【文档说明】【精准解析】陕西省榆林市绥德中学2020届高三下学期第五次模拟考试数学（理）试题.doc，共(21)页，1.881 MB，由小赞的店铺上传

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数学（理）第I卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.若21izi−=+，则zz+=（）A.1−B.1C.3−D.3【答案】B【解析】【分析】复数(,)zabiabR=+的共轭复数是(i,)zabab=−

R，复数除法运算是将分母实数化，即()()()()()22(,,,)cdiabiacbdadbcicdiabcdRabiabiabiab+−++−+==++−+．【详解】∵()()2113222iizi

−−==−，∴1zz+=.【点睛】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力.2.设集合2Axxa=，32Bxxa=−，若AB=，则a的取值范围为（）A.()1,2B.()(),12,−+C.1,2D.(),

12,−+【答案】D【解析】【分析】集合的交集运算即求两个集合的公共元素，AB=说明集合,AB没有公共元素，借助于数轴列式计算．【详解】因为AB=，所以232aa−，解得1a或2a.【点

睛】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力与推理论证能力.3.若曲线()()sin402yx=+关于点,012对称，则=（）A.23或53πB.3或43C.56或116D.6或76【答案】A【解析】【分析】正弦函数sinyx=

的对称中心是()(),0kkZ，由“五点法”作图得，将12x=代入．【详解】因为曲线()()sin402yx=+关于点,012对称，所以()412kkZ+=，又02，所以1k=时23=，2k=时5=3

.【点睛】本题考查三角函数的图象及其性质，考查运算求解能力.4.若0x，0y，则下列不等式一定成立的是（）A.222xyx−B.()1222log1xyx−+C.222yxx−D.()1222log1yxx−+【答案】B

【解析】【分析】比较两个数或式子的大小，可以用不等式的性质，如0,0ab，则ab．【详解】∵0x，0y，∴22xy，∴220xy−.∵0x，∴()12log10x+，∴()1222log1xyx−+，∴B

一定成立.【点睛】本题考查指数、对数函数与不等式的交汇，考查逻辑推理的核心素养.5.如图，AB是圆O的一条直径，C，D是半圆弧的两个三等分点，则AB=（）A.ACAD−B.22ACAD−C.ADAC−D.2

2ADAC−【答案】D【解析】【分析】本题是用,ACAD当基底向量，来表示AB，所以先在ACD中根据向量减法的三角形法则，用,ACAD表示CD，再探究CD、AB的线性关系即可．【详解】因为C，D是半圆弧的两个三等分点，所以//CDAB，且2AB

CD=，所以()2222ABCDADACADAC==−=−.【点睛】本题考查平面向量的线性运算，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.6.17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股

定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图

所示，在其中一个黄金ABC中，512BCAC−=.根据这些信息，可得sin234=（）A.1254−B.358+−C.514+−D.458+−【答案】C【解析】【分析】根据题意得到72ACB=，利用三角函数的定义得到cos

72，再由二倍角公式得到cos144，进而用诱导公式，由()sin234sin14490cos144=+=求解.【详解】由题意可得：72ACB=，且1512cos4BCACBAC−==，所以251cos1442cos7214+=−=−，所以()51sin234sin14490cos1444

+=+==−，故选：C【点睛】本题主要考查二倍角公式和诱导公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.若函数()()222,1log1,1xxfxxx+=−在(,a−上的最大值为4，则a的取值范围为

（）A.0,17B.(,17−C.1,17D.)1,+【答案】C【解析】【分析】要求函数()fx的最大值，可先分别探究函数()122,1xfxx=+与()()22log1,1fxxx=−的单调性，从而得到()fx的最大值．【详解】易知()122,1xfxx=+

在(,1−上单调递增，()()22log1,1fxxx=−()1,+上单调递增.因为()14f=，()174f=，所以a的取值范围为1,17.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.8.如图，圆C的部分圆弧在如图所示的网格纸上（小正方形的

边长为1），图中直线与圆弧相切于一个小正方形的顶点，若圆C经过点()2,15A，则圆C的半径为（）A.72B.8C.82D.10【答案】A【解析】【分析】题中的网格，相当于给出了点的坐标，由此可求出直线的方程、切点的坐标；要求圆的半径，可考虑求出圆心坐标，这样圆心与点A之间的距离即是半径．【详解】

由图可知，直线与圆C切于点()2,1，即圆C经过点()2,1，又圆C经过点()2,15，所以圆C的圆心在直线8y=上.又直线过点()()0,33,0，，所以直线的斜率30103k−==−−，因为直线与圆C切于点()2,1，所以圆心在直线()11

