【文档说明】陕西省西安市第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(16)页，1.293 MB，由小赞的店铺上传

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西安市第一中学2020—2021学年度第一学期期中考试高二数学（理）试题一、选择题：（每小题3分，共36分）1.“220ab+”的含义是（）A.a，b全不为0B.a，b不全为0C.a，b至少有一个为

0D.a，b至多有一个不为0【答案】B【解析】【分析】根据题意，分析a，b是否为0，即可得答案.【详解】若220ab+，则可得①0a且0b≠；②0a且0b=；③0a=且0b≠，三种情况，所以a，b不全为0，故选：B2.已知等比数列na的公比为q，首项10a，则

“1q”是“等比数列na为递减数列”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】利用定义得出等比数列na为递减数列的等价条件，由此可判断出若10a，“1q”与“na为递减数列”的充分必要性关系.【详解】

若0q，则等比数列na为摆动数列，由于等比数列na为递减数列，则0q.若10a，则110nnaaq−=，由1nnaa+得nnaqa，1q；所以，10a，等比数列na为递减数列01q，所以若10a，“1q”是“等比数列

na为递减数列”的必要非充分条件故选：B.3.已知命题:0px，1xe或sin1x，则p为（）A.0x，1xe且sin1xB.0x，1xe或sin1xC.0x，1xe或sin1xD.0x，1xe且sin1x【答案】D【解析】【分析】利用全称命题

的否定可得出命题p的否定.【详解】由全称命题的否定可知，命题p的否定为:0px，1xe且sin1x.故选：D.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，要熟悉量词与结论的变化，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.4.已知等比数列

na的前n项和为nS，若31S=，公比2q=，则9S=（）A.4B.8C.73D.256【答案】C【解析】【分析】先求得首项，根据等比数列的求和公式，代入首项和公比的值，即可计算出9S的值.【详解】因为等比数列{}na的前n项和为nS，且31S=，又公比2q=，()31311211127aSa-=

=?-，又因为()()1111nnaqSqq-=?-，所以()9911277312S−==−.故选：C.5.“若xa且xb，则2()0xabxab−++”的否命题（）A.若xa=且xb=，则2()0xabxab−++=B.若xa=或xb=，则2()0xabxab−++C.若xa=

且xb=，则2()0xabxab−++D.若xa=或xb=，则2()0xabxab−++=【答案】D【解析】【分析】命题“若p，则q”的否命题为“若p，则q”.【详解】“若xa且xb，则2()0xabxab−++”

的否命题为“若xa=或xb=，则2()0xabxab−++=”.故选：D.【点睛】易错点：“且”的否定是“或”.6.已知三棱柱111ABCABC−的底面边长和侧棱都相等，侧棱1AA⊥底面ABC，则直线1BC与AC

所成角的余弦值是（）A.24B.24−C.22D.22−【答案】A【解析】【分析】连接1AB，由11AC//AC可得∠11ACB是直线1BC与AC所成角，计算即可.【详解】连接1AB，因为11AC//AC，所以∠11AC

B就是异面直线1BC与AC所成角.在11ACB中，设112AC=，1122ABCB==，由余弦定理可求得112cos4ACB=，故选A.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两

条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．7.下列条件中，使ab成立的必要而不充分条件是（）A.1ab−B.1ab+C.abD.33ab【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质和必要不充分条

件的定义判断．【详解】1abab−是假命题，不是必要而不充分条件；1abab+是正确的，但1ab+不能得出ab，是必要而不充分条件；ab与ab之间不能相互推出，不是必要而不充分条件，也不充分；33abab，是充要条件．故选：B．8.如果2

22xky+=表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A.(0,1)B.(0,2)C.(1,)+D.(0,)+【答案】A【解析】【分析】把方程写成椭圆的标准方程形式，得到221xyAB+=形

式，要想表示焦点在y轴上的椭圆，必须要满足0BA，解这个不等式就可求出实数k的取值范围．【详解】222xky+=转化为椭圆的标准方程，得22122xyk+=，因为222xky+=表示焦点在y轴上的椭圆，所以22k，解得01k.所以实数k的取值范围是()0,1.选A.【

