【文档说明】四川省高县中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(23)页，359.829 KB，由小赞的店铺上传

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高2022级数学半期考试试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点，则直线的斜率是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用两点的斜率公式计算即可.【详解】由题意可知直

线的斜率为.故选：A2.方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是A.(4,+∞)B.C.D.【答案】D【解析】【详解】由题意可知解得.考点：椭圆的标准方程及几何性质.3.直线和直线平行，则实数的值为（）A.3B.C.D.或【答案】B【解析】【

分析】由a•（a+2）+1＝0，解得a．经过验证即可得出．【详解】由a•（a+2）+1＝0，即a2+2a+1＝0，解得a＝﹣1．经过验证成立．∴a＝﹣1．故选：B．【点睛】本题考查了两条直线平行的充要条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.直线被圆截得的弦长为（）A.B.C.D.【

答案】C【解析】【详解】解：因为圆心为（3,0），半径为3，那么利用圆心到直线的距离公式，利用勾股定理可知弦长为．选C5.已知圆关于直线对称的圆为C，则圆C的方程为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】将圆改写成标准方程形式确定圆心、半径，根据对称关系可得圆圆心、半径为，写出圆

C的方程.【详解】由题设，，则圆心为，半径为，由圆关于直线对称的圆为C，则且半径为，∴圆C的方程为.故选：A6.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现

从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率.【详解】分别用A，B，

C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba，Ca，Cb共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为.故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查等可能事件概

率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.7.苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是

（）米.（注意：取）A.B.C.D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】以点为坐标原点，所在直线为轴、过点且平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，求得点的坐标，设所求圆的半径为，由勾股定理可列等式求得的值，进而可求得圆的方程，然后将代

入圆的方程，求出点的纵坐标，可计算出的长，即可得出结论.【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴、过点且平行于的直线为轴建立平面直角坐标系，由题意可知，点的坐标为，设圆拱桥弧所在圆的半径为，，由勾股定理可得，即，解得，所以，圆心坐标为，则

圆的方程为，将代入圆的方程得，，解得，（米）.故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的应用，求得圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点

Q，P的距离之比，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点为轴上一点，且，若点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据点的轨迹方程可得，结合条件可得，即得.【详解】设，，所以，又，所以．因为且，所以

，整理可得，又动点M的轨迹是，所以，解得，所以，又，所以，因为，所以的最小值为．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点数大于3

”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法错误的是（）A.事件A与事件B互斥B.事件A与事件B对立C.事件A与事件B相互独立D.【答案】ABD【解析】【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A与事件B的基本事件可判断选项AB；根据独立事件的概率公式可判断选

项C；求出事件的概率可判断选项D.【详解】事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A与事件B不互斥，也不对立，选项A，B错误；投掷一枚均匀的骰子

，共有基本事件6个，事件A：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为，事件B：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为，事件AB包含的基本事件个数有1个，其概率为，由于，故事件A与事件B相互独立，C选项正确；对于D，事件包含的基本事件个数有朝上

的点数为共4个，故，D选项错误.故选：ABD.10.已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（）A.的倾斜角等于B.在𝑥轴上的截距等于C.与直线垂直D.上的点与原点的距离最小值为【答案】AC【解析】【分析】由方向向量求出直线斜率，即可求出直线方程，由倾斜角与斜率关系

可判断A；令求出𝑥轴上的截距，可判断B；由斜率与垂直关系可判断C；上的点与原点的距离最小值为原点到直线l的距离，求出点线距离即可判断D【详解】直线的方向向量为，则斜率，故直线为，即，对A，∵，，故，A对；对B，由得，B错；对C，直线斜率，由得与直

线垂直，C对；对D，上的点与原点的距离最小值为原点到直线l的距离，即，D错；故选：AC11.如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确

的是（）A.B.C.的长为D.【答案】BD【解析】【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意，依次分

析选项：对于A选项，，A错误，对于B选项，，B正确：对于C选项，，则，则，C错误：对于，则，D正确.故选：BD.12.下列结论正确的是（）A.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为；B.圆上有且仅有3个点到直

线的距离都等于1C.已知，O为坐标原点，点是圆外一点，且直线m的方程是，则直线m与圆E相交；D.已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为；【答案】BC【解析】【分析】A选项，考虑截距为0时，求出直线l的方程为，A错误；B选项，得到圆心

到直线的距离刚好为圆半径的一半，故可判断B正确；C选项，首先根据点在圆外得到不等式，再使用点到直线距离公式得到圆心到直线距离小于半径，从而得到C选项正确；D选项，求出直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数k的取值范

围.【详解】A：当截距为0时，设直线l的方程为，代入，解得：，则直线l的方程为，当截距不为0时，设直线l的方程为，代入，解得：，此时直线l的方程为，综上：直线l的方程为或.故A错误；B：圆的圆心为，半径为2，圆心到直线的距离为，刚好为

半径的一半，所以圆上有且仅有3个点到直线的距离都等于1，故B正确；C：已知，O为坐标原点，点是圆外一点，所以，直线m的方程是，则圆心到直线m的距离为，所以直线m与圆E相交，故C正确；D：直线整理为，即过定点，如图所示，，，要想直线与以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为或，故D错误.故

选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若为椭圆上一点，分别为左、右焦点，若，则______．【答案】5【解析】【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.【详解】因为，所以．故答案为：514.已知圆与圆，若圆与圆相外切，则实数________.【答案】2或－5【解析】【分析

