【文档说明】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高二上学期10月月考试题+数学+含解析.docx，共(25)页，1.438 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-ba0d6562f64df774684219590956c6a7.html

以下为本文档部分文字说明：

2022级高二学年上学期10月份月考数学试卷考试时间：120分钟分值：150分一、单选题（每小题5分，有且只有一个正确选项）1.过点()1,4A的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A.30xy−+=

B.50xy+−=C.40xy−=或50xy+−=D.40xy−=或30xy−+=2.直线l经过2(2,1),(1,)(R)ABmm两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（）A.[0,π)B.π0,4∪3π,

π4C.π0,4D.ππ0,,π423.设椭圆221:15xCy+=，()2222:1039xyCbb+=的离心率分别为1e，2e，若2156ee=，则b=（）A

.1B.2C.2D.34.“lg0m”是“方程()2211mxym−+=−表示椭圆”的（）A充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知双曲线2222100xyabab−=（，）的左焦点为1FO，为坐标原点，右焦点为()2

2,0F，点P为双曲线右支上的一点，且122122FFPFPFF=，的周长为10M，为线段2PF的中点，则OM=（）A.1B.2C.3D.46.已知1F，2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF=的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值

范围是（）A1(0,)2B.2(0,)2C.1(,1)2D.2(,1)2..7.已知点()(),0Mxyx满足方程2222(1)(1)4xyxy++++−=，点()()0,2,0,2AB−．若MA斜率为1,kMB

斜率为2k，则12kk的值为（）A.43−B.34−C.12−D.2−8.已知10xy++=，则()22222222+−−++−+xyxyxy的最小值为（）A.5B.22C.10D.25二、多选题（每小题5分，有错

误选项得0分，选项不全得2分）9.下列结论不正确的是（）．A.过点()1,3A，()3,1B−的直线的倾斜角为30B.直线()()34330mxymm++−+=R恒过定点()3,3−−C.直线240xy+−=与直线2410xy++=之间的距离是52D.已知()2,3A，()1,

1B−，点P在x轴上，则PAPB+的最小值是510.设有一组圆()()()224：kCxkykk−+−=R，下列命题正确的是（）A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆kC均不经过点()3,0C.经过点()2,2的圆kC有且只有一个D.所有圆的面积均为411.

设曲线C方程为22xyxy+=+，下列选项中正确的有（）A.由曲线C围成的封闭图形的面积为2π+B.满足曲线C的方程的整点（横纵坐标均为整数的点）有5个C.若M，N是曲线上的任意两点，则M，N两点间的距离最大值为22D.若P是曲线C上的任意一点，直线l：()()110mxny−+−=，则

点P到直线l的距离最大值为2212.已知椭圆C：22219xyb+=（0b），1F，2F分别为其左、右焦点，椭圆C的离心率为e，点M在椭圆上，点()2,2N在椭圆内部，则以下说法正确的是（）的A.离心率e的取值范围为150,5B.不存在点M，使得120MFM

F+=C.当12e=时，1MFMN+的最大值为152D.1211MFMF+最小值为1三、填空题（每小题5分）13.已知点A（1，2）在圆C：22220xymxy++−+=外，则实数m的取值范围为________.14.与椭圆221123xy+=有公共焦点，且

离心率为32的双曲线方程为______．15.设点(),Pxy是圆：22(3)4xy−+=上的动点，定点()()0,2,0,2AB−，则PAPB+的最大值为____．16.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B距离之比为定值（0

且1）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，()2,0A−、()2,0B，点P满足3PAPB=，则PAPB的最小值为___________.四、解答题（共6道，满分70分，10+12+12+12+12+12）

17.（1）求两条平行直线1:1250lxym−+=与2:125130lxym−++=间的距离；（2）若直线0axy+=与直线2420axaya−+−=垂直，求a的值.18.直线l过点4,23P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.（1）若7OA

OB+=，求直线l的方程；（2）当AOB的面积为6时，求直线l的方程.19.在平面直角坐标系xOy中，已知圆221:1214600Oxyxy++−+=.设圆2O与x轴相切，与圆1O外切，且圆心2O在直线6x=−上.（1）求圆2O的标准方程；（2）设垂直于2OO的直线l与圆1O相交于