21yx−−=−−，即10xy−−=上.联立8,10,yxy=−−=得圆C的圆心为()9,8，则圆C的半径为()()22928172−+−=.【点睛】本题考查直线与圆，考查数形结合的数学方法.圆心的性质：圆心在弦的垂直平分线上；圆心与切点的连线与切线

垂直（121kk?-）．9.函数()()33lgxxfxx−=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先确定函数的定义域，再判断函数的奇偶性和值域，由此确定正确选项。【详解】解：函数的定义域为0xx，(

)()()33lgxxfxxfx−−=+=，则函数()fx为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当1x时，()0fx，排除A，当01x时，()0fx，排除C，故选：D.【点睛】本题通过判断函数图像考查函数的基本性质，属于基础题。10.2019年7月1日迎来了我国建党9

8周年，6名老党员在这天相约来到革命圣地之一的西柏坡.6名老党员中有3名党员当年在同一个班，他们站成一排拍照留念时，要求同班的3名党员站在一起，且满足条件的每种排法都要拍一张照片，若将照片洗出来，每张照片0.5元（不含过塑费），且有一半的照片需要过塑，每张过塑费为

0.75元.若将这些照片平均分给每名老党员（过塑的照片也要平均分），则每名老党员需要支付的照片费为（）A.20.5B.21元C.21.5元D.22元【答案】B【解析】【分析】要求每名老党员需要支付的照片费用，需求出照片的总费用，为此又需求出照片的总数，根据排列组合知识可

求出照片的总数．【详解】利用捆绑法可求得照片的总数为3434144AA=，则每名老党员需要支付的照片费为1440.5720.75216+=元.【点睛】本题考查排列组合的应用，考查应用意识与解决实际问题的能力.

11.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G分别为AA1、BC、C1D1的中点，现有下面三个结论：①△EFG为正三角形；②异面直线A1G与C1F所成角为60°；③AC∥平面EFG.其中所有正确结论的编号是（）A.①B

.②③C.①②D.①③【答案】A【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用两点间的距离公式、异面直线的夹角的求法、线面平行的判断方法，对三个结论逐一分析，由此确定正确选项.【详解】建立空间直角坐标系如下图所示，设正方体的边长为2：则()()(

)2,0,1,1,2,0,0,1,2EFG，2221216EF=++=，2222116EG=++=，2221126FG=++=，所以三角形EFG是在三角形，①正确.()()112,0,2,0,2,2AC，所以()()112,1,0,1,0,2AGCF=−=−，设异面直线1

AG与1CF所成角为，则111122cos555AGCFAGCF===，所以60，②错误.()()()2,0,0,0,2,0,2,2,0ACAC=−，()()1,2,2,2,1,1EFEG=−−=−，设平面EFG的法向量为(),,nxyz=，则22020nEFxyzn

EGxyz=−+−==−++=，令4x=，得5,3yz==，所以()4,5,3n=，由于81020ACn=−+=，所以③错误.综上所述，正确的命题序号为①.故选：A【点睛】本小题主要考查空间两点间的距离、线线角的求法，线面平行的判断，考查空间想象

能力和逻辑推理能力，属于中档题.12.函数()()3132xfxxxex=−−−在区间)(3,22,3−上的零点个数为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】【分析】令()()31302xfxxxex=−−=−，得()22123xxxex−=−，在坐标系中分别

作出函数()()22xgxxxe=−，()213hxx=−的图像，则两个图像的交点个数即()fx的零点个数．【详解】令()()31302xfxxxex=−−=−，得()22123xxxex−=−.设()()22xgxxxe=−，()2

13hxx=−.()()22exgxx=−.当32x−−时，()0gx；当22x−时，()0gx；当23x时，()0gx.所以()gx的极小值为()()()222222geh=−，极大值为()()()222222geh−−=+−，又()()31

51336ghe−==−，()()33gh，且()hx在)3,3−−，()3,0−上单调递增，在()0,3，(3,3上单调递减.结合这两个函数的图象，可知这两个函数的图象共有4个交点，从而())(3,22,3fx−上共有4个零点.【点睛】本题考查函数与

导数的综合应用，考查化归与转化的数学思想.函数()yfx=的零点方程()0fx=的实数根函数()yfx=的图像与x轴交点的横坐标；常用解题方法有：直接作函数()yfx=的图像，直接解方程()0fx=，分离参变量

，分离函数（如本题：令()0fx=得到()ygx=，()yhx=两个函数）．第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.随着互联网的发展，网购早已融入人们的日常生活.网购的苹果在运输过程中容易出现碰伤，假设

