【文档说明】《精准解析》甘肃省张掖市2022-2023学年高三上学期第一次诊断考试数学（文）试题（解析版）.docx，共(19)页，808.632 KB，由小赞的店铺上传

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张掖市2022——2023学年高三年级第一次诊断考试数学试卷（文科）一､选择题：本大题包括12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.设全集1,2,3,4,5U=，若集

合M满足1,2UM=ð．则（）A.2MB.3MC.4MD.5M【答案】B【解析】【分析】由补集的概念得M后对选项逐一判断【详解】由题意得{3,4,5}M=，故B正确故选：B2.若复数i(32i)z=+（i是虚数单位），则z的虚部是（）A.3

iB.3C.3i−D.3−【答案】B【解析】【分析】利用复数的乘法运算计算作答.【详解】2i(32i)3i2i23iz=+=+=−+，所以z虚部是3.故选：B3.设函数211log(2),1,()2,1,xxxfxx−+−=,2(2)(log12)

ff−+=A.3B.6C.9D.12【答案】C【解析】【详解】()()()()()22log121log622221log223,log12226,2log129ffff−−=+−−====−+=.故选C.4.设a=log32,b=log52,c=log

23,则A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞b＞aD.c＞a＞b的【答案】D【解析】【详解】试题分析：判断对数值的范围，然后利用换底公式比较对数式的大小即可．解：由题意可知：a=log32∈（0，1），b=log52∈（0，1），c=log23＞1，所以a=log32，b=log52=，

所以c＞a＞b，故选D．考点：对数值大小的比较．5.在ABC中，D为线段BC上一点，且2BDCD=，则AD=（）A.3144ADABAC=+B.1344ADABAC=+C.2133ADABAC=+D.1233ADABAC=+【答案】D【解析】【分析】可画出图形，根据2BDCD=即可得出2BD

DC=，从而得出()2ADABACAD−=−，解出向量AD即可．【详解】如图，2BDCD=Q，2=BDDC，()2ADABACAD=−−，1233ADABAC=+．故选：D6.下列说法中正确的是（

）A.“5x”是“3x”的必要不充分条件B.命题“对Rx，恒有210x+>”的否定是“Rx，使得210x+”C.在同一直角坐标系中，函数2xy=与lgyx=的图象关于直线yx=对称D.若幂函数()fxmx=过点12,22，则32

m+=【答案】D【解析】【分析】根据从充分必要条件判断A选项；利用全称命题的否定形式判断B选项；利用对数函数与指数函数的关系判断C选项；由幂函数的定义求参数即可判断D选项.【详解】对于A选项：“5x”是“3x”的充分不必要条件，所以A选项不正确；对于B选项：命题“对x

R，恒有210x+>”的否定是“xR，使得210x+”，所以B选项不正确；对于C选项：在同一直角坐标系中，函数2xy=与2logyx=的图象关于直线yx=对称，所以C选项不正确；对于D选项：因为幂

函数()fxmx=过点12,22，所以2212m=，且1m=，解得12=，即32m+=，所以D选项正确；故选：D.7.把函数()sin24fxx=−的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变，再把所得的图象向左平移(0

)aa个单位长度，得到函数cosyx=的图象，则a可以是（）A.8B.4C.2D.34【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的图象变换得到sin4yxa=+−，得到sincos4xax+−=，结合选项，逐项判定，即可求

解.【详解】由题意，将函数()fx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变可得函数sin4yx=−的图象，将该图象向左平移(0)aa个单位长度，得到sin4yxa=+−的图象，所以sincos4xax+−=，

对于A中，当8a=时，sinsin8cos48xxx+−=−，故A错误；对于B中，当4a=时，sinsincos44xxx+−=，故B错误；对于C中，当π2a=时，sinsi

n2cos44xxx+−=+，故C错误；对于D中，当34a=时，sinsin34cos42xxx+−=+=，故D正确．故选：D．8.设m，n为不重合的两条直线，，为不重合的两个平

面，下列命题错误．．的是（）A.若m⊥且n⊥，则mn∥B.若m∥且m⊥，则⊥C.若m∥且n∥，则mn∥D.若∥且m⊥，则m⊥【答案】C【解析】【分析】根据线面平行、面面平行的判定和性质，线面垂直、面面垂直的判定分析判断即可.【详解】对于A，当m⊥且n

⊥时，mn∥，所以A正确，对于B，当m∥且m⊥时，过m作平面，交于直线n，则m∥n，因为m⊥，所以n⊥，因为n，所以⊥，所以B正确，对于C，当m∥且n∥时，m，n可能平行，可能异面，可能相交，故C错误，对于

D，当∥且m⊥时，则m⊥，所以D正确，故选：C9.函数()lnxfxex=在点()()1,1f处切线方程为（）A.()21yex=−B.1yex=−C.()1yex=−D.yxe=−【答案】C【解析】【分析

】求得()1f和()1f的值，利用点斜式可得出所求切线方程.【详解】()lnxfxex=，()1lnxfxexx=+，则()10f=，()1fe=.因此，函数()lnxfxex=在点()()1,

1f处的切线方程为()1yex=−.故选：C.【点睛】本题考查利用导数求解函数的切线方程，考查计算能力，属于基础题.10.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题:已知-对兔子每个月可以生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子.

