【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第12讲 函数与方程（达标检测） Word版含解析.docx，共(16)页，1.381 MB，由小赞的店铺上传

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《函数与方程》达标检测[A组]—应知应会1．（2020•娄底模拟）函数6()21xfxx=−+的零点0x所在的区间为()A．(1,0)−B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)【分析】先判断函数的单调性，再求

特殊点对应的函数值即可求解结论．【解答】解：()fx在区间(1,)−+上是增函数，且f（1）10=−，f（2）20=，()fx的零点0(1,2)x．故选：C．2．（2020春•大兴区期末）方程2xxe=的实根个数为()A．0B．1C．2D．3【分析】法一

：构造函数，利用函数的图象的交点，判断方程的根的个数即可．法二：构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后求解即可．【解答】解：法一：方程2xxe=的实根即函数2yx=和xye=的图象交点的横坐标，在同一坐标系中，作出2yx=和xye=的图象如图，由图可知，有1个交点，也就是方程2

xxe=实根的个数为1．法二：由法一，可知0x„时，有一个零点，令2()xgxex=−，0x，可得()2xgxex=−，()2xgxe=−，可知(0,2)xln是减函数，(2,)xln+函数是增函数；()gx的最小值

为(2)2220glnln=−，所以2()xgxex=−，0x，是增函数，(0)10g=，所以函数2()xgxex=−，0x，没有零点．即方程2xxe=在0x时没有实数根．所以零点个数为1．故选：B．3

．（2020•平阳县模拟）已知关于x的方程2||||3(23)20xxmeme−−−++=有四个不同的实数解，则实数m的取值范围为()A．3(,1)2−B．(1,)+C．33(1,)(,)22+D．3

(,)2+【分析】设||xet−=，(0,1)t，则方程2||||3(23)20xxmeme−−−++=化为函数23(23)20mtmt−++=，在(0,1)上有两个不相等的实数根．利用根与系数的关系，列出不等式组求解即可

．【解答】解：设||xet−=，(0,1)t，则方程2||||3(23)20xxmeme−−−++=化为函数23(23)20mtmt−++=，在(0,1)上有两个不相等的实数根．令2()3(23)2gtmtmt=−++，因为(0)20g=，所以0m，可得22

301632320(23)240mmmmmm+−−++−，解得34133,22mmmm或可得33(1,)(,)22m+．故选：C．4．（2020•潮州二模）已知函数2122(),01()2,10xxxmxfxxmx++=

−−−剟„，则若在区间[1−，1]上方程()1fx=只有一个解，实数m的取值范围为()A．1{|12mm−−„，或1}2m=B．1{|12mm−−„，或1}m=C．1{|1}2mm剟D．1{

|12mm−„，或1}m=【分析】分别求出当01x剟时，当10x−„时，()1fx=有一解时的集合A，B，若在区间[1−，1]上方程()1fx=只有一个解，实数m的取值范围为()AB在()AB中的补集．【解答】解：当01x剟时，()1fx

=，有一解即22()1xxm+=，有一解，21()2xmx=−有一解，令21()()2xhxx=−，在[0，1]上单调递减，所以(0)1h=，h（1）12=−，所以1{|1}2Amm=−剟，当10x−„时，()1fx=有一解，即12

21xxm+−−=，有一解，即1221xmx+=−−，有一解，令12()21xgxx+=−−，在[1−，0)上单调递增，所以(1)1h−=−，(0)1h=，所以{|11}Bmm=−„，所以若在区间[1−，1]上方程()1fx=只有一个解，所以1(){|12ABCABmm=−−„或1

}m=，故选：B．5．（2020春•高安市校级期中）已知定义在R上的函数()fx满足：222,(1,0]()2,(0,1]xxfxxx−−−=−且(2)()fxfx+=，52()2xgxx−=−，则方程()()fxgx=在区间[3−，7]上的所有实根之和为()A

．14B．12C．11D．7【分析】分析两函数的性质，在同一坐标系内画出两函数图象，利用数形结合的方法可求．【解答】解：()(2)fxfx=+，函数()fx为周期为2的周期函数，函数521()222xgxxx−==−−−，其图象关于点(2,2)−对称，如

图，函数()fx的图象也关于点(2,2)−对称，函数()fx与()gx在[3−，7]上的交点也关于(2,2)−对称，设A，B，C，D，E，F，分别为a，b，c，d，e，f．4af+=，4be+=，由图象知另一交

点横坐标为3d=，0c=，故两图象在[3−，7]上的交点的横坐标之和为44311++=，即函数()()fxgx=在[3−，7]上的所有根之和为11．故选：C．6．（2020•天津）已知函数3,0,(),0xxfxxx=−…若函数2()()|2|

