【文档说明】浙江省杭州市六县九校联盟2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷含答案.docx，共(19)页，229.204 KB，由小赞的店铺上传

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2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二（下）期中数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小

题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合𝐴={𝑥|𝑥>0}，𝐵={𝑥|−1<𝑥<2}，若𝐴∩𝐵=()A.{𝑥|𝑥<2}B.{𝑥|0<𝑥<2}C.{𝑥|1<𝑥<2}D.{𝑥|

−1<𝑥<2}2.过点𝐴(2,3)且与直线𝑙：2𝑥−4𝑦+7=0平行的直线方程是()A.𝑥−2𝑦+4=0B.2𝑥+𝑦−7=0C.2𝑥−𝑦−1=0D.𝑥+2𝑦−8=03.在等差数列{𝑎𝑛}中，若，则sin(𝑎4+𝑎6)=()A.12B.1C.0D.√32

4.若平面向量𝑎⃗与𝑏⃗⃗的夹角为60°，𝑎⃗=(2,0)，|𝑏⃗⃗|=1，则|𝑎⃗+2𝑏⃗⃗|等于()A.√3B.2√3C.4D.125.已知𝑚，𝑙是两条不同的直线，𝛼，𝛽是两个不同的平

面，则下列条件可以推出𝛼⊥𝛽的是()A.𝑚⊥𝑙，𝑚⊂𝛽，𝑙⊥𝛼B.𝑚⊥𝑙，𝛼∩𝛽=𝑙，𝑚⊂𝛼C.𝑙⊥𝛼，𝑚//𝑙，𝑚//𝛽D.，𝑚⊥𝛼，𝑙⊥𝛽6.已知𝑓(𝑥)是定义在𝑅上的奇函数，当𝑥≥0时，𝑓

(𝑥)=𝑥2−2𝑥，则𝑓(𝑥)在𝑅上的表达式是()A.𝑦=𝑥(𝑥−2)B.𝑦=|𝑥|(𝑥−1)C.𝑦=|𝑥|(𝑥−2)D.𝑦=𝑥(|𝑥|−2)7.设公差不为0的等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，则有𝑆𝑘，𝑆2𝑘−𝑆𝑘，成等差数列.类比上述

性质，若公比不为1的等比数列{𝑏𝑛}的前𝑛项积为𝑇𝑛，则有()A.𝑇𝑘，𝑇2𝑘+𝑇𝑘，𝑇3𝑘+𝑇2𝑘，…，(𝑘∈𝑁∗)成等比数列B.𝑇𝑘，，，…，(𝑘∈𝑁∗)成等比数列

C.𝑇𝑘，，，…，(𝑘∈𝑁∗)成等比数列D.𝑇𝑘，𝑇2𝑘−𝑇𝑘，𝑇3𝑘−𝑇2𝑘，…，(𝑘∈𝑁∗)成等比数列8.已知函数，对∀𝑥1，𝑥2∈[12,2]，当𝑥1>𝑥2时，恒有𝑓(𝑥1)𝑥2>𝑓(𝑥2)𝑥1，则实

数𝑎的取值范围为()A.(−∞,𝑒]B.(−∞,𝑒22]C.[𝑒,+∞)D.[𝑒22,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑎的图象经过点(13,3)，则()A.𝑓(

𝑥)的图象经过点(3,9)B.𝑓(𝑥)的图象关于𝑦轴对称C.𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递减D.𝑓(𝑥)在(0,+∞)内的值域为(0,+∞)10.在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3

，4，乙盒中有3个小球，标号分别为5，6，7.现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件𝐴=“取到标号为2的小球”，事件𝐵=取到标号为6的小球”，事件𝐶=“两个小球标号都是奇数”，事件𝐷=“两个小球标号之和大于9”，则()A.事

件𝐴与事件𝐵相互独立B.事件𝐶与事件𝐷互斥C.𝑃(𝐶)=13D.11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，⋯，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列{𝑎�

�}，则()A.𝑎4=9B.𝑎𝑛+1−𝑎𝑛=𝑛+1C.𝑎10=54D.∑1𝑎𝑖𝑛𝑖=1=2𝑛𝑛+112.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥−3)2，若𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=𝑓(𝑐)，其中𝑎>𝑏>𝑐，则()A.1<𝑐<2B.𝑏+𝑐>2C.