B，C两点，且37BC=，求直线l的方程.的的20.党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上

方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB为16米，洞门最高处距路面4米.（1）建立适当的平面直角坐标系，

求圆弧AB的方程.（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.21.已知椭圆2222Γ:1(0)xyabab+=左右焦点分别为12FF、，离心

率为32．斜率为(0)kk的直线l（不过原点）交椭圆于两点AB、，当直线l过1F时，2AFB周长为8．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设OAOB、斜率分别为12kk、，且12kkk、、依次成等比数列，求k的

值，并求当AOB面积为74时，直线l的方程．22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点(0,3)，且离心率为12.（1）求椭圆C的标准方程；（2）过动点(1,)Pt作直线交椭圆C于,AB两点，且PAPB=，过P作直线l，使l与直线AB

垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．2022级高二学年上学期10月份月考数学试卷考试时间：120分钟分值：150分一、单选题（每小题5分，有且只有一个正确选项）1.过点()1,4A的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（）A.30xy−+=B.50x

y+−=C.40xy−=或50xy+−=D.40xy−=或30xy−+=【答案】D【解析】【分析】可以分截距都为零和截距不为零两种情况进行考虑，截距为零，直线过原点，求出方程即可，截距部位零，利用截距式，设出方程求解即可；也可以设出方程，求出截距，进行计算

即可.【详解】解法一当直线过原点时，满足题意，此时直线方程为4yx=，即40xy−=；当直线不过原点时，设直线方程为()10xyaaa+=−，因为直线过点()1,4A，所以141aa−=，解得3a=−，此时直线方程为30xy−+=.故选：D.解法二易知直线斜率不存在或直线斜率为0时不符

合题意.设直线方程为()()410ykxk−=−，则0x=时，4yk=−，0y=时，41xk=−，由题意知4140kk−+−=，解得4k=或1k=，即直线方程为4yx=或30xy−+=.故选：D.2.直线l经过

2(2,1),(1,)(R)ABmm两点，那么直线l的倾斜角的取值范围为（）A.[0,π)B.π0,4∪3π,π4C.π0,4D.ππ0,,π42

【答案】D【解析】【分析】根据题意先求出直线的斜率，再由斜率与倾斜角可求得答案.【详解】直线l的斜率221121mkm−==−−，因为Rm，所以(,1]k−，设直线l的倾斜角为，则tan1，因为[0,π)，所以π04或ππ2

，所以直线l的倾斜角的取值范围是ππ0,,π42故选：D.3.设椭圆221:15xCy+=，()2222:1039xyCbb+=的离心率分别为1e，2e，若2156ee=，则b=（）A.1B.2C.2D.3【答案】B【解析】【分析】根据离心

率的关系列方程，从而求得b.【详解】对于椭圆()222210xyabab+=，有2222221ccabbeaaaa−====−.因为2156ee=，所以25111965b−=−，解得2b=．故选：B4.

“lg0m”是“方程()2211mxym−+=−表示椭圆”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】lg0m等价于1m.若2m=，则方程()2211m

xym−+=−表示单位圆若方程()2211mxym−+=−表示椭圆，则椭圆方程可化为2211yxm+=−，则1m且2m.故“lg0m”是“方程()2211mxym−+=−表示椭圆”的必要不充分条

件.故选：B.5.已知双曲线2222100xyabab−=（，）的左焦点为1FO，为坐标原点，右焦点为()22,0F，点P为双曲线右支上的一点，且122122FFPFPFF=，的周长为10M，为线段2PF的中点，则OM=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】

根据右焦点为()22,0F，得到124FF=，进而得到22PF=，再根据12PFF的周长为10，得到14PF=，然后利用三角形中位线求解.【详解】解：因为右焦点为()22,0F，所以124FF=，又因为1222FFPF=，则22PF=，又

因为121210FFPFPF++=，则14PF=，所以O为坐标原点，且M为线段2PF的中点，所以1122OMPF==，故选：B6.已知1F，2F是椭圆的两个焦点，满足120MFMF=的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是.（）A.1(0,)2B.2

