【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第12讲 函数与方程 Word版含解析.docx，共(9)页，690.183 KB，由小赞的店铺上传

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第12讲函数与方程思维导图知识梳理1．函数的零点(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．2．函数零点的判定如果函数y＝f(x)在区间[a

，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们把这一结论称为函数零点存在

性定理．3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数两个一个零个题型归纳题型1函数零点所在区间的判断【例1-1】（2020春•浙

江期中）函数3()32xfxx=−−的零点所在区间是()A．(1,0)−B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)【分析】由函数的解析式可得f（1），f（2）的符号，再根据函数零点的判定定理可得函数3()32xfxx=−−的零点所在

的区间．【解答】解：由于函数3()32xfxx=−−，f（1）33220=−−=−，f（2）39202=−−，f（1）f（2）0，函数是连续增函数，函数3()32xfxx=−−的零点所在的区间是

(1,2)，故选：C．【跟踪训练1-1】（2020•广东学业考试）函数2()logfxxx=+的零点所在区间为()A．1[0,]8B．11[,]84C．11[,]42D．1[,1]2【分析】判断()fx在0x递增，求得1()

8f，1()4f，1()2，f（1）的值由零点存在定理即可判断．【解答】解：因为函数2()logfxxx=+，在0x时函数是连续增函数，且有21111()308888flog=+=−，21111()204444flog=+=−，21111()102222flog=+=−，f（1）

10=，可得()fx在1[,1]2存在零点．故选：D．【名师指导】确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(

2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．题型2求函数零点的个数【例2-1】（2020春•渝中区校级期末）函数1()|21|1xfxx=−+−的零点个数为()A．0B．1C．2D．3【分析】条件等价于函数|21|xy=−与函数11yx

=−图象交点个数，数形结合即可【解答】解：令()0fx=，可得1|21|1xx−=−，则条件等价于函数|21|xy=−与函数11yx=−图象交点个数，分别作出两函数图象如下：如图，两函数无交点，故选：A．【例2-2】（2020•武

昌区模拟）函数()2|sinfx=||cosx+|2([,])xx−−的零点个数为()A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】判断函数的奇偶性，利用零点判断定理转化推出零点个数．【解答】解：函数()2|sin||cos|2([fxxxx=+−−，])是偶函数，[0x，]2时，()2

sincos2fxxx=+−，0x=，()10fx=−，2x=时，()0fx=，3x=时，1()3202fx=+−，所以[0x，]2时函数有2个零点，(2x，)时，()2sincos2fxxx=−−，23x=时

，1()3202fx=+−，()1f=−，函数有1个零点，所以函数()2|sin||cos|2([fxxxx=+−−，])的零点个数为6．故选：C．【跟踪训练2-1】（2020春•海淀区校级期末）函数()2fxlnxx=++的零点个数是．

【分析】条件等价于ylnx=与2yx=−−图象交点个数，数形结合即可．【解答】解：令()20fxlnxx=++=，即2lnxx=−−，则函数零点个数等价于ylnx=与2yx=−−图象交点个数，作出两函数图象如图：由图可得只有1个交点，故答案为：1．【跟踪训练2-2】

（2020春•杭州期末）已知2,0()22,0xxxfxx=−…，则函数()fx的零点个数为．【分析】作出函数()fx的图象，数形结合即可【解答】解：作出函数()fx的图象如下：由图可得，函数()fx只有一个零点，故答案为：1

【名师指导】函数零点个数的判断方法(1)直接求零点，令f(x)＝0，有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理，要求函数f(x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；(3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数．

题型3函数零点的应用【例3-1】（2020•迎泽区校级模拟）已知以4为周期的函数()fx满足，当13x−„时，21,(1,1]()1|2|,(1,3]mxxfxxx−−=−−，其中0m，若方程3(

)0fxx−=恰有5个根，则实数m的取值范围是()A．4(,7)3B．48(,)33C．15(,7)3D．158(,)33【分析】根据条件函数是周期为4的函数，作出两个函数的图象，利用数形结合结合直线和曲线的相切问题，即可得到结论．【解答】解：依题意，函数()fx的周期为4，方程3()0f

xx−=恰有5个根，等价为函数()yfx=的图象与直线3xy=有5个交点，作函数图象如下：当(3,5)x时，2()1(4)fxmx=−−，当(7,9)x时，2()1(8)fxmx=−−，当直线3xy=与2

()1(4)fxmx=−−，相切时，即方程21(4)3xmx−−=有唯一解，化简得2222(19)721350mxmxm+−+=，则△2222(72)4(19)1350mmm=−−+=，解得153m=；当直线3xy=与2()1(8)fxmx=−−相

切时，即方程21(8)3xmx=−−有唯一解，化简得2222(19)1445670mxmxm+−+=，则△2222(144)4(19)5670mmm=−−+=，解得7m=；由图可知，实数m的取值范围15(3，7)．