()gxfxkxxkR=−−恰有4个零点，则k的取值范围是()A．(−，1)(222−，)+B．(−，1)(02−，22)C．(−，0)(0，22)D．(−，0)(22，)+【分析】问题转化为2()|2

|fxkxx=−有四个根，()yfx=与2()|2|yhxkxx==−有四个交点，再分三种情况当0k=时，当0k时，当0k时，讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出k的取值范围．【解答】解：若函数2()()|2|()gxfxkxxkR=−−恰有4个零点，则2()|2|fxkxx=−有

四个根，即()yfx=与2()|2|yhxkxx==−有四个交点，当0k=时，()yfx=与|2|2||yxx=−=图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当0k时，2|2|ykxx=−与x轴交于两点10x=，2212()xxxk=

图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当0k时，2|2|ykxx=−与x轴交于两点10x=，2212()xxxk=在[0，2)k内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需3yx=与22ykxx=−在2(k，)+还

有两个交点，即可，即322xkxx=−在2(k，)+还有两个根，即2kxx=+在2(k，)+还有两个根，函数222yxx=+…，（当且仅当2x=时，取等号），所以202k，且22k，所以22k，综上所述，k的取值范围为(−，0)(22，)+．故

选：D．7．（多选）（2019秋•琼山区校级期末）已知函数211()22fxxx=+−，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是()A．(3,2)−−B．1(,1)2C．(2,3)D．1(

1,)2−【分析】此类选择题可用代入法计算出函数值，利用函数零点判定定理即可求解【解答】解：经计算1913(3)20326f−=−+−=，11(2)22022f−=−+−=−，111()220288f=+−=，f（1）1112022=+−=−，15

(1)12022f−=−+−=−，根据零点判定定理可得区间(3,2)−−，1(2，1)，1(1,)2−上存在零点，故选：ABD．8．（2020•宣城二模）已知函数()24fxlgxx=+−的零点在区间(k，1)()kkZ+上，则k=．

【分析】利用函数零点的判定定理，结合k是整数，转化求解即可得出结论．【解答】解：f（3）2310lg=−，f（4）240lg=，f（3）f（4）0函数的零点在(3,4)之间，函数()24fxlgxx=+−的零点在

区间(k，1)()kkZ+上，3k=，故答案为：3．9．（2019秋•青浦区期末）已知对于任意实数x，函数()fx满足()()fxfx−=．若方程()0fx=有2019个实数解，则这2019个实数解之和为．【分析】由已知结合偶函数的对称性可知函数的所有零点也关于y轴对称，

从而可求．【解答】解：因为函数()fx满足()()fxfx−=，所以()fx为偶函数，图象关于y轴对称，若方程()0fx=有2019个实数解，函数图象关于y轴对称，则这2019个实数解之和为0．故答案为：010．（202

0•山西模拟）已知函数241,0()22,0xxxxfxx−−−+=−„若关于x的方程(()1)(())0fxfxm−−=恰有5个不同的实根，则m的取值范围为．【分析】利用(()1)(())0fxfxm−−=，求出函数的值，结合函数的图象，通过数形结合求解m的范围即可．【解答】

解：方程(()1)(())0fxfxm−−=得方程()1fx=或()fxm=，作出函数()yfx=的图象，如图所示，由图可知，()1fx=有两个根，故()fxm=有三个根，故(1,2)m．故答案为：(1,2)．

11．（2020•南通模拟）已知函数23,0,()2,0,xxfxxxx=−…则函数(()24)yffxx=−+的不同零点的个数为．【分析】先求得()0fx=的实根，然后令(()24)0yffxx=−+=，整理得：()24fxx−=−或()22fxx−=−，

再令()()2gxfxx=−，求解方程()4gx=−与()2gx=−的实根即可．【解答】解：由题设条件可知：()0fx=的实根为0x=或2x=．令(()24)0yffxx=−+=，则有：()240fxx−+=或()242fxx−+=，即()24fxx−=−或()22fxx

−=−．令2,0()()24,0xxgxfxxxxx=−=−…，则有()4gx=−或()2gx=−，可解得：14x=−，22x=−，32x=，422x=+，522x=−，函数(()24)yffxx=−+的不同零点的个数为5．故答案为：5．12．（2020春•玉林期末）若

函数226,1()1,1xaxfxxax+−=−−„恰有两个零点，则a的取值范围为．【分析】对于分段函数分别讨论每一段上零点的情况，再找到()fx恰有两个零点时，a的取值范围．【解答】解：当1x„时

，若260xa+−=，则2log(6)xa=−，那么2log(6)1a−„，即46a„，当1x时，若210xa−−=，则21xa=+，①若10a+，即1a−时，x无解，②若10a+=，即1a=−时，0x=，不符合1x

