【文档说明】四川省高县中学校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，2.142 MB，由小赞的店铺上传

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高2022级数学半期考试试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知点()()1,0,2,3AB，则直线AB的斜率是（）A.3B.3−C.33D.33−【答案】A【解析】【分析】利用

两点的斜率公式计算即可.【详解】由题意可知直线AB的斜率为30321−=−.故选：A2.方程221410xykk+=−−表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是A.(4,+∞)B.()4,7C.()4

,10D.()7,10【答案】D【解析】【详解】由题意可知40,100,410,kkkk−−−−解得710k.考点：椭圆的标准方程及几何性质.3.直线1:30laxy−−=和直线2:(2)2

0lxay+++=平行，则实数a的值为（）A.3B.1−C.2−D.3或1−【答案】B【解析】【分析】由a•（a+2）+1＝0，解得a．经过验证即可得出．【详解】由a•（a+2）+1＝0，即a2+2a+1＝0，解得a＝﹣1．经过验证成立．∴a＝﹣1．故选：B．【点睛】本题考查了两条直线平行的充要

条件，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.直线3440xy−−=被圆22(3)9xy−+=截得的弦长为（）A.22B.4C.42D.2【答案】C【解析】【详解】解：因为圆心为（3,0），半径为3，那么

利用圆心到直线的距离公式3340415d−−==，利用勾股定理可知弦长为2222842rd−==．选C5.已知圆221:60Cxyx++=关于直线1:lyx=对称的圆为C，则圆C的方程为（）A.22(

3)9xy++=B.22(3)9xy+−=C.22(3)9xy++=D.22(3)9xy−+=【答案】A【解析】【分析】将圆1C改写成标准方程形式确定圆心、半径，根据对称关系可得圆C圆心(0,3)−、半径为3，写出圆C的方程.【详解】由题设，221:(3)9Cxy++=，则圆心为(3

,0)−，半径为3，由圆1C关于直线1:lyx=对称的圆为C，则(0,3)C−且半径为3，∴圆C的方程为22(3)9xy++=.故选：A6.齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从

双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为（）A.13B.14C.15D.16【答案】A【解析】【分析】先求出基本事件总数，再求出田忌的马获胜包含的基本事件种数，由此能求出田忌的马获胜的概率.【详解】分别用A，B，C表示齐王的上、中、下等马，用a，b，c表示

田忌的上、中、下等马，现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛有Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc共9场比赛，其中田忌马获胜的有Ba，Ca，Cb共3场比赛，所以田忌马获胜的概率为13.故选：A.【点睛】本题考查概率的求法，考查等

可能事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.7.苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度100AB=米，拱高10OP=米，在建造圆拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（）米.（注意：10取3.162）

A.6.48B.4.48C.2.48D.以上都不对【答案】A【解析】【分析】以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，求得点A的坐标，设所求圆的半径为r，由勾股定理可列等式求得r的值，进而可求得圆的方程，然后将30x=−代

入圆的方程，求出点N的纵坐标，可计算出MN的长，即可得出结论.【详解】以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系，由题意可知，点A的坐标为()50,10−−，设圆拱桥弧所在圆的半径为

r，10OP=，由勾股定理可得()222rOPOAr−+=，即()2221050rr−+=，解得130r=，所以，圆心坐标为()0,130−，则圆的方程为()222130130xy++=，将30x=−代入圆的方程得()()2221301303016

000y+=−−=，10y−，解得4010130y=−，()()40101301040101206.48MN=−−−=−（米）.故选：A.【点睛】本题考查圆的方程的应用，求得圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中

等题.8.阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比()0,1MQMP=，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点M的轨迹是

阿波罗尼斯圆，其方程为221xy+=，定点Q为x轴上一点，1,02P−且2=，若点()1,1B，则2MPMB+的最小值为（）A.6B.7C.10D.11【答案】C【解析】【分析】根据点M的轨迹方程可得()

2,0Q−，结合条件可得2MPMBMQMBQB+=+，即得.【详解】设(),0Qa，(),Mxy，所以()22=−+MQxay，又1,02P−，所以2212MPxy=++．因为MQMP=且2=，所以()2222212−+=++

xayxy，整理可得22242133+−++=aaxyx，又动点M的轨迹是221xy+=，所以24203113aa+=−=，解得2a=−，所以()2,0Q−，又2MQMP=，所以2MPMBMQMB+=+，因为()1,1B，所以

