【文档说明】内蒙古自治区赤峰市红山区赤峰二中2022-2023学年高二上学期11月月考数学（理）试题+含答案.docx，共(26)页，1.105 MB，由小赞的店铺上传

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赤峰二中2021级高二上学期第一次月考理科数学试题一、单选题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分)1．若直线0xya+−=过圆22:2430Cxyxy+−−+=的圆心，则=a（）A．0B．1C．2D．32．直线1:310laxy++=，2:2(1)10lxay+−−=，若12ll

∥，则a的值为（）A．3B．2C．3−或2D．3或2−3．已知平面,,，直线m和n，则下列命题中正确的是（）A．若,mm⊥⊥，则∥B．若,⊥⊥，则∥C．若,mnm⊥⊥，则n∥D．若,mn∥∥，则mn∥4．已知体积公式3VkD=中的常数k称

为“立圆率”.对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体，球也可利用公式3VkD=求体积（在等边圆柱中，D表示底面圆的直径；在正方体中，D表示棱长，在球中，D表示直径）.假设运用此体积公式求得等边圆柱（底面圆的直径为a），正方体（棱长为a），球（直径为a）的“立圆率”

分别为1k，2k，3k，则123::kkk=（）A．:1:46B．:2:46C．3:2:2D．111::645．点P为椭圆22416xy+=上一点，1F，2F为该椭圆的两个焦点，若13PF=，则2PF=

（）A．13B．1C．7D．56．已知函数()2log1fxxx=−+，则不等式()0fx的解集是（）A．()1,2B．()(),12,−+C．()0,2D．()()0,12,+7．下列函数中，同时满足：①在0,2上是严格增函数；②以2

为周期；③是奇函数的函数是（）A．()sinyx=+B．cosyx=C．tan2xy=D．tanyx=−8．已知圆1C：22()(2)4xay−++=与圆2C：22()(1)1xby+++=相外切，则ab的最大值为（）A．2B．17C．94D．49．已知直线l过第一象限的点()

,mn和()1,5，直线l的倾斜角为135，则14mn+的最小值为（）A．4B．9C．23D．3210．瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已

知ABC的顶点()()()4,0,0,2,0,3ABC−，则ABC欧拉线的方程为（）A．230xy+−=B．230xy+−=C．230xy−−=D．230xy−−=11．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的

四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”.如图，在堑堵111ABCABC−中，ACBC⊥，且12AAAB==.下列说法错误．．的是（）A．四棱锥11BAACC−为“阳马”B．四面体11ACCB为“鳖臑”C．四棱锥11BAACC−体积

的最大值为23D．过A点作1AEAB⊥于点E，过E点作1EFAB⊥于点F，则1AB⊥面AEF12．已知12,FF分别为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点，过1F的直线与C交于,PQ两点，若12125PFPFFQ==，则C的离心率是（）A．35B．

34C．54D．53二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．若点()1,1在圆()225xay−+=的外部，则实数a的取值范围是___________.14．数列na中，23nSnn=+，则n

a=__________.15．若三棱锥PABC−的各顶点都在球O的表面上，43ABBCCA===，42PAPBPC===，则球O的表面积为___________.16．某海轮以30海里/时的速度航行，在点A测得海面上油井P在南偏东60方向上，向北航行40分钟

后到达点B，测得油井P在点B的南偏东30方向上，海轮改为北偏东60的航向再行驶80分钟到达点C，则P、C间的距离为______海里．三、解答题(共70分)17．（10分）已知斜率k12=−且过点A（5，﹣4）的直线l1与直线l2：x﹣2

y﹣5＝0相交于点P.（1）求以点P为圆心且过点B（4，2）的圆C的标准方程：（2）求过点Q（﹣4，1）且与圆C相切的直线方程.18．（12分）在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且2cos2aBcb=+

.（1）求A的大小；（2）若ABC的外接圆的半径为23，面积为33，求ABC的周长.19．（12分）已知数列na是等差数列，且满足636aa=+，61a−是51a−与81a−的等比中项.（1）求数列na的通项公式；（2）已知数列nb满足2

nnnba=，求数列nb的前n项和nS.20．（12分）如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧面11AABB是菱形，且13BAA=，侧面11BBCC是边长为2的正方形，侧面11BBCC⊥侧面11AABB，D为11AB的中点．(1)求证：AB⊥平面BCD；(2)

