【文档说明】江西省黎川县第一中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试卷 含答案.doc，共(9)页，1.074 MB，由小赞的店铺上传

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高二年级数学（理）期末试卷2021．1一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数()sinxfxxe=+，则'(0)f的值为()BA．1B.2C.3D.02．设函数()yfx=在上可导，

则0(1)(1)lim3xfxfx→+−等于()CA.'(1)fB.3'(1)fC.1'(1)3fD.以上都不对3．将点M的极坐标(10,)3化成直角坐标是()BA.(53,5)B.(5,53)C.(5,5)D

.(5,5)−−4．命题()00:[1,4],0,pxfx−则p是()DA.[1,4],()0xfx−B.()00[1,4],0xfx−C.()00[1,4],0xfx−D.[1,4],()0xfx−5．已知()fx为偶函数

且20()4fxdx=，则22()fxdx−等于()CA．0B．4C．8D．166．双曲线22221(,0)xyabab−=的离心率为3，则该双曲线的渐近线方程为（）CA．12yx=B．22yx=C．2yx=D．2yx=7．.魏晋时期数学家刘徽首创割圆术，他在《九章

算术》方田章圆田术中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”这是注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在正数121211++中的“…”代表无限次重复，设121211x=++，则可以利用方程121xx=+求得x，类似地可得到正

数222+++=()AA．2B．3C．22D．21+8．已知“2()160xa+−”的必要不充分条件是“2x−或3x”，则实数a的最小值为（）AA.2−B.1−C.0D.19．如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接（相切）.已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函

数的解析式为()DA.3211242yxxx=+−B.3211322yxxx=+−C.314yxx=−D.321122yxxx=−−10．函数()fx的定义域为R，(0)2f=，对任意xR，都有()'()1fxfx+，则不等式()1xxefxe+的解集为（）CA．{|1}xx−或1xB

．{|0}xxC．{|0}xxD．{|1}xx−或01}x11．《米老鼠和唐老鸭》这部动画给我们的童年带来了许多美好的回忆,令我们印象深刻.如图所示，有人用3个圆构成米奇的简笔画形象.已知3个圆方程分别为:圆22:(3)9,Qxy++=圆224:(4)Lxy++=，

圆22:(4)4,Sxy−+=若过原点的直线l与圆L、S均相切，则l截圆Q所得的弦长为（）AA.3B.2C.32D.1解析：法一：设过点O的直线:lykx=.由直线l与圆L、圆S均相切，得2|4|2,1kk=+解得213k=(1

).设点Q到直线l的距离为1,d则1231dk=+(2).又圆Q的半径3r=直线l截圆Q所得弦长22112,lrd=−结合(1)(2)两式，解得13.l=xy12Oy=3x-6y=-x湖面(千米)(千米)法二：设直线l与圆L、圆S分别切于点A、B；与圆Q的另一个交点为C.取OC中点D，连结LA、

SB、QC、QD.由90,AOLDOQ+=易知RtRt.AOLDQO∽所以直线l截圆Q所得弦长||2||2||sin3.OCODOQOQD===12．若函数11()lneexxfxxxm−−+=−+++有零点，则实数m的取值范围是（）AA.(,3]−−B.(,1]−−C.[1,

)−+D.[3,)+解析：11()lnee,xxgxxx−−+=−++则111()1ee,xxgxx−−+=−+−易知()gx为单调递增函数，且(1)0,g=所以当(0,1)x时，()0,()gxgx递减;当(1,)x+

时,()0gx,()gx递增，所以()(1)3,gxg=所以3m−，故选A.（或者分别研究这两个函数111()ln,()e,exxhxxxx−−=−=+它们的单调性都是在1x=时取得最小值）二、填空题：(本大题共4小题，每

小题5分，共20分)．13．已知函数2()43'(1)fxxxf=−，则'(1)f=________.214．用数学归纳法证明等式：22111(1,*)1nnaaaaanNa++−++++=−，验证1n=时，等式左边_

_______．答案为：21aa++.15．已知拋物线2:2(0)Cypxp=的焦点为,FO为坐标原点，C的准线为l且与x轴相交于点B，A为C上的一点，直线AO与直线l相交于C点，若BOCBCF=

,||6,AF=则C的标准方程为.28yx=解析：因为,90,BOCBCFOBCCBF===所以~,OBCCBF则,OBBCBCBF=即2,pBCBCp=解得2,2BCp=所以22tan2,12pCOBp==联立直线OA与抛物线方程222yxypx==解得(,2

