【文档说明】安徽省六校教育研究会2022届高三下学期2月联考试题 数学（理） 答案.pdf，共(9)页，494.367 KB，由小赞的店铺上传

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数学（理）第1页共9页安徽省六校教育研究会2022届高三联考数学（理科）能力测试时长：120分钟分值：150分命题人、审题人：张旭升查道庆一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分）题号123456789101112答案DBABCBDACBDA二、填空题（

本大题共4小题，每小题5分，共计20分）13.-114.15.516.备注：12．【解析】对𝑓(𝑥)求导𝑓!(𝑥)=(𝑥"−12𝑥#)𝑒$=(𝑥#−12)𝑥#𝑒$，故当𝑥<−2√3时，𝑓!(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增；当−2√3<𝑥<2√

3时，𝑓!(𝑥)≤0，𝑓(𝑥)单调递减；当𝑥>2√3时，𝑓!(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增；又lim$→&'𝑓(𝑥)=0，𝑓4−2√35=("")*+√-.!√#，𝑓(0)=0，

𝑓42√35=(144−96√3)𝑒#√-，lim$→)'𝑓(𝑥)=+∞，故可大致画出𝑓(𝑥)的图象如下：由图象可知，𝑎的取值范围为<0,("")*+√-.!√#>，此时对应𝑥#的取值范围为4−2√3,05，而!"!#$=("!"

#$"!#)'$!"!#$=𝑥23𝑒𝑥2，故令𝑔(𝑥)=𝑥-𝑒$(−2√3≤𝑥≤0)，5136π数学（理）第2页共9页则𝑔!(𝑥)=(𝑥-+3𝑥#)𝑒$=(𝑥+3)𝑥#𝑒$，故当−2√3≤𝑥<−3时，𝑔!

(𝑥)<0，𝑔(𝑥)单调递减；当−3<𝑥≤0时，𝑔!(𝑥)>0，𝑔(𝑥)单调递增；而𝑔4−2√35=−#"√-.!√#<0，𝑔(−3)=−#2.#，𝑔(0)=0，故!"!#$的取值范围是@−#2.#,0>，即选A.16.【解析】如图，容易证明底面𝐴

𝐵𝐶𝐷是一个直角梯形，且𝐴𝐵⊥平面𝑆𝐴𝐷，𝐶𝐷⊥平面𝑆𝐴𝐷，从而∠𝐵𝐴𝑀=∠𝐶𝐷𝑀=90°，故∠𝐶𝑀𝐷=∠𝐵𝑀𝐴⇔tan∠𝐶𝑀𝐷=tan∠𝐵𝑀𝐴⇔𝐴𝐵𝑀𝐴=𝐶𝐷𝑀𝐷⇔𝑀𝐴𝑀𝐷=12故点𝑀的轨

迹为平面𝑆𝐴𝐷上以𝐸𝐹为直径的阿氏圆，其中点𝐸在线段𝐴𝐷上且满足𝐴𝐸=2，点𝐹在线段𝐷𝐴的延长线上且满足𝐴𝐹=6.设𝐸𝐹的中点为𝑁，则𝑁为该阿氏圆的圆心，且该阿氏圆的半径为4.而三棱锥𝑀−𝐴𝐶𝐷的体积最大当且仅当𝑀到平面𝐴𝐶𝐷

的距离最大，也即𝑀到直线𝐴𝐷的距离最大，即𝑀𝑁⊥𝐸𝐹时最大.设∆𝐴𝐶𝐷的外心为𝑂′，三棱锥𝑀−𝐴𝐶𝐷的外接球球心为𝑂，则𝑂!为𝐴𝐶中点且𝑂𝑂!⊥平面𝐴𝐶𝐷，设𝑂𝑂!=ℎ，则有𝑂𝐴#=𝑂

𝐶#=𝑂𝐷#=ℎ#+(3√2)#=ℎ#+18，𝑂𝑀#=(4−ℎ)#+3#+5#=ℎ#−8ℎ+50，故有ℎ#+18=ℎ#−8ℎ+50，解得，ℎ=4.设三棱锥𝑀−𝐴𝐶𝐷的外接球半径为𝑅，则𝑅#=𝑂𝐴#=ℎ#+18=34，从而三棱锥𝑀−𝐴𝐶𝐷的外接球表面积为4�

�𝑅#=136𝜋.故答案为：136𝜋.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要数学（理

）第3页共9页求作答.）（一）必考题：共60分.17.在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是底边𝐵𝐶上的高，垂足为点𝐷，且|45||67|=(-.（1）若边长|𝐴𝐵|,|𝐵𝐶|,|𝐶𝐴|成等比数列，求∠𝐵𝐴𝐶的正弦值.（2）求|47||46|+|46||47|的最