】由两圆外切知连心线的长为两圆的半径之和，利用两点间距离公式即可求得【详解】圆，圆，则，，，.当圆与圆相外切时，显然有，即，整理得，解得或.故答案为：2或－515.已知点，点为圆上任意一点，则连线的中点轨迹方程是___________．【答案】

【解析】【分析】首先设中点坐标为，再设出相关点的坐标，代入圆的方程，即可求解.【详解】设连线的中点为，则，则，即.故答案为：16.若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】

【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围.【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点，又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得，设，则，由图可得，若要使直线与曲线有两

个交点，须得，即.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点距离之和为；（2）焦点坐标为和，且椭圆经过点.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设椭圆的标

准方程为，根据椭圆的定义求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设椭圆的标准方程为，根据椭圆的定义求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程.【小问1详解】解：因为椭圆的焦点坐标为和，设椭圆的标准方程为，因为椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，则，可得，所以，

，因此，椭圆的标准方程为.【小问2详解】解：因为焦点坐标为和，设椭圆的标准方程为，因为椭圆经过点，由椭圆定义可得，所以，，则，因此，椭圆的标准方程为.18.已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为．（1）求直线的

方程；（2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程；（2）设点，求出线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，可得出点的坐标，再将点的坐标代入直线的方程，即

可求出实数的值.【小问1详解】解：由条件知边上的高所在的直线的斜率为，所以直线的斜率为，又因为，所以直线的方程为，即.【小问2详解】解：因为点在轴上．所以设，则线段的中点为，点在直线上，所以，得，即，又点在直线上，所以，解得．19.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时

，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.（1）重复发送信号1三次，计算至少收到两次1的概率；（2）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号；②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明

.【答案】（1）；（2）事件A与事件B不互相独立，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用事件的相互独立求“至少收到两次1”的概率；（2）利用事件的相互独立性计算，，，利用独立事件的概率公式验证.【小问1详解】重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可

能情况为：(1，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，因为信号的传输相互独立，故“至少收到两次1”的概率为：.【小问2详解】事件A与事件B不互相独立，证明如下：若依次发送1，1，0，则三次都没收到正确信号的概率为，故至少收到一个正确信号的概率为；若依次发送1，1，0，“至少收到

两个0”的可能情况为：(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故，因为，所以事件A与事件B不互相独

立.20.如图，直棱柱中，分别是的中点，．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接交于，连接，易得，由线面平行的判定证结论；（2）构建空间直角坐标，应用

向量法求二面角的余弦值.【小问1详解】连接交于，连接，显然为中点，又是的中点，所以，面，面，故平面.【小问2详解】由，则，由为直棱柱，过作平行于侧棱，所以可构建如下图示的空间直角坐标系，令，且，故直棱柱上下底面为等腰直角三角形，且，则，所以，则，若、分别是面、面的一个法向量

，，令，故，，令，故，综上，，故锐二面角的余弦值为.21.①圆心在直线：上，圆过点；②圆过直线：和圆的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆经过点，且________．（1）求圆的标准方程；（2）已知点，求过点的圆的切线方程．【答案】（1）选①：；选②：（2）和

【解析】【分析】（1）利用圆的定义、直线方程、直线与圆的关系、圆与圆的关系运算即可得解.（2）利用直线与圆的关系、直线方程、点到直线的距离公式运算即可得解.小问1详解】解：选①：设圆心，则由题意：∵圆心在直线：上，∴………………………（ⅰ）∵圆

过点和，∴，即，化简得：…………………（ⅱ）联立（ⅰ）（ⅱ）解得：，∴圆心，半径为，∴圆的标准方程为.选②：如下图：设直线：和圆的交点为，连接，则由直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系知直线，垂足为，连接、.由题意，圆的圆心为，半径.∵直线方程为，，∴直线方程为，故设圆心，由图知，则，由解得直线和

直线交点，则，圆半径，，，由得：，解得：.∴圆心，半径∴圆标准方程为.【小问2详解】解：由（1）知，选①或选②，圆的标准方程均为，如下图，点在圆外，则因为圆的圆心到轴距离，所以，是圆过点的一条切线.设圆过点的另一条切线斜率为，则其方程为：，即.由直线

与圆相切知圆心到直线距离为半径，则有，解得：，∴切线方程为，即.综上知，过点的圆的切线方程为和.22.如图1，已知是直角梯形，，，，C、D分别为BF、AE的中点，，，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角的大小为

60°，如图2所示，设N为BC的中点.（1）证明：；（2）若M为AE上一点，且，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为.【答案】（1）证明见解析（2）或.【解析】【分析】（1）由题可得是二面角的平面角，利用其可说明平面，即可证明结论.（2）如图建立

空间直角坐标系，设，由，可得，后表示出平面ADE的法向量，利用直线BM与平面ADE所成角的正弦值为得到关于的方程，即可得答案.【小问1详解】∵由图1得：，，且，∴在图2中平面，是二面角的平面角，则，∴是正三角形，且N是BC的中点，，又平面BCF，平面BCF，

可得，而，平面ABCD.∴平面ABCD，而平面，∴.【小问2详解】因为平面ABCD，过点N做AB平行线NP，所以以点N为原点，NP，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，，设∴，，,.∵，

∴.∴，∴，设平面的法向量为则，取，设直线BM与平面ADE所成角为，∴，∴，∴或.