【文档说明】《数学北师大版必修4教学教案》3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数 （2）含答案【高考】.doc，共(10)页，294.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-教学课题3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数课程类型新课课时一课时教材分析3.2.2两角和与差的正弦、余弦函数是北师大版全日制普通高中教科书必修四第三章第二节的内容。学生已经学习了三角函数的基本关系和诱导

公式以及平面向量，在此基础上，两角差的余弦公式作为最基本公式，通过它可推导出其它的三角函数公式．两角差的余弦公式是本节的一个重点内容，同时也是一个难点，作为本章的第二节课，重点是引导学生通过合作、交流，探索两角差的余弦公式，为后续简单的恒等变换的学习打好基础。课本先利用向量的数

量积推出两角差的余弦，由此体现了从特殊到一般这一典型的数学思维过程同时提示了公式的特点及推导途径．由两角差的余弦公式推导其余三角公式，主要是采用比较灵活的变形转化策略来完成的．例如以代得到两角和的余弦公

式；在两角和差的余弦公式中，利用诱导公式，就可得到两角和差的正弦公式；在两角和的正余弦公式中，令就可得二倍角公式，再由正、余弦公式相除得到正切公式．课本中的实例为学生体验用数学知识解决实际问题，有助于增强学生

的数学应用意识。学情分析学生在第一章已经学习了三角函数的基本关系和诱导公式以及平面向量，但只对有特殊关系的两个角的三角函数关系通过诱导公式变换有一定的了解。对任意两角和、差的三角函数知之甚少。本课时面对的

学生是高一年级的学生，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望，但应用已有知识解决问题的能力还处在初期，需进一步提高。教学重点1.能够利用向量的数量积推导两角差的余弦公式；2.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的

正弦公式、两角和的正、余弦公式.教学难点1.能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式2.能够灵活运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值和证明.-2-教学目标1.知识与技能（1）能够推导两角差的余弦公式；（2）能够利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦公式、两角和的

正、余弦公式；（3）能够运用两角和的正、余弦公式进行化简、求值、证明；2.过程与方法通过创设情境，通过向量的手段证明两角差的余弦公式，让学生进一步体会向量作为一种有效手段的同时掌握两角差的余弦函数，然后通过诱导公式导出两角差的正弦公式、两角和的正、余弦公式；讲解例题，总结方法，

巩固练习.3.情感、态度与价值观通过本节的学习，使学生对两角和与差的三角函数有了一个全新的认识；理解掌握两角和与差的三角函数的各种变形，提高逆用思维的能力.教学方法《新课标》指出：“数学学习即要关注学生学习的结果，也要关注他们学习的过程

”。所以，根据本节课的教学内容和学生的实际情况，我在教学中充分运用了启发、引导、让学生自主探究和交流等教学方法，让学生在师生互动、生生互动的过程中，完成对知识的探索。学法渗透从学生已有的认知水平、认知能力出发，

经过观察分析、自主探究、推导证明、归纳总结等环节，理解公式的推导过程，通过有梯度的练习、变式训练、分层作业，学生逐步提高对知识掌握。教学手段利用多媒体课件形象动态的演示功能，提高教学的直观性和趣味性。教学过程设计教学环节教学设计师生活动设计意图复习巩固1.平面向量数量积的定义是什么呢？2.若

向量),,(),,(2211yxbyxa==如何求两向量的数量积？3.写出下面式子的值：教师提问学生回忆、回答用第二章向量的知识入本节课内容，使学体会知识之间的相互系，新的知识的学习能为我们研究其他问带来更简捷的方法，发学生学以致用的学态度。-3-=====120

sin90sin60sin45sin30sin1）（=====120cos90cos60cos45cos30cos2）（新课导入问题1：对于90,60,45,30等特殊角的三角函数值可直接写出，利用诱导公式还可以求出120等角的三角函数值，那么如何求cos15

