【文档说明】浙江省杭州市六县九校联盟2022-2023学年高二下学期期中数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.970 MB，由管理员店铺上传

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2022-2023学年浙江省杭州市六县九校联盟高二（下）期中数学试卷第Ⅰ卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知集合{0},{12}AxxBxx==−∣∣，若AB=（）A{2}xx∣B.

{02}xx∣C.{12}xx∣D.{12}xx−∣【答案】B【解析】【分析】利用交集的定义运算即得.【详解】因为{0}{12}AxxBxx==−∣，∣，则{02}ABxx=∣.故选：B.2.过点()2,3A且与直线:2470lxy−+=平行的直线方程是

（）A.240xy−+=B.270xy+−=C.210xy−−=D.280xy+−=【答案】A【解析】【分析】设所求直线方程为240xyC−+=，将点A的坐标代入所求直线方程，求出C的值，即可得解.【详解】设过点()2,3A且与直线:2470lxy−+=平行的直线方程是240xyC−+=

，将点A的坐标代入直线的方程240xyC−+=得22430C−+=，解得8C=，故所求直线方程为2480xy−+=，即240xy−+=.故选：A.3.在等差数列na中，若1592aaa++=，则()46sinaa+=（）A.

12B.1C.0D.32【答案】D.【解析】【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质结合特殊角的三角函数值作答.【详解】在等差数列na中，5159π32aaaa=++=，解得5π6a=，所以()()465π3sinsin2sin32aaa+===．故选：D4.平面向量a与b的夹角为

π3，若()2,0,1ab==，则2ab+=（）A.3B.23C.4D.12【答案】B【解析】【分析】确定2=a，计算22224412abaabb+=++=，得到答案.【详解】()2,0a=r，则2=a，222π2444421

cos4123abaabb+=++=++=，故223ab+=.故选：B5.已知m，l是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列条件可以推出⊥的是（）A.ml⊥，m，l⊥B.ml⊥，l=，mC.m∥l，m⊥，l⊥D.

l⊥，m∥l，m∥【答案】D【解析】【分析】根据每个选项中的条件结合面面垂直的判定定理判断,的位置关系，可得答案.【详解】对于A，ml⊥，m，l⊥，有可能出现,平行这种情况，故A错误；

对于B，ml⊥，l=，m，不能保证m垂直于内两条相交直线，会出现平面，相交但不垂直的情况，故B错误；对于C，,,,,mlmlm⊥⊥⊥∥∥，故C错误；对于D，,,lmlm⊥⊥∥，又由m，则内一定存在某直线a，满足am∥，则a⊥，故⊥，故D正确，

故选：D.6.已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时2()2fxxx=−则()fx在R上的表达式是（）A.()2yxx=−B.()1yxx=−C.||(2)yxx=−D.()2yxx=−【答案】D【解析】【分析】利用奇函数性质求0x上()fx的解析式，进而可得在R上的解析式.【详解】

当0x时，0x−，所以22()()2()2()fxxxxxfx−=−−−=+=−，则2()2fxxx=−−，结合已知解析式知：()()2fxxx=−.故选：D7.设公差不为0的等差数列na的前n项和

为nS，则有()*232,,,,kkkkkSSSSSk−−N成等差数列.类比上述性质，若公比不为1的等比数列nb的前n项积为nT，则有（）A.()*232,,,,kkkkkTTTTTk++N成等比数列

B.()*232,,,,kkkkkTTTTTk−−N成等比数列C.()*232,,,,kkkkkTTTTTkN成等比数列D.()*232,,,,kkkkkTTTkTTN成等比数列【答案】D【解析】【分析】根据题意求出()*232,,,,kkkkkTTTkTTN，可得

()*232,,,,kkkkkTTTkTTN构成以kT为首项、2kq为公比的等比数列.【详解】根据题意12kkTbbb=，()()()2212212kkkkkkkkkkkTbbbbqbqbqTqT++===，()()()

22222321223122kkkkkkkkkkkTbbbbqbqbqTqT++===，同理可得2343kkkkTTqT=，L所以若公比不为1的等比数列nb的前n项积为nT，则有()*