(0,)2C.1(,1)2D.2(,1)2【答案】B【解析】【分析】依题意得点M的轨迹是以焦距为直径的圆,因此cb,进而可求出离心率的取值范围.【详解】因为120MFMF=,所以点M的轨迹是以焦距为直径的圆,又满足120MFMF

=的点总在椭圆内部,∴2222212022cbcbacee=−,故选:B【点睛】本题主要考查椭圆离心率的求法,结合了向量,轨迹等相关知识,难度不大.7.已知点()(),0Mxyx满足方程2222(1)(1)4xyxy++++−

=，点()()0,2,0,2AB−．若MA斜率为1,kMB斜率为2k，则12kk的值为（）A.43−B.34−C.12−D.2−【答案】A【解析】【分析】设()()120101FF−,,,，根据题意分析可知点M在以12,FF为焦

点的椭圆上，结合椭圆方程运算求解.【详解】设()()120101FF−,,,，则2222(1)(1)4xyxy++++−=，可得12124MFMFFF+=，即点M在以12,FF为焦点椭圆上，且2222,1,3acbac===−=，所以点M的轨迹为()221034xyx+=，整理得()2

2344xy=−，由题意可知：1222,yykkxx+−==，.的所以()221222224443344yyyykkxxxy+−−−====−−.故选：A.8.已知10xy++=，则()22222222+−−++−+xyxyxy的最小值为（）A.5B.22C.10D.25

【答案】D【解析】【分析】先对所求式子配方整理，把问题转化为，求直线上一点，到直线同侧的两点间的距离之和的最小值，就是将军饮马求最值问题，先对其中一点作关于直线的对称点，进一步把问题转化为，求两点间的距离，求解即可.【详解】()()()()222222222222112xyxyxyxyxy+−

−++−+=−+−+−+该式子是表示点(),xy到点()1,1、点()20,的距离之和，又10xy++=，上述式子表示直线10xy++=上的点(),xy到点()1,1A、点()2,0B的距离之和的最小值（如图）.设点()1,1A关于

直线10xy++=的对称点为(),Cab，则有111111022baab−=−++++=，解得22ab=−=−，即()2,2C−−，所以()()22220225BC=+++=，所以直线10xy++=上的点(),xy到点()1,1A、点()2,0B的距离之和的最小值

为25BC=.故选：D.二、多选题（每小题5分，有错误选项得0分，选项不全得2分）9.下列结论不正确的是（）．A.过点()1,3A，()3,1B−的直线的倾斜角为30B.直线()()34330mxymm++−+=R恒过

定点()3,3−−C.直线240xy+−=与直线2410xy++=之间的距离是52D.已知()2,3A，()1,1B−，点P在x轴上，则PAPB+的最小值是5【答案】ABC【解析】【分析】A选项，求出过点()1,3A，()3,

1B−的直线的斜率，进而得到倾斜角不为30；B选项，变形后得到方程组，求出恒过点()3,3−；C选项，直线240xy+−=变形为2480xy+−=，利用两平行线间距离公式求出答案；D选项，在坐标系中画出点的坐标，利用对

称性求出PAPB+的最小值.【详解】A选项，过点()1,3A，()3,1B−的直线的斜率为()311132−=−−，设直线倾斜角为，则1tan2=，由于3tan303=，故过点()1,3A，()3

,1B−的直线的倾斜角不为30，A错误；B选项，直线()()34330mxymm++−+=R变形得到()()34330xyxmm+−++=R，令343030xyx+−=+=，解得33xy=−=，故直线()()34330mxymm++−

+=R恒过点()3,3−，B错误；C选项，直线240xy+−=变形为2480xy+−=，故与直线2410xy++=之间的距离是()2218995102524−−==+，故C错误；D选项，在平面直角坐标系中画出()2,3A，()1,1B−，

两点都在x轴上方，画出()1,1B−关于x轴的对称点()1,1D−−，连接AD，与x轴交于点P，则AD即为PAPB+最小值，则()()()22min12135PAPB+=−−+−−=，D正确.故选：ABC10.设有一组圆()()()224：kCxkykk−

