【精准解析】陕西省榆林市绥德中学2020届高三下学期第五次模拟考试数学(文)试题

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以下为本文档部分文字说明:

数学试题(文)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集1,2,3,4,5,6,7,8U=,1,3,5,7,5,6,7MN==则()A.5,7B.2,4C.2,4,

8D.1,3,5,7【答案】C【解析】试题分析:由题意,得,所以.考点:几何的运算.2.复数112zi=−的共轭复数所在的象限为()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】由题意结合复数的除法运算法则得1255zi=+,再由共轭复数的概念和复数的几何意义即

可得解.【详解】由题意()()1121212121255iziiii+===+−−+,所以复数z的共轭复数1255zi=−,所以复数z在复平面内对应的点为12,55−,在第四象限.故选:D.【点睛】本题考查了复数的运算、共轭复数的概念、

复数的几何意义,考查了运算求解能力,属于基础题.3.函数()ln1fxxx=−+的零点个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】【分析】在同一坐标系中作出函数lnyx=与函数1yx=−的图象,观察图象,确定两个函

数的交点个数即可得出结论.【详解】函数()ln1fxxx=−+的零点个数等价于函数lnyx=与函数1yx=−的图象的交点个数.在同一坐标系下作出函数lnyx=与1yx=−的图象,如下图:因为1(ln)yxx==,曲线lnyx=在点(1,0)

处的切线的斜率为:11kx==,所以曲线lnyx=在点(1,0)处的切线方程为1yx=−,所以可知两函数图象有一个交点,故函数()ln1fxxx=−+的零点个数为1.故选:B.【点睛】本题考查函数零点个数的

判断,考查数形结合思想,考查转化思想,属于常考题.4.已知ABC中,5tan12A=-,则cosA=()A.1213B.513C.513−D.1213−【答案】D【解析】【分析】由题易得A为钝角,cos0A,由sin5tancos12AAA==−,22sincos1AA

+=,联立解方程组即可得解.【详解】∵5tan012A=−,∴A为钝角,cos0A,且sin5tancos12AAA==−,22sincos1AA+=,联立解得5sin1312cos13AA==−.故选:D.【点睛】本题考查同角三角函数间的基本关系

的应用,考查逻辑思维能力和运算求解能力,属于常考题.5.下列关于函数22log2xyx−=+的单调性及奇偶性表述正确的是()A.该函数是减函数,并且是奇函数B.该函数是增函数,并且是偶函数C.该函数是减函数,并且是偶函数D.该函数的单调性及奇偶性均无法确定.【答案】A【解析】【分析】

先由()()22log2xfxfxx+−==−−,得()fx为奇函数,设22xtx−=+,由22xtx−=+在()22,−上单调递减,又2logyt=在()0+,上单调递增,由复合函数的单调性结论可得出答案.【详解】设()22log2xfxx−=+,则()fx的定义域满足202xx−+,得

22x−所以()fx的定义域为()22,−()()22log2xfxfxx+−==−−,所以()fx为奇函数.设24122xtxx−==−+++,其图象是由4yx=的图象向左平移2个单位,再向下平移1个单位得到的.由函数4yx=在()0+,上单调递减,所以22x

tx−=+在()22,−上单调递减.又2logyt=在()0+,上单调递增,由复合函数的单调性结论可得()fx在()22,−单调递减故选:A.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断和单调性的判断,注意复合函数性的结论的应用,属于中档题.6.已知向量(2,

1)a=,10ab=,52ab+=,则b=()A.5B.10C.5D.25【答案】C【解析】【详解】将52ab+=平方得2252105025,||5bbb++===,选C.7.设2lg,(lg),lg,a

ebece===则A.abcB.acbC.cabD.cba【答案】B【解析】:因为110e,所以10lglg102e=,那么()21lglglglg2eeee=,所以acb.8.若函数()

cos23fxx=+的图象向右平移2个单位长度后,与函数()sin2gxx=的图象重合,则的值为()A.3B.512C.4D.12【答案】B【解析】【分析】由三角函数的图象变换,求得cos(22

)3yx=−+,再根据cos(22)3yx=−+与函数()gx的图象重合,得到232−+=−,即可求解.【详解】由题意,函数()cos23fxx=+的图象向右平移2个单位长度后,可得cos[2()]cos(22)33yxx=−+=−+,又由

cos(22)3yx=−+与函数()sin2cos(2)2gxxx==−的图象重合,可得232−+=−,解得512=.故选:B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的图象与性质的应用,着重考查

