【文档说明】福建省连城县第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 【精准解析】.doc，共(18)页，1.146 MB，由小赞的店铺上传

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连城一中2019-2020学年下期高二年级半期考数学试卷考试时间120分钟命题人：黄开玮审题人：吴鹤熙一、单选题1.函数1yxx的导数是（）A.211xB.11xC.211xD.11x【答案】A【解析】试题分析：因为1yxx，由1()nnxnx可得211yx

，选A.考点：导数的运算.2.复数1zii，则复数z在复平面中对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【分析】化简复数z即得.【详解】211ziiiii，复数z在复平面中对应的点的坐标为1,1，位于第二象限.故选：B.

【点睛】本题考查复数，属于基础题.3.某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（）A.6种B.12种C.18种D.24种【答案】B【解析】方法数有113

4CC12种.故选B.4.已知函数yfx的图象在点1,1f处的切线方程为210xy，则12'1ff的值为A.12B.1C.32D.2【答案】D【解析】由1210y得1y，因此有(1)1f，1'(

1)2f，∴1(1)2'(1)1222ff．故选D．5.2101()xx的展开式中含5x项的系数为（）A.160B.210C.120D.252【答案】D【解析】【分析】由二项式定理及其二项展开式通

项得：210203110101()()rrrrrrTCxCxx，令2035r，解得r的值，进而求得其系数.【详解】102203110101rrrrrrTCxCxx，当=5r时，555610252TCxx.

故选：D.【点睛】本题考查了二项式定理及其二项式展开式的通项，属于基础题.6.如图，将一个四棱锥的每一个面染上一种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色，如果只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）A

.36B.48C.72D.108【答案】C【解析】【分析】对面SAB与面SDC同色和不同色进行分类，结合分步乘法计算原理，即可得出答案.【详解】当面SAB与面SDC同色时，面ABCD有4种方法，面SDC有3种方法，面SAD有2种方法，面SAB有1种方法，面SBC有2

种方法，即4321248种当面SAB与面SDC不同色时，面ABCD有4种方法，面SDC有3种方法，面SAD有2种方法，面SAB有1种方法，面SBC有1种方法，即4321124种即不同的染色方法总数为482472种故选：C【点睛】本题主要考查了计数原理的

应用，属于中档题.7.根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为730，既吹东风又下雨的概率为110.则在吹东风的条件下下雨的概率为（）A.311B.37C.711D.110【答案】B【解析】【分析】利用条件概率的计算公式即可得

出．【详解】设事件A表示四月份吹东风，事件B表示吹东风又下雨，根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率1310(|)7730PBA．故选：B．【点睛】本题考查条件概率，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键．

8.若函数lnfxx与2424gxxaxaaR图象上存在关于点1,0M对称的点，则实数a的取值范围是（）A.0,B.1,eC.1,D.,e【答案】C【解析】【分析】首先求

gx关于点1,0M的函数，转化为其与lnyx有交点，转化为lnxaxx，这样a的范围就是lnxyxx的范围，转化为利用导数求函数的取值范围的问题.【详解】设,Pxy关于1,0M的对称点是

2,Pxy在2424gxxaxa上，2224224yxaxayxax，根据题意可知，lnyx与2yxaxaR有交点，即2lnlnxxxaxaxx，设lnxyxx

0x，221lnxxyx，令21lnhxxx，0x120hxxx恒成立，hx在0,是单调递增函数，且10h，hx在0,10hx，即0y，1,时0

hx，即0y，lnxyxx在0,1单调递减，在1,单调递增，所以当1x时函数取得最小值1，即1y，a的取值范围是1,.故选C.【点睛】本题考查了根据函数的零点求参数取值范围的问题，有2个关键点，第一个是求gx关于M1,0对称的函数，根据

函数有交点转化为lnxaxx，0x，求其取值范围的问题，第二个关键点是在判断函数单调性时，用到二次求导，需注意这种逻辑推理.二、多选题9.如图是函数yfx的导函数'yfx的图象，则下面判断

正确的有（）A.在2,1上fx是增函数B.在3,4上fx是减函数C.在1x处取得极极小值D.在1x处取得极极大值【答案】BC【解析】【分析】根据导函数看正负，原函数看增减，函数在极值

