【文档说明】四川省成都市成华区某校2024-2025学年高二上学期10月测试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，940.110 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

数学试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2．解选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.解非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无

效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间四边形PABC中，PBABCA−−=（）A.APB.PCC.ABD.AC【答案】B【解析】【分析】根据向量的加减法则计算.【详解】

APBCPBBAACABPC−−=++=.故选：B.2.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%，现采用随机模拟的方式估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算机产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,

0表示不命中；再以三个随机数为一组，代表三次投篮结果，经随机模拟产生了如下12组随机数：137960197925271815952683829436730257，据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（）A14B.38C.512D.58【答案】A【解析】【分析】根据条件，

利用古典概率公式，即可求出结果.【详解】依题意在12组随机数中三次投篮恰有两次命中的有：137，271，436共3个，所以该运动员三次投篮恰有两次命中的概率31124P==.故选：A..3.如图，三个元件1T，2T，3T正常工作的概率分别为12，

14，34，将它们中某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，在如图的电路中，电路正常工作的概率是（）A.332B.316C.1316D.1332【答案】D【解析】【分析】由对立事件的概率性质可得2T，3T至少有一个正常工作的概率为1()PBC−，计算可得其

概率，由相互独立事件的概率乘法公式计算可得答案．【详解】记1T正常工作为事件A，2T正常工作为事件B，记3T正常工作为事件C，则()()()113,,244PAPBPC===；电路不发生故障，即1T正常工作且2T，3T至少有一个正常工作，2T、3T不发

生故障即2T，3T至少有一个正常工作的概率113131()1(1)(1)4416PPBC=−=−−−=，所以整个电路不发生故障的概率为()PPA=11131321632P==，故选：D4.四棱锥PABCD−中，PD⊥底面ABCD，底面AB

CD是矩形，则BP在向量AD上的投影向量为（）A.DAB.BCC.BDD.AP【答案】B【解析】【分析】过点B和点分别作直线的垂线，由垂足确定BP在向量AD上的投影向量.【详解】四棱锥PABCD−如图所示，底面ABCD是矩形，∴BAAD

⊥，PD⊥底面ABCD，AD底面ABCD，∴PDAD⊥，过向量BP的始点B作直线AD的垂线，垂足为点A，过向量BP的终点P作直线AD的垂线，垂足为点D，BP在向量AD上的投影向量为AD，由底面ABCD是矩形,ADBC=，故选：B5.抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下

随机事件：iC=“点数为i”，其中1,2,3,4,5,6i=；1D=“点数不大于2”，2D=“点数大于2”，3D=“点数大于4”下列结论是判断错误的是（）A.1C与2C互斥B.12DD=，12DD=C.32DDD.2C，3C为对立事件【答案】D【解析

】【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断AD，由事件的运算判断B，由事件间关系判断C.详解】由题意1C与2C不可能同时发生，它们互斥，A正确；1D中点数为1或2，2D中点数为3，4，5或6，因此它们的并是必然事件，但它们不可能同时发生，因此12DD为不可能事件，B正确

；3D发生时，2D一定发生，但2D发生时，3D可能不发生，因此32DD，C正确；2C与3C不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误；故选：D．6.甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解

出的概率为（）A.0.9B.0.8C.0.7D.0.6【答案】B【【解析】【分析】由题意，表示出该题未被解出的概率，然后列出方程，即可得到结果.【详解】设乙独立解出该题的概率为P，由题意可得()10.310.94P−−=，∴0.8P=．故选：B.7.一组数据：53，

57，45，61，79，49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x=（）．A.58或64B.58C.59或64D.59【答案】A【解析】【分析】先对数据从小到大排序，分57x，79x，5779x三种情况，舍去不合要求的情况，列出方程，求出答案,【详解】将已知的

6个数从小到大排序为45，49，53，57，61，79．若57x，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，他们的差为4，不符合条件；若79x，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，