),App所以36,22AppAFx=+==则抛物线标准方程为28.yx=16．若函数32()fxxx=−在区间(,3)aa+内存在最大值，则实数a的取值范围是．(3,2]−−解析：由题可知:2()32(32)fxxxxx=−=−所以函数()fx在20,3

单调递减，在2(,0),,3−+单调递增，故函数的极大值为(0)0f=.所以在开区间(,3)aa+内的最大值一定是(0)0,f=又(1)(0)0ff==,所以03,31aaa++得实数a的取值范围是(3,2].−−三、解答题：本大题共6个题，共70分．解答

应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，过点(1,0)P且倾斜角为4的直线与曲线:C2cossinxy==（为参数）交于,AB两点．（1）将曲线C的参数方程转化为普通方程；（2）求||AB的长．【解析】（1）曲线C的普通

方程为2214xy+=……………………5分（2）方法一：直线l的参数方程为21222xtyt=+=（t为参数），……………………6分将此参数方程代入2214xy+=并化简得252260tt+−=……………………8分

设点,AB所对应的参数分别为12,tt，则12225tt+=−，1265tt=−则212121282||||()45ABtttttt=−=+−=……………………10分方法二：222158014yxxxxy=−−=+=，所以1280,5xx==，128211

5ABxx=+−=.18．（本小题满分12分）已知圆22:2440Cxyxy+−+−=，问是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由。【解析】假设存在直线l，设其方程为y

xb=+.解方程组222440,xyxyyxb+−+−==+得222(22)440xbxbb++++−=①……………………5分设()()1122,,,,AxyBxy则21212441,2bbxxbxx+−+=−−=.……………………6分()()()2222

121212124424yy(1)22bbbbxbxbxxbxxbbbb+−+−=++=+++=+−−+=又OAOB⊥.22121244240,0.22bbbbxxyy+−+−+=+=……………

………10分解得1b=或4.b=−把1b=和4b=−分别代入①式，验证判别式均大于0.故存在1b=或4.b=−所以存在满足条件的直线方程y10x−+=或y40.x−−=……………………12分19．（本小题满分12分）已知函数21()32xfxexax=−−．若函数()fx的图象在0x=

处的切线方程为2yxb=+，求,ab的值；若函数()fx在R上是增函数，求实数a的最大值．【解析】(1)由题意，得()3,xfxexa=−−则(0)3,fa=−又函数()fx的图象在0x=处的切线方程为y2

,xb=+则32,a−=解得1.a=又21()3,2xfxexx=−−则(0)3,f=即203,b+=解得3.1,bab===3.……………………6分（2）由题意可知，'()0fx，即30xexa−−恒成立,3xaex−恒成立.设()3,xgxex=−则()31

.xgxe=−令()310,xgxe=−=解得ln3.x=−…………8分令()0,gx解得ln3,x−令()0,gx解得ln3,x−()gx在(,ln3)−−上单调递减，在(ln3,)−+上单调递增，…………

…………10分()gx在x=−In3处取得极小值,min()(ln3)1ln3.gxg=−=+1ln3,aa+的最大值为1ln3.+……………………12分20．（本小题满分12分）如图，点D是曲线221(0)4yxy+=

上的动点(点D在y轴左侧)，以点D为顶点作等腰梯形ABCD，使点C在此曲线上，点,AB为曲线与x轴的交点.设2CDx=，等腰梯形ABCD的面积为()Sx.（1）写出函数()Sx的解析式，并写出函数的定义域；（2）当

x为何值时，等腰梯形ABCD的面积最大？求出最大面积.【解析】(1)根据题意，设点D(,)xy−,由D是曲线221(0)4yxy+=上的动点得:()2241yx=−由于椭圆与x轴交点为(1,0),故||2AB=所以21()(22)(1)2(1)1,(01)2Sxxyxyxxx=+=+=+−

即:2()2(1)1,(01)Sxxxx=+−……………………6分(2)方法一：结合(1),对2()2(1)1(01)Sxxxx=+−两边平方得:()()2224343()4(1)142214884(01)Sxxxxxxxxxx=+−=