假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为:1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，...，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是*12(3,)nnnaaannN−−=+，其中，121,1.aa==若从该数列的前

120项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（）A.13B.23C.12D.34【答案】A【解析】【分析】根据已知条件先分析数列中相邻三项的奇偶性情况，然后得到前120项中的偶数个数，由此可求解出对应概率.【详解】因为奇数加奇数结果是偶数，奇数加偶

数结果是奇数，偶数加奇数结果是奇数，所以数列中任意相邻的三项，其中一项为偶数，两项为奇数，所以前120项中偶数有40项，所以这个数是偶数的概率为401=1203.故选：A.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键在

于分析斐波那契数列中项的奇偶组成，通过项的奇偶组成确定出的120项中奇数和偶数的项数，完成问题的求解.11.已知抛物线28yx＝的焦点到双曲线E：22xa－221(0,0)yabb=,的渐近线的距

离不大于3，则双曲线E的离心率的取值范围是()A.(1,2]B.(1,2]C.[2,＋∞)D.[2,＋∞)【答案】B【解析】【详解】抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，双曲线的一条渐近线方程为bx＋ay＝0，由题知2223bba+，化简得b2≤3a2，又c2＝a2＋b2，∴c2≤4a2，∴e≤

2，又e＞1，∴12e．故双曲线E的离心率的取值范围是(1,2]．故选：B．12.已知实数a，b，c，满足lneabc==，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.cbaC.bcaD.acb【答案】C【解析】【

分析】构造函数e()xxfx=−，利用导数求出函数的单调区间及最值，再根据已知条件即可得出答案.【详解】解：设e()xxfx=−，则()e1xfx=−，当0x时，()0fx，当0x时，()0fx，所以()fx在(,0)−

上单调递减，在(0,)+上单调递增，所以min()(0)10fxf==，故exx，所以eaca=，又lnbc=，所以ecbc=，所以bca.故选：C．二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.命题“2,3210xRxx−+”的否定是__________.【答

案】2000,3210xRxx−+【解析】【分析】利用全称命题的否定可得出答案．【详解】由全称命题的否定可知，命题“2,3210xRxx−+”的否定是“0xR，20032xx−10+”，故答案为“0xR，20

03210xx−+”.【点睛】本题考查全称命题的否定，熟记全称命题与特称命题的否定形式是解本题的关键，属于基础题．14.若x，y满足0{10xyxyx−+，，，则2zxy=+的最大值为【答案】2【解析】【详解】不等式对应的可行域为直线0,1,0xyxy

x−=+==围成的三角形区域，顶点为11,22,()()0,1,1,0，当2zxy=+过点()0,1时取得最大值2故答案为：2考点：线性规划问题15.在直三棱柱111ABCABC−中，2,

2ABBCABC===.若该直三棱柱的外接球表面积为16，则此三棱柱的高为__________.【答案】22【解析】【分析】由题意画出图形，把直三棱柱补形为正四棱柱，设其高为h，把正四棱柱外接球的半径用含有h的代数式表示，代入球的表面积公式求

解．【详解】在直三棱锥111ABCABC−中，2ABC=，ABBC⊥，又2ABBC==，直三棱柱111ABCABC−的底面ABC为等腰直角三角形，把直三棱柱111ABCABC−补成正四棱柱，则正四棱柱的体对角线是其外接球的直径，设D，1D分别

为AC，11AC的中点，则1DD的中点O为球心，设直三棱柱的高为h，则球的半径222(2)()224hhR=+=+，故表面积为2244(2)164hSR==+=，解得22h=．故答案为：2216.抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过C上一点P作C的准线l的垂线，垂

足为A，若直线AF的斜率为﹣2，则PAF的面积为__．【答案】10【解析】【分析】设(),Pmn，则()1,An−，由AF的斜率解得n，再将(),Pmn代入抛物线方程可得m，进而可得PAF△的面积.【详解】由抛物线的方程可得F（1，0），准线方程为x＝﹣1，设(),Pmn，由题意可得()1,An−

