【文档说明】内蒙古赤峰二中2024-2025学年高二上学期第一次月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(12)页，985.199 KB，由小赞的店铺上传

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2023级赤峰二中高二（上）月考数学出题人：郭桂玲审题人：周婷朱明瑛（本套试题共7页，19小题，考试时间：120分钟试卷满分：150分）一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的）1.已知m为实数，直线()()12:220,:5210lmxylxmy++−=+−+=，则“3m=−”是“1l∥2l”的A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.PM2.5是衡量空气质量的重要指标.如图是某地9月1日到10

日的PM2.5日均值（单位：3μg/m）的折线图，则下列说法错误的是（）A.这10天中PM2.5日均值的众数为333μg/mB.这10天中PM2.5日均值的中位数是332μg/mC.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D.这10天中PM2.5日均值前

4天的方差大于后4天的方差3.直线1xymn−=与()1xymnnm−=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A.B.C.D.4.在空间直角坐标系中，已知()()()1,0,1,1,1,1,2,2,1ABC−−，则点B到直线AC的距离为（）A.13B.33C.2

3D.15.我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面

有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调100人（用分层抽样的方法），则北面共有（）人.”A.7200B.8100C.2496D.23046.甲､乙两人各加工一个零件，若甲､乙加工的零件为一等品的概率分别是13和35，两个零件是否加工为一

等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A.512B.15C.815D.257.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知

ABC的顶点为()()()0,0,5,0,2,4ABC，则该三角形的欧拉线方程为（）A.1522yx=−+B.1126yx=+C.210yx=−+D.210yx=−8.在棱长为a的正方体1111ABCDABCD−中，,MN分别为111,BDBC的中点，点P在正方体

表面上运动，且满足,MPCN⊥则点P轨迹的长度是（）A.4aB.()33a+C.()35a+D.()25a+二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法

正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1B.数据27,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23C.已知一组数据1,2,,6,7m的平均数为4，则这组数

据的方差是5D.若样本数据1210,,,xxx的方差为4，则数据121021,21,,21xxx−−−的方差是1610.同时抛出两枚质地均匀的骰子甲､乙，记事件A：甲骰子点数为奇数，事件:B乙骰子点数为偶数，事件C：甲､乙骰子点数相

同.下列说法正确的有（）A.事件A与事件B对立B.事件A与事件B相互独立C.事件A与事件C相互独立D.()()PCPAB=11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点P是正方体的上底面1111ABCD内（不含边界）的动点，点Q是棱BC的中点，则以下命题正确的是（）

A.三棱锥QPCD−的体积是定值B.存在点P，使得PQ与1AA所成的角为60C.直线PQ与平面11AADD所成角的正弦值的取值范围为20,2D.若1PDPQ=，则P的轨迹的长度为354第II卷

（非选择题）三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.若向量()3,1a=−是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为__________.13.如图，三棱柱111ABCABC−中，底面边长和侧棱长都等于111,60BAACAA==，求异面直线1

AB与1BC所成角的余弦值为__________.14.甲､乙二人做掷骰子游戏，两人掷同一枚骰子各一次，则至少出现一个5点或6点的概率是__________；如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为__________.四

､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）15.某保险公司决定每月给推销员确定个具体的销售目标，对推销员实行目标管理.销售目标确定的适当与否，直接影响公司的经济效益和推销员的工作积极性，为此

，该公司当月随机抽取了50位推销员上个月的月销售额（单位：万元），绘制成如图所示的频率分布直方图.求：（1）根据图中数据，求出月销售额在)14,16小组内的频率，并根据直方图估计，月销售目标定为多少万元时，能够使70%的推销员完成任务.（2）该公

司决定从月销售额为[12,14]和[24,26]的两个小组中，选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组的概率.（3）第一组)12,14中推销员的销售金额的平均数为13，方差1.96，第七组)24,26中推销员的销售金额的平均数为25，方差3.