点处导数符号改变，即可得到结论．【详解】解：根据导函数的正负，得到原函数的增减性，由图可得如下数据，x3,111,222,444,fx000fx极小值极大值极小值故在3,4上fx是减函数，在1x处取得极小值正确的有BC；故选：BC．【

点睛】本题考查导函数的图象，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用导函数看正负，原函数看增减，函数在极值点处导数符号改变，属于基础题．10.下面四个命题，其中错误的命题是（）A.0比i大B.两个复

数当且仅当其和为实数时互为共轭复数C.1xyii的充要条件为1xyD.任何纯虚数的平方都是负实数【答案】ABC【解析】【分析】根据虚数不能比大小可判断A选项的正误；利用特殊值法可判断B选项的正误；利用特殊值法可判断C选项的正误；利用复数的运算可判断D选项的正

误.【详解】对于A选项，由于虚数不能比大小，A选项错误；对于B选项，123ii，但1i与2i不互为共轭复数，B选项错误；对于C选项，由于1xyii，且x、y不一定是实数，若取xi，yi，则1xyii，C选项错误；对于D选项，任取

纯虚数0,aiaaR，则220aia，D选项正确.故选：ABC.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及共轭复数的概念、复数相等以及复数的计算，属于基础题.11.某城市收集并整理了该市2019年1月份至10月份各月最低气温与最高气温(单位：℃)

的数据，绘制了下面的折线图.（）已知该城市各月的最低气温与最高气温具有较好的线性关系，则根据折线图，下列结论正确的是A.最低气温与最高气温为正相关B.10月的最高气温不低于5月的最高气温C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月D.最低气温低于0℃的月份有4个【答

案】ABC【解析】【分析】根据折线图逐个选项分析即可.【详解】对A,由图可知,最低气温与最高气温走势基本相同,故最低气温与最高气温为正相关.故A正确.对B,10月的最高气温超过20C,5月的最高气温低于20C.故B正确.对C,1月的月温差最大,超过

15C,故C正确.对D,仅1,2,4月的的最低温低于0C,故D错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了折线图的理解,属于基础题.12.已知函数21xxxfxe，则下列结论正确的是（）A.函数fx存在两个不同的零点B.函数fx既存在极大值又存在极小值C

.当0ek时，方程fxk有且只有两个实根D.若,xt时，2max5fxe，则t的最小值为2【答案】ABC【解析】【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图像，

最后直接判断选项.【详解】A.2010fxxx,解得152x，所以A正确；B.2122xxxxxxfxee，当0fx时，12x，当0fx时，1x或2x,1,2,是函数的单调递减区

间，1,2是函数的单调递增区间，所以1f是函数的极小值，2f是函数的极大值，所以B正确.C.当x时，0y，根据B可知，函数的最小值是1fe，再根据单调性可知，当0ek时，方程fxk有且只有两个

实根，所以C正确；D.由图像可知，t的最大值是2，所以不正确.故选A,B,C【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图像，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是2,

是函数的单调递减区间，但当x时，0y，所以图像是无限接近x轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了.三、填空题13.若复数(3)(12)zii，则z的共轭复数z的虚部为_____【答案】7【解析】【分析】利用复数乘法运算化简z为abi的形式，由此求得共轭复数，进而求得共轭复数

的虚部.【详解】31217ziii，17zi，故虚部为7.【点睛】本小题主要考查复数乘法运算，考查共轭复数的概念，考查复数虚部的知识.14.函数sin2xfxxe在0,1处的切线方程为______【答案】310xy

【解析】【分析】求导后求出03f即可得切线的斜率，利用点斜式即可得解.【详解】求导得2cos2xfxxe，所以0213f，所以函数fx在0,1处的切线方程为13yx，即310xy.故答案为

：310xy.【点睛】本题考查了导数的运算和导数几何意义的应用，属于基础题.15.设28210012101(43)(21)(21)(21)xxaaxaxax，则1210aaa___

_____．【答案】34【解析】【分析】因为8210201210143212121xxaaxaxax,分别令1x和12x,即可求得答案.【详解】8210201210143212121xx

aaxaxax令1x.原式化为012102aaaa.令12x,得054a,121053244aaa.故答案为:34.【点睛】本题主要考查了多项式展开式系数和,解题关键是掌握求多项式系数和的解题方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.16.设