˚的值？思考1:15˚能否写成两个特殊角的和或差的形式?思考2:cos15˚=cos(45˚-30˚)=cos45˚-cos30˚成立吗?思考3:究竟cos15˚=?思考4:cos(45˚-30˚)能否用45˚和30˚的角的三角函数

值来表示?如果能,那么一般情况下cos(-)能否用角，的三角函数值来表示?这就是本节课要探讨的问题.教师提问学生思考，分析，回答通过学生熟悉的特殊的三角函数值俩探索式的结构是比较自的，在学生对公式的构特性有了直观感知基本了解的基础上

，发学生猜想、探索公的欲望.当学生觉得解决问题困难时，教师可引导生把150转化为450-3等形式，于是转变成求两个角的差的余值，这样自然而然的出课题.-4-课堂探究问题2：如图示，在直角坐标系中，以原点为中心，单位长度为半径作单位圆，又以原点为顶点，x轴非负半轴为始边分别作角45˚，3

0˚设它们的终边分别交单位圆于点P1,P2，能否用45˚，30˚的正弦、余弦来表示点P1,P2的坐标？角45˚-30˚表示的是什么？P1P2问题3：角（45˚-30˚）既然是这两个向量21POPO与的夹角，那么这

两个向量的数量积如何表示？有几种表示方法？).3045cos()3045cos(2121−=−=•POPOPOPO+=•30sin45sin30cos45cos21POPO问题4：由此你

能得出什么结论？)3045cos(−+=30sin45sin30cos45cos问题5：若把45˚，30˚分别换为角，，你会得到什么结论？)cos(−sinsincoscos

+=我们称上式为两角差的余弦公式，记作教师引导学生根据图形进行分析、思考.学生进一步思考讨论，尝试解决，教师根据学生回答进行点评，师生共同得出结论。让学生在经向量方法推导两差的余弦公式的程中，体会向量的想方法和向量作工具的

价值.xyO0(1,0)P-5-课堂探究−C问题6：公式cos(-)=coscos+sinsin是否对任意角，都成立？分析：由图1可知，）；Z(2++=kk由图2可知，);(2-Zkk+=于是，

).(2-Zkk=.cos)-cos(=.sinsincoscos)-cos(+=即问题7：我们知道减去一个数等于加上这个数的相反数，利用诱导公式试求cos(α+β)=？)](cos[)cos(−−=+)sin(sin)cos(cos

−+−=sinsincoscos−=教师提问学生思考讨论、分析师生共同讨论得出结论教师提问、引导学生思考，解决问题，共同得到相关公式.让学生在经向量方法推导两差的余弦公式的程中，体会向量的想方法和向量作工具的价值.让学生体会数形合的思想，并由此发直

接推导出两和的余弦公式的路，帮助学生理解量法.xyO0(1,0)P2(cos,sin)P1(cos,sin)PxyO0(1,0)P2(cos,sin)P1(cos,sin)P-6-课堂探究结论：两角和与差的余弦

公式C：sinsincoscos)cos(=注意：1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）.2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后.问题8：?)sin()2(?)sin(1=−=

+）（)](2cos[)sin(1+−=+）解：（])2cos[(−−=sincoscossinsin)2sin(cos)2cos(+=−+−=)]-sin[)-sin(2（）（+=sinco

s-cossinsin(cos)cos(sin=−+−=）两角和与差的正弦公式:1.两角和的正弦公式：sincoscossin)sin(+=+，简记为+S.2.两角差的正弦公式：sincos-cossin)-sin(=

，简记为-S.教师提问、提示、引导学生思考、分析、板演解题思路过程利用诱导公)2cos(sin−=以实现正弦转化余弦，然后再利)cos(+公式来导。在整个推导过中，利用提问激发生的思维，引导学的思考方

向，且让生意识到新旧知之间紧密的关联性此推导过程师生共同完成，为接下其他公式的探究好示范.探究两角差的正公式的过程由学独立完成，再交流然后课堂展示，目是培养学生独立析问题、解决问题能力，培养学生用比思想

