【文档说明】安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含答案.doc，共(11)页，877.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年度舒城中学高二数学（理科）期末考试卷（满分：150分考试时间：120分钟）一、单选题本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1.设a是实数，且1i1i2a+++是实数，

则a=（）A．12B．1C．32D．22.若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知0a且1a，如图所示的程序

框图的输出值)4,y+，则实数a的取值范围是（）A．(1,2B．1,12C．()1,2D．)2,+4．设m、n是两条不同的直线，是平面，m、n不在内，下列结论中错误的是（）A．m⊥，//n，则mn⊥B．m

⊥，n⊥，则//mnC．m⊥，mn⊥，则//nD．mn⊥，//n，则m⊥5.利用数学归纳法证明1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋12n<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是()．A．增加了12k＋1这一项B．增加了12k＋1和12k＋2

两项C．增加了12k＋1和12k＋2两项，同时减少了1k这一项D．以上都不对6.在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝()A.12a－14b＋14cB．a－12b＋12cC.12a＋14b＋14cD.14a＋12

b＋14c7．已知命题“xR，2410axx+−”是假命题，则实数a的取值范围是（）A．(),4−−B．(),4−C．)4,−+D．)4,+8．若双曲线()222210,0xyabab−=的离心率为3，则224ba+的最小值为（）A．233B．1C．33D．29．过

点()2,0−引直线l与曲线21yx=−交于A，B两点，O为坐标原点，当OAOB⊥值时，直线l的斜率等于（）.A．33B．33−C．33D．310．已知抛物线C：y2＝8x的焦为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|

AK|＝2|AF|，则△AFK的面积为()A．4B．8C．16D．3211．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E是1AA的中点，P为底面ABCD内一动点，设1,PDPE与底面ABCD所成的角分别为

1212,(,均不为0).若12=，则动点P的轨迹为（）A．直线的一部分B．圆的一部分C．椭圆的一部分D．抛物线的一部分12．已知椭圆22221(0)xyabab+=上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AFBF⊥，设ABF=，且,64

，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A．2,312−B．2,12C．23,22D．36,33二、填空题本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．某产品的广告投入x（万元）与销售额y（

万元）具有较强的线性相关性，该产品的广告投入x（万元）与相应的销售额y（万元）的几组对应数据如表所示：x1234y356a若根据表中数据得出y关于x的线性回归方程为20.75yx=+，则表中a的值为_______.14.ABCD为长方形，2=

AB1=BC,O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为_______.15.在双曲线x2a2－y2b2＝1上有一点P，F1，F2分别为该双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝90°，△F1P

F2的三条边长成等差数列，则双曲线的离心率是_______.16．在菱形ABCD中，3A=，43AB=，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，二面角PBDC−−的大小为23，则三棱锥PBCD−的外接球的表面积为_______.三、解答题本大题共6小题，共70分,解答应写出必要的文字说明、

证明过程及演算步骤17．(本题10分）新冠肺炎疫情期间，为确保“停课不停学”，各校精心组织了线上教学活动.开学后，某校采用分层抽样的方法从高中三个年级的学生中抽取一个容量为150的样本进行关于线上教学实施情况的问

卷调查.已知该校高一年级共有学生660人，高三年级共有540人，抽取的样本中高二年级有50人.下表是根据抽样调查情况得到的高二学生日睡眠时间(单位：h)的频率分布表.分组频数频率[6,6.5)50.1

0[6,5.7)xy[7,7.5)70.14[7.5,8)120.24[8,8.5)z0.20[8.5,9]80.16合计501（1）求该校高二学生的总数；（2）求频率分布表中实数,,xyz的值（3）已知日睡眠时间在区间[6,6.5

)内的5名高二学生中，有2名女生，3名男生，若从中任选3人进行面谈，求选中的3人恰好为两男一女的概率.18．(本题10分）已知经过圆2221:Cxyr+=上点00(,)xy的切线方程是200xxyyr+=.（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆

22222:1(0)xyCabab+=上一点00(,)xy的切线方程；（2）已知椭圆22:16xEy+=，P为直线3x=上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为A､B，求证：直线AB过定点.19.(本

题12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起使平面ADM⊥平面ABCM.(1)求证：BM⊥AD.；(2)求直线DC与平面DAB所成角的正弦值.20．(本题13分）已知抛物线2:2Cypx=过点()1,2A．

（1）求抛物线C的方程；（2）求过点()3,2P−的直线与抛物线C交于M、N两个不同的点(均与点A不重合)．设直线AM、AN的斜率分别为1k、2k，求证：12kk为定值.21.(本题12分）如图，在几何体

ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的菱形，DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，DE＝22，DE>BF，∠ABC＝120°.(1)当BF长为多少时，平面AEF⊥平面CEF?(2)在(1)的条件下，求二面角E－AC－F的余弦值.22．(本题13分）已知动点C是椭圆Ω

：)1(122=+ayax上的任意一点，AB是圆G：49)2(22=−+yx的一条直径(A，B是端点)，CA→·CB→的最大值是314.(1)求椭圆Ω的方程；(2)已知椭圆Ω的左、右焦点分别为点21,FF，过点2F且与x轴不垂直的直线l交椭圆Ω于P，Q两点.在线段2OF上是否存在点

M(m,0)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一．选择题BAADCCCDABBA二．填空题13.9，1441−，15.5，1611216.由题意可得如下示意图，设,ACBD交于E，则ACBD⊥，即,C

EBDPEBD⊥⊥所以PEC为二面角PBDC−−的平面角，即23PEC=，又PECEE=，所以BD⊥平面PCE，过P作PFAC⊥于F，,BDPFBDACE⊥=，所以PF⊥平面ABCD，若,'OO分别是面BDC的外接圆圆心、三棱锥PBCD−的外接球的球心，则OO⊥平面ABCD，所

以//OOPF，所以,,,'PFOO必共面且该面为球体的最大截面，连接,,,OOODODOP，有ODOPR==为外接球半径，ODr=为面BDC的外接圆半径，若设OOx=则：222xrR+=，

222()OFPFxR+−=，∵菱形ABCD中，3A=，2343,PABEC==，∴43PDDCPBBC====，6PEEC==，43BD=，且232BDED==，23ECOE==，sin333PFPE==，2

cos53OFOEEFPE=+=+=，∴222216rODOEED==+=，即221625(33)xx+=+−，解得23x=，∴228R=，所以三棱锥PBCD−的外接球的表面积2112R=，17.解：（1）设该校高二学生的总数为n，由题意50150

50660540n−=+，解得=600n，所以该校高二学生总数为600人.由题意0.2050z=，解得10z=，50(57128)8xz=−++++=，0.1650xy==.（2）记“选中的3人恰好为两男一女”

为事件A，记5名高二学生中女生为1a，2a，男生为1b，2b，3b，从中任选3人有以下情况：121,,aab；122,,aab；123,,aab；112,,abb；113,,abb；123,,abb；212,,abb；213,,abb

；223,,abb；123,,bbb，共10种情况，基本事件共有10个，它们是等可能的，事件A包含的基本事件有6个，分别为：112,,abb；113,,abb；123,,abb；212,,abb；213,,abb；223,,abb，故63()105PA==，所以选中的3人恰好为两

男一女的概率为35.18.（1）类比上述性质知：切线方程为00221xxyyab+=.（2）①设切点为1222(,),(,)AxyBxy，点(3,)Pt，由（1）的结论的AP直线方程：1116xxyy+=，BP直线方程：2216xxy

y+=，通过点(3,)Pt，∴有1122316316xytxyt+=+=，∴A，B满足方程：12xty+=，∴直线AB恒过点：1020xy−==，即直线AB恒过点(2,0).19（1）略（2）32

20（1）因为抛物线2:2Cypx=过点()1,2A，所以42p=，2p=，抛物线方程为24yx=.（2）设()11,Mxy，()22,Nxy，直线MN的方程为()23xty=++，联立()2234xtyy

x=++=，整理得248120ytyt−−−=，21632480tt=++，124yyt+=，12812yyt=−−，则1212122212122222111144yyyykkyyxx----???

