【文档说明】江西省黎川县第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（文）试卷 含答案.doc，共(8)页，975.500 KB，由小赞的店铺上传

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高二年级数学（文）期末试卷2021．1一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()sinxfxxe=+，则'(0)f的值为()BA．1B.2C.3D.02．设函数()yfx=在上可导，则0(1)(1)lim3xfxfx→+

−等于()CA.'(1)fB.3'(1)fC.1'(1)3fD.以上都不对3．将点M的极坐标(10,)3化成直角坐标是()BA.(53,5)B.(5,53)C.(5,5)D.(5,5)−−4．命

题()00:[1,4],0,pxfx−则p是()DA.[1,4],()0xfx−B.()00[1,4],0xfx−C.()00[1,4],0xfx−D.[1,4],()0xfx−5．下列求导运算正确的是（）BA.()222xx=B.()xxe

e=C.1(ln)xx=−D.2111xxx+=+6．双曲线22221(,0)xyabab−=的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（）CA．12yx=B．22yx=C．2yx=D．2yx=7．

.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++中的“…

”代表无限次重复，设121211x=++，则可以利用方程121xx=+求得x，类似地可得到正数222+++=()AA．2B．3C．22D．21+8．已知“2()160xa+−”的必要不充分条件是“2x−或3x”，则实数a的最小值为（）AA.2−B.1−C.0D.19．如图

，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()DA.3211242yxxx=+−B.3211322yxxx=+−C.314yxx=−D.321122yxxx=−−10．函数()fx的定义域为R，(0)2f=，对任意

xR，都有()'()1fxfx+，则不等式()1xxefxe+的解集为（）CA．{|1}xx−或1xB．{|0}xxC．{|0}xxD．{|1}xx−或01}x11．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆,令我们印象深刻

.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为:圆22:(3)9,Qxy++=圆224:(4)Lxy++=，圆22:(4)4,Sxy−+=若过原点的直线l与圆L、S均相切，则l截圆Q所得的弦长为（）AA.3B.2C.32D.1解析：法一：设过点O的直线:lykx=

.由直线l与圆L、圆S均相切，得2|4|2,1kk=+解得213k=(1).设点Q到直线l的距离为1,d则xy12Oy=3x-6y=-x湖面(千米)(千米)1231dk=+(2).又圆Q的半径3r=直线l截圆Q所得弦长221

12,lrd=−结合(1)(2)两式，解得13.l=法二：设直线l与圆L、圆S分别切于点A、B；与圆Q的另一个交点为C.取OC中点D，连结LA、SB、QC、QD.由90,AOLDOQ+=易知RtRt.AOLDQO∽所以直线l截圆Q所得

弦长||2||2||sin3.OCODOQOQD===12．若函数11()lneexxfxxxm−−+=−+++有零点，则实数m的取值范围是（）AA.(,3]−−B.(,1]−−C.[1,)−+D.[3,)+解析：11()lnee,xxgx

xx−−+=−++则111()1ee,xxgxx−−+=−+−易知()gx为单调递增函数，且(1)0,g=所以当(0,1)x时，()0,()gxgx递减;当(1,)x+时,()0gx,()gx递增，所以()(1)3,gxg=所以3m−，

故选A.（或者分别研究这两个函数111()ln,()e,exxhxxxx−−=−=+它们的单调性都是在1x=时取得最小值）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)．13．已知函数2()43'(1)fxxxf=−，则'(1)f=________.214．命

题“若实数a，b满足25ab+，则2a且1b”是__假__命题(填“真”或“假”)．15．已知拋物线2:2(0)Cypxp=的焦点为,FO为坐标原点，C的准线为l且与x轴相交于点B，A为C上的一点，直线AO与直线l相交于C点，若BOCBCF=,||6,AF=则C的标准方程为.28y

x=解析：因为,90,BOCBCFOBCCBF===所以~,OBCCBF则,OBBCBCBF=即2,pBCBCp=解得2,2BCp=所以22tan2,12pCOBp==联立直线OA与抛物线方程222yxypx==解得(,2),App所以36,22AppAFx=+==则

抛物线标准方程为28.yx=16．若函数32()fxxx=−在区间(,3)aa+内存在最大值，则实数a的取值范围是．(3,2]−−解析：由题可知:2()32(32)fxxxxx=−=−所以函数()fx在20,3单调递减

，在2(,0),,3−+单调递增，故函数的极大值为(0)0f=.所以在开区间(,3)aa+内的最大值一定是(0)0,f=又(1)(0)0ff==,所以03,31aaa++得实数a的取值范围是(3

,2].−−三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，过点(1,0)P且倾斜角为4的直线与曲线:C2cossinxy==（为参数）交于,AB两点．（1）将曲线C的参数

方程转化为普通方程；（2）求||AB的长．【解析】（1）曲线C的普通方程为2214xy+=……………………5分（2）方法一：直线l的参数方程为21222xtyt=+=（t为参数），……………………6分将此参数方程代入2214xy+=并化简得252260tt+−=……………………8

分设点,AB所对应的参数分别为12,tt，则12225tt+=−，1265tt=−则212121282||||()45ABtttttt=−=+−=……………………10分方法二：222158014yxxxxy=−−=+=，所以1280,5xx==，1282115AB

xx=+−=.18．（本小题满分12分）已知圆22:2440Cxyxy+−+−=，问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。【解析】假设存在直线l，设其方程为yxb=+.解方程组222440,xyxyyxb