不符合条件；若5779x，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为x和61（或61和x），则613x−=，解得58x=或64x=故选：A8.如图，平行六面体各棱长为1，且1160AABAADBAD===，动点P在该几何体内部，且

满足1(1)(,R)APxAByADxyAAxy=++−−，则||AP的最小值为（）A.64B.63C.62D.12【答案】B【解析】【分析】由平面向量共面定理可知：点P在平面1BDA内，则||AP的最小值即为点P到平面1BDA的距离，求出三棱锥1AABD−为正四面体，过点A作AH⊥平面1

BDA，求解AH即可得出答案.【详解】因为1(1)(,R)APxAByADxyAAxy=++−−，则()()111APAAxABAAyADAA−=−+−，即111APxAByAD=+，由平面向量共面定理可知：点P

在平面1BDA内，则||AP的最小值即为点P到平面1BDA的距离，连接11,,,BDDAAB因为平行六面体各棱长为1，且1160AABAADBAD===，所以111BDDAAB===，所以三棱锥1AABD−为正四面体，过点A作AH⊥平面1BDA，因为1AH平面1BDA

，所以AH⊥1AH，如图，所以2121233132323AH=−==，所以2221136133AHAAAH=−=−=，所以||AP的最小值为63AH=.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.若向量,,abc是空间的一个基底，向量,,mabnab=+=−那么可以与,mn构成空间的一组基底的向量是（）A.aB.bC.ac+D.c【答案】CD【解析】【分析】根据空间向量共面定理得到a与mn､是共面向

量，b与mn､是共面向量，AB错误；,mabnab=+=−与ac+不共面，与c不共面，CD正确.【详解】A选项，因为()()2mnababa+=++−=，故a与mn､是共面向量，不能构成一组基底，A错误；B选项，()()2mnababb−=+−−=，故b与mn､是共面向

量，不能构成一组基底，B错误C选项，由于向量,,abc是空间的一个基底，故,ab与c不共面，则,mabnab=+=−与ac+不共面，故可构成一组基底，C正确；D选项，由于向量,,abc是空间的一个基底，故,ab与c不共面，则,mabnab=+=−与

c不共面，故可构成一组基底，D正确.故选：CD10.若数据1210,,,xxx的平均数为3，方差为4，则下列说法正确的是（）A.数据121041,41,,41xxx+++的平均数为13B.数据12103,3,,3xxx的方差为12C.101

30iix==D.1021130iix==【答案】ACD【解析】【分析】由题意可得1011310iix==，()102113410iix=−=，利用平均数的性质可得A；利用方差的性质计算可得B：由1011310iix==即可得C；结合方差与平均数计算即

可得D.【详解】依题意，1011310iix==，()102113410iix=−=，对A：()1010111141410431131010iiiixx==+=+=+=，故A正确:对B：依

题意，10101111333391010iiiixx=====，所以数据12103,3,,3xxx的方差为：()()1010221111399394361010iiiixx==−=−==，故B错误；

对C：10130iix==，故C正确;对D：由()()101010102221111111369690101010iiiiiiiiixxxxx====−=−+=−+1021190410iix==−=，解得1021130iix==，故D正确.故选：ACD.

11.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)，收到0的概率为1−；发送1时，收到0的概率为(01)，收到1的概率为1−.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三

次传输是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A.采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为

2(1)(1)−−B.采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)−C.采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)−+−D.当00.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率【答案】ABD【解析

】【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，它们相互独立，所以所

求概率为2(1)(1)(1)(1)(1)−−−=−−，A正确；对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事

件的积，它们相互独立，所以所求概率为2(1)(1)(1)−−=−，B正确；对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为22323C(1)(1)(1)(12)

−+−=−+，C错误；对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率2(1)(12)P=−+，单次传输发送0，则译码为0的概率1P=−，而00.5，因此2(1)(12)(1)(1)(12)0