----()1212161622481284yyyytt===-+++--++，故12kk为定值2−.21解(1)连接BD交AC于点O，则AC⊥BD.取EF的中点G，连接OG，则OG∥DE.∵DE⊥平面ABCD，∴OG⊥平面ABCD.∴O

G，AC，BD两两垂直.以AC，BD，OG所在直线分别作为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(如图)，设BF＝m(0<m<22)，由题意，易求A(3，0，0)，C(－3，0，0)，E(0，－1，22)，F(0，1，m).则AE→＝(－3，－1，22)，AF→＝(－3，1

，m)，CE→＝(3，－1，22)，CF→＝(3，1，m)，设平面AEF，平面CEF的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2).则n1·AE→＝0，n1·AF→＝0，∴－3x1－y1＋22z1＝0，－3x1＋y1＋mz1＝0，解得

z1＝23m＋22x1，y1＝26－3mm＋22x1.取x1＝m＋22，得n1＝(m＋22，26－3m，23).同理可求n2＝(m＋22，3m－26，－23).若平面AEF⊥平面CEF，则n1·n2＝0，∴(m＋22)2＋(3m－26)(26－3m)－12＝0，解得m＝2或m＝7

2(舍)，故当BF长为2时，平面AEF⊥平面CEF.(2)当m＝2时，AE→＝(－3，－1，22)，AC→＝(－23，0，0)，EF→＝(0，2，－2)，AF→＝(－3，1，2)，CF→＝(3，1，2)，则E

F→·AF→＝0，EF→·CF→＝0，所以EF⊥AF，EF⊥CF，且AF∩CF＝F，所以EF⊥平面AFC，所以平面AFC的一个法向量为EF→＝(0，2，－2).设平面AEC的一个法向量为n＝(x，y，z)，则n·AE→＝0，n·AC→＝0，∴－3x－y＋22z＝0，

x＝0，得y＝22z，x＝0.令z＝2，n＝(0，4，2).从而cos〈n，EF→〉＝n·EF→|n|·|EF→|＝663＝33.故所求的二面角E－AC－F的余弦值为33.22.解(1)设点C的坐标为(x，y)，则x2

a＋y2＝1，连接CG，由CA→＝CG→＋GA→，CB→＝CG→＋GB→＝CG→－GA→，又G(0,2)，可得CA→·CB→＝CG→2－GA→2＝x2＋(y－2)2－94＝a(1－y2)＋(y－2)2－94＝－(a－1)y2－4y＋a＋74，其中y∈[－1

,1]．因为a>1，故当y＝42(1－a)≤－1，即1<a≤3时，取y＝－1，得CA→·CB→有最大值－(a－1)＋4＋a＋74＝274，与条件矛盾；当y＝42(1－a)>－1，即a>3时，CA→·CB→的最大值是4(1－a)a＋74－

164(1－a)，由条件得4(1－a)a＋74－164(1－a)＝314，即a2－7a＋10＝0，解得a＝5或a＝2(舍去)．综上所述，椭圆Ω的方程是x25＋y2＝1.(2)设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，PQ的中点坐标为(x0，y0)，则满足x215＋y21＝

1，x225＋y22＝1，两式相减，整理得y2－y1x2－x1＝－x2＋x15(y2＋y1)＝－x05y0，从而直线PQ的方程为y－y0＝－x05y0(x－x0)，又右焦点F2的坐标是(2,0)，将点F2的坐标代入PQ的方程得

－y0＝－x05y0(2－x0)，因为直线l与x轴不垂直，故2x0－x20＝5y20>0，从而0<x0<2.假设在线段OF2上存在点M(m,0)(0<m<2)，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形，则线段PQ的垂直平分线必过点M，而线段PQ的垂直平分线方程是y－y0＝5y0

x0(x－x0)，将点M(m,0)代入得－y0＝5y0x0(m－x0)，得m＝45x0，从而m∈0，85.