinB＝3×32＝332.故选B.3．(2

019烟台一中)△ABC中，若sinC＝(3cosA＋sinA)cosB，则()(A)B＝π3(B)2b＝a＋c(C)△ABC是直角三角形(D)a2＝b2＋c2或2B＝A＋CD解析：∵sinC＝sin(A＋B)＝

sinAcosB＋cosAsinB∴cosAsinB＝3cosAcosB∴sinB＝3cosB或cosA＝0即B＝π3或A＝π2，故选D.4．在△ABC中，三边之比a∶b∶c＝2∶3∶4，则sinA－2sinBsi

n2C＝()(A)1(B)2(C)－2(D)12B解析：不妨设a＝2，b＝3，c＝4，故cosC＝4＋9－162×2×3＝－14，故sinA－2sinBsin2C＝a－2b2ccosC＝2－68×－14＝2，故选B.5．在△ABC中，内角A，B，C，的对边

分别为a，b，c，a2＝(b－c)2＋12，A＝2π3，则△ABC的面积为()(A)332(B)932(C)3(D)32C解析：∵a2＝(b－c)2＋12＝b2＋c2－2bc＋12，a2＝b2＋c2－2bccosA，∴2bc(1－cosA)＝12，∴bc＝4.∴△ABC的面积S△ABC

＝12bcsinA＝12×4×32＝3，故选C.6．(2019河南六市一联)在锐角△ABC中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若sinA＝223，a＝2，S△ABC＝2，则b的值为()(A)3(B)322(C)22

(D)23A解析：由三角形面积公式可得S△ABC＝12bcsinA＝12bc×223＝2，解得bc＝3.因为A为锐角，sinA＝223，所以cosA＝13，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，代入数据得b2＋c2＝6，则(b＋c)2＝12，b＋c＝23，所以b＝c＝3，故选A.7．(

2019山西大学附中月考)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB的值是________．解析：因为ba＋ab＝6cosC，所以b2＋a2ab＝6×b2＋a2－c22ab，整理得

b2＋a2＝32c2，则tanCtanA＋tanCtanB＝sinCcosC·(cosAsinA＋cosBsinB)＝sinCcosC·cosAsinB＋cosBsinAsinAsinB＝ccosC·cab＝c2abcosC＝c2ab×b2＋a2－c22a

b＝c2c24＝4.答案：48．在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则△ABC周长的最大值为________．解析：在△ABC中，设a，b，c分别是△ABC的三个角A，B，C的对边．由余弦定理得(3)2＝a2＋c2－2accos60°＝a2＋c2－ac≥(a＋c)2－3a＋c22，则14

(a＋c)2≤3，解得a＋c≤23，故△ABC周长的最大值为33.答案：339．设△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且(BA→＋BC→)·AC→＝0，则△ABC的形状是__________．解析：由题得2B＝A＋C,3B＝π得B

＝π3，设AC中点D，则(BA→＋BC→)·AC→＝2BD→·AC→＝0，即BD→⊥AC→得a＝c.所以△ABC为等腰三角形，又因为B＝π3，所以△ABC为等边三角形．答案：等边三角形10．△ABC的内角A，B，C的对边

分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2B2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.解析：(1)由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2B2，故sinB＝4(1－cosB)．

上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)，cosB＝1517.(2)由cosB＝1517得sinB＝817，故S△ABC＝12acsinB＝417ac.又S△ABC＝2，则

ac＝172.由余弦定理及a＋b＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2×172×1＋1517＝4.所以b＝2.11．已知△ABC的外接圆直径为433