大值.【解析】（1）设|𝐴𝐵|=𝑐,|𝐵𝐶|=𝑎,|𝐶𝐴|=𝑏,|𝐴𝐷|=ℎ.由面积公式，可得：(#𝑎ℎ=(#𝑏𝑐sin∠𝐵𝐴𝐶又已知89=(-，代入上式可知：𝑎#=

3𝑏𝑐sin∠𝐵𝐴𝐶又由于𝑎,𝑏,𝑐成等比数列，即𝑏#=𝑎𝑐，代入上式，得sin∠𝐵𝐴𝐶=(-.（6分）（2）设∠𝐵𝐴𝐶=𝜃，在△𝐴𝐵𝐶中，由余弦定理可知：𝑏#+𝑐#=𝑎#+2𝑏𝑐cos𝜃由（1）可知𝑎#=

3𝑏𝑐sin𝜃，代入上式可知：𝑏#+𝑐#=3𝑏𝑐sin𝜃+2𝑏𝑐cos𝜃于是|47||46|+|46||47|=:;+;:=3sin𝜃+2cos𝜃=√13sin(𝜃+𝜑)，其中tan𝜑=#-，𝜑为锐角故当s

in(𝜃+𝜑)=1时，|47||46|+|46||47|的𝑚𝑎𝑥=√13.（12分）18.在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，在“阳马”𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷中，侧棱𝑃𝐷⊥底面𝐴𝐵𝐶𝐷，且𝑃𝐷=𝐶𝐷.（1）若𝑃�

�=4，试计算底面𝐴𝐵𝐶𝐷面积的最大值.（2）过棱𝑃𝐶的中点𝐸作𝐸𝐹⊥𝑃𝐵，交𝑃𝐵于点𝐹，连𝐷𝐸,𝐷𝐹,𝐵𝐷.若平面𝐷𝐸𝐹与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成锐二面角的大小为<-，试求5767的值.【解析】（1）设𝑃𝐷=𝐶𝐷=

𝑥，𝐴𝐷=𝑦，由已知可知：2𝑥#+𝑦#=16，而底面𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为𝑥𝑦.则由均值不等式，可知：𝑆4675=𝑥𝑦=(√#⋅√2𝑥⋅𝑦≤(√#⋅#$!)=!#=4√2当且仅当√2𝑥=𝑦时等号成立.（5分）数学

（理）第4页共9页（2）如图，以点𝐷为原点，射线𝐷𝐴，𝐷𝐶，𝐷𝑃分别为𝑥轴，𝑦轴，𝑧轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设𝑃𝐷=𝐷𝐶=1，𝐴𝐷=𝜆，则𝐷(0,0,0),𝑃(0,01),𝐵(�

�,1,0),𝐶(0,1,0),所以𝑃𝐵hhhhh⃗=(𝜆,1,−1).由于𝐸是𝑃𝐶的中点，则𝐸<0,(#,(#>，故𝐷𝐸hhhhh⃗=<0,(#,(#>，于是𝑃𝐵hhhhh⃗⋅𝐷𝐸hhhhh⃗=

0，即𝑃𝐵⊥𝐷𝐸.又已知𝐸𝐹⊥𝑃𝐵，而𝐷𝐸∩𝐸𝐹=𝐸，所以𝑃𝐵⊥平面𝐷𝐸𝐹，故𝑃𝐵hhhhh⃗=(𝜆,1,−1)是平面𝐷𝐸𝐹的一个法向量.而因为𝑃𝐷⊥平面𝐴𝐵𝐶𝐷，所以𝐷𝑃hhhhh⃗=(0,0,1)是平面𝐴

𝐵𝐶𝐷的一个法向量.由已知平面𝐷𝐸𝐹与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成锐二面角的大小为<-，则cos<-=k6>?????⃗⋅5>??????⃗B6>?????⃗B⋅B5>??????⃗Bk=l(√C!)#l=(#，解得𝜆=√2，所

以5767=(C=√##.故当平面𝐷𝐸𝐹与平面𝐴𝐵𝐶𝐷所成锐二面角的大小为<-，5767=√##.（12分）注：使用综合法解决若答案正确，依步骤酌情给分.19.某校高三年级举行元宵喜乐会，两人一组猜灯谜，每轮游戏中，每小组两人各猜灯谜两次，猜对灯谜的次数之和不少于3次就可