𝑎+𝑏+𝑐=6D.𝑎𝑏𝑐的取值范围为(0,4)第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知𝑖为虚数单位，复数𝑧=2−𝑖，则|𝑧|=______．14.若直线𝑙：𝑥−2𝑦+𝑚=0与圆𝐶：𝑥2+𝑦2−2𝑦−4=0相切，则实数𝑚=．15

.在△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且𝑠𝑖𝑛𝐵=2𝑠𝑖𝑛𝐴，3𝑐=4𝑎+𝑏，则𝑐𝑜𝑠𝐵=______．16.设椭圆𝐶：𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的左、右焦点分别为�

�1、𝐹2，𝑃是椭圆𝐶上一点，且直线𝑃𝐹1与𝑥轴垂直，直线𝑃𝐹2的斜率为−34，则椭圆𝐶的离心率为______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17

.(本小题10.0分)为了加强对数学文化的学习，某校高二年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷(满分100分)，并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽取了50名学生的成绩(单位：

分)，按照[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图(假设每名学生的成绩均不低于50分)．(1)求频率分布直方图中𝑥的值，并估计所抽取的50名学生成绩的平均数；(2)若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中

任意抽取2人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在[80,100]的学生恰有2人被抽到的概率．18.(本小题12.0分)已知函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥+√3𝑐𝑜𝑠2𝑥．(1)求函数�

�(𝑥)的最小正周期及其单调递增区间；(2)当𝑥∈[−𝜋6,𝜋6]时，𝑎−𝑓(𝑥)≤0恒成立，求𝑎的最大值．19.(本小题12.0分)如图，在四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝑃𝐴⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，�

�𝐵//𝐶𝐷，且𝐴𝐵=1，𝐶𝐷=2，𝐵𝐶=2√2，𝑃𝐴=1，𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝑁为𝑃𝐷的中点．(1)求证：𝐴𝑁//平面𝑃𝐵𝐶；(2)求直线𝑃𝐷与平面𝑃𝐵𝐶所成角的正弦值．20.(本小题12.0分)已知等差数列{�

�𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，且𝑎6=2，𝑆5=5，数列{𝑏𝑛}满足，𝑛∈𝑁∗．(1)求数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式；(2)设，数列{𝑐𝑛}的前𝑛项和为𝑇𝑛，证明：1

3≤𝑇𝑛<34．21.(本小题12.0分)已知双曲线𝐶：𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的离心率为√3，且过(√3,2)．(1)求双曲线𝐶的方程；(2)若直线𝑦=𝑘𝑥+𝑚与双曲线𝐶交于𝑃𝑄两点，𝑀是𝐶的右顶点，且直

线𝑀𝑃与𝑀𝑄的斜率之积为−23，证明：直线𝑃𝑄恒过定点，并求出该定点的坐标．22.(本小题12.0分)已知函数𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+𝑙𝑛𝑥，𝑎∈𝑅．(1)若𝑎=1，求函数在(1,2)处的切线方程；(2)若存在实数𝑥1，𝑥2，使，且，求𝑓(�

�1)−𝑓(𝑥2)的取值范围．答案和解析1.【答案】𝐵【解析】【分析】根据交集的定义直接写出𝐴∩𝐵即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．【解答】解：∵𝐴={𝑥|𝑥>0}，𝐵={𝑥|−1<𝑥<2}，∴𝐴∩𝐵={𝑥|0<𝑥<2}，故

选：𝐵．2.【答案】𝐴【解析】解：设过点𝐴(2,3)且与直线𝑙：2𝑥−4𝑦+7=0平行的直线方程是2𝑥−4𝑦+𝐶=0(𝐶≠7)，将点𝐴的坐标代入直线的方程2𝑥−4𝑦+𝐶=0得2×2−4×3+𝐶=0，解得𝐶=8，故所求直线方

程为2𝑥−4𝑦+8=0，即𝑥−2𝑦+4=0．故选：𝐴．设所求直线方程为2𝑥−4𝑦+𝐶=0，将点𝐴的坐标代入所求直线方程，求出𝐶的值，即可得解．本题主要考查直线平行的性质，属于基础题．3.【答案】𝐷【解析】解

