【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试（新高考专用）专题48直线的方程 Word版含解析.docx，共(31)页，2.699 MB，由小赞的店铺上传

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专题48直线的方程知识梳理考纲要求考点预测常用结论方法技巧题型归类题型一：直线的倾斜角与斜率题型二：求直线的方程题型三：直线方程的综合应用培优训练训练一：训练二：训练三：训练四：训练五：训练六：强化测

试单选题：共8题多选题：共4题填空题：共4题解答题：共6题一、【知识梳理】【考纲要求】1.在平面直角坐标系中，结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解

斜截式与一次函数的关系.【考点预测】1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°；(3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α<180°}.2.

直线的斜率(1)定义：我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan__α.(2)计算公式①经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率k

＝y2－y1x2－x1.②设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(其中x1≠x2)是直线l上的两点，则向量P1P2→＝(x2－x1，y2－y1)以及与它平行的向量都是直线的方向向量.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝yx.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程

适用条件斜截式纵截距、斜率y＝kx＋b与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率y－y0＝k(x－x0)两点式过两点y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距xa＋yb＝1不过

原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直线【常用结论】直线的斜率k与倾斜角α之间的关系α0°0°<α<90°90°90°<α<180°k0k>0不存在k<0牢记口诀：1．“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”．2．“截距”是直线与坐

标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数．应注意过原点的特殊情况是否满足题意．3．直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的一个法向量v＝(A，B)，一个方向向量a＝(－B，A)．【方法技巧】1.斜率的两种求法：定义法、斜率公式法．2.倾斜角和斜率范围

求法：①图形观察(数形结合)；②充分利用函数k＝tanα的单调性．3.求直线方程一般有以下两种方法：①直接法：由题意确定出直线方程的适当形式，然后直接写出其方程．②待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数，即得所求直线方程．4.在求直线方程时

，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件，特别是对于点斜式、截距式方程，使用时要注意分类讨论思想的运用．5.直线过定点问题可以利用直线点斜式方程的结构特征，对照得到定点坐标．6.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积．7.求参数值或范

围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．二、【题型归类】【题型一】直线的倾斜角与斜率【典例1】直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的变化范围是()A.π6，π3B.π4，π3C.

π4，π2D.π4，2π3【解析】直线2xcosα－y－3＝0的斜率k＝2cosα.由于α∈π6，π3，所以12≤cosα≤32，因此k＝2cosα∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tanθ∈[1，3]．由

于θ∈[0，π)，所以θ∈π4，π3，即倾斜角的变化范围是π4，π3.故选B.【典例2】过函数f(x)＝13x3－x2的图象上一个动点作函数图象的切线，则切线倾斜角的取值范围为()A.

0，3π4B.0，π2∪3π4，πC.3π4，πD.π2，3π4【解析】设切线的倾斜角为α，则α∈[0，π)，∵f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴切线的斜率k＝tanα≥－1，则α∈

0，π2∪3π4，π.故选B.【典例3】若直线l的斜率为k，倾斜角为α，且α∈π6，π4∪2π3，π，则k的取值范围是________．【解析】当α∈π6，π4时，k＝tanα∈33，1；当α∈2π3，π时，k＝

tanα∈[－3，0)．综上得k∈[－3，0)∪33，1.【题型二】求直线的方程【典例1】经过点P(2，－3)，且倾斜角为45°的直线方程为()A．x＋y＋1＝0B．x＋y－1＝0C．x－y＋5＝0D．x－y－5＝0【解析】

倾斜角为45°的直线的斜率为tan45°＝1，又该直线经过点P(2，－3)，所以用点斜式求得直线的方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.故选D.【典例2】已知点M是直线l：2x－y－4＝0与x轴的交点，将直线l绕点M

按逆时针方向旋转45°，得到的直线方程是()A．x＋y－3＝0B．x－3y－2＝0C．3x－y＋6＝0D．3x＋y－6＝0【解析】设直线l的倾斜角为α，则tanα＝k＝2，直线l绕点M按逆时针方向旋转45°，所得直线的斜率k′＝tanα

＋π4＝2＋11－2×1＝－3，又点M(2,0)，所以y＝－3(x－2)，即3x＋y－6＝0.故选D.【典例3】经过两条直线l1：x＋y＝2，l2：2x－y＝1的交点，且直线的一个方向向量v＝(－3,2)的直线方程为__________．【解析】联立x

＋y＝2，2x－y＝1，解得x＝1，y＝1，∴直线过点(1,1)，∵直线的方向向量v＝(－3,2)，∴直线的斜率k＝－23.则直线的方程为y－1＝－23(x－1)，即2x＋3y－5＝0.【题型三】直线方程的综合应用【典例

1】已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．【解析】法一：设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，A2－1k，0，B(0，1－2k)，S△AOB＝1

2(1－2k)·2－1k＝124＋(－4k)＋－1k≥12(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－1k，即k＝－12时，等号成立．故直线l的方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0

.法二：设直线l：xa＋yb＝1，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2，1)，所以2a＋1b＝1，则1＝2a＋1b≥22ab，故ab≥8，故S△AOB的最小值为12×ab＝12×8＝4，当且仅当2a＝1b＝12时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l为x4＋y2＝1，即x＋2y－4