+−=R，下列命题正确的是（）A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上B.所有圆kC均不经过点()3,0C.经过点()2,2的圆kC有且只有一个D.所有圆的面积均为4【答案】AB【解析】【分析】对于AD：由题意可知：圆()()()224：kCxkykk−+−=R，的圆心(),

Ckk，半径2r=，进而分析判断；对于CD：分别将点()3,0，()2,2代入方程，通过解的个数分析判断.【详解】由题意可知：圆()()()224：kCxkykk−+−=R的圆心(),Ckk，半径2r=.对于选项A：

不论k如何变化，圆心(),Ckk始终在直线yx=上，故A正确；对于选项B：令()()22304kk−+−=，整理得22650kk−+=，因为()2642540=−−=−，可知方程无解，所以所有圆kC

均不经过点()3,0，故B正确；对于选项C：令()()22224kk−+−=，整理得2420kk−+=，的因为()2Δ441280=−−=，可知方程有两个不同的解，所以经过点()2,2的圆kC有且只有两个，故C错

误；对于选项D：因为半径2r=，所以所有圆的面积均为2π24π=，故D错误；故答案为：AB.11.设曲线C的方程为22xyxy+=+，下列选项中正确的有（）A.由曲线C围成的封闭图形的面积为2π+B.满足曲线C的方程的

整点（横纵坐标均为整数的点）有5个C.若M，N是曲线上的任意两点，则M，N两点间的距离最大值为22D.若P是曲线C上的任意一点，直线l：()()110mxny−+−=，则点P到直线l的距离最大值为22【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，作出曲线C的图象，再数

形结合依次讨论各选项求解即可．【详解】对于曲线C，当0x，0y时，曲线C表示22xyxy+=+，即22111()()222xy−+−=，表示以11,22为圆心，半径为22的圆在第一象限的部分；当0x，0y时，曲线C表示22xyxy+=−，即22111(

)()222xy−++=，表示以11,22−为圆心，半径为22的圆在第四象限的部分；当0x，0y时，曲线C表示22xyxy+=−+，即22111()()222xy++−=，表示以11,22−为圆心，半径为

22的圆在第二象限的部分；当0x，0y时，曲线C表示22xyxy+=−−，即22111()()222xy+++=，表示以11,22−−为圆心，半径为22的圆在第三象限的部分；当0xy==时，曲线(0,0)C表示坐标原点；即其图象如图所示，由图可

知，对于A，曲线C围成的图形的面积为4个半圆与1个正方形的面积之和，其面积为21214π222π222+=+，故A正确；对于B，曲线C恰好经过(0,0)，(1,0)，(1,0)−，(0,1)，(0,1)−，(1

,1)，(1,1)−−，(1,1)−，(1,1)−共9个整点，故B不正确；对于C，曲线上两点之间最大距离为22AB=，故C正确；对于D，由直线:(1)(1)0lmxny−+−=恒过定点(1,1)，由C知曲线上两点之间最大距离为22AB=，故D正确．故选：A

CD．12.已知椭圆C：22219xyb+=（0b），1F，2F分别为其左、右焦点，椭圆C的离心率为e，点M在椭圆上，点()2,2N在椭圆内部，则以下说法正确的是（）A.离心率e的取值范围为150,5B.不存在点M，使得120MFMF+=C.当12e

=时，1MFMN+的最大值为152D.1211MFMF+的最小值为1【答案】ABC【解析】【分析】A：根据点()2,2N在椭圆内部可得24219b+，从而可得2b的取值范围，从而可求离心率的取值范围；B：根据相反向量的概念即可求解；C：求出c和2F，利用椭圆定义将1MF化为2MF

，数形结合即可得到答案；D：利用122MFMFa+=可得()2112121212111111222MFMFMFMFMFMMaFaMFMFFMF+=++=++，利用基本不等式即可求解.【详解】对于A，由已知可得，24219b+，所

以2185b，则2222315155ccbeaaa===−=，故A正确；对于B，由120MFMF+=可知，点M为原点，显然原点不在椭圆上，故B正确；对于C，由已知12cea==，3a=，所以32c=，23,02F