232,,,,kkkkkTTTkTTN构成以kT为首项、2kq为公比的等比数列.故选：D8.已知函数()e12xfxaxx=−，对121,,22xx，当12xx时，恒有()()1221fxfxxx

，则实数a的取值范围为（）A.(,e−B.2,2e−C.)e,+D.2e,2+【答案】A【解析】【分析】构造函数()21e2xgxax=−，根据已知可知，()gx在1,22

上单调递增，求导根据()e0xgxax=−恒成立，可推得exax恒成立.令()exhxx=，根据导函数求出()exhxx=在1,22上的最小值，即可得出答案.【详解】由已知可将不等式化为()()1122xfxxfx，构造函数()21e2xgxax=−，1,22x

，则()exgxax=−.由题意可知，()21e2xgxax=−在1,22上单调递增，所以，()e0xgxax=−在1,22上恒成立，即exax在1,22上恒成立，只需满足minexax即可.令()exhxx=，则()()2

2e1eexxxxxhxxx−−==.由()0hx=可得，1x=.当112x时，()0hx，所以()hx在1,12上单调递减；当12x时，()0hx，所以()hx在(1,2上单调递增.所以，()hx在1x=处取得唯一极小值，也是最小值()1eh=，所以，ea.

故选：A.二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.已知函数()afxx=的图象经过点1,33则（）A.()fx的图象经过点(3,9)B.()fx的图象关于y轴对称C

.()fx在(0,)+上单调递减D.()fx在(0,)+内的值域为(0,)+【答案】CD【解析】【分析】根据函数解析式和图象经过的点求出1a=−，结合选项可得答案.【详解】将点1,33的坐标代入()afxx=，可得1a=−，则1(),()=fxfxx的图象不经过点()3,9，A错

误；()fx在(0,)+上单调递减，C正确；根据反比例函数的图象与性质可得B错误，D正确．故选：CD.10.在不透明的甲、乙两个盒子中分别装有除标号外完全相同的小球，甲盒中有4个小球，标号分别为1，2，3，4，乙盒中有3

个小球，标号分别为5，6，7．现从甲、乙两个盒里分别随机抽取一个小球，记事件A=“取到标号为2的小球”，事件B=“取到标号为6的小球”，事件C=“两个小球标号都是奇数”，事件D=“两个小球标号之和大于9”，则（）A.事件A与事件B相互独立B.事件C与事件D互

斥C.()13PC=D.()12PCD=【答案】ACD【解析】【分析】穷举出所有样本空间，根据题意和古典概型求取对应事件概率即可.【详解】从甲盒、乙盒里分别随机抽取一个小球的样本空间为：1,5，1,6，1,7，2,5，2,6

，2,7，3,5，3,6，3,7，4,5，4,6，4,7，共12种．事件A：2,5，2,6，2,7，()14PA=；事件B：1,6，2,6，3,6，4,6，()13PB=，()112PAB=，()()()

PABPAPB=，故A正确；事件C和事件D都有3,7，事件C与事件D不互斥，故B不正确；事件C：1,5，1,7，3,5，3,7，()13PC=，故C正确；事件D：3,7，4,6，

4,7，()14PD=，()()()112PCDPCPD==，()()()()12PCDPCPDPCD=+−=，故D正确．故选：A、C、D．11.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法.商功》中出现了如图所示的形状，后人称之为“三角垛”.“三角垛”最上

层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，L，以此类推.设从上到下各层球数构成一个数列na，则（）A.49a=B.11nnaan+−=+C.1054a=D.1121niinan==+【答案】BD【解析】【分析】根据题意分析可得：()12nnaann−−=.对A、B：直接代入检验

即可；对C：利用累加法可得()12nnna+=，即可得结果；对D：利用裂项相消法运算求解.【详解】根据题意可知从第二层起，某一层的球数比上一层的球数多的数量刚好是其层数，即()12nnaann−−=，即()1

2nnaann−=+，对A：因为36a=，所以43410aa=+=，故A错误；对B：因为()12nnaann−−=，所以11nnaan+−=+，故B正确；对C：因为212aa−=，323,aa−=，()12nnaann−−=，

且11a=，所以上述各式相加得123nana=+−++，故()()112322nnnann+=++++=L；经检验：11a=满足()12nnna+=，所以()12nnna+=，则1055a=，故C错误；对D：由选项C可知