2MPMB+的最小值为()()22121010=++−=BQ．故选：C．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.投掷一枚均匀的骰子，记事件A：“朝上的点

数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，则下列说法错误的是（）A.事件A与事件B互斥B.事件A与事件B对立C.事件A与事件B相互独立D.()56PAB+=【答案】ABD【解析】【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A与事件B的基本事

件可判断选项AB；根据独立事件的概率公式可判断选项C；求出事件AB+的概率可判断选项D.【详解】事件A：“朝上的点数大于3”，B：“朝上的点数为2或4”，这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A与事件B不

互斥，也不对立，选项A，B错误；投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，事件A：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为()12PA=，事件B：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为

()13PB=，事件AB包含的基本事件个数有1个，其概率为()16PAB=，由于()()()PABPAPB=，故事件A与事件B相互独立，C选项正确；对于D，事件AB+包含的基本事件个数有朝上的点数为2,4,

5,6共4个，故()4263PAB+==，D选项错误.故选：ABD.10.已知直线l的一个方向向量为()3,3=−，且l经过点()1,2−，则下列结论中正确的是（）A.l的倾斜角等于120B.l在𝑥轴上的截距等

于233C.l与直线3320xy−+=垂直D.l上的点与原点的距离最小值为18【答案】AC【解析】【分析】由方向向量求出直线斜率，即可求出直线方程，由倾斜角与斜率关系可判断A；令=0y求出𝑥轴上的截距，可判断B；由斜率与垂直关系可判断C；l上的点与原点的距离最小值为原点到直线l的

距离，求出点线距离即可判断D【详解】直线l的方向向量为()3,3=−，则斜率333k==−−，故直线l为()231yx+=−−，即332yx=−+−，对A，∵tan3k==−，()0,180，故120

=，A对；对B，由3320yx=−+−=得2313x=−，B错；对C，直线3320xy−+=斜率133k=，由11kk=−得l与直线3320xy−+=垂直，C对；对D，l上的点与原点的距离最小值为原点到直线l的距离，即3231213−+=−+，D错；故选：AC11.如图，在平

行六面体1111ABCDABCD−中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为11AC与11BD的交点，若1,,ABAbcaDAA===，则下列正确的是（）A.1122BMabc=

−+B.1ACabc=++C.1AC的长为5D.16cos,3ABAC=【答案】BD的【解析】【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出216AC=，从而求出16AC=；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.【详解】根据题意，依次分析选项：对

于A选项，()111111222BMBBBMAABABCbac=+=++=−+，A错误，对于B选项，11ACABADCCabc=++=++，B正确：对于C选项，1ACabc=++，则222221()2226ACabcabcabacbc=++=+++++=，则16AC=，C

错误：对于()212ABACaabcaabac=++=++=，则1116cos,3ABACABACABAC==，D正确.故选：BD.12.下列结论正确的是（）A.过点()2,3A−−且在两坐标轴上的截距

相等的直线l的方程为5xy+=−；B.圆224xy+=上有且仅有3个点到直线:20lxy−+=的距离都等于1C.已知0ab，O为坐标原点，点(),Pab是圆222:Exyr+=外一点，且直线m的方程是2axbyr+=，则直线m与圆E相交；D.已知直线10kxyk−−−=和以()

3,1M−，()3,2N为端点的线段相交，则实数k的取值范围为1322k−；【答案】BC【解析】【分析】A选项，考虑截距为0时，求出直线l的方程为32yx=，A错误；B选项，得到圆心到直线的距离刚好为圆半径的一半，故可判断B正确；C选项，首先根据点在圆外得到不

等式222abr+，再使用点到直线距离公式得到圆心到直线距离小于半径，从而得到C选项正确；D选项，求出直线过的定点，画出图象，结合定点与端点处连线的斜率，求出实数k的取值范围.【详解】A：当截距为0时，设直线l的方程为ykx=，代入(

)2,3A−−，解得：32k=，则直线l的方程为32yx=，当截距不为0时，设直线l的方程为1xyaa+=，代入()2,3A−−，解得：5a=−，此时直线l的方程为5xy+=−，综上：直线l的方程为5xy+=−或32yx=.故A错误；B：圆224xy+=的圆心为()0,0，半径为2，圆