−−++=−−++令243()5()4884,01fxxxxxx==−−++则322()162488(1)(21)fxxxxx=−−+=−+−所以当1,12x时,()0,fx当10,2x时,()0fx所以()fx在区间10,2单调递

增，在1,12上单调递减，所以()fx在12x=处取到最大值,max27()4fx=.所以当12x=时,()Sx取到最大值,max2733()42Sx==.……………………12分xyABDCO（方

法二：22222222222222(1)(21)'()210111xxxxxxxSxxxxx+−−−−+−=−−===−−−，所以在区间单调递增，在上单调递减.）21．（本小题满分12分）已知动圆M过点1(2,0),F−且动圆M内切于定圆2F:22

(2)32,xy−+=记动圆M圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)若A、B是曲线上两点，点20,3P满足20,PFPAPB++=求直线AB的方程.【解析】(1)由已知可得1212424

,MFMFFF+==则点M的轨迹是以1F、2F为焦点,长轴长为42的椭圆，则22,2,ac==因此曲线的方程是221.84xy+=……………5分(2)因为20PFPAPB++=,则点20,3P是2

FAB的重心,易得直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为()()1122,,,,ykxmAxyBxy=+,121212122020,,2,2333xxyyxxyy++++==+=−+=……………………7分

联立22,184ykxmxy=++=消y得:()222214280kxkmxm+++−=()()()2222222216421288840,840kmkmkmkm=−+−=−+−+且1224221kmxxk−+==−+①()121

1122222yykxmkxmkxxmkm+=+++=++=−+=②……………………10分由①②解得13,,22km==则直线AB的方程为13,22yx=+即230.xy−+=……………………12分（或者求AB的中点坐标(-1,1)用点差法求AB的斜率为12，由点斜式求直线AB的方程.）2

2．（本小题满分12分）已知函数2()ln(2)1,()(4)ln2(fxaxxaxagxaxxa=+−++−=−−为常数),函数()()()Fxgxfx=−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若函数

()gx的图像与直线3yx=−相切，求实数a的值；（3）当1x时,()Fx在(1,)+上有两个极值点1212,()xxxx且2()Fx恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)22(2)(2)(1)()2(2)(0)ax

axaxaxfxxaxxxx−++−−=+−+==,令()0fx=可得,12,1,2axx==当0a时,()01,()001fxxfxx,所以()fx在(0,1)上单调递减，在(1,

)+上单调递增。当02a时，()002afxx或1,()01,2axfxx所以()fx在,12a上单调递减，在0,,(1,)2a+上单调递增;当2a=时,()0,fx所以()fx在

(0,)+上单调递增。当2a时,()001fxx或,()01,22aaxfxx所以()fx在1,2a上单调递减，在(0,1),,2a+上单调递增.……………………3分(2)设切点为

()00,,xy则0003(4)ln2xaxx−=−−(1),由4()2agxx−=−可得()00042134agxxax−=−==−(2),联立(1)（2）可得,0001lnxxx−=设0000(1)lnhxxxx−=−，00)'(lnhxx=，0()hx在(0,1)单调递减，

在(1,)+单调递增，又(1)0h=，所以01x=，所以7a=.……………………7分（3）由已知可得2()4ln1Fxxaxxa=−+−−+2(1)0424()2FxaxFxxaxx=−+−=−+−=令2()24,hxxax=−+−由题意知()hx在(1,)+上有两个不同零点.则

232014264(1)60aaaha=−=−，……………………8分（a的范围求出得1分）函数()Fx的两个极值点为12,xx（12xx），则1x和2x是()hx在(1,)+上的两个不同零点.所以2222222324240(

2,2),24aaxaxxaxx+−−+−===+且，……………………9分（2x的范围求出得1分）()222222222244ln124ln5Fxxaxxaxxxx=−+−−+=−−−+令24()24ln5,(2,2)Gxxxxxx=−−−+则()2222(1)244()22

0,xxGxxxxx−−=−−+=所以()Gx在(2,2)上单调递增，…………………10分所以有(2)()(2),GGxG其中(2)7422ln2,(2)34ln2GG=−−=−,即()2(7422ln2,34l

n2),Fx−−−又()Fx恒成立,所以34ln2−故实数的取值范围为[34ln2,)−+.……………………12分