在运输中每箱苹果出现碰伤的概率为0.7，每箱苹果在运输中互不影响，则网购2箱苹果恰有1箱在运输中出现碰伤的概率为_________.【答案】0.42【解析】【分析】要求概率，可先分析概率模型，再用公式求解．【详解】题目可转化为独立重复试验，即重复做2次试验，每次事件发生的概率为0

.7，则恰有1次发生的概率为()120.710.70.42C−=.【点睛】本题考查独立重复试验，考查应用意识与数学抽象的核心素养.14.设a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边.已知sin2cosc

os2coscosaAbACcAB=+，则tanA=______.【答案】2【解析】【分析】要求tanA的值，可考虑将已知条件化成三角函数式的形式，利用三角恒等式化简计算．【详解】因为sin2coscos2coscosaAbACcAB=+，2sin,2sin,2sinaRAbRB

cRC===，所以()()2sin2cossincoscossin2cossin2cossinAABCBCABCAA=+=+=，所以tan2A=.【点睛】本题考查正弦定理的应用，考查运算求解能力.15.以椭圆22:154xyC+=在x轴上的顶点和焦点

分别为焦点和顶点的双曲线方程为_____；此双曲线的渐近线方程为_________【答案】(1).2214yx−=(2).20xy+=和20xy−=【解析】【分析】根据椭圆的方程可得到双曲线的焦点和顶点坐标，得到

,ac，求出b即可写出方程，根据方程直接写出渐近线.【详解】由椭圆22:154xyC+=可知，双曲线的焦点为(5,0),(5,0)−，双曲线顶点为(1,0),(1,0)−，1,5ac==，2224bca=−=，故双曲线的方程为2214yx−=，渐近线方程为20xy+=和20xy−=故答案为：2

214yx−=；20xy+=和20xy−=【点睛】本题主要考查了椭圆的简单几何性质，双曲线的标准方程，双曲线的渐近线，属于中档题.16.已知直线ya=与双曲线()2222:10,0xyCabab−=的一条渐近线交于点P，双曲线C的左、右顶点分别为1A，2A，若21252PAAA=

，则双曲线C的离心率为_____.【答案】2或103【解析】【分析】解出点P的坐标，用两点间距离公式求出212,PAAA，化简整理出,,abc的关系式，从而求得离心率．【详解】若渐近线的方程为byxa=，则点P的坐标为2,aab.因为21

252PAAA=，所以22225aaaab−+=，则214ab−=，所以3ab=，从而221013bea=+=.若渐近线的方程为byxa=−，则点P的坐标为2,aab−，同理可得2e=.【点睛】本

题考查双曲线的离心率，考查运算求解能力与分类讨论的数学思想.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在公差d的等差数列na中，16ad=，1

aN，dN，且1ad.（1）求na的通项公式；（2）若1a，4a，13a成等差数列，求数列11nnaa+的前n项和nS.【答案】（1）5nan=+；（2）69nn+【解析】【分析】（1）由题意可得13a=，2d=或16a=，1d=，再由等差数列的通项公式可得所求；（2

）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程即可得到所求na，求得111111(21)(23)22123nnaannnn+==−++++，再由裂项相消求和即可得解．【详解】解：（1）∵16ad=，1aN，d

N，且1ad，∴132ad==或161ad==当13a=时，21nan=+；当16a=时，5nan=+.（2）∵1a，4a，13a成等比数列，∴21134aaa=即2111(12)(3)aadad+=+，化为0d=或123ad=，由（1）可得13a=，2d=，∴21

nan=+，则111111(21)(23)22123nnaannnn+==−++++，故1111111111235572123232369=−+−++−=−=

++++…nnSnnnn.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和数列的裂项相消求和，以及分类讨论思想和方程思想，考查运算能力，属于基础题．18.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AB

B1A1为菱形，D为AB的中点，ABC为等腰三角形，∠ACB＝2，∠ABB1＝3，且AB＝B1C.（1）证明：CD⊥平面ABB1A1；（2）求CD与平面A1BC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】(1)推导出CD⊥AB,连结B1D,设AB=2a,推导出CD⊥B1D

,由此能证明CD⊥平面ABB1A1；(2)以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz−,利用向量法能求出CD与平面1ABC所成角的正弦值.【详解】()1证明：因为D为AB的中点，ACBC=，所以CDAB⊥．连接1BD，设2ABa=，因为四边形11ABBA为菱形，D为AB的中点，13AB

B=，所以13BDa=，又ABC为等腰直角三角形，2ACB=，所以CDa=，所以22211BDCDBC+=，则1CDB⊥D.因为1ABBDD=，所以CD⊥平面11ABBA（2）以D为坐标原点，建立如图所示的空