心到直线:20lxy−+=的距离为002111−+=+，刚好为半径的一半，所以圆224xy+=上有且仅有3个点到直线:20lxy−+=的距离都等于1，故B正确；C：已知0ab，O为坐标原点，点(),Pab是圆2

22:Exyr+=外一点，所以222abr+，直线m的方程是2axbyr+=，则圆心到直线m的距离为2222rrrrab=+，所以直线m与圆E相交，故C正确；D：直线10kxyk−−−=整理为()11ykx+=−，即过定点()1,1H−，如图所示，11

1132MHk−−==−+，123132NHk−−==−，要想直线10kxyk−−−=与以()3,1M−，()3,2N为端点的线段相交，则实数k的取值范围为32k或12k−，故D错误.故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分

，共20分．13.若P为椭圆22:11611xyE+=上一点，12,FF分别为左、右焦点，若13PF=，则2PF=______．【答案】5【解析】【分析】根据椭圆的定义求得正确答案.【详解】因为12122168,3PFPFaPF+====，所以25PF=．故答案

为：514.已知圆2221:2450Cxymxym+−++−=与圆2222:2230Cxyxmym++−+−=，若圆1C与圆2C相外切，则实数m=________.【答案】2或－5【解析】【分析】由两圆外切知连心线的长为两圆的半径之和，利用两点

间距离公式即可求得【详解】圆221:()(2)9Cxmy−++=，圆222:(1)()4Cxym++−=，则1(,2)Cm−，13r=，2(1,)Cm−，22r=.当圆1C与圆2C相外切时，显然有1212CCrr=+，即22(1)(2)235m

m+++=+=，整理得23100mm+−=，解得5m=−或2m=.故答案为：2或－515.已知点()4,2P−，点A为圆224xy+=上任意一点，则PA连线的中点轨迹方程是___________．【答案】()()22211xy−++=【解析】【分析】首先设中点坐标

为(),Qxy，再设出相关点A的坐标，代入圆的方程，即可求解.【详解】设PA连线的中点为(),Qxy，则()24,22Axy−+，则()()2224224xy−++=，即()()22211xy−++=.故答案为：()()22211xy

−++=16.若直线:420lkxyk−++=与曲线24yx=−有两个交点，则实数k的取值范围是______.【答案】31,4−−【解析】【分析】先求出直线l所过定点(2,4)A−，再将曲线

24yx=−转化为224(0)xyy+=，可知其为半圆，结合图像，即可求出k的取值范围.【详解】由题意得，直线l的方程可化为(2)40xky+−+=，所以直线l恒过定点(2,4)A−，又曲线24yx=−可化为224(0)xyy

+=，其表示以(0,0)为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图.当l与该曲线相切时，点(0,0)到直线的距离24221kdk+==+，解得34k=−，设(2,0)B，则40122ABk−==−−−，由图可得，若要使直线l与曲线24yx=−有两个交点，须得314k−−，即31,4k−−

.故答案为：31,4−−.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1）焦点坐标为()5,0−和()5,0，椭圆上任一点到两个焦

点距离之和为26；（2）焦点坐标为()0,3−和()0,3，且椭圆经过点()8,3.【答案】（1）221169144xy+=（2）2218172yx+=【解析】的【分析】（1）设椭圆的标准方程为()222210+=xyabab，根据椭圆的定义求出a

的值，进而可求得b的值，由此可得出椭圆的标准方程；（2）设椭圆的标准方程为()222210yxabab+=，根据椭圆的定义求出a的值，进而可求得b的值，由此可得出椭圆的标准方程.【小问1详解】解：因为椭圆的焦点坐标为()5,0−和()

5,0，设椭圆的标准方程为()222210+=xyabab，因为椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为26，则226a=，可得13a=，所以，2222513512ba=−=−=，因此，椭圆的标准方程为221169144xy+=.【小问2详解】解：因为焦点坐标

为()0,3−和()0,3，设椭圆的标准方程为()222210yxabab+=，因为椭圆经过点()8,3，由椭圆定义可得()()2222283383318a=++++−=，所以，9a=，则222239362ba=−=−=，因此，椭圆的标准方程为2218172yx+=.18.已

知ABCV的顶点()4,2A−，顶点C在x轴上，AB边上的高所在的直线方程为20xym++=．（1）求直线AB的方程；（2）若AC边上的中线所在的直线方程为40xy−−=，求m的值．【答案】（1）2100xy−−=（2）2m=−【解析】【分析】（1）求出直线AB的斜率，利用点斜式可得出直线AB的方