：根据题意，在等差数列{𝑎𝑛}中，若，则有𝑎5=𝜋6，则．故选：𝐷．根据题意，由等差数列的性质可得𝑎5=𝜋6，进而可得，计算可得答案．本题考查等差数列的性质以及应用，涉及三角函数的恒等变形，属于基础题．4.【答案】𝐵【解析】解：因为平面向量𝑎

⃗与𝑏⃗⃗的夹角为60°，𝑎⃗=(2,0)，|𝑏⃗⃗|=1，所以|𝑎⃗|=2，𝑎⃗⃗⃗⋅𝑏⃗⃗=|𝑎⃗⃗⃗|⋅|𝑏⃗⃗|𝑐𝑜𝑠𝜃=2×1×𝑐𝑜𝑠60°=1，所以|𝑎⃗⃗⃗+2𝑏⃗⃗|=√(𝑎⃗⃗⃗+2𝑏⃗⃗)2=√𝑎⃗⃗⃗

2+4𝑎⃗⃗⃗⋅𝑏⃗⃗+4𝑏⃗⃗2=√4+4×1+4=2√3．故选：𝐵．先求向量的数量积，然后利用向量的模的求解方法求解即可．本题主要考查向量数量积运算，向量模的运算性质，考查运算求解能力，属于基础题．5.【答案】𝐶

【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于𝐴，𝑚⊥𝑙，𝑚⊂𝛽，𝑙⊥𝛼，则𝛼与𝛽相交或平行，不符合题意；对于𝐵，𝑚⊥𝑙，𝛼∩𝛽=𝑙，𝑚⊂𝛼，则𝛼与𝛽有可能相交但不垂直，不符合题意；

对于𝐶，𝑙⊥𝛼，𝑚//𝑙，则𝑚⊥𝛼，又由𝑚//𝛽，必有𝛼⊥𝛽，符合题意；对于𝐷，𝑚//𝑙，𝑚⊥𝛼，𝑙⊥𝛽，则𝛼//𝛽，不符合题意．故选：𝐶．根据题意，由平面与平面垂直的判定定理，依次分析选项是否正确，即可得答案．本题考查平面与

平面垂直的判断，涉及直线与平面的位置关系，属于基础题．6.【答案】𝐷【解析】解：设𝑥≤0，则−𝑥≥0，∵当𝑥≥0时，𝑓(𝑥)=𝑥2−2𝑥，∴𝑓(−𝑥)=(−𝑥)2−2(−𝑥)=𝑥2+2𝑥=−𝑓(𝑥)，∴𝑓(

𝑥)=−𝑥2−2𝑥．即当𝑥≤0时，𝑓(𝑥)=−𝑥2−2𝑥．综上可得，𝑓(𝑥)=𝑥(|𝑥|−2)，故选：𝐷．根据题意求得当𝑥≤0时，𝑓(𝑥)的解析式，综合可得𝑓(𝑥)在𝑅上

的表达式．本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，属于基础题．7.【答案】𝐵【解析】解：公差不为0的等差数列{𝑎𝑛}的前𝑛项和为𝑆𝑛，可类比为公比不为1的等比数列{𝑏𝑛}的前𝑛项的积𝑇𝑘，然后从运算

的角度考虑，应该是等差数列前𝑛项的和满足：𝑆𝑘,𝑆2𝑘−𝑆𝑘,𝑆3𝑘−𝑆2𝑘,⋯,(𝑘∈𝑁∗)成等差数列，类比为：等比数列前𝑛项的积𝑇𝑛满足：𝑇𝑘,𝑇2𝑘𝑇𝑘,𝑇3𝑘𝑇2𝑘,⋯,(𝑘∈𝑁∗)成等比数列．故选：𝐵．利用类比推

理的方法，结合等差类比等比、和类比积、差类比商等，进行判断即可．本题考查类比推理的基本思想，以及等差、等比数列的性质等，属于基础题．8.【答案】𝐴【解析】解：对∀𝑥1，𝑥2∈[12,2]，当𝑥1>𝑥

2时，恒有𝑓(𝑥1)𝑥2>𝑓(𝑥2)𝑥1，即𝑥1𝑓(𝑥1)>𝑥2𝑓(𝑥2)恒成立．令，𝑥∈[12,2]，则，𝑥∈[12,2]，则𝑒𝑥−𝑎𝑥≥0在𝑥∈[12,2]上恒成