，则211AFnk==−−−，解得n＝4，将(,4)Pm代入抛物线方程可得42＝4m，解得m＝4，即P（4，4），则|PA|＝4+1＝5，所以PAF△的面积154102S==.故答案为：10．三､解答题：共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都

必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.17.数列na中，若12a=，且122nnaa+=+.（1）求证：数列2na+是等比数列；（2）求数列na的通项公式及前n项和nS.【答案】（1）详见解析（2）122nna+=−，2224n

nSn+=−−【解析】【分析】（1）将122nnaa+=+变形为*122(2),()nnaanN++=+，即可证明.（2）首先求出数列2na+的通项公式，然后求出数列na的通项公式即可，对数列

na分组求和则可求出nS.【详解】解：（1）122nnaa+=+，*122(2),()nnaanN++=+，又124a+=所以数列2na+是以4为首项以2为公比的等比数列.（2）由（1）可知，

112422nnna−++==，122nna+=−.()2412222412nnnSnn+−=−=−−−.【点睛】本题考查等差数列的证明，考查求等差数列通项公式以及分组求和，考查学生的转化能力，属于基础题.18.202

2年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行．某研究机构为了解大学生对冰壶运动是否有兴趣，从某大学随机抽取男生、女生各200人，对冰壶运动有兴趣的人数占总数的2740，女生中

有80人对冰壶运动没有兴趣．（1）按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取9人作为冰壶运动的宣传员，求男生、女生各选多少人?（2）完成下面22列联表，并判断是否有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关?有兴趣没有兴趣合计男女80合计附：22

()()()()()()nadbcKnabcdabcdacbd−==+++++++()20PKk0.1000.0500.0250.0100.0010k2.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1）男生选5人，女生选4人.（2）有99%的

把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.【解析】【分析】对于小问1，由题意计算对冰壶感兴趣的男女生人数，根据其比例，再分别计算抽取的9人中男女生人数；对于小问2，完成列联表，代入22()()()()()()nadbcKnabcdabcdacbd−==+++++++

，计算其近似值，与6.635比较大小，进行判断.【小问1详解】对冰壶运动感兴趣的人数为27400270400=人，女生中有80人对冰壶运动没有兴趣，所以女生中有20080120−=人对冰壶运动有兴趣，所以男生中

有270120150−=人对冰壶运动有兴趣，按性别用分层抽样的方法从对冰壶运动有兴趣的学生中，抽取9人作为冰壶运动的宣传员，其中抽取的男生为15095270=人，女生为12094270=人，即男生

选5人，女生选4人.【小问2详解】由题意，完成下面22列联表如下有兴趣没有兴趣合计男15050200女12080200合计270130400222()400(1508050120)10.266.635()()()()200200

270130nadbcKabcdacbd−−==++++，所以有99%的把握认为对冰壶运动是否有兴趣与性别有关.19.如图，在四棱锥PABCD−中，已知平面PAD⊥平面ABCD，//ABCD，ADCD⊥，24CDAB==，AE是等边PAD△的中线．（1）证明：//AE

平面PBC．（2）若42PA=，求点E到平面PBC的距离．【答案】（1）证明见解析（2）263【解析】【分析】（1）取PC的中点F，连接EF，BF，得//AEBF后可得线面平行；（2）连接BD，因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离等于点D到

平面PBC的距离的一半．然后利用体积法由DPBCPBDCVV−−=求出D到平面PBC的距离即得．【小问1详解】证明：如图，取PC的中点F，连接EF，BF．因为E是棱PD的中点，所以//EFCD，且12EFCD=．因为//ABCD，12ABCD=，

所以//EFAB，EFAB=，所以四边形ABFE是平行四边形，所以//AEBF．因为AE平面PBC，BF平面PBC，所以//AE平面PBC．【小问2详解】解：如图，连接BD，因为E是PD的中点，所以点E到平面PBC的距离等于点D到平面PBC的距离的一半．平面PAD⊥平面ABCD，

//ABCD，ADCD⊥，易知AB⊥平面PAD，CD⊥平面PAD．因此平面PAD内的直线,PAPD都与,ABCD垂直，因为42PAPD==，24CDAB==，所以()224226PBBC==+=，()2242443PC=+=，所以1433612122

2PBCS=−=△．设D到平面PBC的距离为h，则1122423DPBCVhh−==．又1442822BCDS==△，三棱锥PBCD−高即为PAD△的高，长为342262=，所以1323822633PBCD

V−==．由323423h=，得463h=，所以点E到平面PBC的距离等于263．的20.已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率32e=，且圆222xy+=过椭圆C的上、下顶点．（1）求