()1211211nannnn==−++，则111111122122311niinannn==−+−++−=++，故D正确.故选：BD12.已知函数()2(3)fxxx=−，若()()()fafbfc==，其中abc，则（）A12cB.2b

c+C.6abc++=D.abc的取值范围为()0,4【答案】BCD【解析】【分析】对()fx求导，利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象．设()()()fafbfct===，由图象可得知a，b，c的取值范围，从而可判断A；又根据()()()()fxtxaxbxc−=−

−−，对照系数可得abc++的值，可得abc得取值范围，从而可判断C，..D；结合A和C即可判断B．【详解】因为()2(3)fxxx=−，所以()()()23129331fxxxxx=−+=−−，令()0fx=，解得1x=或3x=，当()0fx¢>时，3x或1x，所以()fx单调递增区间为

(),1−和()3,+；当()0fx时，13x，所以()fx单调递减区间为()1,3，()fx的图象如右图所示，设()()()fafbfct===，则04t，0134cba，故A错误；

又()()()()fxtxaxbxc−=−−−，所以()()()2(3)xxtxaxbxc−−=−−−，即()()323269xxxtxabcxabacbcxabc−+−=−+++++−，对照系数得6abc++=，故选项C正确；()0,4abct=，故选项D正确；因为34a，所

以()364bc−+，解得23bc+，故选项B正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：先利用导数判断函数的单调区间，从而可得函数的大致图象，再利用数形结合求解是解答本题的关键．第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知i为虚数单位，复数2iz=

−，则z=___．【答案】5【解析】【分析】根据复数模的公式，即可求得z的值．【详解】复数2iz=−，则222(1)5z=+−=．故答案为：5．14.若直线:20lxym−+=与圆22:240Cxyy+−−=相切，

则实数m=_________．【答案】3−或7【解析】【分析】利用几何法列方程即可求解.【详解】圆22:240Cxyy+−−=可化为()2215xy+−=.因为直线:20lxym−+=与圆22:240Cxyy+−−=相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即()22021512m−+

=+−，解得：3m=−或7.故答案为：3−或715.在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，且sin2sin,34BAcab==+，则cosB=__________.【答案】14##0.25【解析】【分析】根据正弦定理边角互化，结合余弦定理即可求解.

【详解】由正弦定理边角关系得：sin2sin2BAba==，又34cab=+，所以2ca=，由余弦定理得()()()222222221cos2224aaaacbBacaa+−+−===，故答案为：1416.设椭圆()2222:10xyCabab+=

的左、右焦点分别为1F、2F，P是椭圆C上一点，且直线1PF与x轴垂直，直线2PF的斜率为34−，则椭圆C的离心率为___________.【答案】12##0.5【解析】【分析】求出点P的坐标，根据234PFk=−可得出关于a、c的齐次等式，可得出关于e的二次方程，根据()0,1e

可求得e的值.【详解】因为直线1PF与x轴垂直，将xc=−代入椭圆C的方程可得22221cyab+=，解得2bya=，因为直线2PF的斜率为34−，易知点2,bPca−，因为点()2,0Fc，所以，222324PFbbakccac==−=−−−，所以，2

223222acbac==−，即222320caca+−=，等式222320caca+−=两边同时除以2a可得22320ee+−=，因为01e，解得12e=.故答案为：12.四、解答题（本大题共6小题，共7

0.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.为了加强对数学文化的学习，某校高二年级特命制了一套与数学文化有关的专题训练卷（满分100分），并对整个高二年级的学生进行了测试.现从这些学生的成绩中随机抽

取了50名学生的成绩（单位：分），按照)50,60，)60,70，…，90,100分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图（假设每名学生的成绩均不低于50分）．（1）求频率分布直方图中x的值，并估计

所抽取的50名学生成绩的平均数；（2）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于70分的学生中抽取6人，再从这6人中任意抽取2人参加这次考试的质量分析会，试求成绩在80,100的学生恰有2人被抽到的概率．【答案】