．又()2,2N，则()2223320222NF=−+−=．根据椭圆的定义可得1226MFMFa+==，所以126MFMNMFMN+=−+，由图可知，222NFMNMFNF−−，所以126MFMNMFMN+=−+21562NF+=当且仅当M，

N，2F三点共线时，取得等号．故1MFMN+的最大值为152，故C正确；对于D，因为126MFMF+=，所以()2112121212111111266MFMFMFMFMFMFMFMFMFMF+=

++=++2112122263MFMFMFMF+=，当且仅当2112MFMFMFMF=，即123MFMF==时，等号成立．所以，1211MFMF+的最小值为23，故D错误．故选：ABC【点睛】本题考

查点和椭圆为位置关系，考查椭圆定义和基本不等式在计算最值问题里面的应用.三、填空题（每小题5分）13.已知点A（1，2）在圆C：22220xymxy++−+=外，则实数m的取值范围为________.【答案】()()3,22,−−+【解析】【分析】由22220xymxy++−

+=表示圆可得22(2)420m+−−，点A（1，2）在圆C外可得22122220m++−+，求解即可.【详解】由题意，22220xymxy++−+=表示圆，故22(2)420m+−−，即>2m或2m−，点A（1，2）在圆C：

22220xymxy++−+=外，故22122220m++−+，即3m−故实数m的取值范围为>2m或32m−−，故答案为：()()3,22,−−+.14.与椭圆221123xy+=有公共焦点，且

离心率为32的双曲线方程为______．【答案】22145xy−=【解析】【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出c的值，再由双曲线的离心率得出a，进而可得双曲线的标准方程．【详解】由椭圆方程221123xy+=，可得焦点为()(

)3,0,3,0−设双曲线的半焦距为c，则3c=，因双曲线的离心率为32，则332ceaa===故2a=，所以225bca=−=，所以双曲线的标准方程为：22145xy−=故答案为：22145xy−=15.设点(),Pxy是圆：22(3)4xy−+=上的动点，定点(

)()0,2,0,2AB−，则PAPB+的最大值为____．【答案】10【解析】【分析】求出PAPB+的坐标，表示出其模，根据P在圆上用x替换y，根据x的范围即可求出最大值.【详解】由题意知，()(),2,,2P

AxyPBxy=−−=−−−，所以()2,2PAPBxy+=−−，由于点(),Pxy是圆上的点,故其坐标满足方程()2234xy−+=，故22(3)4yx=−−+，所以2244265PAPBxyx+=+=−.由

圆的方程22(3)4xy−+=，易知15x，所以当5x=时，PAPB+的值最大，最大值为265510−=.故答案为：1016.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（0且1

）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系xOy中，()2,0A−、()2,0B，点P满足3PAPB=，则PAPB的最小值为___________.【答案】3−【解析】【分析】设

点(),Pxy，利用已知条件求出点P的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出24PAPBPO=−，求出PO的最小值，即可得出PAPB的最小值.【详解】设点(),Pxy，由3PAPB=可得()()2222232xyxy++

=−+，整理可得22540xyx+−+=，化为标准方程可得225924xy−+=，因为O为AB的中点，所以，()()()()22PAPBPOOAPOOBPOOAPOOAPOOA=++=+

−=−24PO=−，记圆心为5,02M，当点P为线段OM与圆225924xy−+=的交点时，PO取最小值，此时，53122PO=−=，所以，24143PAPBPO=−−=−.