PP−=−+−−=−−，即PP，D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某

工厂生产甲、乙、丙3类产品共600件．已知甲、乙、丙3类产品数量之比为1:2:3．现要用分层抽样的方法从中抽取120件进行质量检测，则甲类产品抽取的件数为_______．【答案】20【解析】【分析】根据分层抽样的比例列式计

算，即得答案.【详解】设甲类产品抽取的件数为x，所以1,20120123xx==++，故答案为：2013.在三棱锥OABC−中，6OAOBOC===，3πAOBAOCBOC===，点M在OA上，2OMMA=，N为BC中点，则MN=___

__________．【答案】19【解析】【分析】将向量MN用向量,,OAOBOC表示出来，然后平方求解即可.【详解】由已知得211322MNMOONOAOBOC=+=−++，则22211322MNOAOBOC=−++

222411221944332OAOBOCOAOBOAOCOBOC=++−+−41121211136363666666619944323222=++−−+=，所以19MN=.故答案为：19.14.甲、乙、丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下

：（1）累计负两场者被淘汰；（2）比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；（3）每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；（4）当一人被淘汰后，剩余两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人

最终获胜，比赛结束.经抽签甲、乙首先比赛，丙首轮轮空.设每场比赛双方获胜概率都为12，则丙最终获胜的概率为________.【答案】716##0.4375【解析】【分析】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场

，比赛结束，将丙最终获胜的可能情况进行分类，分别求出各类事件发生的概率，再由互斥事件概率公式计算可得．【详解】根据赛制，最小比赛4场，最多比赛5场，比赛结束，注意丙轮空时，甲乙比赛结果对下面丙获胜概率没有影响（或者用1122+表示），若比赛4场，丙最终获胜，则丙3场全胜，概率为311()2

8=，若比赛5场，丙最终获胜，则从第二场开始的4场比赛按照丙的胜负轮空结果有三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为4331115()()()22216++=，所以丙获胜的概率为15781616+=．故答案为：7

16．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．15.（1）一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1，2，3，4，5，6．若从袋中每次随机抽取1个球，有放回地抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（2）已知ab⊥，c与a、b的夹角

都是60°，并且1a=，2b=，3c=．计算：2ab+与c夹角的余弦值【答案】（1）536；（2）51734．【解析】【分析】（1）利用列举法，列出试验的所有结果及要求概率的事件所含的结果，再利用古典概率求解作答；（2）结合数量积的运算律以及

数量积定义，分别求向量模及数量积，然后利用夹角的计算公式即可求得答案.【详解】（1）设先后两次从袋中取出球的编号为m，n，两次取球的结果为(),mn，即（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2

，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（

6，4），（6，5），（6，6），共36个结果.其中两球编号和为6的结果有（1，5），（5，1），（2，4），（4，2），（3，3），共5个.所以取出的两个球编号之和为6的概率为536P=．（2）由题意知ab⊥，c与a、b的夹角都是60o，并且1a=，2b=，3c=，故(

)152213cos60223cos602abcacbc+=+=+=，()2222222441417ababaabb+=+=++=+=，则()1525172cos2,341732abcabcabc++===

+.故2ab+与c夹角的余弦值为51734.16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，估计该地

区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；（2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；（3）已知落在[60,70)内的平均成绩为67，方差是9，落在)60,80内的平均成绩是73，方差

是29，求落在)70,80内的平均成绩和方差．【答案】（1）平均数为71，众数为75．（2）88（3）平均数为76，方差为12．【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点

，据此求解.（2）依题意可知题目所求是第90％分位数，先判断第90％分位数落在哪个区间再求解即可；（3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.【小问1详解】一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30

，0.25，0.05，平均数450.10550.15650.15750.30850.25950.0571=+++++=由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数

为75分.【小问2详解】前4组的频率之和为0.100.150.150.300.700.90+++=，前5组的频率之和为0.700.250.950.90+=，第90%分位数落在第5组，设为x，则()0.70800.0250.90x+−=，解得88x=．“防溺水达人”的成绩至少为88分．【