程；（2）设点(),0Ct，求出线段AC的中点D的坐标，将点D的坐标代入直线40xy−−=的方程，求出t的值，可得出点C的坐标，再将点C的坐标代入直线20xym++=的方程，即可求出实数m的值.【小问1详解】解：由条件知AB边上的高所在的直线的斜率为12−，所以直线AB的

斜率为2，又因为()4,2A−，所以直线AB的方程为()224yx+=−，即2100xy−−=.【小问2详解】解：因为C点在x轴上．所以设(),0Ct，则线段AC的中点为4,12tD+−，点D在直线40xy−−=上，所以41402t++−=，得2

t=，即()2,0C，又点C在直线20xym++=上，所以20m+=，解得2m=−．19.在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为12，收到0的概率为12；发送1时，收到0的概率为13，收到1的概率为23.（1）重复发送信号1三次，计算至少

收到两次1的概率；（2）依次发送1，1，0，判断以下两个事件：①事件A：至少收到一个正确信号；②事件B：至少收到两个0，是否互相独立，并给出证明.【答案】（1）2027；（2）事件A与事件B不互相独立，证明见解析.【解析】【分析】（1）利用事件的

相互独立求“至少收到两次1”的概率；（2）利用事件的相互独立性计算()PA，()PB，()PAB，利用独立事件的概率公式验证.【小问1详解】重复发送信号1三次，“至少收到两次1”的可能情况为：(1，1，1)，(1，

0，1)，(1，1，0)，(0，1，1)，因为信号的传输相互独立，故“至少收到两次1”的概率为：2222122211222033333333333327+++=.【小问2详解】事件A与事件B不互相独立，证明如下：若依次发送1，1，0，则三次都没收到正确信号的概率为11113

3218=，故至少收到一个正确信号的概率为()11711818PA=−=；若依次发送1，1，0，“至少收到两个0”的可能情况为：(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故()1111111212116133233

2332332183PB=+++==，若依次发送1，1，0，“至少收到两个0且至少收到一个正确信号”的可能情况为：(0，0，0)，(0，1，0)，(1，0，0)，根据事件的相互独立性，故()11112121153323

3233218PAB=++=，因为()()()PAPBPAB，所以事件A与事件B不互相独立.20.如图，直棱柱111ABCABC−中，,DE分别是1,ABBB的中点，122AAACCBAB===．

（1）证明：1//BC平面1ACD；（2）求二面角1DACE−−的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）33.【解析】【分析】（1）连接1AC交1AC于O，连接OD，易得1//ODBC，由线面平行的判定证结论；（2）构建空间直角坐标，应用向量法求二面角的余弦值.

【小问1详解】连接1AC交1AC于O，连接OD，显然O为1AC中点，又D是AB的中点，所以1//ODBC，OD面1ACD，1BC面1ACD，故1//BC平面1ACD.【小问2详解】由ACCB=，则CDAB⊥，由111ABCAB

C−为直棱柱，过D作Dz平行于侧棱，所以可构建如下图示的空间直角坐标系Dxyz−，令2AB=，且222ACCBAB+=，故直棱柱上下底面为等腰直角三角形，且12ACBAAC===，则1CD=，所以12(1,0,2),(0,1,0),(

0,0,0),(1,0,)2ACDE−，则112(1,1,2),(0,1,0),(2,0,)2ACDCAE=−==−，若(,,)mxyz=、(,,)nabc=分别是面1ACD、面1ACE的一个法向量，

1200mACxyzmDCy=+−===，令1z=，故(2,0,1)m=，11202202nACabcnAEac=+−==−=，令22c=，故(1,3,22)n=，综上，323|cos,|||3||||332mnmnmn

===，故锐二面角1DACE−−的余弦值为33.21.①圆心C在直线l：230xy−−=上，圆C过点()2,3B；②圆C过直线l：4230xy+−=和圆222xy+=的交点：在①②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中进行求解．已知圆C经过点()4,1A，且________．（1）求

圆C的标准方程；（2）已知点()0,2M，求过点M的圆C的切线方程．【答案】（1）选①：()()22214xy−+−=；选②：()()22214xy−+−=（2）0x=和3480xy−+=【解析】【分析】（1）利用圆的定义、直线方程、直线与圆的关系、圆与圆的关系运算即可得解.（2）利