故答案为：3−.四、解答题（共6道，满分70分，10+12+12+12+12+12）17.（1）求两条平行直线1:1250lxym−+=与2:125130lxym−++=间的距离；（2）若直线0axy+=与直线2420axay

a−+−=垂直，求a的值.【答案】（1）1;（2）2a=【解析】【分析】（1）利用两平行直线间的距离公式直接求解；（2）根据两直线垂直的性质即可.【详解】（1）根据平行线间的距离公式1222CCdAB−=+,得22131125mmd−

−==+.（2）由题意可知0a，因为两直线垂直，所以2240aa−=，解得2a=或0a=（舍去），经检验2a=时，两直线垂直，满足题意.18.直线l过点4,23P，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点.（1）若7

OAOB+=，求直线l的方程；（2）当AOB的面积为6时，求直线l的方程.【答案】（1）34120xy+−=或63140xy+−=（2）34120xy+−=或360xy+−=【解析】【分析】（1）设直线的截距式，由题意列出方程组，求出截距即可得解；（2）利用截距表示出三角形

面积，再联立方程求出截距，即可得解.【小问1详解】设直线l的方程为1xyab+=（0a，0b），（直线l与坐标轴的交点位于正半轴）由题意知，7ab+=①.因为直线l过点4,23P，所以4213

ab+=②.联立①②，解得43ab==或73143ab==，所以直线l的方程为34120xy+−=或63140xy+−=.【小问2详解】由题意知，162ab=即12ab=③，联立②③，解得43ab==或2

6ab==，所以直线l的方程为34120xy+−=或360xy+−=.19.在平面直角坐标系xOy中，已知圆221:1214600Oxyxy++−+=.设圆2O与x轴相切，与圆1O外切，且圆心2O在直线6x=−上.（1）求圆2O的标准方程；（2）设垂直于2OO的直线l

与圆1O相交于B，C两点，且37BC=，求直线l的方程.【答案】（1）()()22611xy++−=（2）12362yx=+或4962yx=+．【解析】【分析】（1）由题意求出圆1O，圆2O的圆心和半径，由两圆外切，可得75nn−=+，即可求出答案.（2

）由37BC=，可求出圆心O1到直线l的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即可.【小问1详解】圆1O：221214600xyxy++−+=，则圆1O的标准方程为()()226725xy++−=，即圆1O的圆心坐标为()6,7−，半径为5，因为圆2O与x轴相切

，与圆O1外切，则圆心2O()6,n−，0n，则圆2O的半径为n，则75nn−=+，解得1n=，即圆2O的标准方程为()()22611xy++−=；【小问2详解】由（1）知O2（﹣6，1），则216

OOk=−，所以直线l的斜率为6，设直线l的方程为6yxm=+，因为37BC=，则圆心O1到直线l的距离237372522d=−=，所以667372361m−−+=+，解得1232m=或492m=，所以直线l的

方程为12362yx=+或4962yx=+．20.党的二十大报告提出要加快建设交通强国.在我国960万平方千米的大地之下拥有超过35000座，总长接近赤道长度的隧道（约37000千米）.这些隧道样式多种多样，它们或傍山而过，上方构筑顶棚形成“明洞”﹔或挂于峭

壁，每隔一段开出“天窗”形成挂壁公路.但是更多时候它们都隐伏于山体之中，只露出窄窄的出入口洞门、佛山某学生学过圆的知识后受此启发，为山体隧道设计了一个圆弧形洞门样式，如图所示，路宽AB为16米，洞门最高处距路面4米.（1）建立适当的平面直角坐标

系，求圆弧AB的方程.（2）为使双向行驶的车辆更加安全，该同学进一步优化了设计方案，在路中间建立了2米宽的隔墙.某货车装满货物后整体呈长方体状，宽2米，高3.6米，则此货车能否通过该洞门?并说明理由.【答案】（1）()()22610004xyy++=

（2）不能，理由见解析【解析】【分析】（1）以点D为坐标原点，AB、DC所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系，分析可知圆心在y轴上，设圆心坐标为()0,b，设圆的半径为r，将点B、C的坐标代入圆的方程，求出b、r的值，结合图形

可得出圆弧AB的方程；（2）求出货车右侧的最高点的坐标，代入圆弧AB的方程，可得出结论.【小问1详解】解：以点D为坐标原点，AB、DC所在直线分别为x、y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,4C、()8,0B，由圆的对称性

可知，圆心在y轴上，设圆心坐标为()0,b，设圆的半径为r，则圆弧AB所在圆的方程为()222xybr+−=，因为点C、B在圆上，则()()222220480brbr+−=+−=，解得6b=−，10r=。所以，圆弧AB所在圆的方程为()226100xy++=，因此，圆