小问3详解】)60,70的频率为0.15，)70,80的频率为0.30，所以)60,70的频率与)60,80的频率之比为0.1510.150.303=+)70,80的频率与)60,80的频率之比为0.3020.150.303=+设)70,80内的平均成绩和方差分别为2x，22s，依题

意有212736733x=+，解得276x=，()()2222122996773767333s=+−++−，解得2212s=，所以)70,80内平均成绩为76，方差为12．17.溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安

全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为12，23，34，乙队每人回答正确的概率均为23，且

各人回答正确与否相互之间没有影响.（1）分别求乙队总得分为3分与1分的概率；（2）求甲队得分与乙队得分为1:2的概率.的【答案】（1）827，29（2）19【解析】【分析】（1）分析乙队总得分为3分与1分的答题情况，再此利用相互独立事件概率乘法公式即可得解；（2

）根据题意分析得甲乙两队的得分情况，再利用相互独立事件概率乘法公式即可得解.【小问1详解】记“队总得分为3分”为事件A，“乙队总得分为1分”为事件B.乙队得3分，即三人都回答正确，其概率328()327PA==乙队得

1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错，其概率2222()31339PB=−=.【小问2详解】依题意可知甲队总得分为1分，乙队总得分为2分，记“甲队总得分为1分”为事件C，“乙队总得分为2分”为事件D.事件C即甲队三人中

只有1人答对，其余2人答错，则1231231231()1111112342342344PC=−−+−−+−−=，事件D即乙

队三人中只有2人答对，剩余1人答错，则2224()31339PD=−=，则甲队得分与乙队得分为1:2的概率1()()9PPCPD==.18.如图，在三棱柱111ABCABC−中，底面ABC中角B为直角，11AAAB==，侧面11A

BBA⊥底面ABC..（1）求证：11ABAC⊥；（2）当12AB=，直线1AC与平面ABC所成角为30o时，（i）求证：平面ABC⊥平面11AACC；（ii）求二面角1BACA−−的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（i）证明见解析；（ii）63【解析】【分析】（1）先

求证⊥BC平面11ABBA，进而得1BCAB⊥，接着由11ABBA是菱形得11ABAB⊥，从而得1AB⊥平面1ABC，进而得证11ABAC⊥.（2）（i）求证1AA⊥平面ABC即可由面面垂直的判定定理得证平面11ACCA⊥平面ABC；（

ii）分别作BDAC⊥交AC于D，作1DEAC⊥交1AC于E，连接BE，进而得1AC⊥平面BDE，从而得BED是二面角1BACA−−的平面角，接着由等面积法求出BD和BE即可由sinBDBEDBE=得解.【小问1详解】因为90A

BC=，所以ABBC⊥，因为平面11ABBA⊥平面ABC，平面11ABBA平面ABCAB=，BC平面ABC，所以⊥BC平面11ABBA，因为1AB平面11ABBA，所以1BCAB⊥，由三棱柱性质得四边形11ABBA是平行四边形，又因为

1AAAB=，所以11ABBA是菱形，所以11ABAB⊥，因为11ABBCB=，1AB、BC平面1ABC，所以1AB⊥平面1ABC，因为1AC平面1ABC，所以11ABAC⊥.【小问2详解】（i）当12AB=时，因为11AAAB==，所以22211AAABAB+=，所以1AA

AB⊥，由（1）⊥BC平面11ABBA，1AA平面11ABBA，所以1AABC⊥，因为ABBCB=，AB、BC平面ABC，所以1AA⊥平面ABC，因为1AA平面11ACCA，所以平面11ACCA⊥平面ABC；（ii）因为1AA⊥平面ABC，AC平面A

BC，所以直线1AC与平面ABC所成的角为1ACA，所以130ACA=，因为11AAAB==，且12AB=，12AC=，3AC=，故2BC=，作BDAC⊥交AC于D，因为平面11ACCA⊥平面ABC，平面11ACCA平面ABCAC=，BD平面ABC，所以BD⊥平面1