椭圆C的方程；（2）若直线l的斜率为12，且直线l与椭圆C相交于P，Q两点，点P关于原点的对称点为E，点()2,1A−是椭圆C上一点，若直线AE与AQ的斜率分别为AEk，AQk，证明：0AEAQkk+=．【答案】（1）22182xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）

根据圆经过上、下顶点可求b，利用离心率和,,abc的关系可得答案；（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出AEk，AQk，求和验证即可.【小问1详解】因为圆222xy+=过椭圆C的上、下顶点，所以2b=；又因为离心率32e=，所以22222312cabbaaa−

==−=，解得28a=，所以椭圆的方程为22182xy+=.【小问2详解】由于直线l的斜率为12，可设直线l的方程为12yxt=+；代入椭圆方程2248xy+=，可得222240xtxt++−=，由于直线l交椭

圆C于P，Q两点，所以2244(24)0,tt=−−整理解得22t−设点()()1122,,,PxyQxy，由于点P与点E关于原点对称，故()11,Exy−−,212122,24xxtxxt+=−=−；因为()2,1A−，所以211221212111(2)(1)(2)(1)22(2)(2

)AEAQyyxyxykkxxxx−−−−−−+++=+=+−++−,112211,,22yxtyxt=+=+1221(2)(1)(2)(1)xyxy−−−++2112211242()()yyxyxyxx=

−++−−−211212121212()()44xxxxtxtxxxxxtxx=−−=−−+++−−+−2(24)(2)40,ttt=−−−−−=故0AEAQkk+=，结论得证.21.已知函数()xfxxe=，ln()xgxx=.（1）求函数()fx的极值；（2）当>0

x时，求证：>()()fxgx.【答案】(1)()fx的极小值为1(1)fe−=−，无极大值.（2）见解析.【解析】【分析】（1）对()xfxxe=求导，确定函数单调性，得到函数极值.（2）构造函数2()ln(0)Fxxxx=−，证明()0Fx恒成立，得到2ln1xx，22lnlnx

xxexexx，得证.【详解】（1）由题意知，()(1)xxxfxxeexe=+=+，令()>0fx，得>1x−，令()0fx，得1x−.则()fx在(,1)−−上单调递减，在(1,)−+上单调递增，所以()fx的极小值为1(1)fe−=−

，无极大值.（2）当0x>时，要证()()fxgx，即证2lnxxex.令2()ln(0)Fxxxx=−，则1()2(0)xxFxx=−，令'()0Fx，得22x，令'()0Fx，得202x，则()Fx20,

2上单调递减，在2,2+上单调递增，所以当0x>时，212()ln0222FxF=−，在所以2lnxx，即2ln1xx.因为0x>时，01xee=，所以当0x>时，22lnlnxxxexexx，所以当0x>时，不等

式()()fxgx成立.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值，不等式的证明，构造函数2()ln(0)Fxxxx=−是解题的关键.22.在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为12322txyt=+=−

（t为参数），以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程4cos=.（1）求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）直线l与曲线C交于AB、两点，点(12)P，，求PAPB+的值.【答案】（1）l的普通方程为：323yx=−++；C的直角坐标方程为：

2240xyx+−=；（2）231+【解析】【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）利用参数的几何意义，建立方程，即可求得PAPB+的值.【详解】由12322txyt=+=−得23(1)yx−=

−−l的普通方程为：323yx=−++C的极坐标方程是4cos=24cos=，224xyx+=C的直角坐标方程为：2240xyx+−=②将l的参数方程代入C的直角坐标方程223(1)(2)4(1)0222ttt++−−

+=2(231)10tt−++=12121,231tttt=+=+，12,tt同号1212||||||||||231PAPBtttt+=+=+=+.【点睛】该题考查的是有关坐标系与参数方程的问题，涉及到的知识点有三种方程的转化方法，直线参数方程中参数的几何意义，属

于简单题目.23.已知函数()214fxxx=++−（1）解不等式()6fx；（2）若不等式2()48fxxaa+−−有解，求实数a的取值范围.【答案】（1）1,1−（2）(),1(9,)−−+【解析】【分

析】（1）对()fx去绝对值符号，然后分别解不等式即可（2）不等式2()48fxxaa+−−有解，则只需2min(()4)8fxxaa+−−，求出()4fxx+−的最小值，然后解不等式即可.【详解】（1）由已知得13321()542334xxfxxxxx−+−=+−

−，，，当12x−时，3361xx−+−112x−−当142x−时，561xx+112x−当4x时，3363xx−舍综上得()6fx的解集为1,1−（2）()421289fxxx

x+−=++−2()48fxxaa+−−有解289aa−，(9)(1)0aa−+1a−或9aa的取值范围是(),1(9,)−−+.【点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及到的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式有解求参数的

取值范围，属于简单题目.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com