间直角坐标系Dxyz−，设2ABa=，则(0,D0，0)，()10,2,3Aaa，()0,,0Ba−，(,Ca0，0)，所以1BA→()0,3,3aa=，BC→(),,0aa=，设平面1ABC的法向量为n→(,x=y，)z，则10nBAnBC→→→→==，即330ayaz

axay+=+=，令1y=，得n→()1,1,3=−−．设CD与平面1ABC所成角为，因为CD→(),0,0a=−，所以5cos,55||||CDaannnCDCD→→→→→→===所以5sin|cos,|5CnD→→==，即CD与平面1ABC所成角的正弦

值为55．【点睛】本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，考查利用空间向量求线面角，考查逻辑推理能力与计算能力，属于中档题．19.为提高产品质量，某企业质量管理部门经常不定期地对产品进行抽查检测，现对某条生产线上随机抽取的100个产品进行相关数据的

对比，并对每个产品进行综合评分（满分100分），将每个产品所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为80分及以上的产品为一等品.（1）求图中a的值，并求综合评分的中位数；（2）用样本估计总体，视频率作为概率，在该条生产线中随机抽取3

个产品，求所抽取的产品中一等品数的分布列和数学期望.【答案】（1）0.040a=，82.5；（2）分布列见解析，()95EX=.【解析】【分析】（1）由频率分布直方图的性质，即可解得a的值，再利用中位数的计算，求得综合评分的中位数；（2）由（1）与频率分布直方图可知，一等品的频率为0.6，

得出所抽取的产品为一等品的【详解】（1）由频率分布直方图的性质，可得()0.0050.0100.0250.020101a++++=，解得0.040a=.令中位数为x，则()()0.0050.0100.025100.040800.5x+++−=，解得82.5x=，

所以综合评分的中位数为82.5.（2）由（1）与频率分布直方图可知，一等品的频率为()0.0400.020100.6+=，即概率为0.6，设所抽取的产品为一等品的个数为X，则33,5XB，所以()303280C5125PX===，()2133236

1C55125PX===，()22332542C55125PX===，()3333273C5125PX===.所以X的分布列为X0123P8125361255412527125所抽取的产品为一等品的数学期望()3935

5EX==.【点睛】本题主要考查了频率分布直方图的性质及应用，以及二项分布的求解及数学期望的计算，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及计算能力，属于基础题.20.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的长轴长为22，焦距为2，抛物线()2:20Mypxp=的准线经过C

的左焦点F.（1）求C与M的方程；（2）直线l经过C的上顶点且l与M交于P，Q两点，直线FP，FQ与M分别交于点D（异于点P），E（异于点Q），证明:直线DE的斜率为定值.【答案】（1）C：2212xy+

=，M：24yx=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意可得a，c的值，运用222bac=−，求得b，可得椭圆C的方程，由M的准线经过点F，求得p，即可得解M的方程；（2）设直线l的方程为1ykx=+，联立直线与抛物线

的方程，设()11,Pxy，()22,Qxy，运用韦达定理得12,yy之间的关系，再联立直线FP与抛物线的方程解得D的坐标，同理可得出E的坐标，代入两点间斜率计算公式即可得结果.【详解】（1）由题意，得222a=，22c=，所以2a=，1

c=，所以221bac=−=，所以C的方程为2212xy+=，所以()1,0F−，由于M的准线经过点F，所以12p−=−，所以2p=，故M的方程为24yx=.（2）证明:由题意知，l的斜率存在，故设直线l的方程为1

ykx=+，由214ykxyx=+=，得2104kyy−+=.设()11,Pxy，()22,Qxy，则10k=−，即1k且0k，124yyk+=，124yyk=.又直线FP的方程为()1111yyxx=++，由()11211

4yyxxyx=++=，得()1214140xyyy+−+=，所以14Dyy=，所以14Dyy=，从而D的坐标为21144,yy.同理可得E的坐标为22244,yy，所以121212221244144DEyyyykyyyy−===+−为定值.【点睛

】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的顶点和焦点坐标，考查直线与椭圆方程联立，运用韦达定理，以及直线的斜率公式的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题.21.已知函数()()()22112ln1ln242fxxxaxxx=−−−−.（1）讨论()fx的单调性.（2）试问是否存在(