，无解，③若10a+，即1a−时，11xa=−+（舍)，21xa=+，若10a−„时，20x„，不符合1x，无解，若0a时，21x，符合1x，有一解，所以若函数()fx有两个零点，则46a„．综上所述，a的取值范围为[4，6)．故答案为：[4，6)．13．（20

20春•洛龙区校级期末）已知()fx是定义在R上的奇函数，且满足(2)()fxfx+=−，当[1x−，0]时，2()fxx=−，则函数()(2)()1gxxfx=−+在区间[3−，7]上所有零点之和为．【分析】根据条件判断函数的周期是4，求出函数在一

个周期上解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：因为()fx为奇函数，则()()fxfx−=−，故(2)()()fxfxfx+=−=−，则(4)(2)(())()fxfxfxfx+=−+=−−=，即函数()fx是周期

为4的周期函数，()fx是R上的奇函数，当[1x−，0]时，2()fxx=−，[0x，1]时，2()fxx=，[2x−，1]−时，2()(2)fxx=−+，[1x，2]时，2()(2)fxx=−，(0)0f=，则(2)(0)0ff−=−=

，f（2）0=由()(2)()10hxxfx=−+=得(2)()1xfx−=−，当2x=时，(2)()1xfx−=−，不成立，即2x，则1()2fxx=−−，作出函数()yfx=和12yx=−−的图象如图：则两个函数关于点(2,0)

对称，两个图象有4个交点，两两关于(2,0)对称，则函数()(2)()1hxxfx=−+在区间[3−，7]上所有零点之和为448+=，故答案为：8．14．（2020春•金凤区校级期中）已知奇函数31()31xxafx−=+的定义

域为[2a−，3]b．（1）求实数a，b的值；（2）若[2xa−，3]b，方程22[()]()0fxfxm+−=恰有两解，求m的取值范围．【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可得a，b的关系，再由奇函数中(0)0f=求出a的值，进而求出a，b的值；（2）由（1

）得()fx的解析式即所给的区间范围，要使方程有两解，既是函数有交点，换元可得()gt为二次函数，根据函数的单调性求出最值．进而求出m的取值范围．【解答】解：（1）由函数为奇函数可得：，即定义域关于原点对称，即230

ab−+=，可得：32ab=−+，①，由0x=在定义域内，又是奇函数，所以(0)0f=，所以可得：0310a−=，解得1a=，将1a=代入①可得：13b=，所以1a=，1b=；（2）由（1）得：31()31xxfx−=+，若

[2xa−，3]b，即[1x−，1]，313122()1313131xxxxxfx−+−===−+++在[1−，1]单调递增，所以1()[2fx−，1]2，设1()[2tfx=−，1]2；所以方程：22[()]()0fxfxm+−=有解，可得221122()48mtt

t=+=+−，1[2t−，1]2有解，令211()2()48gtt=+−，1[2t−，1]2，开口向上的抛物线，对称轴11[42t=−−，1]2．函数()gt先减后增，且12离对称轴较远，所以14t=−，()gt最小且为：18−，12

t=时，()gt最大，且为2112()122+=，且2111()2()0222g−=−−=，综上所述：方程22[()]()0fxfxm+−=恰有两解，m的取值范围为：1[8−，0]．15．（2019秋•邵阳期末）设aR

，函数()||fxxxa=−．（1）若函数()fx在[0，)+为单调函数，求a的取值范围；（2）根据a的不同取值情况，确定函数()()Fxfxx=−在定义域内零点的个数．【分析】（1）函数定义域为0x…，分类讨论0a，0a=，0a函数的单调情况即可；（2）()0

Fx=，可得0x=或||xax−=，令22()(21)gxxaxa=−++．分类讨论0a=，0a，0a，()0gx=根的情况即可得到()Fx的零点个数．【解答】解：()l显然0x…，当0a时，3122(

)||()fxxxaxxaxax=−=−=−，32yx=，12yax=−在[0，)+为增函数，()fx在[0，)+为增函数．当0a=时，32()fxx=．显然()fx在[0，)+为增函数．当0a时，此时，xa=为()fx的零点，又0x=是()

fx的零点，()fx不单调．综上，实数a的取值范围为(−，0]；（2）()()||Fxfxxxxax=−=−−，由()0Fx=，可得0x=或||xax−=，①①式可化为222xaxax−+=．设22()(21)gxxaxa=−++．Ⅰ

．若0a=，2()(1)0gxxxxx=−=−=有两个根0，1．故函数()Fx有2个零点；Ⅱ．若0a，2(0)0ga=，对称轴211022axa+==+，且△22(21)440aaa=+−=．故()0gx=有两个不同正根，即函数()Fx有3个零点．Ⅲ．若0a，

△40a=，故函数()Fx只有1个零点．[B组]—强基必备1．（2020•葫芦岛二模）已知函数32||,(0)()12,(0)2logxxfxxxx=−−+„，方程()0fxa−=有四个不同的实数根，记最大的

