【文档说明】-2021年新高考数学基础考点一轮复习专题24 正弦定理和余弦定理.docx，共(9)页，101.973 KB，由管理员店铺上传

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专题24正弦定理和余弦定理【考点总结】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_

C变形形式a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R；a∶b∶c＝sin_A∶sin_B∶sin_C；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAcosA＝b2＋c2－a22bc；cosB＝c2＋a2－b

22ca；cosC＝a2＋b2－c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)．(2)S＝12bcsinA＝1

2acsin_B＝12absinC.(3)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．【常用结论】1．三角形内角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：A＋B2＝π2－C2.2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)c

os(A＋B)＝－cosC；(3)sinA＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．【易错总结】(1)利用正弦定理求角时解的个数弄错；(2)在△A

BC中角与角的正弦关系弄错；(3)判断三角形形状时弄错．例1．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：选C.由

正弦定理得bsinB＝csinC，所以sinB＝bsinCc＝40×3220＝3>1.所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．例2．在△ABC中，若sinA＝sinB，则A，B的关系为________；若sinA>sinB

，则A，B的关系为________．解析：sinA＝sinB⇔a＝b⇔A＝B；sinA>sinB⇔a>b⇔A>B.答案：A＝BA>B例3．在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为___

_____．解析：由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形【考点解析】【考点】一、利用正、余弦定理求解三角形角度一求边长例1、(一

题多解)在△ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C＝120°.(1)求边长a；(2)求AB边上的高CD的长．【解】(1)由题意得b＝a＋2，c＝a＋4，由余弦定理cosC＝a

2＋b2－c22ab得cos120°＝a2＋（a＋2）2－（a＋4）22a（a＋2），即a2－a－6＝0，所以a＝3或a＝－2(舍去)，所以a＝3.(2)法一：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由三角形的面积公式得12absin∠ACB＝12c×CD，所以CD＝absin∠ACBc＝3×5×

327＝15314，即AB边上的高CD＝15314.法二：由(1)知a＝3，b＝5，c＝7，由正弦定理得3sinA＝7sin∠ACB＝7sin120°，即sinA＝3314，在Rt△ACD中，CD＝AC

sinA＝5×3314＝15314，即AB边上的高CD＝15314.角度二求角度例2、(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC．(

1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC.【解】(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0

°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sinC＝

sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素，基本思想是方程思想，即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程，通过解方

程求得未知元素．(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化，解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系，也可以把已知条件化为三角形边的关系．(3)涉及最值问题时，常利用基本不等式或表示为三角形的某一内角的三角函数

形式求解．【变式】1．(2020·安徽安庆二模)若△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsin2A＝asinB，且c＝2b，则ab等于()A.32B．43C.2D．3解析：选D.由bsin2A＝asinB，及正弦定理得2sinBsinAcos

A＝sinAsinB，得cosA＝12.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋4b2－4b2×12＝3b2，得ab＝3.故选D.【变式】2．(2020·湖南郴州一模)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2＋c2－3bc＝a2，bc＝3a2，

则角C的大小是()A.π6或2π3B．π3C.2π3D．π6解析：选A.由b2＋c2－3bc＝a2，得b2＋c2－a2＝3bc，则cosA＝b2＋c2－a22bc＝3bc2bc＝32，则A＝π6，由bc＝3a2，得sinBsinC＝3sin2A＝3×14＝34，即4sin(π－C－A)si

nC＝3，即4sin(C＋A)sinC＝4sinC＋π6sinC＝3，即432sinC＋12cosCsinC＝23sin2C＋2sinCcosC＝3，即3(1－cos2C)＋sin2C＝3－3cos2C＋sin2C＝3，则－3cos2C＋sin2C＝0，则3cos2C＝s

in2C，则tan2C＝3，即2C＝π3或4π3，即C＝π6或2π3，故选A.【考点】二、判断三角形的形状例(2020·重庆六校联考)在△ABC中，cos2B2＝a＋c2c(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰

三角形或直角三角形【解析】已知等式变形得cosB＋1＝ac＋1，即cosB＝ac①.由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac，代入①得a2＋c2－b22ac＝ac，整理得b2＋a2＝c2，即C为直角，则△ABC为直角三角形．【答案】A【迁移探究1】(变条件)将“cos2B2＝a＋c2c”改为“

c－acosB＝(2a－b)cosA”，试判断△ABC的形状．解：因为c－acosB＝(2a－b)cosA，C＝π－(A＋B)，所以由正弦定理得sinC－sinAcosB＝2sinAcosA－sinBcosA，所以sinAcosB＋cosAsinB－sinAcosB＝

2sinAcosA－sinBcosA，所以cosA(sinB－sinA)＝0，所以cosA＝0或sinB＝sinA，所以A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，所以△ABC为等腰或直角三角形．【迁移探究2】(变条件)将“cos2B2＝a＋c2c”改为“si

nAsinB＝ac，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc”，试判断△ABC的形状．解：因为sinAsinB＝ac，所以ab＝ac，所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2

＝bc，所以cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.因为A∈(0，π)，所以A＝π3，所以△ABC是等边三角形．(1)判定三角形形状的2种常用途径(2)判定三角形形状的3个注意点①“角化边”后要注意用因式分解

、配方等方法得出边的相应关系；②“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系；③还要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．【变式】(2020·河南洛阳一模)在△ABC中，已知2acosB＝c,sinAsinB(2－cos

C)＝sin2C2＋12，则△ABC为()A．等边三角形B．等腰直角三角形C．锐角非等边三角形D．钝角三角形解析：选B.将已知等式2acosB＝c利用正弦定理化简得2sinAcosB＝sinC，因为sinC＝sin()A＋B＝

sinAcosB＋cosAsinB，所以2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝sin(A－B)＝0，因为A与B都为△ABC的内角，所以A－B＝0，即A＝B.因为sinAsinB(2－cosC)＝sin2C2＋12，

所以sinAsinB(2－cosC)＝12(1－cosC)＋12＝1－12cosC，所以－12[]cos()A＋B－cos（A－B）(2－cosC)＝1－12cosC，所以－12(－cosC－1)(2－cosC)＝1－12cosC，即(cosC＋1)(2－cosC)＝2－cosC，整理得

cos2C－2cosC＝0，即cosC(cosC－2)＝0，所以cosC＝0或cosC＝2(舍去)，所以C＝90°，则△ABC为等腰直角三角形，故选B.【考点】三、与三角形面积有关的问题例1、(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别

为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．【解】(1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠

0，所以sinA＋C2＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝12，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△AB

C的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin（120°－C）sinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°<A<90°，0°<C<90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°<C<90°，故

12<a<2，从而38<S△ABC<32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.求解三角形面积问题的基本思维(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值，余弦值)，一般结合题意求这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入

公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求解，也可结合基本不等式求解．【变式】1．(2020·福建厦门一模)在△ABC中，cosB＝14，b＝2，sinC＝2sinA，则△ABC的面积等于()A.14B．12C.32D．154解析：选D.在

△ABC中，cosB＝14，b＝2，sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a；由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝a2＋4a2－2a·2a·14＝4a2＝4，解得a＝1，可得c＝2，所以△ABC的面积为S＝12acsinB＝12×1×2×1－142＝154

.故选D.【变式】2．(2020·广东汕头一模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，3bsinA＝a·(2－cosB)．(1)求角B的大小；(2)D为边AB上一点，且满足CD＝2，AC＝4，锐角三角形△ACD的面积为

15，求BC的长．解：(1)由正弦定理得3sinBsinA＝sinA(2－cosB)，因为A∈(0，π)，则sinA>0，所以3sinB＝2－cosB，所以2sinB＋π6＝2，所以sinB＋π6＝1，因为B∈(0，π)，所以B＋π6＝π2，解得B＝π3.(2)由题意，可

得S△ACD＝12CD·CAsin∠ACD＝12×2×4sin∠ACD＝15，解得sin∠ACD＝154.又因为△ACD为锐角三角形，所以cos∠ACD＝1－sin2∠ACD＝14，在△ACD中，由余弦定理得AD2＝CA2＋CD2－2CA·CD·cos∠ACD＝4

2＋22－2×2×4×14＝16，所以AD＝4，在△ACD中，由正弦定理得CDsinA＝ADsin∠ACD，则sinA＝CDAD·sin∠ACD＝158，在△ABC中，由正弦定理得BCsinA＝ACsinB，所以BC＝ACsinAsinB＝5.