＝0.【典例2】已知直线x＋2y＝2分别与x轴、y轴相交于A，B两点，若动点P(a，b)在线段AB上，则ab的最大值为________．【解析】直线方程可化为x2＋y＝1，故直线与x轴的交点为A(2，0)，与y轴的交点为B(0，1)，由动点P(a，b)在线段AB上，可知0≤b≤1

，且a＋2b＝2，从而a＝2－2b，故ab＝(2－2b)b＝－2b2＋2b＝－2b－122＋12，0≤b≤1，故当b＝12时，ab取得最大值12.【典例3】当k>0时，两直线kx－y＝0，2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形面积的最大值为_

_______．【解析】直线2x＋ky－2＝0与x轴交于点(1，0)．由kx－y＝0，2x＋ky－2＝0，解得y＝2kk2＋2，所以两直线kx－y＝0，2x＋ky－2＝0与x轴围成的三角形的面积为12×1

×2kk2＋2＝1k＋2k，又k＋2k≥2k·2k＝22，当且仅当k＝2时取等号，故三角形面积的最大值为24.三、【培优训练】【训练一】（2023·江苏扬州·仪征中学校考模拟预测）已知椭圆C：()222210xyabab+=的左、右焦点

分别为1F、2F，以2F为圆心的圆与x轴交于1F，B两点，与y轴正半轴交于点A，线段1AF与C交于点M.若BM与C的焦距的比值为313，则C的离心率为（）A．312−B．12C．314+D．712−【答案】D【

分析】先求出以2F为圆心的圆的方程，求出()0,3Ac，()3,0Bc，求出直线1FA的方程后结合距离公式可求M的坐标，代入椭圆方程后可求离心率.【详解】设椭圆的半焦距为c，因为以2F为圆心的圆过1F，故该圆的半径为2c，故其方程为：()2224

xcyc−+=，令0x=，则3yc=，结合A在y轴正半轴上，故()0,3Ac，令0y=，则xc=−或3xc=，故()3,0Bc.故13030()FAckc−==−−，故直线1:33FAyxc=+.设()(),330Mmmcm+，因为A在y轴的正半轴上

，1F在x轴的负半轴上，故0m，而31231233BMcc==，故()()2221243339cmmcc−++=，整理得到：221649mc=，故23mc=−，故33cy=，所以222241931cc

ab+=，故()22241931eee+=−，整理得到：4241690ee−+=，故712e−=，故选：D.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中离心率的值或范围的计算，关键在于构建关于基本量的方程或方程组（不等式或不等式组），后者可通过点在

椭圆上或判别式为零等合理构建.【训练二】（2023·全国·高二专题练习）设0a，Rb，已知函数()()e3xfxxaxb=+−+，1,3x有且只有一个零点，则22ab+的最小值为（）A．2e6B．2e5C．2e4D．2e3

【答案】B【分析】设函数()fx的零点为t，可得()3e0ttabt−++=，由此可得点(),ab在直线()3e0ttxyt−++=上，由此可得22222e610ttabtt+−+，再利用导数求其最小值.【详解】函数()()e3xfxxaxb=+−+的零点为t，则13t，

且()e30ttatb+−+=，即()3e0ttabt−++=，所以点(),ab在直线()3e0ttxyt−++=上，又22ab+表示点(),ab到原点的距离的平方，故()2222e31ttabt+−+，所以22222e610ttabtt+−+，设()2

22e610ttgttt=−+，则()()()()()2222222e161023e610ttttttttgttt+−+−−=−+，故()()()()()()()2223222222e161032e6710610610tttttttt

ttttgttttt+−+−−−++==−+−+，设()()32671013httttt=−++，则()()223127325htttt=−+=−−，因为13t，所以()0ht，所以函数()3267

10htttt=−++在1,3上单调递减，所以当13t时，()()3275421100hth=−++，故当13t时，()0gt，函数()gt在1,3上单调递增，所以()()2e15gtg=.所以当2e

0ab−++=，2ab=−时，22ab+取最小值，最小值为2e5.所以当2ee,55ab==−时，22ab+的最小值为2e5.故选：B.【点睛】知识点点睛：本题考查函数零点的定义，直线方程的定义，点到直线的距离，两点之间的距离，利用导

数求函数的最值，考查数学运算，数形结合等数学思想.【训练三】（2023·湖南益阳·统考模拟预测）已知直线l与曲线32341yxxx=−+−相交，交点依次为D、E、F，且5DEEF==，则直线l的方程为（）A．3

2yx=−B．21yx=−C．23yx=+D．32yx=+【答案】B【分析】根据函数的对称性得曲线的对称中心为()11，，则()11E，，设()32,341Dxxxx−+−，由5DE=，得到2322(1)(342)5xxx

x−+−+−=，通过换元求出x值，则得到D的坐标，最后写出直线方程即可.【详解】()323341(1)11yxxxxx=−+−=−+−+，设()3fxxx=−，其定义域为R，关于原点对称，且()()()()