立，可得𝑎≤𝑒𝑥𝑥在[12,2]上恒成立，令ℎ(𝑥)=𝑒𝑥𝑥，则ℎ′(𝑥)=𝑥𝑒𝑥−𝑒𝑥𝑥2=𝑒𝑥(𝑥−1)𝑥2．当𝑥∈(12,1)时，ℎ′(𝑥)<0，ℎ(𝑥)单调递减，当𝑥∈(1,2)时，ℎ′(𝑥)>0，ℎ(𝑥)单调

递增．∴ℎ(𝑥)𝑚𝑖𝑛=ℎ(1)=𝑒．∴实数𝑎的取值范围为(−∞,𝑒]．故选：𝐴．构造函数𝑔(𝑥)=𝑥𝑓(𝑥)，问题转化为𝑔′(𝑥)≥0在[12,2]上恒成立，即𝑎≤𝑒𝑥𝑥在[12,2]上恒成立，令ℎ(𝑥)=𝑒𝑥𝑥，利用导数求

最值，即可求得实数𝑎的取值范围．本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．9.【答案】𝐶𝐷【解析】解：∵函数𝑓(𝑥)=𝑥𝑎的图象经过点(13,3)，∴(13)𝛼=3，∴𝛼

=−1，∴𝑓(𝑥)=𝑥−1=1𝑥，显然，当𝑥=3时，𝑓(𝑥)=13，故A错误；显然，𝑓(𝑥)不是偶函数，故它的图象不关于𝑦轴对称，故B错误．在(0,+∞)上，𝑓(𝑥)=1𝑥是减函数，故C正确；在(0,+∞)内，𝑓(𝑥)=1𝑥∈(0,+∞)，故D正确，故选：𝐶𝐷．

由题意，利用幂函数的定义和性质，先求出函数的解析式，可得结论．本题主要考查幂函数的定义和性质，属于基础题．10.【答案】𝐴𝐶𝐷【解析】解：从甲盒、乙盒中分别随机抽取一个小球的样本空间为：{1,5}，{1,6

}，{1,7}，{2,5}，{2,6}，{2,7}，{3,5}，{3,6}，{3,7}，{4,5}，{4,6}，{4,7}，共12种，事件𝐴包含的基本事件有：{2,5}，{2,6}，{2,7}，𝑃(𝐴)=312=14，事件𝐵包含的基本事件有：{1,6}，{2,6}，{3,6

}，{4,6}，𝑃(𝐵)=412=13，事件𝐴𝐵包含的基本事件有：{2,6}，𝑃(𝐴𝐵)=112，∴𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)，事件𝐴与事件𝐵相互独立，故A正确；事件

𝐶和事件𝐷都有{3,7}，∴事件𝐶和事件𝐷不是互斥事件，故B错误；事件𝐶包含的基本事件有：{1,5}，{1,7}，{3,5}，{3,7}，，故C正确；事件𝐷包含的基本事件有：{3,7}，{4,6}，{4,7}，，，，故D正确．故选：𝐴𝐶𝐷．列举出样

本空间，根据题意和古典概型求出对应事件的概率即可．本题考查互斥事件、相互独立事件、概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．11.【答案】𝐵𝐷【解析】解：对于𝐴，∵𝑎3=6，∴𝑎4=𝑎3+4=10，故A错误；对于𝐵，∵𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=𝑛(𝑛≥2)，∴𝑎𝑛+1−𝑎�

�=𝑛+1，故B正确；对于𝐶，∵𝑎2−𝑎1=2，𝑎3−𝑎2=3，...，𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=𝑛，且𝑎1=1，∴上述各式相加得，𝑎𝑛=1+2+3+⋯+𝑛=𝑛(𝑛+1)2，经检验：𝑎1=1满足𝑎𝑛=𝑛

(𝑛+1)2，∴𝑎𝑛=𝑛(𝑛+1)2，∴𝑎10=55，故C错误；对于𝐷，由选项C可知1𝑎𝑛=2𝑛(𝑛+1)=2(1𝑛−1𝑛+1)，故D正确．故选：𝐵𝐷．根据题意，可知从第二层起

，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即𝑎𝑛−𝑎𝑛−1=𝑛(𝑛≥2)，即𝑎𝑛=𝑎𝑛−1+𝑛(𝑛≥2)，利用等差数列的性质能求出结果．本题考查三角垛、等差数列的性质、简单的归纳推理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.【答案】𝐵�

