【文档说明】高中新教材人教A版数学课后习题 选择性必修第一册 第一章　1-4　1-4-1　第2课时　用空间向量研究直线、平面的垂直关系含解析.doc，共(10)页，1.171 MB，由envi的店铺上传

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1第2课时用空间向量研究直线、平面的垂直关系课后训练巩固提升A组1.设直线l1的方向向量为a=(2,1,-2),直线l2的方向向量为b=(2,2,m),若l1⊥l2,则m=()A.1B.-2C.-3D.3

解析:l1⊥l2⇒a⊥b⇒a·b=0.所以2×2+1×2+(-2)×m=0,解得m=3.答案:D2.已知=(1,5,-2),=(3,1,z),若=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.,-,4B.,-,4C.,-2,4D.4

,,-15解析:∵,∴=0.∴3+5-2z=0,解得z=4.∵BP⊥平面ABC,∴.∴解得答案:B3.如图,F是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点,若D1F⊥DE,则有()2A.B1E=E

BB.B1E=2EBC.B1E=EBD.E与B重合解析:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设正方体棱长为2,则D(0,0,0),F(0,1,0),D1(0,0,2),B(2,2,0),B1(2,2,2),所以=(0,1,-2).设E(2,2,t),0≤t≤2,

则=(2,2,t).由D1F⊥DE,得(0,1,-2)·(2,2,t)=0,即2-2t=0.所以t=1,即E为BB1的中点.答案:A4.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的

位置关系为()A.平行B.垂直C.相交但不垂直D.位置关系不确定解析:以D为原点,线段DA的长为单位长度,DA,DP,DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.依题意有D(0,0,0),Q(1,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0),则=(1,1,0

),=(0,0,1),=(1,-1,0).因为=0,=0,3所以PQ⊥DQ,PQ⊥DC.又DQ∩DC=D,所以PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC,所以平面PQC⊥平面DCQ.答案:B5.若向量a=(-1,2,-4),b=(2,-2,3)是平面α内的两个不共线的向量,直线l的一个

方向向量m=(2,3,1),则l与α的位置关系是(填“垂直”“平行”或“相交但不垂直”).解析:因为m·a=(2,3,1)·(-1,2,-4)=-2+6-4=0,m·b=(2,3,1)·(2,-2,3)=4-6+3=1≠0.所以l与α不垂直.设平面α的法向量为n=(x,y,z),则

计算步骤略,得到α的一个法向量n=.∵n·m≠0,∴l与α不平行.∴l与α相交但不垂直.答案:相交但不垂直6.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(2cosx+1,2cos2x+2,0)和Q(cosx,-1,

3),其中x∈[0,π].若直线OP与OQ垂直,则x的值为.解析:由题意得.∴=0.∴cosx·(2cosx+1)-(2cos2x+2)=0.∴2cos2x-cosx=0,解得cosx=0或cosx=.又x∈[0,

π],∴x=或x=.答案:7.已知空间三点A(0,0,1),B(-1,1,1),C(1,2,-3),若直线AB上一点M,满足CM⊥AB,则点M的坐标为.解析:易得=(-1,1,0).设M(x,y,z),则=(x,y,z-1),=(x-1

,y-2,z+3).∵点M在直线AB上,∴共线.∴=λ,λ∈R.∴x=-λ,y=λ,z-1=0.又CM⊥AB,∴.∴=0.4∴-(x-1)+(y-2)=0.①将x=-λ,y=λ,代入①,得λ=.∴x=-,y=,z=1,即点M的坐标为.答案:

8.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥底面ABCD,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.求证:EF⊥平面PAB.证明:以D为原点,线段DA的长为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设E(a,0,0)

,其中a>0,则C(2a,0,0),A(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),F,所以=(2a,1,-1),=(2a,0,0).因为=0,=0,所以EF⊥PB,EF⊥AB.又PB∩AB=B,所以EF⊥平面PAB.9.如图,在直三棱柱ABC

-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.5(1)求证:AC⊥BC1;(2)在AB上是否存在点D,使得AC1⊥CD?并说明理由.解:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,∴AC与BC互相垂直.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,

AC,BC,CC1两两垂直.以C为原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).(1)证明:=(-3,0,0),=(0,-4,4).∵=0,∴.∴AC⊥B