()33fxxxxxfx−=−−−=−−=−，故函数()fx为奇函数，且其对称中心为()0,0，将()fx向右平移1个单位，向上平移1个单位，则得到()3(1)11yxx=−+−+，曲线32341yxxx=−+−的对称中心为()11，，由5DE

EF==，可知点E为对称中心，故E的坐标为()11，，不妨设()32,341Dxxxx−+−，则由5DE=，得2322(1)(342)5xxxx−+−+−=，即()232(1)[(1)1]5xxx−+−+

−=，令1xt−=，则232642()52250tttttt++=++−=，即()()()64424222325013510tttttttt−++−=−++−=，()()2421350ttt−++=，1.t=当1t=时，12xt=+

=，()23.A，又l过()11E，，则31221AEk−==−，直线l的方程为21yx=−，当1t=−时，10xt=+=，()01.A−，又l过()11E，，则31221AEk−==−，直线l的方程为21.yx=−综上，直线l的方程为2

1.yx=−故选：B.【点睛】关键点睛：本题的关键首先是得到曲线对称中心为()11，，从而得到()11E，，然后再去设点D坐标，根据5DE=，得到高次方程，利用换元法结合因式分解解出D的坐标即可.【训练四】（2023·全国·模拟预

测）设直线l：()20abxbya−+−=，圆C：()()22220yxrr+=−，若直线l与圆C恒有两个公共点A，B，则下列说法正确的是（）A．r的取值范围是)5,+B．若r的值固定不变，则当230ab−=时∠ACB最小C．若r的值固定不变，则ABC

的面积的最大值为212rD．若3r=，则当ABC的面积最大时直线l的斜率为1或17【答案】BD【分析】A选项，先整理直线方程，得到直线过的定点，再根据直线与圆的位置关系得到半径r的范围；B选项，利用平面几何知识分析出当lPC⊥时，∠ACB最小，再利用斜率之间的关系即可判断；C选项，先将

ABC的面积用半径r和圆心C到直线l的距离d表示，再利用二次函数的知识求最值即可；D选项，利用C选项得到半径r和圆心C到直线l的距离d之间的关系，再利用点到直线的距离公式建立方程，求得a，b之间的关系，即可得到结果．【详解】A选项：因为直线l：()20a

bxbya−+−=，即()()120axbxy−−−=，令1020xxy−=−=，解得12xy==，所以直线l过定点()1,2P，因为直线l与圆C恒有两个公共点，所以5rPC=，故A错误；B选项：因为直线l过定点()1,2P，所以当lPC⊥时，∠A

CB最小，因为2PCk=−，所以此时直线l的斜率为12，即212abb−+=，即230ab−=，故B正确；C选项：设圆心C到直线l的距离为d，则ABC的面积2242242221224rrSdABdrddrdd==−=

−+=−−+，因为05d，所以205d，①252r，即510r，则当222rd=时，ABC的面积最大，且2max2rS=；②若252r，即10r>，则函数S随着d的增大而增大，

所以2max525Sr=−，综上ABC的面积的最大值为212r或2525r−，故C错误；D选项：由C选项知，当22922rd==时ABC的面积最大，因为()2242abdabb−=−+，所以()()22249

22ababb−=−+，整理得22720130aabb−+=，所以ab=或137ab=，因为0b，所以直线l的斜率2akb=−，所以1k=或17k=，故D正确．故选：BD．【点睛】关键点点睛：求解本题的关键：（1）整理直线方程，得到直线过的定点的坐标；（2）熟练掌握直线与圆的位置关系，并能

利用平面几何知识分析出圆心角何时最小．【训练五】（2023·全国·高三专题练习）将两圆方程()()222212:2440,:2230(2)CxyxyCxyxmymm++−+=+−+−+−=作差，得到直线l的方程，则（）A．直线l一定过点1,14−B．存在实

数m>2，使两圆心所在直线的斜率为2−C．对任意实数m>2，两圆心所在直线与直线l垂直D．过直线l上任意一点一定可作两圆的切线，且切线长相等【答案】BCD【分析】利用分离参数法求出直线恒过的定点即可判断A；利用两圆心坐标求斜率进而判断B；利用垂直直线的斜率之积为-1判断C；

设直线l上一点21(,)4mnnmPn+−−，利用两点坐标求距离公式和勾股定理化简计算即可判断D.【详解】由题意知，222224402(2)(3)0xyxyxyxmym++−+=+−+−+−=，两式相减，得():4

210lxmym−+++=，A：由():4210lxmym−+++=，得(1)(421)0ymxy−+−+=，则104210yxy−=−+=，解得114xy==，，所以直线l恒过定点1,14，故A错误；B：()1212

11,21,1262224CCmmCCkm−−=−−=−=，，故B正确；C：因为12121242124lCClCCmkkkklCCm+==−=−⊥+，，故C正确；D：()2121241,21,1122mmCCrr−

−−==，，，，m>2，则圆心1C到直线l的距离为12242(2)1716(2)16(2)mmmdmm−−++++==++++，圆心2C到直线l的距离为22224(1)(2)126216(2)21

6(2)mmmmmdmm−−+++++==++++，又22(7)[16(2)]10290mmm+−++=+，得11dr，即直线l与圆1C相离，2222222640116[](4)016(2)16(2)mmmmmm++