根的取值集合为M，若函数()()gxfxkx=−，()xM有零点，则k的取值范围是．【分析】先分析函数()fx性质，进而画出()fx图象，结合图象得方程()0fxa−=有四个不同的实数根时，a的取值范围，进而得A，B点坐标，集合M，若函数()()gxfxkx=−，()xM有零点，3()logy

fxx==与ykx=，()xM有交点，结合图象求出k的取值范围．【解答】解：在(0,1)上3()|log|fxx=单调递减，在(1,)+上3()|log|fxx=单调递增，在(,1)−−上21()22fxxx=−−+单调递增，在(1,0)−上21()22fxxx=−−+单调

递减，f（1）0=，1(0)2f=，3(1)2f−=，画出()fx图象如下：若方程()0fxa−=有四个不同的实数根，则()afx=有四个不同的实数根，即ya=与()yfx=有四个交点，所以1322a„，令33|log|2

x=，解得323x−=或323x=，31|log|2x=，解得123x=或123x−=，得12(3A，1)2，32(3B，3)2所以最大的根的取值集合为1322{|33}Mxx=，若函数()()gxfxkx=−，()xM有零点，

则3()logyfxx==与ykx=，()xM有交点，36OAOBkk==，设切点0(Cx，0)y，030logyx=，013kxln=切，0300000ylogxkxx−==−切，解得0xe=，所以13keln=切，所以实数k的取值范围为3[6，1]3eln，故

答案为：3[6，1]3eln．2．（2020春•齐齐哈尔期末）已知函数112(1)()()()xxxfxexxaee−−−=+−−，若1a=−，则函数()fx有个零点；若函数()fx有3个零点，则实数a的取值范围是．【分析】判断函数单调性，根据零点存在性定理判断零点个数；分离参数1111

xxxaxee−−=−+，讨论方程1xxme−=的根的情况，根据()fx有3个零点和m的范围得出函数a的范围．【解答】解：（1）当1a=−时，122(1)121()()2(2)xxxxfxexexexxex−−−−=+−=+=+，显然0x=是()fx的一个零点，令1()2xgxex−=+，则1(

)210xgxe−=+，故()ygx=在R上单调递增，又2(0)0ge=，22(1)10ge−=−，()ygx=在(1,0)−上有1个零点，故()yfx=有2个零点．（2）令()0fx=可得1111111xxxxxxexaxeexee−−−−−=−=−++，令1()xx

gxe−=，则112(1)11()xxxxexexgxee−−−−−−==，当1x时，()0gx，当1x时，()0gx，当1x=时，()gx取得最大值g（1）1=，又当0x时，1()0xxgxe−=，当1x时，1()0xxgxe−=

，令()gxm=，则当0m„或1m=时，关于x的方程()gxm=只有1解，当01m时，关于x的方程()gxm=有2解，当1m时，关于x的方程()gxm=无解．令1()(11hmmmm=−+„且1)m−，则()hm在(,1)−

−和(1−，1]上单调递增，()fx有3个零点，关于m的方程()hma=在(,0)−和(0，1]上各有1解，又h（1）12=，(0)1h=−，112a−．故答案为：2，1(1,)2−．3．（2019秋•黄浦区校级期末）已知函数()yfx=的定义域为区间D，若对于D

内任意1x、212()xxx，都有1212()()()22fxfxxxf++成立，则称函数()fx是区间D的“函数”．（1）判断函数1()(0)fxxx==是否是“函数”？说明理由；（2）已

知1a，求证：函数()log(0)agxxx=是“函数”；（3）设函数()hx是[a，]()bab上的“函数”，h（a）0，h（b）0，且存在[ca，]b使得h（c）0，试探讨函数(

)hx在区间[a，]b上零点个数，并用图象作出简要的说明（结果不需要证明）．【分析】（1）由题意直接判断即可；（2）由题意直接判断即可；（3）举例即可得出结论．【解答】解：（1）是，理由如下：任取1x，2(,0)x−，且12xx，则12121212121211()()2()2222

fxfxxxxxxxfxxxx++++===+成立，故函数1()(0)fxxx=是“函数”．（2）证明：事实上，任取1x，2(0,)x+，且12xx，则1212121212()()()2222aaaalogxlogxgxgxxxxxlo

gxxlogg++++===成立，即得证；（3）函数()hx在[a，]b上的零点个数可以为0、1或2个．例如，21,1()1,111,1xhxxxx−=−=−−−=是函数，如图，其

零点个数为0；21,2()21,2logxxhxx=−=„是函数，如图，其零点个数为1；21()12hxx=−−是函数，如图，其零点个数为2；函数()hx不可能有3个零点，假设1x，2x，3x均是零点，且

123xxx，