点睛】本题考查了焦点在y轴上的椭圆的方程特征、解分式不等式.9.已知命题p：若ABC为钝角三角形，则sincosAB；命题q：若23xyxy+，则12xy，则下列命题为真命题的是（）A.()pqB.()pqC.pqD.()()pq【答案】AD【解

析】【分析】首先判断命题p、q的真假，再利用复合命题的真假表即可求解.【详解】对于命题p：若ABC为钝角三角形，则当B为钝角时，cos0sinBA，不等式sincosAB不成立，即命题p是假命题，故命题p是真命

题；对于命题q：若23xyxy+，则12xy，若12x=，6y=，满足条件，但结论不成立，所以命题q是假命题，故q为真命题.所以依据复合命题的真假判别法，则()pq为真命题；()pq为

假命题；pq为假命题；()()pq为真命题.故选：AD10.已知矩形ABCD，1AB=，2AD=，E为AD的中点，现分别沿,BECE将ABE，DCE翻折，使点,AD重合，记为点P，则几何体PB

CE−的外接球表面积为（）A.10B.5C.52D.5512【答案】C【解析】【分析】将平面矩形通过折叠得到三棱锥后找不变的量，如边长、角度等不变的量，可以得到两两垂直的棱，将其补全为长方体，则其对角线为外接球直径，从而计算出答案【详解】由题意翻折可得几何体PBC

E−中：,,PBPCPBPEPCPE⊥⊥⊥,即三棱锥可以补成以PB,PC,PE为边的长方体，其对角线为外接球的直径：2222101122++=故104r=外接球的表面积为：1054π162=故选C【点睛

】本题主要考查了三棱锥外接球的体积问题，则需要根据题意折叠后找出三棱锥的特征，将其补全为长方体，求出长方体的对角线等于直径，然后再求出结果．11.如图，把椭圆，221169xy+=的长轴AB分成8等份，过每个分点，作x轴的垂线交椭圆的上半部分于1

P，2P，3P，4P，5P，6P，7P七个点，F是椭圆的一个焦点，则12345||||||||||PFPFPFPFPF++++67||||PFPF++=（）A.25B.26C.27D.28【答案】D【解

析】【分析】设P点是椭圆上的任意点，根据椭圆的第二定义求出474PFx=+，根据题意可知4P点为椭圆与y轴正半轴的交点且123,,PPP与567,,PPP分别关于y轴对称，设出各点，代入474PFx=

+即可求解.【详解】不妨设P点是椭圆上的任意点则由椭圆的第二定义可得：2PFcaaxc=−−，又a=4,b=3,227cab=−=，故474PFx=+，①∵把椭圆221169xy+=的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于12

34567,,,,,,PPPPPPP七个点，∴4P点为椭圆与y轴正半轴的交点且123,,PPP与567,,PPP分别关于y轴对称，∴不妨设()()()111222333,,,,,PxyPxyPxy且()123

40,0,0,0,3xxxP，∴()()()533622711,,,,,PxyPxyPxy−−−，由①可得：1234567PFPFPFPFPFPFPF++++++1234444777744440xxx

=+++++++321777444444xxx+−+−+−，12345674728PFPFPFPFPFPFPF++++++==.故选：D.12.

已知正项数列{}na满足11a=，1111114nnnnaaaa+++−=，数列{}nb满足1111nnnbaa+=+，记{}nb的前n项和为nT，则20T的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由题意可得221114nna

a+−=，运用等差数列的通项公式可得2143nna=−，求得1(4143)4nbnn=+−−，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a=，1111114nnnnaaaa+++−=，得221114nnaa+−=，所以数列21na是以4为公差，

以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nnna=+−=−，因为0na，所以143nan=−，所以11114143nnnnnbaa+=+=++−，所以11(4143)44143nbnnnn==+−−++−，所

以201220Tbbb=+++11(5135133977)(91)244=−+−+−++−=−=，故选：B【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n项和，解题的关键是由已知条件得221114nna

a+−=，从而数列21na是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求143nan=−，11(4143)44143nbnnnn==+−−++−，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题二、填空题：（每小题4分，共16分）13.已知命题p：