+−−=++++，得22dr，即直线l与圆2C相离，所以过直线l上任一点可作两圆的切线.在直线():4210lxmym−+++=上任取一点21(,)4mnnmPn+−−，设点P到圆1C的切线长为1

L，到圆2C的切线长为2L，则2222211121(1)(2)14mnnmLPCrn+−−=−=++−−2222221(4222052657)16mnmnmnmnnmnm=+−+++−−+，222222LPCr=−=222214(1)(1)424mnnmmmn+−−−−+−+−2

222221(4222052657)16mnmnmnmnnmnm=+−+++−−+，所以21L22L=，即1L2L=，故D正确.故选：BCD.【训练六】（2022·河南·校联考模拟预测）已知()fx是定义在R上的奇函数，其图象

关于点(2,0)对称，当[0,2]x时，2()1(1)fxx=−−−，若方程()(2)0fxkx−−=的所有根的和为6，则实数k的取值范围是．【答案】26,412−+【分析】将方程的根转化为图象交点问题，画出图象，数形结合进行求解.【详解】方程()(2)

0fxkx−−=的根转化为()yfx=和(2)ykx=−的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点(2,0)对称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．作出()yfx=和(2)ykx=−的

图象如图所示．当0k时，只需直线()2ykx=−与圆()2271xy−+=相离，可得612k；当0k时，只需直线()2ykx=−与圆()2251xy−+=相切，可得24k=−．故k的取值范围是26,412

−+．故答案为：26,412−+四、【强化测试】一、单选题1．（2023·全国·高二专题练习）若直线210kxyk−+−=恒过点A，点A也在

直线20mxny++=上，其中,mn均为正数，则mn的最大值为（）A．14B．12C．1D．2【答案】B【分析】根据直线的定点可得()2,1A−−，进而可得22mn+=，结合基本不等式运算求解.【详解】因为210kxyk−+−=，则()()21

0kxy+−+=，令2010xy+=+=，解得21xy=−=−，即直线210kxyk−+−=恒过点()2,1A−−.又因为点A也在直线20mxny++=上，则220mn−−+=，可得22mn+=，且,0mn，则222

2mnmn+=，即102mn，当且仅当21mn==时，等号成立所以mn的最大值为12.故选：B.2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中校考模拟预测）圆O：224xy+=与直线l：()10xy+−−=交于M、N，当MN最小时，的值为（）A．2−B．2C．1−D．1【答案】B【分析】首

先求出直线l恒过定点()1,1C，依题意当OCl⊥时弦MN最小，求出直线的斜率，即可得解.【详解】直线l：()10xy+−−=，即()()10yxy−+−=，令100yxy−=−=，解得11xy==，即直线l恒过定点()1

,1C，又221124+=，所以点()1,1C在圆内，所以当OCl⊥时弦MN最小，因为1OCk=，所以1lk=−，即111=−−，解得2=.故选：B3．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知1F，2F是椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点

，A是C的上顶点，点P在过A且斜率为23的直线上，12PFF△为等腰三角形，12120PFF=，则C的离心率为（）A．1010B．714C．39D．14【答案】B【分析】求得直线AP的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求

得椭圆的离心率．【详解】由题意可知：()0,Ab，()1,0Fc−，()2,0Fc，直线AP的方程为：23yxb=+，由12120PFF=，点P在第三象限，1122PFFFc==，则()2,3Pcc−−，代入直线AP方程中得()3232ccb−

=−+整理得33bc=，则2227abcc=+=，∴椭圆的离心率714cea==.故选：B.4．（1991·全国·高考真题）如果0AC且0BC，那么直线0AxByC++=不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】化简直线方

程为直线的斜截式方程，结合斜率和在y轴上的截距，即可求解.【详解】因为0AC，且0BC，所以A、B、C均不为零，由直线方程0AxByC++=，可化为()ACyxBB=−+−，因为0AC，且0BC，可得0AB−，0CB−，所以直线经过第一、二、四象限，所以不

经过第三象限．故选：C.5．（2023·全国·高二专题练习）若直线120kxyk−+−=与圆C：22(1)4xy−+=相交于A，B两点，则||AB的最小值为（）A．23B．22C．3D．2【答案】B【分析】求出直线过的定点并判断与圆的位置关系，再求出垂直于经过该定点的圆的直

径的弦长作答.【详解】直线120kxyk−+−=，即(2)(1)0kxy−−−=恒过定点(2,1)M，而22(21)124−+=，即点M在圆C内，因此当且仅当ABCM⊥时，||AB最小，而圆C的圆心(1,0)C，半径2r=，||2CM=，所以22min||2||24222ABrCM=−=−=.