16，求这两组中所有推销员的销售金额的平均数，方差.16.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中π2C，已知cos2coscosbcAaBC−=.（1）求角B的大小；（2）若4c=，且ABC的面积为63，求ABC的周长.17.如图，在四棱锥PABCD−中，,

,2,22ABBCCDBCBCCDAB⊥⊥===，平面PBD⊥平面ABCD.（1）证明：AD⊥平面PBD；（2）若PBPD=，四棱锥PABCD−的体积为2，求二面角APBD−−的正弦值.18.在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（

1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名.观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名

歌手.（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X表示3号歌手得到观众甲､乙､丙的票数之和，求“2X”的事件概率.19.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，EF､分别是棱,A

BAD的中点，G为棱1DD上的动点.（1）是否存在一点G，使得1BC∥面EFG？若存在，指出点G位置，并证明你的结论，若不存在，说明理由；（2）若直线EF与平面CFG所成的角的正弦值为22，求三棱锥1GEBC−的体积；

（3）求三棱锥1BACG−的外接球半径的最小值.答案1-8BCBDACAD9.ABD10.BC11.ACD12.【答案】5π613【答案】6614.【答案】59；512【分析】设,MCBNCD==，可知()1tantanMCN=+，利用两角和差公式可得

223tan(32)mMCNm−=−，换元令11,1323tm=−，结合二次函数性质求最值.【详解】设,MCBNCD==，则1tan2,tan2MBDNnmCBCD−==−==，显然0,2,0,1mn，且()

()1112mn−−=，则())11,0,121nmm−=−，可得()()1211tan241mm−==−，因为()()π1tantan2tanMCN=−+=+()()()()2112411tantan231tantan(32)24

1mmmmmm−−−−−===+−−+−，令11,1323tm=−，则312tmt−=，可得()2233153tan2222tMCNtttt−=−=−+，因为()25322fttt=−+开口向下，对称轴为3110

3t=，可知()ft在1,13内单调递减，则()ft的最大值为1239f=，所以tanMCN的最大值为29.故答案为：29.15.【答案】（1）0.12,17万元（2）0.6（3）平均数17.8，方差37【解析】（1）月销售额在[14

,16）小组内的频率为()120.030.120.180.070.020.020.12−+++++=，若要使70%的推销员完成月销售额目标，则意味着30%的推销员不能完成月销售额目标，根据题图所示的频率分布直方图知，)12,14和)14,16两组的频率之和为0.18，)12,14和)

14,16及)16,18三组的频率之和为0.42，故估计月销售目标应定为0.12162170.24+=万元；【小问2详解】第一组3人记为123,,AAA，第七组2人12,BB，则选取2位推销员有()()()()()()()12131112232

122,,,,,,,,,,,,,AAAAABABAAABAB，()()()313212,,,,,ABABBB共10种情形，“选取2位推销员介绍销售经验，求选出的推销员来自不同小组”记为事件M，则事件M包含有()(

)()()()()111221223132,,,,,,,,,,,ABABABABABAB共6种情形，所以()60.610PM==；【小问3详解】第一组3人，第七组2人，则这两组中所有推销员的销售金额的平均数为31322517.85x+==，方差222321.96(1317.8)3.16(2

517.8)3755S=+−++−=.16.【答案】（1）π3B=；（2）1027+.【小问1详解】在ABC中，由cos2coscosbcAaBC−=及正弦定理得sinsincos2sincoscosBCAABC−=，而sinsin()sincoscossinB

ACACAC=+=+，则sincos2sincoscosACABC=，由π2C，得cos0C，sin0A，于是1cos2B=，又(0,π)B，所以π3B=.【小问2详解】由4c=，且ABC的面积为63，得1sin632acB=，即1346322a=，解得6a=，由余弦定理得2

212cos3616264272bacacB=+−=+−=，所以ABC的周长为64271027acb++=++=+.17.【详解】（1）如图，取AB中点F，连接FC与BD交于点O，22AB=，∴2BF=，∵ABBC⊥，CDBC⊥，2

BCCD==，∴四边形BCDF为正方形，∴FCBD⊥，∵平面PBD⊥平面ABCD且平面PBD平面ABCDBD=，FC平面ABCD，∴FC⊥平面PBD又∵AFDC=且AFDC∥，∴ADFC∥，∴AD⊥平面PBD（2）∵PBPD=，O为正方形中心，故ODOB=，∴POBD⊥，

又∵平面PBD⊥平面ABCD且平面PBD平面ABCDBD=，PO平面PBD，∴PO⊥平面ABCD123PABCDABCDVSPO−==梯形，()322322ABCDABCDBCS+===梯形∴2PO=如图，以O