“xR，mR，使1420xxm+−+=”．若命题p是假命题，则实数m的取值范围为__________．【答案】(,1]−【解析】【分析】根据命题的否定与原命题真假相反得到命题p是真命题，即方程有解；分离参数，求二次函数的值域.【详解】因为命题p是假命

题，所以p是真命题，即关于x的方程1420xxm+−+=有实数解，()1242211xxxm+=−−=++−，所以1m£.故答案为：(,1]−.14.已知nS、nT分别是等差数列na、nb的前n项的和，且()211,2,42nnSnnTn+==

−.则1011318615aabbbb+=++______.【答案】【解析】试题分析：由等差数列性质可知()()1201010111202011120318615318120202041220782aaaaaaaSabbbb

bbbbbbT++++=====+++++考点：等差数列性质及求和15.若()()2,312,1,3ab＝，－，＝－，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_______．【答案】65【解析】【分析】设向量a

b、的夹角为θ，利用空间向量的模的公式和夹角公式，分别算出14ab==，cosθ27=−．再用同角三角函数的关系算出sinθ357=，最后由正弦定理的面积公式即可算出所求平行四边形的面积．【详解】设向量ab、的夹角为θ∵()231

a=−，，，()213b，，=−，∴cosθ()()2222222231132723(1)(2)13abab−++−===−++−−++由同角三角函数的关系，得sinθ23517cos=−=∴以ab，为邻边的平行四边形面积为Sa=•bs

inθ3514147==65.故答案为65.【点睛】本题主要考查了空间向量的夹角公式、同角三角函数基本关系和正弦定理面积公式等知识，属于基础题．16.如图，平面与平面相交成锐角，平面内的一个圆在平面上的射影是离心率为12的椭圆，则角=________.【答案】30【解析】【分析

】根据题意，设圆的半径为r，由题意可得br=，根据离心率与a，b，c的关系可得233ar=，所以23cos22ra==，所以30=．【详解】由题意可得：平面上的一个圆在平面上的射影是一个离心率为12的椭圆，也可以说为上的

一个离心率为12的椭圆在上的射影是一个圆，设圆的半径为r，所以br=，又因为12ca=，并且222bac=−，所以233ar=．所以23cos22ra==，所以30=，故答案为30°.【点睛】本

题主要考查椭圆的离心率，考查了空间想象能力，属于难题.三、解答题：（每小题12分，共48分）17.设p：方程2210xmx++=有两个不相等的正根；q：方程()2223100xmxm+−−+=无实根．求使p或q为真，p且q为假的实数m的取值范围．【答案】{2|mm-

或}13m-【解析】【分析】根据题意，分别求得命题p,q中m的范围，根据题意可得命题p，q一真一假，分p真q假和p假q真时两种情况，分别求解，即可得答案.【详解】由211244020mxxm=−+=−，得1m−．∴:1pm−；由22424

310))0((mm−−＋-＝，得23m−，∴:23qm-．因为p或q为真，p且q为假可知，命题p，q一真一假，当p真q假时，解得2m−；当p假q真时，解得13m−．所以m的取值范围是{2|mm-或}13m-．故答

案为：{2|mm-或}13m-18.数列{}na各项均为正数，其前n项和为nS，且满足221nnnaSa−=（1）求数列{}na的通项公式；（2）设4241nnbS=−，求数列{}nb的前n项和nT，并求使21(3)6−nTmm对所有的*nN都成立

的最大正整数m的值．【答案】（1）1=−−nann；（2）3．【解析】【分析】（1）根据题意，利用1(2)nnnaSSn−=−，化简整理，即可求得na，检验11aS=满足此式，即可求得数列{}na的通项公式；（2）由（1）可得2nSn=，代入即可求得nb表

达式，利用裂项相消法求和，即可求得nT的表达式，根据nT的单调性，可得123nTT=，代入所求，利用一元二次不等式的解法，即可求得答案.【详解】（1）∵221nnnaSa−=，∴当2n时，2112()()1−−−−−=n

nnnnSSSSS，整理得，2211(2)nnSSn−−=，又211S=，∴数列2nS为首项和公差都是1的等差数列．∴2nSn=，又0nS，∴=nSn，∴2n时，11−=−=−−nnnaSSnn，又111aS==适合此式，∴数列{}na的通项公式为1=−