函数fx的定义域为R，满足13fxfx，且当0,1x时，32fxxx，1当0,1x时，fx的最小值为________；2若对任意,xm，都有278fx

成立，则实数m的取值范围是_________．【答案】(1).427(2).7,2【解析】【分析】（1）当0,1x时，求函数的导数，判断函数的单调性后得到函数的最小值；（2）根据（1）可先求出0,1x时，函数的值域，再根据条件13fxfx

，判断278位于最开始的哪个区间，并求解3,4x时，函数的解析式fx，和278fx时对应的两根中较小根，即可得到m的取值范围.【详解】（1）0,1x时，23232fxxxxx，当20,3x时，

0fx，当2,13x时，0fx，23x时，函数取得最小值24327f；（2）当0,1x时，4,027fx，根据13fxfx可知当1,2x时，4,09

fx，当2,3x时，4,03fx，3,4x时，4,0fx274,08当3,4x时，3192273fxfxfxfx

，30,1x322733fxxx令322727338xx，可得：321115333(0,1]3,824xxxx，m的取值范围是7,2.

【点睛】本题考查了以分段函数的形式考查了函数的值域，函数解析式的求法，以及利用恒成立求参数取值范围的问题，属于中档题型，本题的关键是利用条件可分析函数的图像，利用数形结合比较好分析.四、解答题17.设复数2223(32)zmmmmi，求满足下列条件的

实数m的值.（1）z为实数；（2）z为纯虚数.【答案】（1）1m或2m；（2）3m.【解析】【分析】（1）根据题意得到2320mm，解得答案.（2）根据题意得到22230320mmmm，解得答案.【详解】（1）由

题得2320mm，解得1m或2m；（2）由题得22230320mmmm，解得3m.【点睛】本题考查了根据复数的类型求参数，属于简单题.18.（请写出式子再写计算结果）有4个不同的小球，4个不同的盒子，现在要把球全部放入盒内：（1）共有多少种方法？（

2）若每个盒子不空，共有多少种不同的方法？（3）恰有一个盒子不放球，共有多少种放法？【答案】（1）256（2）24（3）144【解析】【分析】（1）每个球都有4种方法，根据分步计数原理可得答案；（2）

由题意每个盒子不空，故每个盒子各一个，可得答案；（3）由题意可从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，由分步计数原理可得答案.【详解】解：（1）每个球都有4种方法，故有4×4×4×4＝256种，（2）每个盒子不空，共有4

424A不同的方法，（3）四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒，说明恰有一个盒子中有2个小球，从4个小球中选两个作为一个元素，同另外两个元素在三个位置全排列，故共有2344144CA种不同的放法．【点睛】本题主要考查排列、组合及

简单计数问题，相对简单，注意灵活运用排列、组合的性质求解.19.在*22nxnNx的展开式中.（1）若第五项的系数与第三项的系数的比是10:1，求展开式中各项系数的和；（2）若其展开式前三项的二项式系数和等于7

9，求展开式中含x的项.【答案】（1）1（2）3264Tx【解析】【分析】（1）由展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1，求得8n．再令1x得各项系数的和．（2）依题意可得01279nnnCCC，即可求出n，得到通项，再令5

612r，即可得解；【详解】解：（1）*22nxnNx展开式的通项为521222rnrnrrrrrnnTCxCxx由题意知，第五项系数为442nC，第三项的系数为222nC，则有4422(2)10(2)1nnCC

，化简得25240nn，解得8n或3n（舍去）.令1x得各项系数的和为8121.（2）∵01279nnnCCC，∴21560nn.∴12n或13n（舍去）.通项公式561221121222()()(2)rrrrrrrTCxCxx

，令5612r，则2r=，故展开式中含x的项为22312(2)264TCxx.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．20.设函数21fx2xxe．（1）求该函数的单调区间；（2）若当x∈

[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；（2）m＞2e2．【解析】【分析】（1）求出导函数f′（x），令导函数f′（x）＞0，求解

即可求得单调增区间，令f′（x）＜0，求解即可求得单调减区间，从而求得答案；（2）将恒成立问题转化成求函数f（x）最大值，利用导数求出函数f（x）的最大值，即可求得实数m的取值范围．【详解】（1）∵212xfxxe，∴f′（x）＝xex12x2ex12exx（x+2），令f′

（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0，∴f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣2），（0，+∞），单调减区间为（﹣2，0）；（2）∵当x∈[﹣2，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，∴m＞f（x