弧AB的方程为()()22610004xyy++=.【小问2详解】解：此火车不能通过该路口，由题意可知，隔墙在y轴右侧1米，车宽2米，车高3.6米，所以货车右侧的最高点的坐标为()3,3.6，因为()2233.66100++，因此，该货车不

能通过该路口.21.已知椭圆2222Γ:1(0)xyabab+=左右焦点分别为12FF、，离心率为32．斜率为(0)kk的直线l（不过原点）交椭圆于两点AB、，当直线l过1F时，2AFB周长为8．（1）求椭圆Γ的方程；（2）设OAOB、斜率分别为12kk、，且12kkk、、依次

成等比数列，求k的值，并求当AOB面积为74时，直线l的方程．【答案】（1）2214xy+=；（2）12k=；1122yx=或1722yx=.【解析】【分析】（1）根据2AFB的周长为4a求出2a=，再根据离心率求出3

c=，从而求出椭圆方程.（2）设出直线l的方程为()0,1ykxmmm=+，与椭圆方程联立，借助韦达定理表示出12kkk、、依次成等比数列，进而求出k的值；再利用弦长公式和点到直线距离公式表示出AOB的面积，求解即可得到m

的值，从而得到直线l的方程.【小问1详解】由题意，348,2caea===，解得2,3ac==，所以2221bac=−=.故椭圆Γ的方程为2214xy+=．【小问2详解】设直线l的方程为()()()11220,1,,,,ykxmmmAxyBxy=+

，与椭圆方程联立得，()222148440kxkmxm+++−=，()()222264414440kmkm=−+−且2121222844,1414kmmxxxxkk−−+==++，所以()()2212122414mkyykxmkxmk−=++=+．由题意，22

21212212444yymkkkkxxm−===−，故()22410mk−=.10,0,2mkk=.此时，()22224440,1620xmxmm++−==−，()2222121621115222mABkxxm−=+−=+=−.又点O到直线AB

的距离25md=，故三角形OAB的面积()22724Smm=−=,解得12m=或72m=，所以直线l方程为1122yx=或1722yx=.22.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点(0,3)，且离心率为12.

（1）求椭圆C的标准方程；（2）过动点(1,)Pt作直线交椭圆C于,AB两点，且PAPB=，过P作直线l，使l与直线AB垂直，证明：直线l恒过定点，并求此定点的坐标．【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析，1(,0)4.【解析】【分析】（1）待定系数法求椭圆方程；（2

）分类讨论直线AB斜率是否存在，若存在，设直线AB斜率k，由||||PAPB=得弦AB中点为P，结合中点坐标公式，利用韦达定理得到,kt关系，再求出直线l方程探究定点即可.【小问1详解】由已知得由222312babcca==+=解方程组得22

43ab==所以椭圆C的标准方程为22143xy+=.【小问2详解】当直线AB斜率存在时，设AB的直线方程为(1)−=−ytkx，联立223412(1)xyytkx+=−=−，消y得，222(34)8()4()120kxktkxtk++−+−−=，由题意，

0.设()1122(),,,AxyBxy，则()122834−+=−+ktkxxk.因为||||PAPB=，所以P是AB的中点．即1212xx+=，得()28234−−=+ktkk，340kt+=①，

又lAB⊥，l的斜率为1k−，直线l的方程为()11ytxk−=−−②，把①代入②可得：11()4yxk=−−，所以直线l恒过定点1(,0)4当直线AB斜率不存在时，直线AB的方程为1x=，此时直线l为x轴，也过1(,0)4.综上所述，直线l恒过点1(,0)4.【点睛】解答圆锥曲线的定点问题的

常用策略：（1）参数法：参数法解决定点问题的关键思路在于以下两个环节.①引进动点的坐标或动直线中的参数（如引入动直线的斜率k，截距m，动点的横或纵坐标t等等）表示变化量，即确定题目中核心参数；②利用条件找到参数与过定点

的曲线0(),Fxy=之间的关系，得到关于参数与,xy的等式，再研究曲线不受参数影响时的定点坐标.（2）由特殊到一般法：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关..获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.co

m