−nann.（2）∵42222114141(21)(21)2121nnbSnnnnn====−−−−+−+∴11111111335212121nTnnn=−+−++−=−−++，∴随着n逐渐增大，nT逐渐增大，∴123nTT=，依题意有，221(3)36−mm，即2340mm

−−，解得14−m，故所求最大正整数m的值为3【点睛】解题的关键是熟练应用1(2)nnnaSSn−=−，根据不同条件，选择替换na或nS进行求解，易错点为：需检验11aS=是否满足题意，若1a不满足题意，需写成分段函数形式，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.19.已知正方形A

BCD的边长为2,AC∩BD=O.将正方形ABCD沿对角线BD折起,使AC=a,得到三棱锥A-BCD,如图所示.(1)当a=2时,求证:AO⊥平面BCD.(2)当二面角A-BD-C的大小为120°时,求二面角A

-BC-D的正切值.【答案】(1)见解析(2)【解析】【详解】(1)根据题意,在△AOC中,AC=a=2,AO=CO=,所以AC2=AO2+CO2,所以AO⊥CO.又AO⊥BD,BD∩CO=O,所以AO⊥平面BCD.(2)折叠后,BD⊥AO,BD⊥CO.所以∠AOC是二面角A-BD-C的平面角

,即∠AOC=120°.在△AOC中,AO=CO=,所以AC=.如图,过点A作CO的垂线交CO延长线于点H,因为BD⊥CO,BD⊥AO,且CO∩AO=O,所以BD⊥平面AOC.因为AH⊂平面AOC,所以BD⊥AH.又CO

⊥AH,且CO∩BD=O,所以AH⊥平面BCD.所以AH⊥BC.过点A作AK⊥BC,垂足为K,连接HK,因为BC⊥AH,AK∩AH=A,所以BC⊥平面AHK.因为HK⊂平面AHK,所以BC⊥HK.所以∠AKH为二面角A-BC-D的平面

角.在△AOH中,得AH=,OH=,所以CH=CO+OH=+=.在Rt△CHK中,HK==,在Rt△AHK中,tan∠AKH===.所以二面角A-BC-D的正切值为.20.已知点()()1,0,1,0MN−，设TMN的面积为S，内切圆半径为

r，且3.Sr=（1）求点T的轨迹W的方程；（2）已知()()2,0,2,0BC−，点P是直线4x=上的动点，直线PB与曲线W的一个交点为E.直线PC与曲线W的一个交点为F，并且,,PEF都不在坐标轴上.

求证：直线EF经过定点.【答案】（1）22143xy+=；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据3Sr=可以推得T点的约束条件，满足椭圆方程的定义，即可求解.（2）设出直线PB和PC的方程，求得E、F两点的坐标，得到EF的直线方程

，从而可以证明直线恒过的定点.【详解】（1）设TMN的周长为l，则由3Sr=，得132lrr=，即6l=所以4TMTN+=，即T在以,MN为焦点，以4为长轴长的椭圆上.设该椭圆方程为()222210xyabab+=则222,13aba==−=.所以点T

的轨迹W的方程为22143xy+=.（2）证明：设()()()11224,,,,,PtExyFxy则直线PB的方程为()26tyx=+()()2222221432744108026xytxtxttyx+=+++−==+，221122410854222727ttxx

tt−−−==++()211225421822662727ttttyxtt−=+=+=++，即22254218,2727ttEtt−++直线PC的方程为()22tyx=−()()2

2222214334412022xytxtxttyx+=+−+−==−，22222241226233ttxxtt−−==++()22222266222233ttttyxtt−−=−=−=++，即222266,33ttFt

t−−++设直线EF与x轴交点为(),0Km，则,KEKF共线.又KE=22254218,2727ttmtt−−++222266,33tKFmtt−=−−++则22222261835427272623ttmttttttm−−=+−−

−+++化简得1.m=所以直线EF经过定点()1,0【点睛】本题考查用定义法求椭圆方程，以及证明直线横过定点的问题，属椭圆中的中档题.