用直线与圆的关系、直线方程、点到直线的距离公式运算即可得解.小问1详解】解：选①：设圆心()00,Cxy，则由题意：∵圆心C在直线l：230xy−−=上，∴00230xy−−=………………………（ⅰ）∵圆C过点()4,1A和()2,3B，∴ACBC=，即()()()

()222200004123xyxy−+−=−+−，化简得：0010xy−−=…………………（ⅱ）联立（ⅰ）（ⅱ）解得：002,1xy==，∴圆心()2,1C，半径为2rAC==，∴圆C的标准方程为()()22214xy−+−=.选②：如下图：设直线l：4230xy+−=和圆222xy+=

的交点为,EF，连接OC，则由直线和圆的位置关系、圆和圆的位置关系知直线OCl⊥，垂足为D，连接OF、CF.由题意，圆222xy+=的圆心为()0,0O，半径2OF=.【∵直线l方程为4230xy+−=，OCl⊥，∴直线OC方程为20xy

−=，故设圆心()2,Ctt，由图知0t，则2245OCttt=+=，由423020xyxy+−=−=解得直线OC和直线l交点()0.6,0.3D，则()()22350.60.310OD=+=，圆C半径()()22241rFCACtt===−+−，2221552

0DFOFOD=−=，CDOCOD=−，由222FCDFCD=+得：()()222313524152010ttt−+−=+−，解得：1t=.∴圆心()2,1C，半径2rFC==∴圆C标准方程为

()()22214xy−+−=.【小问2详解】解：由（1）知，选①或选②，圆C的标准方程均为()()22214xy−+−=，如下图，点()0,2M在圆外，则因为圆C的圆心()2,1C到y轴距离2dr==，所以，0x=是圆C过点M的一条切线.设圆C过点M的另一条切线斜率为k，

则其方程为：.的()20ykx−=−，即20kxy−+=.由直线与圆相切知圆心到直线距离为半径，则有221221kk−+=+，解得：34k=，∴切线方程为3204xy−+=，即3480xy−+=.综上知，过点M的

圆C的切线方程为0x=和3480xy−+=.22.如图1，已知ABFE是直角梯形，EFAB∥，90ABF=，60=∠BAE，C、D分别为BF、AE的中点，5AB=，1EF=，将直角梯形ABFE沿CD翻折，使得二面角FDCB−−的大小为60°

，如图2所示，设N为BC的中点.（1）证明：FNAD⊥；（2）若M为AE上一点，且AMAE=，则当为何值时，直线BM与平面ADE所成角的正弦值为5714.【答案】（1）证明见解析（2）12=或1314=.【解析】【分析】（1）由题可得BCF是二面角F

DCB−−的平面角，利用其可说明FN⊥平面ABCD，即可证明结论.（2）如图建立空间直角坐标系，设()000,,Mxyz，由AMAE=，可得()54,33,3M−−，后表示出平面ADE的法向量，利用直线BM与平面ADE所成角的

正弦值为5714得到关于的方程，即可得答案.【小问1详解】∵由图1得：DCCF⊥，DCCB⊥，且CFCBC=，∴在图2中DC⊥平面BCF，BCF是二面角FDCB−−的平面角，则60BCF=，∴BCFV是正三角形，且N是BC的中点，F

NBC⊥，又DC⊥平面BCF，FN平面BCF，可得FNCD⊥，而BCCDC=，,BCCD平面ABCD.∴FN⊥平面ABCD，而AD平面ABCD，∴FNAD⊥.【小问2详解】因为FN⊥平面ABCD，过点N做AB平行线NP，所以以点N为

原点，NP，NB、NF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Nxyz−，则()5,3,0A，()0,3,0B，()3,3,0D−，()1,0,3E，设()000,,Mxyz∴()0005,3,AMxyz=−−，()4,3,3AE=−−，()2,2

3,0AD=−−,()2,3,3DE=−.∵AMAE=，∴0000005454333333xxyyzz−=−=−=−=−==.∴()54,33,3M−−，∴()54,3,3BM=−−，

设平面ADE的法向量为(),,nxyz=则00nADnDE==22302330xyxyz−−=−++=，取()3,1,3n=−，设直线BM与平面ADE所成角为，∴25357sincos,14313284

025nBMnBMnBM====++−+，∴22840130−+=，∴12=或1314=.