去解决问的意识，培养学生用刚获得的知识解决问题的意识，学生体会代换法作用.-7-例题分析例题分析例1不查表，求cos75°，cos15°的值.解：cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°42-62122-2322=

=cos15°=cos（45°-30°）=cos45°cos30°+sin45°sin30°42621222322+=+=例2已知），，（23,135cos),,2(,54sin−==求)cos(),cos(+−的值.;53

sin1cos),,2(,54sin:2−=−−==得由解.1312cos1sin),23,(,135cos2−=−−=−=得又由sinsincoscos)cos(+=−所以）（）（）（1

312-54135-53-+=；6533-=sinsin-coscos)cos(=+学生独立思考、分析、讲解解题思路、整理解题过程教师根据学生的回答情况进行点评学生独立思考解题思路，回答解题过程

教师点评如何将已知角转化成个特殊角的和与差是决这个问题的关键.直接应用公式加强学生对公式的理解和应用.-8-）（）（）（1312-54-135-53-=.6563=小结：1.求α，β的正弦值、余弦值,注意α，β的取值范围.2.代入公式.课堂训练1.求下列各式的

值：).1225sin()4(;105sin3();1225cos()2(;105cos)1−−）（2.求下列各式的值：;15sin-15cos122）（.35cos95cos35sin95sin2+）（3.已知

),,2(,43sin=求),4sin(+)3cos(−的值.学生思考、分析，并板演解题过程教师巡堂了解，点评熟练公式运用，加知识理解，加深忆。从直接套用式，变式运用公式研究公式特点这个层次的问题解决促进学生新的数认知结

构的形成．进一步加深学生公式的理解，使学掌握公式的正用，用，变角使用，提学生的数学思维力，体现思维的创意识.课堂小结本节课主要学习了什么内容？对本节课的学习你还有什么困惑？1.两角和与差的余弦、正弦公式：.sinsincoscos)-cos(1+=）（

.sinsin-coscos)cos(2=+）（sincoscossin)sin(3+=+）（学生回顾知识并回答，教师根据学生回答情况进行点评和补充完整。通过总结，培养学数学交流和表达能力，养成

及时总的良好习惯，并将学知识纳入已有认知结构。-9-sincos-cossin)-sin(4=）（S的结构特征：左边是两角和、差的正弦，右边是前一角的正弦与后一角余弦的积与前一角的余弦与后一角正弦的积的和、差.2.利用公式可以求非特殊角的三

角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式.应用公式时要灵活使用，并要注意公式的逆向使用.作业布置1、必做题：课本P123习题3-2A组第2题（1）（2）（3）（4）第3题.2、选做题：习题3-2B组第2题（1）（2）学生独立完成使学生进一步掌和巩固本节

课的点内容，设计选做是为了培养学生创新思维能力同充分体现分类讨的思想。板书设计1、平面向量的数量积定义：2、平面向量的数量积的坐标表示：3、两角和与差的余弦、正弦公式：.sinsincoscos)-cos(1+=）（推导

过程：.sinsin-coscos)cos(2=+）（推导过程：sincoscossin)sin(3+=+）（推导过程：sincos-cossin)-sin(4=）（推导过程：4、例题和课堂练习-10-5、课堂小结及课后作业布置教学反思1.本节课采

用“创设情境----提出问题----探索尝试----启发引导----解决问题”的过程来实现教学目标。有利于知识产生、发展、解决这一认知过程的完整体现。2.在得到两角差的余弦公式后，使学生进一步体会代数思想的深刻性。通过对公式的认识，例题的讲解，变式的强化训练，可以加深学生对公式特征的

印象，及灵活应用公式解题的能力。3.这节课授课的对象是高一第二层次班级的学生，学生基础相对比较薄弱，反思整个教学过程，觉得还有很多地方存在不足，语言不够简练到位，为了营造课堂氛围的同时也浪费了一些时间.4.

今后要努力的方向：要善于引燃激情；语言要简练准确到位；做个有知识的老师.