为坐标原点，OF为x轴，OB为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系，2FBBC==，∴1ODFO==，∴2AD=则()2,1,0A−()0,1,0B()0,0,2P()0,1,0D−由（1）可知()1,0,0OF=

是平面PBD的一个法向量，设(),,nxyz=是平面PAB的一个法向量，则·0·0nABnAP==即2200220xyzxyz−++=−++=设1x=则112yz==，即11,1,2n=是平面PAB的一个法向量，设二面角APBD−−为，则·12cos33

·12OFnOFn===，∴25sin1cos3=−=18.【答案】（1）415；（2）1725.【详解】（1）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”则()()12242335CC23,QC3C5PAPB====事

件A与B相互独立,A与B相互独立则AB表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”()()()()()22413515PABPAPBPAPB==−==即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率是415（2）设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则()2435

C3C5PC==依题意，,,ABC相互独立，,,ABC相互独立，且,,,ABCABCABCABC彼此互斥()()()()23222313333235535535575PXPABCPABCPABC==++=++=()()()()()2331833181732233557

5757525PXPABCPXPXPX======+==+=故“2X”的事件的概率为172519.【答案】（1）存在点G为1DD的中点，证明见解析；（2）13；（3）424−【解析】（1）存在一点G，当点G为1DD的中点，使得1BC∥面EFG

，连接1AD，如图所示：点,FG分别是1,ADDD的中点，FG∥1AD，又QAB∥11DC，且11ABDC=，四边形11ABCD是平行四边形，1AD∥1,BCFG∥1BC，又1BC平面EFG，且FG平面1,EFGBC∥平面EFG.（2）以D点为坐标原点，分别以1,,DADCD

D所在直线为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，如图所示，连接11,,ACABBC，则()()()()()112,0,0,2,2,2,0,2,0,2,2,0,0,0,2ABCBD，()0,0,Gt面CFG的法向量()22,1,,1,1,0EFt=−−.解得1

11,3GBECtV−==（3）11(0,2,2),(2,2,0),(2,2,2),ABACBD==−=−−因为111440,440,ABBDACBD=−+==−=所以111,ABBDACBD⊥⊥即111,ABBDACBD⊥⊥因为1AB平面1,ABCAC平面1ABC，所以1B

D⊥平面1ABC，又因为1BABBBC==，所以三棱锥1BACG−的外接球的球心在1BD上，设外接球球心为1O，设()112,2,2,0,1BOBD==−−，则1O的坐标为()22,22,2−−，设()()0,0,0

,2Gmm，则11OGOA=，即222222(22)(22)(2)(2)(22)(2)m−+−+−=−+−+，所以2484mm+=+，设848,16mt+=，则84tm−=，则22841664

648411616ttttttt−+−++===+−，而88121211616tttt+−−=−，当且仅当816tt=，即82t=时，等号成立，因为8,16t，所以121,2−，三棱锥1BACG−的外接球的半径22222118(2)(22)(2)12841

233rOA==−+−+=−+=−+，因为121,2−，所以2181248322,333−+−，所以424,3r−，三棱锥1BACG−的外接球半径的最小值为424−.备

选9.某中学高二学生500人，首选科目为物理的300人，首选科目为历史的200人，现对高二年级全体学生进行数学学科质量检测，按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到首选科目为物理的学生该次质量检测的数学平均成绩为95分，方差为154，首

选科目为历史的平均成绩为75分，所有样本的标准差为16，下列说法中正确的是（）A.首选科目为历史的学生样本容量为20B.所有样本的均值为87分C.每个首选科目为历史的学生被抽入到样本的概率为25D.首选科目为历史的学生的成绩的标准差为13【答案】ABD18.（17分）（2023高二山东

青岛学业考试）如图，在四棱锥PABCD−中，平面ABCD⊥平面,PADAD∥,1,2,30,90,BCABBCPAADADPBADE======是PD的中点.（1）求证：PDPB⊥；（2）若点M在线段P

C上，异面直线BM和CE所成角的余弦值为105，求面MAB与面PCD夹角的余弦值.7.根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数.算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的

排列方式来表示数字，如图所示.如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为（）A.89B.6481C.1781D.197.甲､乙两人各加工一个零件，若甲､乙加工的零件为一等品的概率分别是13和35，两个零件

是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（）A.512B.15C.815D.25【答案】C8.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是12，且是互相独立的，灯亮的概率为（）A.316B.34C.1316D.14【答案】C