推理与运算能力,属于基础题.9.双曲线22163xy−=的渐近线与圆(x-3)2+y2=r2(r>0)相切,则r等于()A.3B.2C.3D.6【答案】A【解析】【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径列方程求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y=±22x,圆心坐标为(3,0).由题意知,圆心

到渐近线的距离等于圆的半径r,即r=223023212−=+.答案:A【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程及直线与圆的位置关系,属于基础题.10.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.2π+23B.4π+23C.2π

+233D.4π+233【答案】C【解析】【详解】试题分析:由三视图知几何体是一个简单的组合体,上面是一个四棱锥,四棱锥的底面是一个正方形,对角线长是2,侧棱长2,高是2213−=,下面是一个圆柱,圆柱的底面直径是2,高是2,所以组合体的体积是21123223122323+=+

,故选C.考点:几何体的三视图及体积的计算.【方法点晴】本题主要考查了几何体的三视图及其体积的计算,着重考查了推理和运算能力及空间想象能力,属于中档试题,解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、

高平齐”的原则,还原出原几何体的形状,本题的解答中根据三视图得出上面一个四棱锥、下面是一个圆柱组成的组合体,得到几何体的数量关系是解答的关键,属于基础题.11.已知不等式sin4xcos4x+3cos24x-32-m≤0对任意的43-≤x≤0恒成立,

则实数m的取值范围是()A.[32,+∞)B.(-∞,32]C.[-32,+∞)D.(-∞,-32]【答案】A【解析】【分析】首先将函数解析式进行化简,之后将恒成立问题转化为最值问题来处理,结合正弦函数的性质,求得其在给定区间上的最值,从而求得参数

的取值范围.【详解】令23()sincos3cos4442xxxfxm=+−−1cos132sin32222xxm+=+−−13sincossin()222223xxxmm=+−=+−,当403x−时,3233x−+,所以max3()

(0)sin032fxfmm==−=−,所以32m,故选A.【点睛】该题考查的是有关恒成立问题,在解题的过程中,涉及到的知识点有正弦函数的倍角公式,余弦函数的倍角公式,辅助角公式,正弦函数在给定区间上的最值,正确应用公式是解题的关键.12.已知直线(2)(0)ykxk=

+>与抛物线2:8Cyx=相交于A、B两点,F为C的焦点,若2FAFB=,则k=()A.13B.23C.23D.223【答案】D【解析】将y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0.设交点的横坐标分别为xA,xB,则

xA+xB=28k-4,①xA·xB=4.又|FA|=xA+2,|FB|=xB+2,|FA|=2|FB|,∴2xB+4=xA+2.∴xA=2xB+2.②∴将②代入①得xB=283k-2,xA=283k-

4+2=283k-2.故xA·xB=228162233kk−−=4.解之得k2=89.而k>0,∴k=223,满足Δ>0.故选D.二、填空题:本大题共3小题,每小题5分.13.若数列{}na的前4项为1、3、7、15,则依

此归纳{}na的通项公式为___________.【答案】21()nnanN=−【解析】【分析】根据底数为2的正整数幂的运算特征写出前4项的特征,最后归纳出{}na的通项公式即可.【详解】因为1234121,321,721,1521=−=

−=−=−,所以可以归纳{}na的通项公式为;21()nnanN=−.故答案为:21()nnanN=−【点睛】本题考查了归纳推理的应用,属于基础题.14.一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况,用分层抽样的方法从全

体职工中抽取一个容量为25的样本,应抽取超过45岁的职工________________人.【答案】10【解析】试题分析:因为超过岁的职工为人,占比例为,所以抽取的人中超过岁的职工为人.考点:分层抽样的方法与运算.15.设等比数列na的前n项和为nS,若1631,4aSS==,则

4a=________.【答案】3【解析】【分析】首先根据634SS=,求出33q=,再计算4a即可.【详解】当1q=时,634SS,舍去.当1q时,634SS=,即6311(1)(1)411aqaqqq−−=−−,整理得到314q+=,3

3q=.所以341133aaq===.故答案为:3【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和的计算,熟练掌握公式为解题的关键,属于简单题.16.设OA是球O的半径,M是OA的中点,过M且与OA成45角的平面截球O的表面得到圆C.若圆C的面

积等于74,则球O的表面积等于.【答案】8【解析】试题分析:设球半径为R,圆C的半径为r,由,得.因为.由,得故球的表面积等于8π考点:球的体积和表面积点评:本题考查学生的空间想象能力,以及球的面积体积公式的应用,是基础题.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程