�𝐷【解析】解：因为𝑓(𝑥)=𝑥(𝑥−3)2，所以，令𝑓′(𝑥)=0，解得𝑥=1或𝑥=3，当𝑓′(𝑥)>0时，𝑥>3或𝑥<1，所以𝑓(𝑥)单调递增区间为(−∞,1)和(3,+∞)；当𝑓′(𝑥)<0时，1<𝑥<3，所以𝑓(𝑥)单调递减

区间为(1,3)，𝑓(𝑥)的图象如右图所示，𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=𝑓(𝑐)=𝑡，则0<𝑡<4，0<𝑐<1<𝑏<3<𝑎<4，故A错误；又𝑓(𝑥)−𝑡=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)(𝑥−𝑐)，所以，即，对照系数得𝑎+𝑏+𝑐=6，故选项C正确

；，故选项D正确；因为3<𝑎<4，所以3<6−(𝑏+𝑐)<4，解得2<𝑏+𝑐<3，故选项B正确．故选：𝐵𝐶𝐷．对𝑓(𝑥)求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再设𝑓(𝑎)=𝑓(𝑏)=𝑓(𝑐)=𝑡，由图象可得知�

�，𝑏，𝑐的取值范围，从而可判断𝐴；又根据𝑓(𝑥)−𝑡=(𝑥−𝑎)(𝑥−𝑏)(𝑥−𝑐)，对照系数可得𝑎+𝑏+𝑐的值，可得𝑎𝑏𝑐得取值范围，从而可判断𝐶，𝐷；结合𝐴和𝐶即可判断𝐵．本题考查

了导数与单调性关系的应用，还考查了函数性质的综合应用，属于中档题．13.【答案】√5【解析】解：复数𝑧=2−𝑖，则|𝑧|=√22+(−1)2=√5．故答案为：√5．根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．14.【答案】7或−3【解析】解：由圆𝐶：𝑥2

+𝑦2−2𝑦−4=0，得𝑥2+(𝑦−1)2=5，∴圆心为(0,1)，半径为√5，∵直线𝑙：𝑥−2𝑦+𝑚=0与圆𝐶相切，∴圆心(0,1)到直线𝑥−2𝑦+𝑚=0的距离，即|𝑚−2|=5，∴𝑚=7或𝑚=−3，故答案为：7或−3．由直线𝑙：

𝑥−2𝑦+𝑚=0与圆𝑥2+(𝑦−1)2=5，相切，可得圆心(0,1)到直线𝑥−2𝑦+𝑚=0的距离，可求．本题主要考查了直线与圆的位置关系：相切关系的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离𝑑=𝑟，解答本题也可联立方程进行求解，属中档题．15.【答案】14【解析】解：由正弦定

理边角关系得：，又3𝑐=4𝑎+𝑏，所以𝑐=2𝑎，由余弦定理得．故答案为：14．根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解．本题主要考查了正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．16.【答案】12【

解析】解：因为直线𝑃𝐹1与𝑥轴垂直，将𝑥=−𝑐代入椭圆𝐶的方程可得𝑐2𝑎2+𝑦2𝑏2=1，解得𝑦=±𝑏2𝑎，因为直线𝑃𝐹2的斜率为−34，易知点𝑃(−𝑐,𝑏2𝑎)，因为点𝐹2(𝑐,0)，所以，所以，即2𝑐2+

3𝑎𝑐−2𝑎2=0，等式2𝑐2+3𝑎𝑐−2𝑎2=0两边同时除以𝑎2可得2𝑒2+3𝑒−2=0，因为0<𝑒<1，解得𝑒=12．故答案为：12．求出点𝑃的坐标，根据可得出关于𝑎、𝑐的齐次等式，可得出关于𝑒的二次方程，根据𝑒∈(0,1)可求得𝑒的值．

本题主要考查椭圆的性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：，这50名学生的平均成绩为：55×0.1+65×0.3+75×0.3+85×0.2+95×0.1=74；(2)后三组中的人数分别为15，10，5，由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为3，

2，1，所以成绩在[80,100]的学生恰有2人被抽到的概率为：．【解析】(1)利用频率之和为1，列式求解𝑥即可，利用平均数的计算公式求解即可；(2)先利用分层抽样，求出后三组中所抽取的人数，然后由古典概型的概