以获得“最佳拍档”称号.甲乙两人同一小组，甲和乙猜对灯谜的概率分别为𝑃(,𝑃#.（1）若𝑃(=-",𝑃#=#-，求在第一轮游戏中他俩就获得“最佳拍档”称号的概率；（2）若𝑃(+𝑃#="-，且在前n轮游戏中甲乙两人的小组获得“最佳拍档”称号的次数的期望为16次，则n的最小值是多

少？并求此时的𝑃(,𝑃#的值.【解析】（1）在“第一轮游戏中他俩就获得最佳拍档称号”为事件𝐴，则𝑃(𝐴)=<𝐶#(-"×("><𝐶###-×#->+<𝐶##-"×-"><𝐶#(#-×(->+<𝐶##-"×-"><𝐶###-×#->=#-（4分）（2）他们在第一轮游戏中获

得“最佳拍档”称号的概率为数学（理）第5页共9页𝑃=𝐶#(𝑃((1−𝑃()𝐶##𝑃##+𝐶##𝑃(#𝐶#(𝑃#(1−𝑃#)+𝐶##𝑃(#𝐶##𝑃##=2𝑃(𝑃#(𝑃(+𝑃#)−3𝑃(#𝑃

##=D-𝑃(𝑃#−3𝑃(#𝑃##.由于0≤𝑃(≤1,0≤𝑃#≤1，因此(-≤𝑃(≤1，故𝑃(𝑃#=𝑃(("-−𝑃()∈@(-,"*o，令𝑡=𝑃(𝑃#，则𝑃=ℎ(𝑡)=−3𝑡#+D-𝑡=−3<𝑡−"*>#+(+#2<(-≤𝑡≤"*>当𝑡="*时，𝑃EF

G=(+#2.甲乙两人小组前n轮游戏中获得“最佳拍档”称号的次数𝜉~𝐵(𝑛,𝑃)，由𝐸𝜉=𝑛𝑝=16，知𝑛EHI=(+>%&'=27.所以，n的最小值是27，此时𝑃(=𝑃#=#-.（12分）20.已知椭圆𝐶:$!9!+=!:!=1(

𝑎>𝑏>0)的左右焦点分别为𝐹(4−√3,05，𝐹#4√3,05，且椭圆𝐶上的点𝑀满足|𝑀𝐹(|=#2，∠𝑀𝐹(𝐹#=150°.（1）求椭圆𝐶的标准方程；（2）若在𝑥轴上存在一点𝐸，使得过点𝐸的任意一条直线𝑙与椭圆的两个交点𝑃、𝑄，都有(|

K>|!+(|KL|!为定值，试求出此定值.【解析】（1）依题意得：𝑐=√3，|𝐹(𝐹#|=2𝑐=2√3．由椭圆定义知|𝑀𝐹(|+|𝑀𝐹#|=2𝑎，又|𝑀𝐹(|=#2，则|𝑀𝐹#|=2𝑎−#2，在△𝑀𝐹(𝐹#中，∠𝑀𝐹(𝐹#=1

50°，由余弦定理得：|𝑀𝐹#|#=|𝑀𝐹(|#+|𝐹(𝐹#|#−2|𝑀𝐹(|⋅|𝐹(𝐹#|𝑐𝑜𝑠∠𝑀𝐹(𝐹#即<2𝑎−#2>#=<#2>#+42√35#−2×#2×2√3×𝑐𝑜𝑠150°，解得𝑎=2又𝑏#=𝑎#−𝑐#=1故所求椭圆

方程为$!"+𝑦#=1（5分）（2）设𝐸(𝑚,0)、𝑃(𝑥(,𝑦()、𝑄(𝑥#,𝑦#)，当直线𝑙不为x轴时的方程为𝑥=𝑡𝑦+𝑚，联立椭圆方程得：{𝑥=𝑡𝑦+𝑚$!"+𝑦#=1⇒(𝑡#+4)𝑦#+2𝑡

𝑚𝑦+(𝑚#−4)=0．数学（理）第6页共9页∴𝑦(+𝑦#=−#MNM!)"，𝑦(𝑦#=N!&"M!)"，1|𝐸𝑃|#+1|𝐸𝑄|#=1(1+𝑡#)𝑦(#+1(1+𝑡#)𝑦##=1(1+𝑡#)⋅(𝑦(+𝑦#

)#−2𝑦(𝑦#𝑦(#𝑦##=11+𝑡#⋅(32−8𝑚#)+(2𝑚#+8)𝑡#(𝑚#−4)#∴当且仅当32−8𝑚#=2𝑚#+8，即𝑚=±#√(OO时，(|K>|!+(|KL|!=5（定值）即在

x轴上存在点E使得(|K>|!+(|KL|!为定值5，点E的坐标为<#√(OO,0>或<−#√(OO,0>经检验，当直线PQ为x轴时，上面求出的点E也符合题意．（12分）21.已知函数𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥的图象曲线𝐶满足以下两