或演算步骤.(一)必考题:共60分.17.递增等差数列{}na中,374616,0aaaa=−+=.(1)求数列{}na的通项公式及前n项和nS;(2)求数列82nana++前n项和nT.【答案】(1)210nan=−,29nSnn=−

;(2)24193nnTnn−=+−【解析】【分析】(1)设公差为d,由条件可得()()37112616aaadad=++=−,11035aadd++=+,联立方程结合条件等差数列{}na递增可得2d=,从而可得na,由公式可求得nS.(2)设82222210n

nannban−+==++−,利用分组结合等差、等比数列的前n项和的公式,从而得出答案.【详解】(1)等差数列{}na中,设公差为d,()()37112616aaadad=++=−…………①460aa+=,可得11035a

add++=+,即14ad=−,代入①将14ad=−代入①得2216dd−=−,解得2d=又等差数列{}na递增,所以2d=,则18a=−所以()11210naandn=+−=−218210922nnaannSnnn+−+−===−(2)设

82222210nnannban−+==++−则()()()()()02221222621082nnnTbbbn−=+++=+−++++−+−()()()()02222+2++286210nn−=+−+−++−22144199143nnnnnn−−=+−=+−−【点睛】本

题考查求等差数列的通项公式和前n项,利用分组求和法和公式法求和,属于中档题.18.设ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,23cos()cos,2ACBbac−+==.(1)求B;(2)若b=3,求ABC的面积.【答案】(1)3B=;(2)9

34【解析】【分析】(1)由题意结合三角恒等变换可转换条件为32sinsin2AC=,利用正弦定理可得2sinsinsinBAC=,求出sinB后即可得解;(2)由三角形面积公式即可得解.【详解】(1)3cos()cos2ACB−+=,(

)BAC=−+,()cos()coscos()cosACBACAC−+=−−+3coscossinsincoscossinsin2sinsin2ACACACACAC=+−+==,又2bac=,2sinsinsinBAC=,232sin2B=即3sin2B=或

3sin2B=−,()0,B,sin0B,3sin2B=,又3coscos()02BAC=−−,0,2B,3B=;(2)由(1)知3sin2B=,又因为29acb==,ABC面积1

1393sin92224SacB===.【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式的应用,考查了利用余弦定理结合基本不等式求三角形面积的最大值,属于中档题.19.如图,已知空间四边形ABCD中,,BCACADBD==,E是AB的

中点.(1)求证:平面CDE⊥平面ABC;(2)若2AB=,ACBC⊥,3ADB=,3CD=,求三棱锥CADE−的体积.【答案】(1)证明见解析;(2)1112.【解析】【分析】(1)由题意结合平面几何的知识可得DEAB⊥,CEAB⊥,

由线面垂直的判定可得AB⊥平面CDE,再由面面垂直的判定即可得证;(2)由题意结合平面几何知识可得1CEAE==,3DE=,由余弦定理、同角三角函数的平方关系可得sinCDE,进而可得CDES△,再利用13CA

DEACDECDESAVEV−−==△即可得解.【详解】(1)证明:,BCACADBD==,E是AB的中点,DEAB⊥,CEAB⊥,又DECEE=,DE、CE平面CDE,AB⊥平面CDE,又ABÌ平面ABC,平面CDE⊥平面ABC;(2)2

AB=,ACBC⊥,E是AB的中点,112CEAEAB===,ADBD=,3ADB=,ADB△为等边三角形,332DEAB==,又3CD=,在CDE△中,2225cos26CDDECECDECDDE+−==,211sin1cos6CDECDE=−=,111111sin3

32264CDESCDDECDE===△,又由(1)知,AB⊥平面CDE三棱锥CADE−的体积111114112133CDCADEACDEEVVSAE−−====△.【点睛】本题考查了面面垂直的判定及棱锥体积的求解,考查了空间思维能力与运算求解能力,属于中档题.20.设函数()

()32114243fxxaxaxa=−+++,其中常数1a(Ⅰ)讨论()fx的单调性;(Ⅱ)若当x≥0时,()fx>0恒成立,求a的取值范围.【答案】(I)当时,在区间和是增函数,在区间是减函数.(II)取值范围是(1,6)【解析】【详解】:因为第(Ⅰ)题中要求函数的单调区间,利用导数的正负即

可求出,所以首先要求出函数的导数,然后解不等式和即可.第(Ⅱ)小题是一个恒成立问题,转化为求函数的最值解决,所以要求出函数()fx在x≥0时的最小值.(I)由知,当时,,故在区间是增函数;当时,,故在区间是减函数;当时,,故在区间是增函数.综上,当时,在区间和是

