【文档说明】新教材2022版数学湘教版必修第一册提升训练：第2章　专题强化练1　利用基本不等式求最值含解析.docx，共(8)页，55.066 KB，由小赞的店铺上传

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专题强化练1利用基本不等式求最值一、选择题1.()已知函数y=x+3𝑥+7𝑥+2(x>-2),则()A.y有最小值-1B.y有最大值-1C.y有最小值3D.y有最大值32.()已知正实数x,y,a满足2x+y=axy,若x+2y的最小值为3,则实数a的值为()A.1B.3C.6D.93.(

)若正数a,b满足1𝑎+1𝑏=1,则1𝑎-1+4𝑏-1的最小值为()A.3B.4C.5D.64.(2020陕西吴起高中高二期末,)设x,y都是正数,且xy-(x+y)=1,则()A.x+y≥2(√2+1)B.xy≤√2+1C.x+y≤(√2+1)2D.xy≥2(√2+1)5.()已知

m>0,xy>0,当x+y=2时,不等式4𝑥+𝑚𝑦≥92恒成立,则实数m的取值范围是()A.[12,+∞)B.[1,+∞)C.(0,1]D.(0,12]6.(多选)()已知x+y=1,y>0,x≠0,则

12|𝑥|+|𝑥|𝑦+1的值可能是()A.12B.14C.34D.54二、填空题7.()已知不等式(x+y)·(1𝑥+𝑎𝑦)≥16对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值为.8.()若实数a>1,b>2,且满足2a+b-

6=0,则1𝑎-1+2𝑏-2的最小值为.三、解答题9.()已知9x2+y2+4xy=10.(1)分别求xy和3x+y的最大值;(2)求9x2+y2的最小值和最大值.10.()为了美化校园环境,学校打算在广场上建造一个矩形花园,中间有三个完全

一样的矩形花坛,每个花坛的面积均为294平方米,花坛四周的过道宽度均为2米,如图所示,设矩形花坛的长为x米,宽为y米,整个矩形花园的面积为S平方米.(1)试用x,y表示S;(2)为了节约用地,当矩形花坛的长为多少米时,新建矩形花园占地最少?最少为多少平方米?答案全解全析一、

选择题1.C∵x>-2,∴x+2>0,∴y=x+3(𝑥+2)+1𝑥+2=(x+2)+1𝑥+2+1≥2+1=3,当且仅当x+2=1𝑥+2,即x=-1(x=-3舍去)时取等号,∴y有最小值3.2.B因为正实数x,y,a满足2x+y=axy,所以2𝑦+1𝑥=a,所以x

+2y=1𝑎×(x+2y)(2𝑦+1𝑥)=1𝑎(5+2𝑥𝑦+2𝑦𝑥)≥1𝑎5+2√2𝑥𝑦·2𝑦𝑥=9𝑎,当且仅当2𝑥𝑦=2𝑦𝑥,且2𝑦+1𝑥=a时取等号.由题意可得9𝑎=3,解得a=3.故

选B.3.B∵a>0,b>0,1𝑎+1𝑏=1,∴a>1,b>1,a+b=ab,∴1𝑎-1>0,4𝑏-1>0,∴1𝑎-1+4𝑏-1≥2√4(𝑎-1)(𝑏-1)=2√4𝑎𝑏-(𝑎+𝑏)+1=4,当且仅当1𝑎-1=4𝑏-1,即a=32,b=3时,等号成立.

故选B.4.A∵x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,∴xy=1+(x+y)≥1+2√𝑥𝑦(当且仅当x=y=1+√2时,等号成立),即(√𝑥𝑦)2-2√𝑥𝑦-1≥0,解得√𝑥𝑦≥1+√2,即xy≥(1+√2)2.xy=1+(x+

y)≤(𝑥+𝑦)24(当且仅当x=y=1+√2时,等号成立),即(x+y)2-4(x+y)-4≥0,解得x+y≥2(√2+1).故选A.5.B∵xy>0,且x+y=2,∴x>0,y>0,∴4𝑥+𝑚𝑦=12(4𝑥+𝑚𝑦)(x+y)=12(4+𝑚+4𝑦𝑥+

𝑚𝑥𝑦)≥124+m+2√4𝑦𝑥·𝑚𝑥𝑦=12(4+m+2√4𝑚),当且仅当4𝑦𝑥=𝑚𝑥𝑦,即√𝑚x=2y时,等号成立.∵不等式4𝑥+𝑚𝑦≥92恒成立,∴12(4+m+2√4𝑚)≥