个特性：①过点𝑃(1,𝑡)存在两条直线与曲线𝐶相切；②曲线𝐶上有𝐴,𝐵两点，其横坐标分别为𝑥(,𝑥#(0<𝑥(<𝑥#<1)，且满足两点在曲线𝐶上等高.请完成以下两个问题：（1）求实数𝑡的取值范围；（2）若

𝑘=5<$(!)$!!#+𝑥(𝑥#>，且𝑘∈Z，求𝑘值.【解析】（1）函数𝑓(𝑥)＝xlnx的导数为𝑓′(𝑥)＝1+lnx，设切点为（u，v），则切线的斜率为𝑓′(𝑢)＝1+lnu，即有切线的方程为y﹣ulnu

＝（1+lnu）（x﹣u），代入点P（1，t），即有t﹣ulnu＝（1+lnu）（1﹣u），即为t﹣1＝lnu﹣u在（0，+∞）有两解，由𝑔(𝑥)＝lnx﹣x的导数为𝑔′(𝑥)=1𝑥−1，可得x＞1，𝑔(𝑥)递减，0＜x＜1，𝑔(𝑥)递增

．可得x＝1，取得最大值g（1）＝﹣1，且当𝑥→+∞时，𝑔(𝑥)→−∞；当𝑥→0时，𝑔(𝑥)→−∞.即有t﹣1＜﹣1，解得t＜0．故实数t的取值范围是（﹣∞，0）．（5分）（2）方法一：由

𝑓!(𝑥)=1+ln𝑥，可知：数学（理）第7页共9页当0<𝑥<(.时，𝑓!(𝑥)<0,𝑓(𝑥)单调递减；当𝑥>(.时，𝑓!(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增.又𝑓(1)=0，则有0<𝑥(<(.<𝑥#<1,𝑒𝑥(<1<𝑒𝑥#.利用不等式ln𝑥>(#<𝑥−($>，

0<𝑥<1，有：（本不等式可以由构造函数法证明）𝑥(ln𝑥(=𝑥(ln(𝑒𝑥()−𝑥(>𝑥(⋅(#<𝑒𝑥(−(.$(>−𝑥(，𝑥#ln𝑥#=−𝑥#ln<(.$!>−𝑥#<𝑥#⋅(#<𝑒𝑥#−(.$!>−

𝑥#.因此，𝑥(⋅(#<𝑒𝑥(−(.$(>−𝑥(<𝑥#⋅(#<𝑒𝑥#−(.$!>−𝑥#，整理可得：𝑥(+𝑥#>#..构造函数𝑔(𝑥)=PI$$&((0<𝑥<1)，则𝑔!(𝑥)=(

&()&PI$($&()!<0（易证：当0<𝑥<1时，ln𝑥>1−($），因此𝑔(𝑥)单调递减.故𝑔(𝑥()>𝑔(𝑥#)，即：PI$($(&(>PI$!$!&(，因此$(PI$($(($(&()>$!PI$!$!($!&

()，整理得：𝑥(+𝑥#<1.因此有#.<𝑥(+𝑥#<1，故𝑘=5<$(!)$!!#+𝑥(𝑥#>∈<(S.!,O#>，若𝑘为整数，则𝑘=2.（12分）方法二：由𝑓!(𝑥)=1+ln𝑥，可知：当0<𝑥<(.

时，𝑓!(𝑥)<0,𝑓(𝑥)单调递减；当𝑥>(.时，𝑓!(𝑥)>0，𝑓(𝑥)单调递增.又𝑓(1)=0，故有0<𝑥(<(.<𝑥#<1,令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓<#.−𝑥>=𝑥ln𝑥−<#.−𝑥>ln<#.−𝑥>，0<𝑥<#.，则

𝑔!(𝑥)=𝑓!(𝑥)+𝑓!<#.−𝑥>=ln𝑥<#.−𝑥>+2≤ln(.!+2=0，故𝑔(𝑥)在<0,#.>上单调递减，又𝑔<(.>=0，故当0<𝑥<(.时，𝑔(𝑥)>0，从而𝑔(

𝑥()=𝑓(𝑥()−𝑓<#.−𝑥(>>0，故𝑓<#.−𝑥(><𝑓(𝑥()=𝑓(𝑥#)，又#.−𝑥(>(.且𝑥#>(.，且𝑓(𝑥)在<(.,+∞>上单调递增，故#.−𝑥(<𝑥#