C1.(2)假设在AB上存在点D,使得AC1⊥CD.建系后得=(-3,4,0).∵点D在AB上,∴可设=λ=(-3λ,4λ,0),其中λ∈[0,1],则D(3-3λ,4λ,0).于是=(3-3λ,4λ,0).=(-3,0,4).∵AC

1⊥CD,∴=0.∴-9+9λ=0,解得λ=1,这样的点D存在.∴当点D与B重合时,AC1⊥CD.B组1.平面α的一个法向量n=(0,1,-1),如果直线l⊥平面α,那么直线l的单位方向向量s=()A.(0,

1,-1)B.±C.(0,,-)D.±(0,,-)6解析:由题意知,直线l的方向向量平行于平面α的法向量.故直线l的单位方向向量是s=±.答案:B2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于()A.ACB.BDC.A1

DD.A1A解析:以D为原点,分别为x轴、y轴、z轴的方向向量,建立空间直角坐标系(图略).设正方体的棱长为1,则C(0,1,0),E,D(0,0,0),B(1,1,0),所以=(1,1,0).因为+0=0,所以.所以CE⊥BD.答案:B3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1

中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥AC7C.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析:以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立

如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A1(1,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,1,0),E,F,B(1,1,0),D1(0,0,1),所以=(-1,0,-1),=(-1,1,0),=(-1,-1,

1).因为=-=0,=0,所以EF∥BD1,EF⊥A1D,EF⊥AC.答案:B4.(多选题)如图,以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕,把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后,某学生得出如下四个结论,其中正确的是()A.=0B.AB⊥DCC.BD⊥ACD.平面ADC的法向量和

平面ABC的法向量互相垂直解析:建立以D为原点,DB,DC,DA所在直线为x轴、y轴、z轴的空间直角坐标系Dxyz(图略).设折叠前Rt△ABC的斜边BC=2,则B(1,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1),所以=(1,0,-1),=(0,1,-1),=(0,1,

0),=(-1,0,0).由于=0+0+1=1,故A错误;=0,故AB⊥DC,故B正确;由于=0,故BD⊥AC,故C正确;8易知平面ADC的一个法向量为=(-1,0,0).设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则·n=x-z=0,·n=y-z=0.取z=1,则x=1,y=1.

故n=(1,1,1)为平面ABC的一个法向量.由于·n=-1,故D错误.答案:BC5.如图,已知矩形ABCD,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.解析:建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则D(0

,a,0).设Q(1,x,0)(0≤x≤a),P(0,0,z),则=(1,x,-z),=(-1,a-x,0).由PQ⊥QD,得-1+x(a-x)=0,即x2-ax+1=0.由题意知方程x2-ax+1=0只有一解,

所以Δ=a2-4=0.因为a>0,所以a=2,这时x=1∈[0,2].答案:26.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是以∠ABC为直角的等腰三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点E在棱AA1上,要使CE⊥平面B1DE,则AE=.解析:建立如图所示

的空间直角坐标系Bxyz,9则B1(0,0,3a),D,3a,C(0,a,0).设E(a,0,z)(0≤z≤3a),则=(a,-a,z),=(a,0,z-3a).分析知B1D⊥CE,则要使CE⊥平面B1DE,只需,则=0,即2a2+z2-3az=0,解得z=a或2a.故AE

=a或2a.答案:a或2a7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上的动点,(1)求证:A1E⊥BD;(2)若平面A1BD⊥平面EBD,请确定点E的位置并说明理由.解:分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立

如图所示的空间直角坐标系.设正方体棱长为a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),A1(a,0,a),C1(0,a,a).设E(0,a,e),e∈[0,a].(1)证明:由B,D的坐标,得=(-a,-a,0)

.由A1,E的坐标,得=(-a,a,e-a).∵=a2-a2=0.∴.∴A1E⊥BD.10(2)E为CC1的中点,理由如下:取BD的中点O,连接A1O,OE,则O,.∵A1B=A1D,O为BD中点,∴A1O⊥BD.又平面A1BD⊥平面EBD,

平面A1BD∩平面EBD=BD,且A1O⊂平面A1BD,∴A1O⊥平面EBD.又OE⊂平面EBD,∴A1O⊥OE.∴=0,即-+ae=0,解得e=,即E.∴当E为CC1的中点时,平面A1BD⊥平面EBD.