求平面1CDC与平面CDB夹角的余弦值．21．（12分）已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为1F，2F，且122FF=，点31,2在该椭圆上．(1)求椭圆C的方程；(2)过1F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若2AFB的面积为

1227，求以2F为圆心且与直线l相切的圆的方程．22．（12分）已知C的圆心在直线330xy−−=上，点C在y轴右侧且到y轴的距离为1，C被直线l：30xy−+=截得的弦长为2.(1)求C的方程；(2)设点D在C上运动，且点T满

足2DTTO=，（O为原点）记点T的轨迹为E.①求曲线E的方程；②过点()10M，的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：1．D【分析】先求出圆22:2430Cx

yxy+−−+=的圆心坐标，根据圆心在直线0xya+−=上，代入即可求解.【详解】解：圆22:2430Cxyxy+−−+=，即()()22122xy−+−=，圆C的圆心坐标为：()1,2，将()1,2代入0xya+−=，即120a+−=，解

得：3a=.故选：D.2．A【分析】由直线与直线平行的判断条件求解即可【详解】因为直线1:310laxy++=，2:2(1)10lxay+−−=，且12ll∥，所以3121aa=−−，解得a＝3，故选：A．3．A【分析】对于A选项，垂

直于同一条直线的两个平面互相平行；对于B选项，垂直于同一个平面的两个平面有可能相交，也有可能互相平行；对于C选项，由线面垂直的性质即可判断；对于D选项，平行于同一个平面的两条直线有可能相交、平行或异面.【详解】选项A正确，因为垂直于同

一直线的两个平面互相平行；选项B错误，平面和也可以相交；选项C错误，直线n可能在平面内；选项D错误，直线m和n还可能相交或者异面.故选：A.4．A【分析】根据体积公式分别求出“立圆率”即可得出.【详解】因为231=2aVaka=圆柱，所以14k=，因为332Vaka

==正方体，所以21k=，因为333432aVka==球，所以36k=，所以123::kkk=:1:46.故选：A.5．D【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到1228PFPFa+==，从而求出答案.【详解】椭圆方程为：221416xy+=，由椭圆

定义可知：1228PFPFa+==，故25PF=故选：D6．D【分析】由()0fx可得2log1xx−，在同一坐标系中作出两函数的图象，即可得答案.【详解】解：依题意，()0fx等价于2log1xx−，在同一坐标系中作出2logyx=，1yx=−的图象，

如图所示：如图可得2log1xx−的解集为：()()0,12,+.故选：D.7．C【分析】由三角函数的单调性、周期性及奇偶性逐项判断即可得解.【详解】对于A，()sinsinyxx=+=−，该函数在0,2上单调递减，不合题意；对于B，cosyx=，该函数在0,2

上单调递减，且为偶函数，不合题意；对于C，tan2xy=，当0,2x时，0,24x，tan2xy=在0,2上是增函数，最小正周期212T==，且为奇函数，符合题意；对于D，tany

x=−，在0,2上单调递减，不合题意.故选：C.8．A【分析】由圆的方程求得圆心坐标与半径，再由两圆外切可得2(=8)ab+，要使ab取得最大值，则a，b同号，不妨取0a，0b，然后利用基本不等式求得ab的最大值.【详解】圆221:()(2)4Cxa

y−++=的圆心为1(,2)Ca−，半径12r=，圆222:()(1)1Cxby+++=的圆心为2(,1)Cb−−，半径21r=，由圆C1与圆C2相外切，得1212||CCrr=+即22()(21)3ab++−+=，∴2(=8)ab+；要

使ab取得最大值，则a，b同号，不妨取0a，0b，由基本不等式，得28()=224abab+=，当且仅当2ab==时等号成立，∴ab的最大值为2．故选：A9．D【分析】由题得6(0,0)mnmn+=，再利用基本不等式求解.【详解】由

题得5tan1351,6(0,0)1nmnmnm−==−+=−，所以1411414143()()(5)(52)6662nmnmmnmnmnmnmn+=++=+++=.当且仅当2,4mn==时取等.所以14mn+的最小值为3