，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，C＝60°.(1)求a＋b＋csinA＋sinB＋sinC的值；(2)若a＋b＝ab，求△ABC的面积．解析：(1)因为asinA＝bsinB＝csinC＝2R＝433，所以a＝433sinA，b＝433sinB，c＝433sinC.所以a＋b＋csinA＋

sinB＋sinC＝43(sinA＋sinB＋sinC)3(sinA＋sinB＋sinC)＝433.(2)由c＝433sinC，得c＝433×32＝2，c2＝a2＋b2－2abcosC，即4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，又a＋b＝ab，所以(ab)2－3ab－4＝0，解得a

b＝4或ab＝－1(舍去)．所以S△ABC＝12absinC＝12×4×32＝3.能力提升练(时间：15分钟)12．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2bsinA＝a，若△ABC为锐角三角形，则角B的大小为()(A)π12(B)π6(C)π4(D)π3B解析：由2bs

inA＝a可得2sinBsinA＝sinA，因为sinA≠0，所以sinB＝12，又△ABC为锐角三角形，所以角B的大小为π6，选B.13．(2019邯郸模拟)在△ABC中，A＝π3，BC＝3，则△ABC的周长为()(A)43sin

B＋π3＋(B)43sinB＋π6＋3(C)6sinB＋π3＋3(D)6sinB＋π6＋3D解析：由正弦定理得3sinπ3＝bsinB＝csinC＝b＋csinB＋sinC＝b＋

csinB＋sin2π3－B，则b＋c＝23sinB＋sin2π3－B＝6sinB＋π6.故三角形的周长为：3＋b＋c＝6sinB＋π6＋3.故选D.14．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知ac＝b2－a2，A

＝π6，则B＝________.解析：依题意得a2＝b2＋c2－2bccosA，即b2－a2＋c2－2bccosA＝ac＋c2－3bc＝0，a＋c＝3b.由ac＝b2－a2，得b2－a2－ac＝b2－a(a＋c)＝b2－3ab＝0，b＝3a，且c＝3b－a＝2a＞b，c2＝a2＋b2，所以C＝π

2，B＝π3.答案：π315．在△ABC中，内角A、B、C对应的边长分别为a、b、c，已知c(acosB－12b)＝a2－b2.(1)求角A；(2)若a＝3，求b＋c的取值范围．解析：(1)由cacosB－12b＝a2－b2，cosB

＝a2＋c2－b22ac，得a2＋c2－b2－bc＝2a2－2b2，∴a2＝b2＋c2－bc.∵a2＝b2＋c2－2bccosA，∴cosA＝12.∵A∈(0，π)，∴A＝π3.(2)解法一∵asinA＝bsinB＝csinC＝2，∴b＝2sinB，c＝2sinC.∴b

＋c＝2sinB＋2sinC＝2sinB＋2sin(A＋B)＝2sinB＋2sinAcosB＋2cosAsinB＝2sinB＋2×32cosB＋2×12sinB＝3sinB＋3cosB＝23sinB＋π6，∵B∈0，2π3，∴B＋π6∈π6，5

π6，∴sinB＋π6∈12，1.∴b＋c∈(3，23]．解法二∵a＝3，∴a2＝b2＋c2－2bccosA，即3＝b2＋c2－bc,3＝(b＋c)2－3bc.∵bc≤b＋c22，∴3≥(b＋c)2－3b＋c22，∴(b＋c)2≤1

2，即b＋c≤23.∵b＋c＞a＝3.∴b＋c∈(3，23]．16．(2019衡水模拟)如图，在△ABC中，sin12∠ABC＝33，AB＝2，点D在线段AC上，且AD＝2DC，BD＝433.(1)求BC的长；(2)求△DBC的面积．解：(1)因为sin12∠ABC＝33，所以cos∠ABC＝

1－2×13＝13.在△ABC中，设BC＝a，AC＝3b，则由余弦定理可得9b2＝a2＋4－43a，①在△ABD和△DBC中，由余弦定理可得cos∠ADB＝4b2＋163－41633b，cos∠BDC＝b2＋163－a2833b.因为cos∠ADB＝－cos∠BDC，所

以有4b2＋163－41633b＝－b2＋163－a2833b，所以3b2－a2＝－6.②由①②可得a＝3，b＝1，即BC＝3.(2)由(1)得△ABC的面积为12×2×3×223＝22，所以△DBC的面积为223.