92,化简得m+4√𝑚-5≥0,解得√𝑚≥1(√𝑚≤-5舍去),即m≥1,∴实数m的取值范围是[1,+∞).6.CD由x+y=1,y>0,x≠0,得y=1-x>0,则x<1且x≠0.当0<x<1时,12|𝑥|+|𝑥|𝑦+1=12𝑥+𝑥2-𝑥=𝑥+

2-𝑥4𝑥+𝑥2-𝑥=14+2-𝑥4𝑥+𝑥2-𝑥≥14+2√2-𝑥4𝑥·𝑥2-𝑥=54,当且仅当2-𝑥4𝑥=𝑥2-𝑥,即x=23时取等号.当x<0时,12|𝑥|+|𝑥|𝑦+1=1-2𝑥+-𝑥2-𝑥=2-𝑥+�

�-4𝑥+-𝑥2-𝑥=-14+2-𝑥-4𝑥+-𝑥2-𝑥≥-14+2√2-𝑥-4𝑥·-𝑥2-𝑥=34,当且仅当2-𝑥-4𝑥=-𝑥2-𝑥,即x=-2时取等号.综上,12|𝑥|+|𝑥|𝑦+1≥34.故选CD.二、填空题7.答案9解析因为(x+y)(1𝑥+𝑎𝑦)

=1+a+𝑦𝑥+𝑎𝑥𝑦≥1+a+2√𝑦𝑥·𝑎𝑥𝑦=1+a+2√𝑎,当且仅当𝑦𝑥=𝑎𝑥𝑦,x>0,y>0时取等号,所以1+a+2√𝑎≥16,整理得(√𝑎+5)(√𝑎-3)≥0,解得a≥9,故a的最小值为9.8.答案4解析∵

a>1,b>2,且满足2a+b-6=0,∴2(a-1)+b-2=2,a-1>0,b-2>0,则1𝑎-1+2𝑏-2=(1𝑎-1+2𝑏-2)[2(a-1)+b-2]×12=12[4+𝑏-2𝑎-

1+4(𝑎-1)𝑏-2]≥12[4+2√𝑏-2𝑎-1·4(𝑎-1)𝑏-2]=12×(4+4)=4,当且仅当𝑏-2𝑎-1=4(𝑎-1)𝑏-2,且2a+b-6=0,即a=32,b=3时,等号成立,则1𝑎-1+2𝑏-2的最小值为4.故答案为

4.三、解答题9.解析(1)10=9x2+y2+4xy≥2×3xy+4xy=10xy,当且仅当3x=y,即x=√33,y=√3或x=-√33,y=-√3时,等号成立,∴xy≤1,∴xy的最大值为1.∵9x2+y2+4xy=(3x+y)2-2xy=10,∴(3x+y)2=10+2xy≤1

2,当且仅当x=√33,y=√3或x=-√33,y=-√3时,等号成立,∴-2√3≤3x+y≤2√3,当且仅当x=√33,y=√3或x=-√33,y=-√3时,等号成立,∴3x+y的最大值为2√3.(2)由(1)知xy≤1,当且仅当x=

√33,y=√3或x=-√33,y=-√3时,等号成立.∵9x2+y2+4xy=10,∴9x2+y2=10-4xy≥10-4=6,当且仅当x=√33,y=√3或x=-√33,y=-√3时,等号成立,∴9x2+y2的最小值为6.

∵9x2+y2≥-2×3xy=-6xy,当且仅当y=-3x,即x=√33,y=-√3或x=-√33,y=√3时,等号成立,∴xy≥-9𝑥2+𝑦26.∵9x2+y2+4xy=10,∴10-(9𝑥2+𝑦2)4≥-9𝑥2+𝑦26,即9x2+y2

≤30,∴9x2+y2的最大值为30.10.解析(1)由题意得S=(x+4)(3y+8)=3xy+12y+8x+32.(2)由题知x>0,xy=294,所以S=3×294+12×294𝑥+8x+32=914+8×(441𝑥+𝑥)≥914

+16·√441𝑥·𝑥=1250,当且仅当441𝑥=x,即x=21时,等号成立.故当矩形花坛的长为21米时,新建矩形花园占地最少,最少为1250平方米.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com