2.故选：D【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于“拼凑”化简14114()()6mnmnmn+=++，再利用基本不等式求解.10．D【分析】求出重心，求出AB边上的高和AC边上的高的方程，联立可求出垂心，即可求出欧拉线的方程.【详解】由题可得

ABC的重心为41,33G−，直线AB的斜率为021402−=−−，所以AB边上的高的斜率为2，则AB边上的高的方程为()320yx+=−，即230xy−−=，直线AC的斜率为033404+=−，所以AC边上的高的斜

率为43−，则AC边上的高的方程为()4203yx−=−−，即4360xy+−=，联立2304360xyxy−−=+−=可得垂心坐标为3,02H，则直线GH的斜率为10324332−−=−，则直线GH的方程为3022yx−=−，所以ABC欧拉线的方程为

230xy−−=.故选：D.11．C【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当ACBC=时，四棱锥11BAACC−体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证1AB⊥平面AEF，进而判断

D的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABCABC−中，ACBC⊥，侧棱1AA⊥平面ABC，A选项，∴1AABC⊥，又ACBC⊥，且1AAACA=，则BC⊥平面11AACC，∴四棱锥11BAACC−为“阳马”，故A正确；B选项，由ACBC⊥，即11

ACBC⊥，又111ACCC⊥且1BCCCC=，∴11AC⊥平面11BBCC，∴111ACBC⊥，则11ABCV为直角三角形，又由BC⊥平面11AACC，得1ABC为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11ACC为直角三

角形，1CCB为直角三角形，∴四面体11ACCB为“鳖膈”，故B正确；C选项，在底面有2242ACBCACBC=+，即2ACBC，当且仅当2ACBC==时取等号，1111111243333BAACCAACCVSBCAAACBCACBC−=

==，最大值为43，故C错误；D选项，因为1AEAB⊥，1EFAB⊥，AEEFE=，所以1AB⊥平面AEF，故D正确；故选：C12．D【分析】由已知，画出图像，根据12125PFPFFQ==，可令1FQt=，然后表示出1PF，2PF，然后利用椭圆定义找到t与a之

间的关系，然后用a分别表示出PQ、1QF、2QF，在2PQF中，利用勾股定理判定2π2QPF=，然后在12PFF△中，可表示出c与a之间的关系，从而求解离心率.【详解】由已知，可根据条件做出下图：因为12125PFPFFQ==，令1FQt=，所以15PFt=，252PFt

=，由椭圆的定义可知125152522PFPFattt+==+=，所以415ta=，所以143PFa=，223PFa=，1415FQa=，11442431515PQPFFaaaQ=+=+=，由椭圆的定义可知12226215QFQFaQFa+==，在2PQF中，22222QFQPPF=+，所以

2π2QPF=,在12PFF△中，122FFc=，所以2112222FFFPPF=+所以222221645549993ccaaceaa+====.所以C的离心率是53.故选：D.13．()(),13,−−+【分析】根据题意，建立不等式即可求解.【详解】由题意可知()22115

a−+，解得1a−或3a，则实数a的取值范围是()(),13,−−+，故答案为：()(),13,−−+14．22n+【解析】当1n=时，114aS==，当2n时，根据1nnnaSS−=−，即可求得na，综合即可得答案.【详解

】当1n=时，114aS==，当2n时，221(1)3(1)2nSnnnn−=−+−=+−，所以2213(2)22nnnaSSnnnnn−=−=+−+−=+，又14a=，满足上式，所以*22()nnnNa=+，故答案为：22n+15．64

π【分析】由已知条件可知三棱锥PABC−是正三棱锥，设ABC的中心为1O，则外接球的球心O在1PO所在直线上，在在1RtAOO中，由勾股定理求得外接球半径R，再由球的表面积公式即可求解.【详解】因为三棱锥PABC−中，43ABBCCA===，42PAPBPC===所以此三棱锥为正三

棱锥，设底面ABC的中心为1O，连接1AO并延长交BC于点D，则D为BC的中点，外接球球心O在1PO所在直线上，因为43AB=，所以1223434332AOAD===，因为42PA=，所以()2222114244POPAAO=−=−=，设球O的半径为

R，在1RtAOO中，14AO=，AOR=，14OOR=−，由12122OOAOAO+=可得()22164RR+−=，解得4R=，所以1O即为球心O，球的半径4R=，所以球O的表面积为24π464π=.故答案