,ae−，使得()13sin44afx+对)1,x+恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)存在；a的取值范围为(2,e.【解析】【分析】（1）()()()lnl

nln1fxxxaxaxxax=−+−=−−，()0,x+，所以()0fx=得12,xaxe==，所以通过对a与0,e的大小关系进行分类讨论得()fx的单调性；(2)假设存在满足题意的a的值，由题意需()min13sin44afx+，所以由(1)的单调性求()m

infx即可；又因为()13sin44afx+对)1,x+恒成立，所以可以考虑从区间)1,+内任取一个x值代入，解出a的取值范围，从而将(,ae−的范围缩小减少讨论.【详解】解：（1）()()()lnlnln1f

xxxaxaxxax=−+−=−−，()0,x+.当ae=时，()()()ln10fxxex=−−，()fx在()0,+上单调递增当0a时，0xa−，()fx在()0,e上单调递减，在(),e+上单调

递增当0ae时，()fx在(),ae上单调递减，在()0,a，(),e+上单调递增；当ae时，()fx在(),ea上单调递减，在()0,e，(),a+上单调递增.（2）假设存在(,ae−，使得()13sin44afx+对)1,x+恒成立.则()31123sin444af

a=−+，即8sin1504aa−−，设()8sin154xgxx=−−，则存在(,xe−，使得()0gx，因为()8cos044xgx=−，所以()gx在(,xe−上单调递增，因为()20g=，所以()0gx时2x即2a.又因为()13sin44afx+

对)1,x+恒成立时，需()min13sin44afx+，所以由（1）得：当ae=时，()fx在)1,+上单调递增，所以()()min331=2=244fxfae=−−，且3123sin444ee−+成立，从而ae=满足题意.当2ea时，()fx在(),ae上单调递减，在

)1,a，(),e+上单调递增，所以()()2113sin,4413sin,444afeafeea+=−+所以22,4sin1204aaeae−−−（*）设()()24sin1242xhxexexe=−−−，()4cos044xh

xe=−，则()hx在()2,e上单调递增，因为()228130hee=−−，所以()hx的零点小于2，从而不等式组（*）的解集为()2,+，所以2xe即2ea.综上，存在(,ae−，使得()13sin44afx+对)1,x+恒成立，且a的取值范围为(

2,e.【点睛】求可导函数()fx的单调区间的一般步骤是：（1）求定义域；（2）求()fx；（3）讨论()fx的零点是否存在；若()fx的零点有多个，需讨论它们的大小关系及是否在定义域内；（4）判断()f

x在每个区间内的正负号，得()fx的单调区间.当()fxa在区间D上恒成立时，需()minfxa.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,22sinxy==+（为

参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M的极坐标方程为2sin23202=.（1）求曲线C的极坐标方程；（2）已知为锐角，直线():lR=与曲线C的交点为A（异于极点），l与曲线M的交点为B

，若162OAOB=，求l的直角坐标方程.【答案】(1)4sin=；(2)2yx=【解析】【分析】(1)先消去参数，得到曲线C的普通方程，再化成极坐标方程；(2)由题意知，直线l是过原点的，所以求出l的斜率k或tan的值即可写出l的方程.【详解】解：（1）由题意知曲线C

的直角坐标方程为()2224xy+−=，即224xyy+=，所以24sin=，即4sin=，故曲线C的极坐标方程为4sin=.（2）因为曲线M的极坐标方程为2sin23202=

，所以32sin2=，将=代入，得42sin2OB=因为曲线C的极坐标方程为4sin=，所以4sinOA=所以2sin16216tan162sin2OAOB===，则tan2=，故l的直角坐标方程为

2yx=【点睛】设P为平面上一点，其直角坐标为(),xy，极坐标为(),，则cosx=，siny=，()222+xyOP==，()tan0yxx=．23.已知a，b，c为正数，且满足3abc++=.（1）证明：3abbcac++.（2）证明：

9412abbcacabc++.【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；【解析】【分析】(1)用均值定理直接证明；(2)用分析法证明．【详解】证明：（1）因为a，b为正数，所以2abab+，同理可得2bcbc+，2acac+，所以(

)2222abcabbcac++++，当且仅当1abc===时，等号成立故3abbcac++.（2）要证9412abbcacabc++，只需证14912abc++即证()14936abcabc++++，即证499414936abacbcbacacb+

+++++++，即证499422abacbcbacacb+++++.因为4244abba+=，9296acca+=，9423612bccb+=，所以499422abacbcbacacb+++++，当且仅当12a=，1b=，32c=时，等号成立，从而9412abbcacabc

++得证.【点睛】证明不等式常用的方法：综合法，分析法．综合法：从已知条件、不等式的性质和基本不等式出发，通过逻辑推理，推导出所要证明的结论．分析法：将待证明的不等式进行恒等变形，从而探寻证明的突破口．