故选：B6．（2023·全国·高二专题练习）已知直线()():5220Rlmxmym+−−=和圆22:4Oxy+=，则圆心O到直线l的距离的最大值为（）A．65B．255C．233D．32【答案】B【分析】把直线方程化为

(2)520mxyy−+−=，求得直线l过定点42(,)55P，结合圆的几何性质，即可求解.【详解】由题意，直线()5220mxmy+−−=可化为(2)520mxyy−+−=，联立方程组20520xyy−

=−=，解得42,55xy==，即直线l过定点42(,)55P，又由2242455+，可得定点P在圆内，由圆的几何性质知，圆心到直线的距离224225||555dOP=+=

．故选：B.7．（2023·全国·高三专题练习）直线()()1:11lxayaaR++=−，直线21:2lyx=−，下列说法正确的是（）A．Ra，使得12ll∥B．Ra，使得12ll⊥C．Ra，1l与2l

都相交D．Ra，使得原点到1l的距离为3【答案】B【分析】对A，要使12ll∥，则12kk∥，所以1112a−=−+，解之再验证即可判断；对B，要使12ll⊥，121kk?-，1112a−=−+，解之再验证即

可判断；对C，当1a=时，1l与2l重合，即可判断；对D，根据点到直线距离列方程即可判断.【详解】对A，要使12ll∥，则12kk∥，所以1112a−=−+，解之得1a=，此时1l与2l重合，选项A错误；对B，要使12ll⊥

，121kk?-，11112a−−=−+，解之得32a=−，所以B正确；对C，()1:11lxaya++=−过定点()2,1-，该定点在2l上，但是当1a=时，1l与2l重合，所以C错误；对D，()0022221311AxByCa

dABa++−===+++，化简得2820170aa−+=，此方程Δ0，a无实数解，所以D错误.故选：B.8．（2023·贵州毕节·校考模拟预测）如图，抛物线2:2Eyx=和直线:340lxym++=在第一象限内的交点为()11,Mxy．设()22,Nxy是抛物线E上的动点，且满足210yy

，记222534xxymt+++=．现有四个结论：①当112m=−时，2102x；②当12x时，t的最小值是3522m+−；③当102x时，t的最小值是3522m+−；④无论m为何值，t都存在最小值．其中正确的个数为（）A．1B

．2C．3D．4【答案】B【分析】对①：直接联立方程求解，对②③④：由抛物线方程求得焦点坐标，再利用抛物线定义，数形结合找到t的最小值，注意等号成立的条件.【详解】对①：当112m=−时，则直线11:3402lxy+−=，联立方程21134022xyy

x+−==，解得121xy==或12118113xy==−（舍去），即111,,122xM=，所以21102xx=，故①正确；因为()22,Nxy到直线:340lxym++=的距离222212234345

34xymxymd++++==+，可得221345xymd++=，又因为222534xxymt+++=，则2122253554xxyxmtd++++==，抛物线2:2Eyx=的焦点为1,02F，根据抛物线的定义知21

2NFx=+，即212xNF=−，故()2111155555522txdNFdNFd=+=−+=+−，因为1,02F到直线:340lxym++=的距离2223322534mmd++==+，过1,02F

且与直线:340lxym++=垂直的直线为4132yx=−，联立方程241322yxyx=−=，解得22xy==或1812xy==−（舍去），当12x时，则()125535552222tNFddm=+−−=+−，所以t的最小值

是3522m+−，此时点()2,2N，故②正确；当102x时，因为取不到点()2,2N，所以t无最小值，故③④错误；综上所述：正确的个数为2.故选：B.【点睛】关键点睛：根据题意结合抛物线的定义可得()1552tNFd=+−，进而数形结合分

析最值，并注意等号成立的条件.二、多选题9．（2023秋·高二单元测试）已知圆22:(1)(2)16Cxy−+−=，直线()():211740lmxmym+++−−=，则（）A．直线l恒过定点B．直线l能表

示平面直角坐标系内每一条直线C．对任意实数m，直线l都与圆C相交D．直线l被圆C截得的弦长的最小值为211【答案】ACD【分析】A选项，变形后联立方程组，求出所过定点；B选项，在A的基础上，得到直线l不能表示

直线270xy+−=，也不能表示不过点P的直线；C选项，由点到直线距离公式得到()3,1P在圆内，从而得到直线l都与圆C相交；D选项，根据几何关系得到弦长最值.【详解】对于A：直线l的方程可化为()()2740xymxy+−

++−=，联立27040xyxy+−=+−=，解得3,1.xy==所以直线恒过定点()3,1P，∴A正确；对于B：由A可知，直线l不能表示直线270xy+−=，也不能表示不过点P的直线，∴B错误；对于C，因为22(31)(12)16−+−，故直线l恒过圆C内一点()

3,1P，所以直线l与圆相交，∴C正确；对于D，当直线lCP⊥时，直线被圆截得的弦长最短，因为()()2231125CP=−+−=，所以最短弦长为2222165211rCP−=−=，∴D正确．故选：A

CD．10．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知圆22:1,OxyP+=是直线20lxy−+=:上一点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为,MN，则（）A．直线MN经过定点B．MN的最小值为2C．点()2,0到直线MN的距离的最

大值为52D．MPN是锐角【答案】AB【分析】由两圆方程相减可得交点弦，即可可判断A，根据直线经过的定点即可求解C,由勾股定理即可判断CD.【详解】设()00,2Pxx+，则以OP为直径的圆的方程为()2222000