增函数,在区间是减函数.(II)由(I)知,当时,在或处取得最小值.由假设知即解得16a故的取值范围是(1,6)21.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为33,过右焦点F的直线L

与C相交于A、B两点,当L的斜率为1时,坐标原点O到L的距离为22.(1)求椭圆的标准方程;(2)在C上是否存在点P,使得当L绕F转到某一位置时,有OPOAOB=+成立?若存在,求出所有的P的坐标与L的方程;若不存在,说明理由.【答案】(1)22132xy+=;(2)存在

,详见解析.【解析】【分析】(1)设()(),0,0Fcc,可得直线L方程为0xyc−−=,利用点到直线距离公式即可得c,利用离心率即可得a,再利用22bac=−求得b后即可得解;(2)设()11,Axy,()22,Bxy,则()1212,Pxxyy++,按照直线

L的斜率是否为0分类,当直线L斜率不为0时,设直线L的方程为1xty=+,联立方程组结合韦达定理即可得122423tyyt+=−+、122623xxt+=+,将点P坐标代入椭圆方程求得t后即可得解.【详解】(1)设()(),0,0Fcc

,当L的斜率为1时,其方程为0xyc−−=,则原点O到直线L的距离为2222cc−==,解得1c=,由椭圆的离心率33cea==,可得3a=,222bac=−=,所以椭圆方程为22132xy+=;(2)

假设C上存在点P,使得当L绕F转到某一位置时,有OPOAOB=+成立.设()11,Axy,()22,Bxy,则()1212,Pxxyy++,由(1)知,椭圆C的方程为22132xy+=,当直线L斜率为0时,点()0,0P,不合题意;当直线L斜

率不为0时,设直线L的方程为1xty=+,由221132xtyxy=++=,消去x化简得()2223440tyty++−=,,所以122423tyyt+=−+,所以()2121222124622231123txxyytytyttt+=++=−+=+++++=,

所以点2264,2323tPtt−++,又因为点P在椭圆上,所以2222642323132ttt−+++=,化简得424430tt+−=,解得212t=或232t=−(舍去),当22t=时,点32,22P−,直线L的方程为212xy=

+即220xy−−=;当22t=−时,点32,22P,直线L的方程为212xy=−+即220xy+−=.综上,椭圆C上存在点32,22P,使得当L绕F转到某一位置时,有OPOAOB=+成立,此时直线方程为220xy−=.【点睛】本题考查了椭圆性质的应用

及标准方程的求解,考查了直线与椭圆的综合应用和运算求解能力,属于中档题.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中,直线1;2Cx=−,圆()()22

2:121Cxy−+−=,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求1C,2C的极坐标方程;(2)若直线3C的极坐标方程为()4R=,设23,CC的交点为,MN,求2CMN的面积.【答案】(

1)cos2=−,22cos4sin40−−+=;(2)12.【解析】试题分析:(1)将cos,sinxy==代入12,CC的直角坐标方程,化简得cos2=−,22cos4sin40−−+=;(2)将4=代入2

2cos4sin40−−+=,得23240−+=得1222,2==,所以2MN=,进而求得面积为12.试题解析:(1)因为cos,sinxy==,所以1C的极坐标方程为cos2=

−,2C的极坐标方程为22cos4sin40−−+=(2)将4=代入22cos4sin40−−+=得23240−+=得1222,2==,所以2MN=因为2C的半径为1,则2CMN的面积为1121sin4522=考点:坐标系与参

数方程.选修4-5:不等式选讲23.设函数()fx2x41=−+.(1)画出函数()yfx=的图象;(2)若不等式()fxax的解集非空,求a的取值范围.【答案】(1)见解析(2)()122−−+,,【解析】【分析】(1)先讨论x的范围,将函数

fx()写成分段函数,然后根据分段函数分段画出函数的图象即可;(II)根据函数yfx=()与函数yax=的图象可知先寻找满足fxax()的零界情况,从而求出a的范围.【详解】(1)由于()252232xxfxxx−+=−,,,则()yfx=的图象如图所示:(2)由函数(

)yfx=与函数yax=的图象可知,当且仅当12a或2a−时,函数()yfx=与函数yax=的图象有交点,故不等式()fxax的解集非空时,a的取值范围是()122−−+,,.【点睛】本题考查了函数图象及利

用图像解决不等式恒成立问题,属于中档题.解题的关键是要作出函数()fx的图象,观察过定点的动直线yax=何时与()fx相交,找出其斜率的变化范围,从而得参数a的取值范围.

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