为：64π.16．207【分析】根据题意，画出草图，在ABP△中由正弦定理解出BP，在RtBPC△中，根据勾股定理求得PC.【详解】如图，在ABP△中，40302060AB==（海里），120BAP=，

30BPA=,由sinsinABBPBPABAP=，得20sin30sin120BP=，解得203BP=海里．在BPC△中，80304060BC==（海里），由已知得90PBC=，所以()222220

340207PCBPBC=+=+=（海里）,所以P、C间的距离为207海里．故答案为：207.17．（1）（x﹣1）2+（y+2）2＝25；（2）x＝﹣4或8x﹣15y+47＝0【分析】（1）先求出直线1l的方程，与直线2l联立求出点P，P为圆心且过点B，可得半径，即得标准方程；（2）根

据圆的方程可知点Q在圆外，设过Q点圆的切线方程为l，当直线斜率存在时，由点到直线的距离等于圆的半径可求得斜率k，当斜率不存在时，x＝﹣4复合题意，综上，即得。【详解】（1）l1：y+412=−（x﹣5）即x+2y+3＝0；l2

：x﹣2y﹣5＝0；230250xyxy++=−−=，即12xy==−，即P（1，﹣2）.因为B（4，2），所以|PB|＝5；所以圆的方程为：（x﹣1）2+（y+2）2＝25；（2）因为点Q（﹣4，1）在圆

外，设过Q点圆的切线方程为l，当l斜率不存在时，x＝﹣4复合题意，当l斜率存在时，可设为k，则l的方程为y﹣1＝k（x+4）即kx﹣y+4k+1＝0，点P（1，﹣2）到直线l的距离为2531kk+=+5，即k815=.即直线的方程为8x﹣15y+47＝0；综上可知，过Q点圆C的切线方程为方程x＝﹣

4或8x﹣15y+47＝0.【点睛】本题考查求圆的标准方程，以及直线和圆的位置关系，需要注意不要忽略斜率不存在的情况。18．（1）23；（2）643+.【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式化简即得A的大小；（2）先利用正弦定理求出a的值，再利用

面积求出bc的值，最后利用余弦定理求出b+c的值即得解.【详解】（1）因为2cos2aBcb=+，由正弦定理可得，2sincos2sinsinABCB=+，由三角形内角和定理和诱导公式可得，sinsin(())sin()CABAB=−+=+sincosco

ssinABAB=+，代入上式可得，2sincos2sincos2cossinsinABABABB=++，所以2cossinsin0ABB+=.因为sin0B，所以2cos10A+=，即1cos2A=−.由于0A，所以23A=.（2）因为ABC的外接圆的半径为23，由正

弦定理可得，343sin4362aA===.又ABC的面积为33，所以1sin332bcA=，即133322bc=，所以12bc=.由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，则222236()()12bcbcbcbcbc=++=+−=+−

，所以2()48bc+=，即43bc+=.所以ABC的周长643abc++=+.【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19．（1）27nan=−；（2）()1

18292nnSn+=+−.【分析】(1)根据已知条件求出2d=，15a=−，即可求出通项公式.（2）用错位相减法，即可求出数列nb的前n项和nS.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，6336aad−==，即2d=∵61a−是51a−与81a−的等比中

项，∴()()()2658111aaa−=−−，即()()()21119713aaa+=++，解得15a=−∴数列na的通项公式为27nan=−；（2）由（1）问可知()2272nnnnban==−∴()()()()23452321212272nnSn=−+−+−+++−

()()()()23451252321212272nnSn+=−+−+−+++−两式相减并化得()()()231102222272nnnSn+=+−++++−114(12)10(2)(27)212nnn−+−=+−+−−()118292nn+=+−【

点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，通项公式，错位相减法求和，属于中档题.20．(1)证明见解析(2)25719【分析】（1）在平面BCD内找到2条相交的直线，使得AB垂直于它们即可；（2）根据（1）的结论。建

立空间直角坐标系，用向量的方法求二面角的余弦值.（1）连接1AB，因为侧面11AABB是菱形，且13BAA=，所以11ABB是等边三角形，又因为D为11AB的中点，所以11ABBD⊥，因为11//ABAB，所以AB