（1）0.02；74（2）15．【解析】【分析】（1）利用频率之和为1即可求得x值，利用平均数的计算公式即可得到抽取的50名学生成绩的平均数；（2）先利用分层抽样，求出后三组中所抽取的人数，然后由古典概型的概率公式即

可求得成绩在80,100的学生恰有2人被抽到的概率．【小问1详解】10.10.30.30.10.0210x−−−−==，这50名学生的平均成绩估计为：550.1650.3750.3850.2950.174++++=；【小问2详解】后三组中的人数分别为1

5，10，5，由分层抽样可得，这三组中所抽取的人数分别为3，2，1，所以成绩在80,100的学生恰有2人被抽到的概率为：2326C31C155==．18.已知函数()2sincos3cos2fxxxx=+．（1）求函数()fx的最小正

周期及其单调递增区间；（2）当ππ,66x−时，()0afx−恒成立，求a的最大值．【答案】（1）π，5πππ,π,1212kkk−+Z；（2）0【解析】【分析】（1）根据正弦和余弦的二倍角

公式以及辅助角公式即可化简()fx为()π=2sin23fxx+，然后根据周期公式可求周期，整体代入法求单调增区间；（2）根据x的范围可求π2π20,33x+，进而可求()fx的值域，故可求a的范围.【小问1详解】的()πsin23cos22s

in23fxxxx=+=+，故函数()fx的最小正周期2ππ2T==.由πππ2π22π232kxk−++得()5ππππ1212kxkk−+Z.∴函数()fx的单调递增区间为5πππ,π1212kk−+，kZ.【小问2详解】∵ππ,6

6x−，∴π2π20,33x+，∴πsin20,13x+，()π2sin20,23fxx=+.由()0afx−恒成立，得()minafx，即0a，故a的最大值为

0.19.如图，在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，//ABCD，且1AB=，2CD=，22BC=，1PA=，ABBC⊥，N为PD的中点．（1）求证：//AN平面PBC；（2）求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．【答案】

（1）证明见解析（2）55【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明线面平行；（2）取DC中点为E，以A为空间直角坐标系原点，AE为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量和PD的坐标，利用向量法即可求得直线PD与平面PBC所成角的正弦值．

【小问1详解】取PC中点为M，连接NM，MB，如图所示，因为M，N分别是PC，PD的中点，所以//NMDC且12NMDC=，又因为//ABDC且12ABDC=，所以//NMAB，NMAB=，所以四边形NMBA

为平行四边形，所以//ANBM，又因为AN平面PBC，BM平面PBC，所以//AN平面PBC；【小问2详解】取DC中点为E，以A为空间直角坐标系原点，AE为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A，

()0,0,1P，()0,1,0B，()22,1,0D−，()22,1,0C，设平面PBC的法向量为(),,mxyz=，因为()0,1,1BP=−，()22,0,0BC=，所以0220BPmyzBCmx=−+===，令1y=，解得01xz==，即()0,1,1m=，又

因()22,1,1PD=−−，所以直线PD与平面PBC所成角的正弦值为5cos,5PDmPDmPDm==．20.已知等差数列na的前n项和为nS，且62a=，55S=，数列nb满足21224nnb

bb++++=−，*Nn．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设2113lognnncab+=，数列nc的前n项和为nT，证明：1334nT．【答案】（1）3nna=，*Nn，12nnb+

=，*Nn（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设等差数列na公差为d，根据已知条件列出关于首项1a与公差d的方程组，解出1a与d的值，即可计算出数列na的通项公式，对于数列nb：将1n=代入题干表达式计算出1b的值，当2n时，由21224nnbbb++++=−

，可得112124nnbbb+−+++=−，两式相减进一步推导即可计算出数列nb的通项公式；（2）先根据第（1）结果计算出数列nc的通项公式，运用裂项相消法计算前n项和nT的表达式，然后将前n项和nT的表达式构造成一个数列，作差法分析数列nT的单调性，再结合数列极限的知识与不等

式的性质即可证明题干中不等式成立．【小问1详解】设等差数列na公差为d，则61515254552aadSad=+==+=，整理得115221adad+=+=，解得11313ad==，∴()111333nnan=+