率公式求解即可．本题考查了频率分布直方图的应用，古典概型概率公式的应用，频率分布直方图中平均数的求解方法，掌握频率分布直方图中频率的求解方法，掌握频率、频数、样本容量之间的关系，考查了逻辑推理能力和计算能力，属于基础题．18.【答案

】解：(1)𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛2𝑥+√3𝑐𝑜𝑠2𝑥=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋3)，故函数𝑓(𝑥)的最小正周期𝑇=2𝜋2=𝜋，由2𝑘𝜋−𝜋2≤2𝑥+𝜋3≤2𝑘𝜋+𝜋2得𝑘𝜋−5𝜋12≤𝑥≤𝑘𝜋+𝜋12(𝑘∈𝑍)，∴函

数𝑓(𝑥)的单调递增区间为[𝑘𝜋−5𝜋12,𝑘𝜋+𝜋12],𝑘∈𝑍；，，，由𝑎−𝑓(𝑥)≤0恒成立，得，即𝑎≤0，故𝑎的最大值为0．【解析】(1)根据三角形的恒等变换得到𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋3)

，代入正弦函数的周期和单调区间公式即可求解；(2)根据题意得到𝑓(𝑥)∈[0,2]，利用恒成立知识得到，即可求解．本题考查了三角函数的恒等变换和恒成立问题，属于中档题．19.【答案】证明：(1)取𝑃𝐶中点为𝑀，连接𝑁𝑀，𝑀𝐵，如图所示，因为𝑀，𝑁分别是𝑃𝐶，𝑃�

�的中点，所以𝑁𝑀//12𝐷𝐶且𝑁𝑀=12𝐷𝐶，又因为𝐴𝐵//12𝐷𝐶且𝐴𝐵=12𝐷𝐶，所以𝑁𝑀//𝐴𝐵，𝑁𝑀=𝐴𝐵，所以四边形𝑁𝑀𝐵𝐴为平行四边形，所以𝐴𝑁//𝐵𝑀，又因为𝐴𝑁⊄平面𝑃𝐵𝐶，𝐵𝑀⊂平面𝑃𝐵

𝐶，所以𝐴𝑁//平面𝑃𝐵𝐶；解：(2)取𝐷𝐶中点为𝐸，以𝐴为空间直角坐标系原点，𝐴𝐸为𝑥轴，𝐴𝐵为𝑦轴，𝐴𝑃为𝑧轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则𝐴(0,0,0)，𝑃(0,0,1)

，𝐵(0,1,0)，𝐷(2√2,−1,0)，𝐶(2√2,1,0)，设平面𝑃𝐵𝐶的法向量为𝑚⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，因为𝐵𝑃⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,1)，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(2√2,0,0)，所以{𝐵𝑃⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⋅𝑚⃗⃗⃗⃗=−𝑦+𝑧=0𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑚⃗⃗⃗⃗=2√2𝑥=0，令𝑦=1，解得{𝑥=0𝑧=1，即𝑚⃗⃗⃗=(0,1,1)，又因为，所以直线𝑃𝐷与平面𝑃𝐵𝐶所成角的正弦值为|cos<𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗，．【解析】(1)根据线面平行的判定即可证明线面

平行．(2)取𝐷𝐶中点为𝐸，以𝐴为空间直角坐标系原点，𝐴𝐸为𝑥轴，𝐴𝐵为𝑦轴，𝐴𝑃为𝑧轴，建立空间直角坐标系，求出平面𝑃𝐵𝐶的法向量和𝑃𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗的坐标，利用向量法即可求得直线𝑃𝐷与平面𝑃𝐵𝐶所成角的正弦值

．本题主要考查了直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求直线与平面的夹角，属于中档题．20.【答案】(1)解：由题意，设等差数列{𝑎𝑛}的公差为𝑑，则，整理，得，解得，，𝑛∈𝑁∗，对于数列{𝑏𝑛}：当𝑛=

1时，，当𝑛≥2时，由，可得，两式相减，可得，∵当𝑛=1时，𝑏1=4也满足上式，∴𝑏𝑛=2𝑛+1，𝑛∈𝑁∗．(2)证明：由(1)可得，=1𝑛(𝑛+2)，则=12⋅(1−13)+12⋅(12−14)+12⋅(13−15)+12⋅(14−16)+⋅⋅⋅+1