）max，由（1）可知，f′（x）＝xex12x2ex12exx（x+2），令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，∵f（﹣2）22e，f（0）＝0，f（2）＝2e2，∴f（x）max＝2e2，∴m＞2e2，∴实数m

的取值范围为m＞2e2．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数在闭区间上的最值，,考查了函数的恒成立问题，对于恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解，本题采用了直接求最值的方法，属于中档题．21.中国高铁的快速

发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t（单位：分钟）满足525t，*tN，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当2025t时高铁为满载状态，载客量为1

000人；当520t时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与220t成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车间隔为t分钟时，高铁载客量为Pt.（1）求Pt的表达式；（2）若该线路发车

时间间隔为t分钟时的净收益24065020004tQtPttt（元），当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益()Qtt最大？【答案】（1）2**10004(20),520,,()1000,2025,tttNPtttN，（2）发车时间间隔为

10分钟时，()Qtt最大.【解析】【分析】（1）当520t?时，设2()1000(20)Ptkt=--，代入数据计算4k，得到解析式.（2）考虑520t?和2025t两种情况，计算()Qtt的解析式，

求导得到函数单调性，计算最值得到答案.【详解】（1）当520t?时，不妨设2()1000(20)Ptkt=--，2(5)1000(205)100Pk=--=，解得4k，因此2**10004(20),520,

,()1000,2025,tttNPtttN.（2）当520t?时，23()()40650200050020004tQtPttttt=-+-=-+-，因此2()2000()500Qtytttt==--+，520t

?.因为()yt¢=32220002(1000)2tttt---+=，当510t?时，()0yt¢>，()yt单增；当1020t<<时，()0yt¢<，()yt单减，所以max()(10)200yty==.当2025t时，2()40900

2000Qttt=-+-，因此()50()90040()Qtytttt==-+，2025t.因为()yt¢=2240(50)0tt--<，此时()yt单减，所以max()(20)0yty==，综上，发车时间间隔为10分钟时

，()Qtt最大.【点睛】本题考查了函数的应用，分段函数，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.22.已知函数f（x）=ax+（1﹣a）lnx+（a∈R）（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当a＜0时，求f（x）的单调区间；（Ⅲ）方程f（x）=

0的根的个数能否达到3，若能请求出此时a的范围，若不能，请说明理由．【答案】【解析】试题分析：（Ⅰ）代入a的值，求出定义域，求导，利用导数求出单调区间，即可求出极值；（Ⅱ）直接对f（x）求导，根据a的不同取值，讨论f（x）的单调区间；（Ⅲ）由第二问的结论，即函数的单调区间来讨论f（x）的零

点个数．试题解析：（Ⅰ）f（x）其定义域为（0，+∞）．当a=0时，f（x）=，f'（x）=．令f'（x）=0，解得x=1，当0＜x＜1时，f'（x）＜0；当x＞1时，f'（x）＞0．所以f（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞）；所以

x=1时，f（x）有极小值为f（1）=1，无极大值（Ⅱ）f'（x）=a﹣（x＞0）令f'（x）=0，得x=1或x=﹣当﹣1＜a＜0时，1＜﹣，令f'（x）＜0，得0＜x＜1或x＞﹣，令f'（x）＞0，得1＜x＜﹣；当a=﹣1时，f'（x）

=﹣．当a＜﹣1时，0＜﹣＜1，令f'（x）＜0，得0＜x＜﹣或x＞1，令f'（x）＞0，得﹣＜a＜1；综上所述：当﹣1＜a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，1），（﹣），单调递增区间是（1，﹣）；当a=﹣1时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；当a＜﹣1时，f（x）的单

调递减区间是（0，﹣），（1，+∞），单调递增区间是（Ⅲ）a≥0∴f'（x）=0（x＞0）仅有1解，方程f（x）=0至多有两个不同的解．（注：也可用fmin（x）=f（1）=a+1＞0说明．）由（Ⅱ）知﹣1＜a＜0时，极小值f（1）a+1＞0，方程f（x）

=0至多在区间（﹣）上有1个解．a=﹣1时f（x）单调，方程f（x）=0至多有1个解．；a＜﹣1时，，方程f（x）=0仅在区间内（0，﹣）有1个解；故方程f（x）=0的根的个数不能达到3．考点：1.利

用导数研究函数的极值；2.利用导数研究函数的单调性．