，即𝑥(+𝑥#>#..再令ℎ(𝑥)=𝑓(𝑥)−𝑓(1−𝑥)=𝑥𝑙𝑛𝑥−(1−𝑥)𝑙𝑛(1−𝑥)，0<𝑥≤(.则ℎ!(𝑥)=𝑓!(𝑥)+𝑓!(1−𝑥)=ln𝑥(1−𝑥)+2，数学（理）第8页共9页故ℎ!(𝑥)在<0,(.o上单调递增，而lim$→

S*ℎ!(𝑥)=−∞，ℎ!<(.>=ln<1−(.>+1>0，故存在唯一的𝑥S∈<0,(.o，使得ℎ!(𝑥S)=0，故当0<𝑥<𝑥S时，ℎ!(𝑥)<0，ℎ(𝑥)单调递减；当𝑥S<𝑥≤(.时，ℎ!(𝑥)>0，ℎ(𝑥)单调递增

，而lim$→S*ℎ(𝑥)=0，ℎ<(.>=𝑓<(.>−𝑓<1−(.><0，故ℎ(𝑥)<0，∀𝑥∈<0,(.o，故ℎ(𝑥()=𝑓(𝑥()−𝑓(1−𝑥()<0，故𝑓(1−𝑥()>𝑓(𝑥()=𝑓(𝑥#)，又1−

𝑥(>(.且𝑥#>(.，且𝑓(𝑥)在<(.,+∞>上单调递增，故1−𝑥(>𝑥#，即𝑥(+𝑥#<1.故𝑘=5<$(!)$!!#+𝑥(𝑥#>=O#(𝑥(+𝑥#)#∈<(S.!,O#>，又𝑘为整数，故𝑘=2.（12分）（二）选考题：共10分.请考生

在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（本小题满分10分）已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为ƒ𝑥=𝑡+1𝑡𝑦=𝑡−1𝑡（t为参数）．以O为极点，x轴

的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C2：𝜃=𝜋6（ρ≥0）和C3：𝜃=−𝜋6（ρ≥0），曲线C1分别交C2，C3于P，Q两点．（1）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）求△OPQ的面积．【解析】（1）曲线C1的参

数方程为ƒ𝑥=𝑡+1𝑡𝑦=𝑡−1𝑡（t为参数），转换为直角坐标方程为x2﹣y2＝4，根据ƒ𝑥=𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑦=𝜌𝑠𝑖𝑛𝜃𝑥#+𝑦#=𝜌#转换为极坐标方程为ρ2cos2θ﹣ρ2sin2θ＝4；曲线C2：𝜃=𝜋6（ρ≥0）转换为直角坐标方程为𝑦=T33�

�（x≥0）；（5分）（2）曲线C2：𝜃=𝜋6（ρ≥0）和C3：𝜃=−𝜋6（ρ≥0），曲线C1分别交C2，C3于P，Q两点；数学（理）第9页共9页所以𝜌#𝑐𝑜𝑠#𝜋6−𝜌#𝑠𝑖𝑛#𝜋6=4，解得𝜌(=2√

2，𝜌#𝑐𝑜𝑠#(−𝜋6)−𝜌#(−𝜋6)=4，解得𝜌#=2√2；所以𝑆△V>L=12⋅𝜌(⋅𝜌#𝑠𝑖𝑛𝜋3=12×2√2×2√2×T32=2√3．（10分）[选修4-5：

不等式选讲]23．（本小题满分10分）函数𝑓(𝑥)＝|x+2|+|x﹣a|（a∈R）．（1）当a＝2时，不等式𝑓(𝑥)≤8的解集M；（2）若x∈（0，1）时，不等式𝑓(𝑥)＜x+4恒成立，求a的取

值范围．【解析】（1）当a＝2时，f（x）＝|x+2|+|x﹣2|=‰2𝑥，𝑥＞24，−2≤𝑥≤2−2𝑥，𝑥＜−2．∵f（x）≤8，∴Š2𝑥≤8𝑥＞2或﹣2≤x≤2或Š−2𝑥≤8𝑥＜−2，∴2＜x≤4或

﹣2≤x≤2或﹣4≤x＜﹣2，∴﹣4≤x≤4，∴不等式的解集M＝{x|﹣4≤x≤4}．（5分）（2）当x∈（0，1）时，f（x）＝x+2+|x﹣a|，∴由f（x）＜x+4，得|x﹣a|＜2，∴a﹣2＜x＜a+2，∵x∈（0，1）时，不等式f

（x）＜x+4恒成立，∴‹𝑎−2≤0𝑎+2≥1，∴﹣1≤a≤2，∴a的取值范围为[﹣1，2]．（10分）