+−+−==+得222(22)440xbxbb++++−=①……………………5分设()()1122,,,,AxyBxy则21212441,2bbxxbxx+−+=−−=.……………………6分()()()2222121212124424yy(1)22bbbbxbxbxxbx

xbbbb+−+−=++=+++=+−−+=又OAOB⊥.22121244240,0.22bbbbxxyy+−+−+=+=……………………10分解得1b=或4.b=−把1b=和4b=−分别代入①式，验证判别式均大于0.故存在1b=或4.b=−所以存在满足条件的直线方程y10x−+=或y

40.x−−=……………………12分19．（本小题满分12分）已知函数21()32xfxexax=−−．若函数()fx的图象在0x=处的切线方程为2yxb=+，求,ab的值；若函数()fx在R上是增函数，求实数a的最大值．【解析】(1)由题意，得()3,xfxexa=−−

则(0)3,fa=−又函数()fx的图象在0x=处的切线方程为y2,xb=+则32,a−=解得1.a=又21()3,2xfxexx=−−则(0)3,f=即203,b+=解得3.1,bab===3.……………………6分（2

）由题意可知，'()0fx，即30xexa−−恒成立,3xaex−恒成立.设()3,xgxex=−则()31.xgxe=−令()310,xgxe=−=解得ln3.x=−…………8分令()0,gx解得ln3,x−令()0,gx解得ln3,x−()gx在(,ln3)−−上单

调递减，在(ln3,)−+上单调递增，……………………10分()gx在x=−In3处取得极小值,min()(ln3)1ln3.gxg=−=+1ln3,aa+的最大值为1ln3.+……………………12分20．（本小题满分12分）“既

要金山银山，又要绿水青山”.滨江风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）.在点A与圆弧上的一点C（不同于A,B两点）之间设计为直线段小路，在直线段小路的两侧（注意是两侧）种植绿化带；再从点C到

点B设计为沿弧的弧形小路，在弧形小路的内侧（注意是一侧）种植绿化带（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）.设BAC=(弧度)，将绿化带总长度表示为的函数()S；试确定的值，使得绿化带总长度最大.(弧度公式：lr=，其中为弧所对的圆心角)【解析】解

:如图，连接,BCOC，在直角三角形ABC中，100,,ABBAC==所以100cos,AC=由于22,BOCBAC==则弧BC的长为250100,lr===()22100cos100200cos100,0,2SACl=+=+=+

……………6分（2）由（1）可知'()200sin100S=−+，令()0,S=解得6=,……………8分当0,,()0,()6SS单调递增，当,,()0,()62SS

单调递减，……………10分所以当6=时,()S有最大值.……………12分21．（本小题满分12分）已知动圆M过点1(2,0),F−且动圆M内切于定圆2F:22(2)32,xy−+=记动圆M圆心的轨迹为曲线.ABCOθ(1)求曲线的方程;(2

)若A、B是曲线上两点，点20,3P满足20,PFPAPB++=求直线AB的方程.【解析】(1)由已知可得1212424,MFMFFF+==则点M的轨迹是以1F、2F为焦点,长轴长为42的椭圆

，则22,2,ac==因此曲线的方程是221.84xy+=……………5分(2)因为20PFPAPB++=,则点20,3P是2FAB的重心,易得直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为()()1122,,,,y

kxmAxyBxy=+,121212122020,,2,2333xxyyxxyy++++==+=−+=……………………7分联立22,184ykxmxy=++=消y得:()222214280kxkmxm+++−=()()()222222

2216421288840,840kmkmkmkm=−+−=−+−+且1224221kmxxk−+==−+①()1211122222yykxmkxmkxxmkm+=+++=++=−+=②……………………10分由①②解得13,,22km==则直线AB的方程为13,

22yx=+即230.xy−+=……………………12分（或者求AB的中点坐标(-1,1)用点差法求AB的斜率为12，由点斜式求直线AB的方程.）22．（本小题满分12分）已知函数()3(1)2ln.fxxxx=−−（1)求()fx单调增区间;（2)当1x时，()lnfxax恒成立，求实数a的

取值范围.【解析】(I)()12ln,fxx=−令12()00,e,fxx故()fx单调增区间为120,e……………………5分(II)()3(1)2lnln,(1)0,gxxxxaxg=−−−=要使()ln,fxax即()0gx.2ln(),xaxxgxx

−−=……………………6分令()2ln,()12ln,(1)1hxxaxxhxxha=−−=−−=−……………………7分当1x时,()0hx恒成立，则()hx在[1,)+单调递减.(1)当1a时,()(1)0,()hxhgx在(1,)+单调递减，故(

)(1)0,gxg=符合要求;(2)当(e,1)a−时,(1)0,(e)e0,()hhahx=−−单调递减，故存在0(1,e)x使得()00,hx=则当()01,xx时()0,()hxgx单调递增，()g(1)0,gx=不符合要求;(3)当(,e]a−−

时,1122ee10,()aahahx−−=−单调递减，故存在1201,eax−使得()00,hx=则当()01,xx时()0,()hxgx单调递增，()g(1)0,gx=不符合要求.综上1a.……………

………12分