022224xxxxxy+++−+−=，化简得()220020xxxxyy−−++=，与221xy+=联立，可得MN所在直线方程：()0021xxxy++=，即()0210xxyy++−=，故可知恒过定点11,,22−A正确；

O到过定点11,22−的直线MN距离的最大值为：2211200222−−+−=，2min2||2122MN=−=，故最小值为2.B正确，当点()2,0

与定点11,22−的连线与直线MN垂直时，此时点()2,0到直线MN的距离最大，且最大值为22112620222−−+−=，故C错误；圆心O到20xy−+=的距离为222=，由于2MPNMPO=,在直角三角形OPM中，1sin,OMMPOOP

OP==当点P运动到正好OPl⊥时，此时OP最小，MPN的张角最大，此时2sin,45,902MPOMPOMPN===，当点P位于其它点时均为锐角，故90MPN，不恒为锐角，D错误.故选：AB11．（2023春·湖南岳阳·高三湖南省岳

阳县第一中学校考开学考试）下列说法正确的是（）A．直线30xy−+=的倾斜角为45B．存在m使得直320xmy+−=与直线20mxy+=垂直C．对于任意，直线:(2)(12)430lxy++−+−=与圆22(2)

8xy++=相交D．若直线0axbyc++=过第一象限，则0,0abbc【答案】ABC【分析】对于A：化简成点斜式，利用斜率与倾斜角的关系得出结论，C选项首先求出直线过定点，且定点在圆的内部，得出结论，B、C是通过特值得出结论.【详解】对于A：∵30xy−+=，∴3yx=+，∴1ta

n,45k===，故A正确；对于B：0m=时符合题意，故B正确；对于C：化简(2)(12)430xy++−+−=得：(23)240xyxy−−+++=∴230240xyxy−−=++=，解得1,2xy=−=−∴

直线l过定点(1,2)−−，又∵22(12)(2)58−++−=∴该定点在圆内，∴直线l与圆相交，故C正确；对于D：当0,1,1abc===−此时直线为1y=，经过第一象限，此时0,10abbc==−，故D错误．故选：ABC．12．（2023·全国·高二专题练习）已知

直线l：10kxyk−−+=与圆C：()()222216xy−++=相交于A，B两点，O为坐标原点，下列说法正确的是（）A．AB的最小值为26B．若圆C关于直线l对称，则3k=C．若2ACBCAB=，则1

k=或17k=−D．若A，B，C，O四点共圆，则13k=−【答案】ACD【分析】判断出直线l过定点()1,1D，结合勾股定理、圆的对称性、点到直线的距离公式、四点共圆等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】直线():11lykx=−+过点()1,1D，圆()()22:22

16Cxy−++=，即224480xyxy+−+−=①，圆心为()2,2C−，半径为4r=，由于()()22121216−++，所以D在圆C内.()()22212110CD=−+−−=，所以()22min241026AB=−=，此时ABCD⊥，所以A选项正确.若圆C

关于直线l对称，则直线l过,CD两点，斜率为21321−−=−−，所以B选项错误.设22ACBCAB==，则π2π,4++==，此时三角形ABC是等腰直角三角形，C到直线AB的距离为24222=，即2221221kk

k+−+=+，解得1k=或17k=−，所以C选项正确.对于D选项，若,,,ABCO四点共圆，设此圆为圆E，圆E的圆心为(),Eab，,OC的中点为()1,1-，1OCk=−，所以OC的垂直平分线为:11,

2lyxyx+=−=−，则2ba=−②，圆E的方程为()()2222xaybab−+−=+，整理得22220xyaxby+−−=③，直线AB是圆C和圆E的交线，由①-③并整理得()():422480ABaxby−−++=，将()1,1D代入上式得()()422480ab−−++=，40ab+−

=④，由②④解得3,1ab==，所以直线AB即直线l的斜率为42212463ab−−==−+，D选项正确.故选：ACD【点睛】求解直线和圆位置关系有关题目，首先要注意的是圆和直线的位置，是相交、相切还是相离.可通过点到直线的距

离来判断，也可以通过直线所过定点来进行判断.三、填空题13．（2023·全国·高二专题练习）已知直线1:10lxmy−+=过定点A，直线2:30lmxym+−+=过定点B，1l与2l相交于点P，则22PAPB+=．【答案】13【分析】根据题意求点,AB的坐标，再结合垂直关系运算求

解.【详解】对于直线1:10lxmy−+=，即()10xmy+−=，令0y=，则10x+=，则10xy=−=，可得直线1l过定点()1,0A−，对于直线2:30lmxym+−+=，即()()130mxy−++=，令

10x−=，则30y+=，则13xy==−，可得直线2l过定点()1,3B−，因为()110mm+−=，则12ll⊥，即PAPB⊥，所以()()22222113013PAPBAB+==++−−=.故答案为：13.14．（202

3·全国·高二专题练习）已知直线l：220kxyk−−+=被圆C：22(1)16xy++=所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有条.【答案】9【分析】根据题意可知直线l恒过定点()2,2，分别求得直线被圆截

得弦长的最大值和最小值，利用对称性即可求得满足条件的直线l共有9条.【详解】将直线l的方程整理可得()220kxy−−+=，易知直线恒过定点()2,2；圆心()0,1C−，半径4R=；所以当直线过圆心时弦长取最大