BD⊥；因为侧面11BBCC是边长为2的正方形，所以1BCBB⊥，又侧面11BBCC⊥侧面11AABB，侧面11BBCC侧面111AABBBB=，BC侧面11BBCC，所以BC⊥侧面11AABB，又因为ABÌ侧面11AABB，所以ABBC⊥．又BDBCB

=，所以AB⊥平面BCD；（2）BC⊥平面11ABBA，ABBD⊥，以B为坐标原点，BA、BD、BC的方向分别为x、y、z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0B、()2,0,0A、()0,3,0D、()0,0,2C、()11,3,0A、()11,3,0B−、()1

1,3,2C−，所以()11,0,2DC=−，()11,3,0CC=−，设平面1CDC的法向量为(),,nxyz=，则11·20·30nDCxznCCxy=−+==−+=，令2y=，则()23,2,3n=，由（1）知平面CDB的一个法向量为()2,0,0BA=

，设平面1CDC与平面CDB夹角为，则43257cos19219BAnBAn===，所以平面1CDC与平面CDB夹角的余弦值为25719；综上，平面1CDC与平面CDB夹角的余弦值为25719.2

1．(1)22143xy+=；(2)()2212xy−+=.【分析】（1）依题意可得1c=，从而得到1F，2F的坐标，再根据椭圆的定义求出a，最后求出2b，即可得到椭圆方程；（2）分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，当斜率存在时设直线l的方程为()

1ykx=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，利用弦长公式表示出AB，再利用点到直线的距离公式得到圆的半径，最后根据2AFB的面积得到方程，即可求出k，从而求出圆的方程.（1）解：由题意知1c=，所以()11,

0F−，()21,0F，所以，由椭圆定义知：22233202422a=+++=，则2a=，2223bac=−=，故椭圆C的方程为22143xy+=．（2）解：①当直线lx⊥轴时，令1x=−，可得()221143y−

+=，解得32y=，可取31,2A−−，31,2B−，此时2AFB的面积212332AFBS==，与题设矛盾，舍去．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为()1ykx=+，代入椭圆方程得()22223484120kxkxk+++−=，()()

422644344120kkk=−+−成立，设()11,Axy，()22,Bxy，则2122834kxxk+=−+，212241234kxxk−=+，可得()()222121221211434kkxxxxkA

B+=++−=+．又圆2F的半径221krk=+，∴2AFB的面积为2212111222347ABrkkk+=+=，化简得4217180kk+−=，解得1k=，∴2r=，∴圆2F的方程为()2212xy−+

=．22．(1)()2219xy−+=(2)①22113xy−+=；②存在，11,06N【分析】（1）由条件求出圆心坐标，再结合弦长公式求出圆的半径，由此可得圆的方程；（2）①利用代点法求出点T的轨迹方程，②在直线斜率存在条件下利用设而不求法求点N的坐标，检验斜率不存

在时该点是否也满足条件即可.（1）由题意可设圆C的圆心C的坐标为()1,b，圆C的圆心C在直线330xy−−=上，330b−−=，解得：0b=，即圆心为()10，，圆心到直线l的距离为22d=，设圆C的半径为r，弦长为222228rdr−=−，由已知2282r−=所以29r=，所以圆C的

标准方程为()2219xy−+=；（2）设()()TxyDxy，，，，则(),,(,)DTxxyyTOxy=−−=−−，由2DTTO=得：22xxxyyy−=−−=−，所以33xxyy==D在圆C上运动，()()22313

9xy−+=，整理可得点T的轨迹方程E为：22113xy−+=当直线ABx⊥轴时，x轴平分ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为()1ykx=−，联立()221131xyykx−+==−化简可得()22222

812039kxkxk++−−+−=，方程()22222812039kxkxk++−−+−=的判别式()22222282024140399kkkk=−−−+−=+，设()0Nt，，()11Axy，，()22Bxy，，2212122228239

,11kkxxxxkk+−+==++若x轴平分ANB，则0ANBNkk+=，所以12120yyxtxt+=−−，又()111ykx=−，()221ykx=−，所以()()12122120xxtxxt−+++=，所以()222282293212011kkttkk−+−++=++，所以(

)()2228110931ktktk−−++++=所以()810913tt−−++=解得116t=，当11,06N时，能使x轴平分ANB.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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