2⋅(1𝑛−1−1𝑛+1)+12⋅(1𝑛−1𝑛+2)=12⋅(1−13+12−14+13−15+14−16+⋅⋅⋅+1𝑛−1−1𝑛+1+1𝑛−1𝑛+2)=12⋅(1+12−1𝑛+1−1𝑛+2)=34−2�

�+32(𝑛+1)(𝑛+2)，，--=2𝑛+32(𝑛+1)(𝑛+2)−2𝑛+52(𝑛+2)(𝑛+3)，∴数列{𝑇𝑛}是单调递增数列，∵当𝑛=1时，，当𝑛→∞时，，，故不等式13≤𝑇𝑛<34对任意𝑛∈𝑁∗恒成立．【解析】(1)先设等差数列

{𝑎𝑛}的公差为𝑑，再根据题干已知条件列出关于首项𝑎1与公差𝑑的方程组，解出𝑎1与𝑑的值，即可计算出数列{𝑎𝑛}的通项公式，对于数列{𝑏𝑛}：先将𝑛=1代入题干表达式计算出𝑏1的值，当𝑛≥2时，由，可得，两式相减进一步推导即可计算

出数列{𝑏𝑛}的通项公式；(2)先根据第(1)题的结果计算出数列{𝑐𝑛}的通项公式，再运用裂项相消法计算出前𝑛项和𝑇𝑛的表达式，然后将前𝑛项和𝑇𝑛的表达式构造成一个数列，运用作差法分析出数列{𝑇𝑛}的单调性，再结合数列极

限的知识与不等式的性质即可证明题干中不等式成立．本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和与不等式的综合问题．考查了方程思想，整体思想，转化与化归思想，裂项相消法，构造法，数列极限，不等式的性质运用，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．21.【答案】解

：(1)根据题意可得，解得𝑎2=1，𝑏2=2，所以双曲线𝐶的方程为𝑥2−𝑦22=1．(2)证明：设𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，联立，得(𝑘2−2)𝑥2+2𝑘𝑚𝑥+𝑚2+

2=0，𝛥=8(𝑚2−𝑘2+2)>0，，𝑥1𝑥2=𝑚2+2𝑘2−2，所以，所以𝑚=2𝑘，所以直线𝑃𝑄的方程为𝑦=𝑘(𝑥+2)，恒过定点(−2,0)．【解析】(1)根据题意可得，解得𝑎2，𝑏2，即可得

出答案．(2)设𝑃(𝑥1,𝑦1)，𝑄(𝑥2,𝑦2)，联立直线𝑃𝑄与双曲线的方程，结合韦达定理得𝑥1+𝑥2，𝑥1𝑥2，再化简，得𝑚=2𝑘，即可得出答案．本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要理清思路，属于中档题

．22.【答案】解：(1)若𝑎=1，则，，所以𝑓(𝑥)在(1,2)处的切线斜率为𝑓′(1)=4，又𝑓(1)=2，所以函数𝑓(𝑥)在(1,2)处的切线方程为𝑦−2=4(𝑥−1)，即𝑦=4𝑥−

2．(2)因为𝑓(𝑥)=𝑥2+𝑎𝑥+𝑙𝑛𝑥，所以，因为存在实数𝑥1，𝑥2，使，且，所以存在实数𝑥1，𝑥2，使2𝑥1+𝑎+1𝑥1+2𝑥2+𝑎+1𝑥2=0，且，即，，设，记ℎ(𝑡)=−𝑡2+12𝑡+𝑙𝑛𝑡，，所以ℎ(𝑡)在(1,3)上单调递减，所以，

即，所以𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)取值范围是．【解析】(1)若𝑎=1，则，求导得𝑓′(𝑥)，由导数的几何意义可得𝑓(𝑥)在(1,2)处的切线斜率为𝑓′(1)=4，又𝑓(1)=2，由点斜式，即可得出答案．(2)根据题意可得，由存在实数𝑥1，𝑥2，使，且

，进而可得，，计算，设，记ℎ(𝑡)=−𝑡2+12𝑡+𝑙𝑛𝑡，求出ℎ(𝑡)的值域，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com