−=，*Nn，对于数列nb：当1n=时，121244b+=−=，当2n时，由21224nnbbb++++=−，得112124nnbbb+−+++=−，两式相减得211222nnnnb+++=−=，当1n=时，14b=也满足上式，为∴12nnb+=，*Nn．【小问2详解

】由（1）得，2113lognnncab+=2213log23nn+=()12nn=+11122nn=−+，则12341nnnTcccccc−=++++++111111111111111111

2322423524621122nnnn=−+−+−+−++−+−−++111111111111123243546112nnnn=−+−+−+−++−

+−−++111112212nn=+−−++()()3234212nnn+=−++，∴()()13254223nnTnn++=−++，∵()()()()13253234223421

2nnnnTTnnnn+++−=−−+++++()()()()2325212223nnnnnn++=−++++()()1013nn=++，∴数列nT是单调递增数列，当1n=时，13213142233T+=−=，∴1334nT，故不等式1334nT对任意*Nn恒成立

．21.已知双曲线C：22221(0,0)xyabab−=的离心率为3，且过()3,2．（1）求双曲线C的方程；（2）若直线ykxm=+与双曲线C交于,PQ两点，M是C的右顶点，且直线MP与MQ的斜率之积为23−，证明：直线PQ恒过定点，

并求出该定点的坐标．【答案】（1）2212yx−=（2）证明见解析，定点()2,0−．【解析】【分析】（1）根据题意可得关于,ab的方程组，解得2a，2b即可得到双曲线C的方程；（2）联立直线PQ与双曲线C的方程，结合韦达定理再化简23MPMQkk

=−得2mk=，即可得出直线PQ恒过定点()2,0−．【小问1详解】根据题意可得()22222223321ceacabab===+−=，解得21a=，22b=，所以双曲线C的方程为2212yx−=．【小问2详解】设()11,Pxy，()22

,Qxy，联立2212ykxmyx=+−=，得()2222220kxkmxm−+++=，()22820mk=−+，12222kmxxk−+=−，212222mxxk+=−，又(1,0)M所以()()()1

212121212111MPMQkxmkxmyykkxxxxxx++==−−−++()()()222222222121221212222222221122kmkmmkxxkmxxmkkmkmxxxxkk+−++++−−==+−++++−−22()(

)2()2()3kmkmkmkmkm+−−===−++，所以2mk=，所以直线PQ的方程为()2ykx=+，恒过定点()2,0−．22.已知函数()2lnfxxaxx=++，Ra．（1）若1a=，求函数在(

)1,2处的切线方程；（2）若存在实数1x，2x，使()()120fxfx+=，且2123xxx，求()()12fxfx−的取值范围．【答案】（1）42yx=−（2）4ln2,03−+．【解析】【分析】（1）若1a=，则()2lnfxxxx=++，求导得()fx，由导数的几

何意义可得()fx在()1,2处的切线斜率为()14f=，又()12f=，由点斜式，即可得出答案．（2）根据题意可得()12fxxax=++，由存在实数1x，2x，使()()120fxfx+=，且2123xx

x，进而可得()1212122xxaxxxx+=−+−，计算化简()()12fxfx−，设12xtx=，记()1ln22thttt=−++，求出()ht的值域，即可得出答案．【小问1详解】若1a=，则()2lnfxxx

x=++，()121fxxx=++，所以()fx在()1,2处的切线斜率为()14f=，又()12f=，所以函数()fx在()1,2处的切线方程为()241yx−=−，即42yx=−．【小问2详解】因为()2lnfxxaxx=++，所以()12fxxax=++，

因为存在实数1x，2x，使()()120fxfx+=，且2123xxx，所以存在实数1x，2x，使121211220xaxaxx+++++=，且2123xxx，即()1212122xxaxxxx+=−+−，()()()2211211212122212

1lnln2xxxxfxfxxxaxxxxxx−=−+−+=−−+，设()121,3xtx=，记()1ln22thttt=−++，()211102htt=−−，所以()h

t在()1,3上单调递减，所以()()()()3,1hthh，即()4ln2,03ht−+，所以()()12fxfx−取值范围是4ln2,03−+．【点睛】关键点点睛：参数a转化为用21xx，表示，通过12xtx=把二元函数转化为一元函数是解题的关键点.获得更多资源请扫

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