值，此时弦长为直径28R=；易知，当圆心()0,1C−与()2,2的连线与直线l垂直时，弦长最小，如下图所示；此时弦长为()22322323R−+=，所以截得的弦长为整数可取4,5,6,7,8；由对称性可知，当弦长为4,5,6,7时，各对应两条，共8条，当弦长为8时，

只有直径1条，所以满足条件的直线l共有9条.故答案为：915．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）函数43()2fxxx=−的图象在点(1,(1))f处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为．【答案】14/0.25【分析】利用

导数求出切线方程，即可得到切线与坐标轴围成的三角形的面积.【详解】43()2fxxx=−，()3246fxxx=−，()12f=−，()11f=−，切线方程为：()121yx+=−−即21yx=−+，当0x=时，1y=，当0y=，时12x=，三角形面积为：1111224=.故

答案为：14.16．（2022·河南·校联考模拟预测）已知()fx是定义在R上的奇函数，其图象关于点(2,0)对称，当[0,2]x时，2()1(1)fxx=−−−，若方程()(2)0fxkx−−=的所有根的和为6，则实数k的取值范围是．【答案】26,412−+

【分析】将方程的根转化为图象交点问题，画出图象，数形结合进行求解.【详解】方程()(2)0fxkx−−=的根转化为()yfx=和(2)ykx=−的图象的公共点的横坐标，因为两个图象均关于点(2,0)对

称，要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．作出()yfx=和(2)ykx=−的图象如图所示．当0k时，只需直线()2ykx=−与圆()2271xy−+=相离，可得612k；当0k时，只需直线()2ykx=−与圆()2251xy−+

=相切，可得24k=−．故k的取值范围是26,412−+．故答案为：26,412−+四、解答题17．（2003·北京·高考真题）如图，1,AA为椭圆的两个顶点，12,FF为椭圆的两个焦点．(1)写出椭圆的方程及准线方程；(2)

过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，1P两点，直线1AP与1AP交于点M．求证：点M在双曲线221259xy−=上．【答案】(1)椭圆的方程为221259xy+=，准线方程为254x=；(2)详见解析.【分析】（1）由题可得5,4ac

==，进而即得；（2）设()0,0Kx，点()()00100,,,PxyPxy−，由题可得直线1AP与1AP的方程，进而可得交点M的坐标，验证221259xy−=即得.【详解】（1）由题可设椭圆的方程为2

2221(0)xyabab+=，则5,4ac==，∴3b=，所以椭圆的方程为221259xy+=，准线方程为254x=；（2）设()0,0Kx，点()()00100,,,PxyPxy−，其中005x，则22001259xy+=，直线1AP的方程为()0055yyxx=++，

直线1AP的方程为()0055yyxx=−−，由()()00005555yyxxyyxx=++=−−，可得000525,yxyxx==，所以000525,yMxx，又22001259xy+=，因为2220022000

05125125251125925yxxxxx−=−−=，所以直线1AP与1AP交于点M在双曲线221259xy−=上.18．（1977·北京·高考真题）一条直线过点(1,3)−，并且与直线250xy+−=平行

，求这条直线的方程．【答案】210xy++=【分析】根据平行关系设出直线方程，再代入坐标即可求解【详解】因为所求直线与直线250xy+−=平行，所以设该直线为()205xyCC++=−，将(1,3)−代入得23

0C−+=，解得1=C，所以这条直线的方程为210xy++=19．（2022秋·天津宁河·高二天津市宁河区芦台第一中学校考阶段练习）已知三角形ABC的顶点坐标为A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M是BC边上的中点.(1)求AB边所在的直线方程；(2)求中线AM的长(3)求AB边的高所

在直线方程.【答案】(1)6110xy−+=；(2)25；(3)6220xy+−=.【分析】（1）由两点式写出直线方程，整理为一般式即可，也可求出斜率，再由点斜式得直线方程；（2）由中点坐标公式求得中点M坐标，再由两点间距离公式计算可得；（3）先求直线AB的斜率，由垂

直关系可得AB边高线的斜率，可得高线的点斜式方程，化为一般式即可.【详解】（1）法一：由两点式写方程得511521yx−+=−−−+，即6110xy−+=；法二：直线AB的斜率为()15621k−−==−−−，直

线AB的方程为()561yx−=+，即6110xy−+=；（2）设M的坐标为()00,xy，则由中点坐标公式可得0024131,122xy−+−+====，故()1,1M，所以()()22111525AM=++−=；（3）直线AB的斜率为()15621k−−==−−−，所以由垂直关系可得AB边

高线的斜率为16−，故AB边的高所在直线方程为()1346yx−=−−,化为一般式可得：6220xy+−=.20．（2018·江苏常州·统考一模）如图，已知直线6ykxk=+−与曲线42yx=+在第一象限和第三象限分别交于点A和点B，分别由点A、B向x轴作垂线，垂足分别

为M、N，记四边形AMBN的面积为S.(1)求出点A、B的坐标及实数k的取值范围；(2)当k取何值时，S取得最小值，并求出S的最小值.【答案】(1)()1,6A，4,2Bkk−−，实数k的

