【文档说明】广西省南宁市上林县中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试卷 含答案.doc，共(11)页，1.486 MB，由小赞的店铺上传

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-1-上林县中学2020年秋季学期高二年级期末考试理科数学考试时长：120分钟试卷共4页第I卷（选择题）一、单选题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．已知集合P={|14}xx，{|23}Qxx

=，则PQ=（）A．{|12}xxB．{|23}xxC．{|34}xxD．{|14}xx2.下列有关命题的说法错误的是（）A．若“pq”为假命题，则p与q均为假命题；B．“1x=”是“1x”的充分不必要条件；C．若命题2

00R0pxx：，，则命题2R0pxx：，；D．“1sin2x=”的必要不充分条件是“6x=”.3．若x，y满足约束条件03020yxyxy+−−，则2zxy=+的最大值是（）A．0B．2C．

3D．44．已知向量(1,2),m=−(4,)n=，其中R.若mn⊥，则||||nm=（）A．5B．2C．25D．25．己知等差数列{}na中，1714aa+=，则4a=（）A．7B．8C．14D．

166．执行如图所示的程序框图，若输入的3t=，则输出的i=()A．9B．31C．15D．637.当,22x−时，函数()sin3cosfxxx=+的（）A．最大值为1，最小值为-1B．最大值为1，最小值为12−-2-C．最大值为2，最小值为-2D．最大值为2，最小值为-

18．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点1F,2F在x轴上，离心率为12，点P为椭圆上一点，且12PFF的周长为18，则椭圆C的方程为（）A．221369xy+=B．2213627xy

+=C．22114436xy+=D．221144108xy+=9．已知点()(),0,0mnmn在直线340xy+−=上，则31mn+最小值为（）A．2B．4C．6D．1610．对于任意实数x，不等式()2220axaxa+−+恒成立，则实数a的取值范围是（）A．10

a−B．10a−C．10a−D．10a−11．定义在R上的奇函数()fx满足(2)()fxfx+=−，且在(0,1)上()3xfx=，则()3log54f=（）A．32B．23−C．23D．32−12．已知直线l：()yt

kxt−=−()2t与圆O：224xy+=有交点，若k的最大值和最小值分别是,Mm，则loglogttMm+的值为()A．1B．0C．1−D．222log4ttt−第II卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分共20分13．等比数列na中，11a=，且2436

aaa+=，则5a=________.14．函数()21cos(2)123fxx=−+的最小正周期为_______15．已知圆C的圆心坐标是(0,)m，半径长是.若直线230xy−+=与圆相切于点(2,1)A−−，则=_____16．若三棱锥S-ABC的所有顶点都

在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=23,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,则球O的表面积___________-3-三、解答题：本大题共70分，解答时要写出相应的文字说明17．(本题10分)设△ABC的内角A、B、C所对的

边分别为a、b、c，已知a=1，b=2，cosC=（1）求△ABC的周长；（2）求cos（A﹣C）的值．18．(本题12分)已知数列na的前n项和为nS，且na是nS与2的等差中项，数列nb，11b=，点()1,nnPbb+直线20xy−+=

上.（1）求1a值；（2）求数列,nnab的通项公式；（3）设nnncab=，求数列nc的前n项和nT.19.(本题12分)某校高一年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在)90,100的矩形面积为0.1

6.求：（1）分数在)50,60的学生人数；（2）这50名学生成绩的中位数(精确到0.01)；（3）若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率.-4-20.(本题12分)已知函数()()212cos1sin2cos4

2fxxxx=−+，求：（1）()fx的最小正周期及最大值；（2）若,2且()22f=，求的值；（3）若()210fxm−+=，在0,4x有两个不等的实数根，求m的取值范围.21．(本题12分)如图，在三棱锥SABC−中，ABC是边长为4

的正三角形，22SASC==，,OM分别为,ACAB的中点，且SOAB⊥.（1）证明：SO⊥平面ABC；（2）求二面角SCMA−−的余弦值；22．(本题12分)已知椭圆Γ：22221(0)xyabab+=的右焦