故选：C．【例3-2】（2020•宜昌模拟）若函数2()1xfxexax=−+−在区间[1，2]内有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为()A．25[,)2e−+B．(−，2]e−C．25(,2)2ee−−D．25[,2]2ee−−【分析】依题意，1xeaxxx−=−−在[1

x，2]上有且仅有一个解，设1()xegxxxx=−−，求导可知函数()gx在[1，2]上单调递增，故[ag−（1），g（2）]，由此求得a的取值范围．【解答】解：依题意，1xeaxxx−=−−在[1x，2]上有且仅有一个解，设1

()xegxxxx=−−，则2221(1)(1)()1xxxexexexgxxxx−−−−=−+=，由1xex+…（当且仅当0x=时取等号）可知，当[1x，2]时，函数()gx单调递增，当[1x，2]时，2215()(1)2,()(2)2222minmaxeegxgeg

xg−==−==−−=，25[2,]2eae−−−，25[,2]2eae−−．故选：D．【例3-3】（2020•3月份模拟）已知函数()fx是定义域为R的偶函数，且满足(2)()fxfx−=，当01x剟时，2()2fxx=，()log|1|(22)a

gxxa=−，则函数()()()hxfxgx=−所有零点的和为()A．3B．4C．5D．6【分析】由()fx为偶函数，且满足(2)()fxfx−=，可得函数()fx为最小正周期为2，对称轴1x=，画出函数()fx的图象，又有题意可得()gx

关于1x=对称，且有a的范围可得1x时，g（5），g（3）的取值范围，进而可得()gx，()fx的交点情况，进而可得()()()hxgxfx=−的零点情况．【解答】解：函数()fx是定义域为R的偶函数，且满足(2)()fxfx−=，可得对称轴1x=，所以可

得周期2T=，又()log|1|(22)agxxa=−，可得()gx也是关于1x=对称，令()()()0hxfxgx=−=，可得()()gxfx=，在同一坐标系中在作()yfx=与()ygx=的图象如图所示：因为22a，()log|1|agxx=−，所以g（2）0=，g（5）log

4(2,4)a=，与()fx无交点，g（3）log2(1,2)a=与()fx有两个交点，所以1x时，()gx与()fx有3个交点，所以xR时，()gx与()fx有3对关于1x=对称的点，所以所以交点之和为2226++=，即函数()()()hxfxgx=−所有零点的和为6，故选：D

．【跟踪训练3-1】（2020•江苏模拟）已知函数3()logfxx=，函数()hx是最小正周期为2的偶函数，且当[0x，1]时，()31xhx=−．若函数()()ykfxhx=+恰有3个零点，则实数k

的取值范围是．【分析】做出()yhx=的函数图象，令()yhx=与3logykx=−的函数图象有3个交点，列不等式组求出k的范围．【解答】解：()()ykfxhx=+有3个零点，()yhx=与3logykx=−

的函数图象有3个交点，作出()yhx=得函数图象如图所示：若0k−，即0k，则()yhx=与3logykx=−的函数图象只有1个交点，不符合题意；若0k−=，即0k=，则()yhx=与3logykx=−的函数图象有

无数多个交点，不符合题意；若0k−，即0k，若()yhx=与3logykx=−的函数图象有3个交点，则3log32k−，且3log52k−，解得：522log3k−−．故答案为：5(2,2log3)−−．

【跟踪训练3-2】（2020•赣州模拟）关于x的方程||0lnxax−=在区间(0,4)上有三个不相等的实根，则实数a的取值范围是()A．1(0,)eB．2(2ln，)eC．2(0,)2lnD．2(2ln，

1)e【分析】由题意画出图形，可知当0a„时，显然不满足题意；当0a时，利用导数求出直线与曲线相切时的直线的斜率，结合4x=时直线在曲线上方求解．【解答】解：关于x的方程||0lnxax−=在区间(0,4)上有三个不相等的实根，即||ln

xax=在区间(0,4)上有三个不相等的实根，也就是函数||ylnx=与yax=在区间(0,4)上有三个不同的交点，当0a„时，显然不满足题意；当0a时，设直线yax=与(1)ylnxx=的切点为0(x，0)lnx，切

线方程为0001()ylnxxxx−=−，代入(0,0)O，可得01lnx−=−，即0xe=，则01lnx=，此时1ae=．再由44aln，可得122aln．关于x的方程||0lnxax−=在区间(0,4)上有三个不相等的实根，则实数

a的取值范围是21(,)2lne．故选：D．【跟踪训练3-3】（2020•江西模拟）已知函数,1()(2),1lgxxfxlgxx=−−…，3()gxx=，则方程()(1)fxgx=−所有根的和等于()A

．1B．2C．3D．4【分析】在坐标系中画出两个函数的图象，判断函数的对称性，然后求解零点的和即可．【解答】解：通过图象可以知道函数()yfx=，(1)ygx=−图象都关于点(1,0)对称，并且两个函数图象有三

个交点，所以和为3．故选：C．【名师指导】根据函数零点的情况求参数的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标

系中画出函数的图象，然后数形结合求解．