1ACCA，又1AC平面11ACCA，所以1BDAC⊥，作1DEAC⊥交1AC于E，连接BE，因为BDDED=，BD、DE平面BDE，所以1AC⊥平面BDE，因为BE平面BDE，所以1ACBE⊥，所以BED是二面角1BACA−−的平面角

，因为ACBDABBC=即312BD=，所以63BD=，因为11ACBEABBC=即222BE=，所以1BE=，所以6sin3BDBEDBE==，所以二面角1BACA−−的正弦值为63.【点睛】思路点睛：本题在求

二面角1BACA−−时采用的方法是定义法，通过作BDAC⊥交AC于D和作1DEAC⊥交1AC于E，从而作出二面角1BACA−−的棱1AC的垂面，进而得到二面角1BACA−−的平面角BED，再由等面积法求出BD

和BE即可得解.19.将连续正整数1,2,3,,n（*nN）从小到大排列构成一个数123n，()Fn为这个数的位数．例如：当12n=时，此数为123456789101112，共有15个数字，则()1215F=．现从这个数

中随机取一个数字，()Pn为恰好取到0的概率．（1）求()101P；（2）当2024n时，求()Fn表达式；（3）令()fn为这个数中数字9的个数，()gn为这个数中数字0的个数，()()()hnfngn=−，()*1,100,Snhnnn==N，求当nS时()Pn

的最大值．【答案】（1）465（2）(),1929,10993108,10099941107,1002024nnnnFnnnnn−=−−（3）119【解析】【分析】（1）计算()101990232195F=++=，数字0的个数为

12，得到概率；（2）考虑19n≤≤，1099n，100999n，10002024n四种情况，依次计算得到答案；（3）考虑当()19,Nnbbb=时，()1019,09,N,Nnkbkbkb=+时，当100n=时三种情况，得到()

gn和()fn的解析式，得到9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S=，再计算概率的最值得到答案.【小问1详解】当101n=时，()101990232195F=++=，即这个数中共有195个数字，其中数字0的个数为12，则恰好取到0的概率为()124

10119565P==.【小问2详解】当19n≤≤时，这个数由n个1位数组成，()Fnn=；的当1099n时，这个数有9个1位数，9n−个两位数组成，则()29Fnn=−；当100999n时，这个数有9个1位数，90个两位数，99n−个

三位数组成，()3108Fnn=−；当10002024n时，这个数有9个1位数，90个两位数，900个三位数，999n−个四位数组成，()41107Fnn=−；综上所述：(),1929,10993108,1

0099941107,1002024nnnnFnnnnn−=−−.【小问3详解】当()19,Nnbbb=时，()0gn=，当()1019,09,N,Nnkbkbkb=+时，()gnk=，

当100n=时，()11gn=，即()0,19,10,19,09,N,N11,100ngnknkbkbkbn==+=，同理有()0,18,101,18,09,N,N80,899820,99,100nknkbkbkbfnnnn

=+−=−=，由()()()1hnfngn=−=，可知9,19,29,39,49,59,69,79,89,90n=，所以当100n时，9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S=，当9n=时，()90P=，当90

n=时，()919017119P==，当()10918,Nnkkk=+时，()()()29209gnkkPnFnnk===−+，由1912092020209kykk==−++关于k单调递增，故当()10918,Nnkkk=+时，()Pn有最大值为()889169P=，又81169

19，所以当nS时()Pn的最大值为119．【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，（2）要考虑19n≤≤，1099n，100999n，10002024n四种情况，依次计算；（3）考虑当()19,Nnbbb=时，当()10

19,09,N,Nnkbkbkb=+时，当100n=时三种情况，得到()gn和()fn的解析式，得到9,19,29,39,49,59,69,79,89,90S=，再讨论计算概率的最值，其中分类讨论的思想是解题的关键.