取值范围为()2,+；(2)4k=时，min8S=【分析】（1）由题意得直线与曲线交两点，联立直线与曲线方程解得两点坐标，由642ykxkyx=+−=+得，462kxkx+−=+即()1,6A，4,2Bkk−−，再由第一象限和第三象限求得k的取值范围（2）要求出S的最小

值，将四边形沿x轴分割成两个三角形，以MN为公共底，AByy−为高，表示出()14142AMBNSkk=++，运用不等式求出结果即可.【详解】（1）由642ykxkyx=+−=+得，

462kxkx+−=+，即()()140xkx−+=，解得1x=或4k−，当1x=时，6y=，即()1,6A，当4xk=−时，2yk=−，即4,2Bkk−−，点B在第三象限，4020kk−−，得2k，故()1,6A，4,2Bkk−−，故实数k的取值

范围为()2,+；（2）()41,6,,2ABkk−−Q，则41ABMNxxk=−=+，4AByyk−=+Q，∴()()()1141422AMBNAMNBMNABABSSSxxyykk=+=−−=++VV，故S关于k的

函数关系式1168,22Skkk=++，得()1161888822Skk=+++=，当且仅当4k=时等号成立，即当4k=时，四边形AMBN面积min8S=.21．（2023·安徽蚌埠·统考三模）如图，在平行四边形OABC中，点O是原点，点A和点

C的坐标分别是()3,0、()1,3，点D是线段AB上的动点.(1)求AB所在直线的一般式方程；(2)当D在线段AB上运动时，求线段CD的中点M的轨迹方程.【答案】(1)390xy−−=(2)6290xy−−=52.2x【分析】（1）根据直线平行求出

AB所在直线的斜率，然后代入点斜式写出AB所在的直线方程；（2）设点M的坐标是(),xy，点D的坐标是()00,xy，利用平行四边形，推出M与D坐标关系，利用相关点法求点M的轨迹方程即可.【详解】（1）//ABOC，AB所在直线的斜率为：30310ABOCkk−===−.AB所在直线方程是(

)033yx−=−，即390xy−−=；（2）设点M的坐标是(),xy，点D的坐标是()00,xy，由平行四边形的性质得点B的坐标是()4,3，M是线段CD的中点，012xx+=，032yy+=，于是有021xx=−，023yy=−，点D在线段AB上运动，00390xy−−=()

034x，()()3212390xy−−−−=，即6290xy−−=，由034x得522x，线段CD的中点M的轨迹方程为6290xy−−=522x.22．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）已知()()1,0,1,0AB−，直线,AMBM相交于M，且直线,AMBM的

斜率之积为2.(1)求动点M的轨迹方程；(2)设,PQ是点M轨迹上不同的两点且都在y轴的右侧，直线,APBQ在y轴上的截距之比为1:2，求证：直线PQ经过一个定点，并求出该定点坐标.【答案】(1)()22

112yxx−=；(2)证明见解析，定点()3,0.【分析】（1）设出点M的坐标，利用斜率坐标公式结合已知，列出方程化简作答.（2）设出直线,APBQ在y轴上的截距，求出直线,APBQ方程，并分别与M的轨迹方程联立求出点P，Q的坐标，再求

出直线PQ的方程作答.【详解】（1）设(,)(1)Mxyx，则直线AM的斜率是11ykx=+，直线BM的斜率是21ykx=−，所以12211yykkxx==+−，化简整理得：()22112yxx−=，所以动点M的轨迹方程是()22112yxx−=.

（2）设直线AP在y轴上的截距为t，则直线BQ在y轴上的截距为2t，显然0t，直线AP的方程为11xyt+=−，即(1)ytx=+，直线BQ的方程为112xyt+=，即2(1)ytx=−−，又双曲线2212yx−=的渐近线方程为2yx=，显然直线AP与双曲线两支各交于一点，直线BQ与双曲线右支

交于两点，则有||2t，且2||2t，于是2||22t，由()22112ytxyx=+−=消去y化简整理得：()()22222220txtxt−+++=，设点(,)PPPxy，则()22212Ptxt+−=−，解得2222Ptxt+=−−，有22224122Pttyt

tt+=−+=−−−，由()2221,12ytxyx=−−−=消去y化简整理得：()()2222214210txtxt−−++=，设点(,)QQPxy，则2221121Qtxt+=−，解得222

121Qtxt+=−，有222214212121Qttyttt+=−−=−−−，2222422(21221221)(2)41)(QPtxttxtttt+++−−−−=−−=，222224421221)(2)4(1)(QPttytt

tttty−+−−=+=−−−，于是22224(1)(1,)21)(2)(PtttQtt+−−=−，设直线PQ上任意一点(),Rxy，则2222(4,)22ttxytPRt+++=−−，显然//PRPQ，因此2222(2)(12)4)(2ttttxytt++=−+−−，即22

2242()221ttxttytt+=+−−−−，整理得213txyt−=+，显然直线213txyt−=+恒过定点(3,0)，所以直线PQ经过定点()3,0.【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，

再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.