点坐标为(2,0)，且长轴长为短轴长的2倍，直线l交Γ椭圆于不同的两点M和N，（1）求椭圆Γ的方程；（2）若直线l经过点(0,4)P，且OMN的面积为22，求直线l的方程；（3）若直线l的方程为(0)ykxtk=+，点M关于x轴的对称点为M，直线M

N，MN分别与x轴相交于P､Q两点，求证：||||OPOQ为定值.-5-上林县中学2020年秋季学期高二年级期末考试理科数学参考答案1．选B2.选D.由题可知：6x=时，1sin2x=成立，所以满足充分条件，但1sin2x=时，6x不一定为，

所以必要条件不成立，故D错3．选B.根据不等式组，画出平面区域如下图所示：目标函数2zxy=+可整理为122zyx=−+与直线12yx=−平行.数形结合可知，当且仅当目标函数过点()()0,0,2,1OA时取得最小值和最大值.故0,224minmaxzz==+=.故选：D.4．选D

.依题意，(1,2)(4,)0−=，即420−=，解得2=，故(4,2)n=，则||16425,n=+=||2||nm=.故选：D.5．选A.174214aaa+==，47a=.故选A6．选B.执行程序框3,t=0i=；8,t=

1i=；23,t=3i=；68,t=7i=；203,t=15i=；608,t=31i=，满足606t，退出循环，因此输出31i=，故选:B.7．选D.()132sincos2sincoscossin2sin2233

3fxxxxxx=+=+=+Q，由于22x−，5636x−+，所以，当32x+=时，函数()yfx=取得最大值，即()max2sin22fx==

，当36x+=−时，函数()yfx=取得最小值，即()min12sin2162fx=−=−=−，故选D．8．选B.由题意可得221812acca+==，解得63ac=

=，又因为22236927bac=−=−=，所以椭圆的方程为：2213627xy+=，故选B.-6-9.选B.由点()(),0,0mnmn在直线340xy+−=上可得，34mn+=，0m，0n，则31311133(3)104

4nmmnmnmnmn+=++=++()110644+=，当且仅当33nmmn=且34mn+=即1mn==时取等号，故选：B.10．选C.解：1°当0a=时，20−成立2°当0a时，()22442880aaaaa=++=+，∴()810aa+，∴10a−

综上，实数a的取值范围是10a−故选：C.11．选D.由(2)()fxfx+=−得，()fx的周期为4，则()()3332log54log544log3fff=−=，又()fx为奇函数，所以333223lo

gloglog332fff=−−=−，因为33log2333log322f==，所以()33log542f=−.故选：D12．选B.直线l：()ytkxt−=−()2t即0kxyktt−−+=与圆O：224xy+=有交点，则221kttd

k−+=+，整理得到()22224240tktkt−−+−，当不等式取等号时，k对应最大值和最小值，此时22414tMmt−==−，故logloglog1o0lgttttMmMm+===.13．答案

：4.因为11a=，所以在等比数列中32422431116aaaaqaqaqqq+=+=+=所以22q=或-3（舍），故425124aaq===故答案为：414．答案：2.由题得()2221+cos(4)cos(4)51133cos(2)1=123224xxfxx−−

+=−++=所以函数的最小正周期为2=42.故答案为215．答案：5r=.可知11:1(2)22ACkACyx=−+=−+，把(0,)m代入得2m=−，此时||415rAC==+=.-7-16．答案：16π.如图所示，三棱锥SABC−的所有顶点都在球O的表面上，因为SA⊥平面

0,23,1,2,60ABCSAABACBAC====，所以014212cos603BC=+−=，所以090ABC=，所以ABC截球O所得的圆O的半径为112rAC==,所以球O的半径为22231()22R=+=，所以O的表面积为2416SR==.17．解：（Ⅰ）22212

cos14444cababC=+−=+−=2.c=ABC的周长为1225.abc++=++=（Ⅱ）221115cos,sin1cos1().444CCC==−=−=15sin154sin28aCAc===,acAC，故A为锐角，22157cos1sin1(

).88AA=−=−=71151511cos()coscossinsin.848816ACACAC−=+=+=18．解：（1）由22nnaS=+得：1122aS=+即1122aa=+解得12a=（2）由22nnSa=−，1122(2)nnSan−−=−，①-②1122nnnnna

SSaa−−=−=−12(2)nnana−=所以数列na是以2为首项，以2为公比的等比数列，则2nna=又由数列bn中，12b=，点()1,nnPbb+在直线20xy−+=上得1:20nnbb+−+=且11b=，所以：12(1)21nbnn=+−=−（2

）(21)2nnnncabn==−，数列{}nC的前n项和23412325272(21)2nTnn=+++++−-8-23451212325272(21)2nnTn+=+++++−()23411222222222(21)2nnnTn+−=+++

++−−可得：1(23)26nnTn+=−+19．解：（1）由所有的矩形面积和为1可得：分数在)50,60的频率为()10.040.20.30.240.160.06−++++=，故分数在)5

0,60的人数是500.063=人，（2）由0.040.060.20.3++=，0.040.060.20.30.6+++=，故中位数落在第四组，则中位数为0.50.3701076.670.3−+.（3）分数在)40,50的有2人，记为a，b

，在)50,60共有3人，记为c，d，e，从这5名学生任选2人的方法有：ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，共10种，两人来自不同组的有ac、ad、ae、bc、bd、be共6种，两人来自不同组的概率63105=.

20.解：（1）()1112cos2sin2cos4sin4cos4sin422224fxxxxxxx=+=+=+，所以，函数()fx的最小正周期为242T==，最大值为()max22fx=；（2）,2

，则9174444+，()22sin4242f=+=，可得sin414+=，5442+=，解得916=；（3）当0,4x时，54444x+，令44u

x=+，则544u.由()210fxm−+=可得()21mfx−=，即221sin2mu−=，即()221sinmu−=，所以，直线()221ym=−与曲线sinyu=在5,44u上的图象有两-9-个交点，如下图所示：由上

图可知，当()222112m−时，即当32244m+时，直线()221ym=−与曲线sinyu=在5,44u上的图象有两个交点，因此，实数m的取值范围是322,44+.21．（1）证明：取线段AC的中

点O，连接,OSOB.因为SASC=，BABC=，所以ACSO⊥且SO⊥AB，所以SO⊥平面ABC.（2）建立如图所示空间直角坐标系,则()()()()2,0,0,2,0,0,0,0,2,0,23,0ACSB−,()0,0,2OS=为平面ABC的一个法向量.由（1）得：()1,3,0M，()()3

,3,0,2,0,2CMCS==.设(),,nxyz=为平面SCM的一个法向量，则nCMnCS⊥⊥即·330·220nCMxynCSxz=+==+=取1x=，则3,1yz=−=−=(1,3,1)n−，所以·5cos,5nOSnOSnOS==

由图可知：二面角SCMA−−是锐角二面角，所以二面角SCMA−−的余弦值为55.22.解：（1）由题意得2ab=，224ab−=，解得22a=，2b=，所以椭圆Γ的方程为22184xy+=.（2）设点M，N的坐标为11(,)

Mxy､22(,)Nxy，由题意可知，直线l的斜率存在设直线l的方程为4ykx=+.由方程组224184ykxxy=++=，得22(12)16240kxkx+++=所以1221612kxxk+=−+，1222412xxk=+()221212122182234

2422212OMNkSxxxxxxk−=−=+−==+△-10-解得142k=.∴直线l的方程为1442yx=+（3）由题意知M点的坐标为11(,)Mxy−，将ykxt=+，代入22184xy+=得：222(

21)4280kxktxt+++−=，∴122421ktxxk+=−+，21222821txxk−=+12122()221tyykxxtk+=++=+对于直线ykxt=+，令0y=得txk=−∴||tOPk=−对于直线MN：212221()yy

yyxxxx+−=−−，令0y=得()()()221122112212212121yxxxkxtxkxtxyxyxxyyyyyy−−++++=+==+++()12122128kxxtxxkyyt++==−+，∴8||kOQt=−88tkktOPOQ−−==.

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