【文档说明】上海市奉贤区致远高级中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(17)页，1.271 MB，由小赞的店铺上传

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致远高中2022学年第二学期3月教学评估高二数学一、填空题(1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分）1.同时投掷两颗均匀的骰子，所得点数相等的概率为______．【答案】16【解析】【分析】根据给定条

件，利用古典概率计算作答.【详解】投掷两颗均匀的骰子的试验有6636=个基本事件，它们等可能，所有点数相等的事件A含有的基本事件为(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个，所以61()366PA==.

故答案为：16.2.对于独立事件A、B，若()34PA=，()23PB=，则()PAB=______.【答案】112【解析】【分析】根据相互独立事件和对立事件的概率计算即可求解.【详解】因为()34PA=，所以()1()14PAPA=−=，又因为()23P

B=，所以()31()1PBPB==−，因为A，B为独立事件，所以A与B相互独立，则有()111()()4312PAPAPBB===，故答案为：112.3.下列事件中，属于随机现象的序号是______.①明天是阴天；②方程210x+=有两个不相等的实数根；③明天吴淞口的最高水位是4.5米；④

三角形中，大角对大边．【答案】①③【解析】【分析】对于①③，根据生活经验判断即可；对于②④，利用数学知识即可判断.【详解】对于①③，明天的事是未来才发生的事，具有不确定性，故①③属于随机现象；对于②，由210x+=得21x=−，显然在实数域方程无

解，故②属于不可能事件；对于④，由正弦定理易知在三角形中，大角对大边．故④属于确定事件；综上：属于随机现象的序号是①③.故答案：①③.4.计算：()10013ii==______.【答案】15150【解析】【分析】直接利用等差数列前n项和公式即可.

【详解】()()()10011001100331210032ii=+=+++==15150.故答案为：15150.5.抛物线23xy=−的准线方程为________．【答案】112x=【解析】【分析】将方程化为标

准方程，得到p，进而得到准线方程.【详解】抛物线23xy=−化为标准方程为21=3yx−，所以123p=，即16p=，故准线方程为：112x=.故答案为：112x=.6.已知两点()2,3A−，()3,2B−，直线l过点()1,1P且与线段AB相交，则直线l斜率k的取值范围是___

______.【答案】(1,4,4−−−+.【解析】【分析】数形结合法，讨论直线l过A、B时对应的斜率，进而判断率k的范围.【详解】如下图示，为当直线l过A时，31421k−−==−−，当直线l过

B时，211314k−==−−−，由图知：(1,4,4k−−−+.故答案为：(1,4,4−−−+7.已知直线()():12120lmxmym++−+−=，则直线恒过定点______.【答案】()1,1-【解

析】【分析】依题意可得()()2120xymxy+++−−=，令21020xyxy++=−−=，解得即可.详解】解：直线()():12120lmxmym++−+−=即()()2120xymxy+++−−=，令21020xyxy++=−−=，解得11xy

==−，所以直线恒过定点()1,1-.故答案为：()1,1-8.在等比数列na中，22a=−，748aa=，则na=______．【答案】12n−−【解析】【分析】设等比数列na的公比为q，依题意得到关于1a、q的方程组，解得即可.【详解】解：设等比数列na的公

比为q，由22a=−，748aa=，【所以1631128aqaqaq=−=，解得121qa==−，所以12nna−=−.故答案为：12n−−9.若椭圆22194xy+=与椭圆2213xyk+=圆扁程度相同，则k的值为______．【答案】274或43【解析】【分析】根据焦点

的位置以及椭圆离心率的计算公式即可求解.【详解】两椭圆的圆扁程度相同，所以两个椭圆的离心率相同，椭圆22194xy+=的离心率为53，当焦点在x轴时，椭圆2213xyk+=的离心率为353kk−=，解得274k=当焦点在y轴时，椭圆221

3xyk+=的离心率为3533k−=，可得43k=，故k的值为274或43，故答案为：274或4310.若P（m，8）是焦点为F的抛物线232yx=上的一点，则PF=______．【答案】10【解析】【分析】根据点在抛物线上求出m，再根据抛物线的焦半径

公式可求出结果.【详解】因为点(,8)Pm在抛物线232yx=上，所以6432m=，得2m=，所以(2,8)P，由232yx=得(8,0)F，准线方程为8x=−，所以||PF=2(8)10−−=故答案为：10..11.双曲线2244xy−=

的弦AB被点()3,1M−平分，则直线AB的方程为______．【答案】3450xy+−=【解析】【分析】根据题意易得直线AB斜率存在时，设方程()13ykx+=−，()()1122,,,AxyBxy，进而联立方程，结合韦达定理，中点公式求解即可.【详

解】解：当直线AB斜率不存在时，方程为3x=，根据双曲线的对称性，()3,1M−不能平分弦AB，故不满足题意；当直线AB斜率存在时，设方程为()13ykx+=−，()()1122,,,AxyBxy，所以，联立方程()221344ykxxy+=−−=得()

()22221483362480kxkkxkk−++−−−=，所以，2140k−，()21228314kkxxk−++=−，因为弦AB被点()3,1M−平分，所以126xx+=，所以()212283614kkxxk−++==−，解得34k=−，

此时联立后的方程为2530410xx−+=，满足9002041800=−=，所以，直线AB的方程为()3134+=−−yx，即3450xy+−=故答案为：3450xy+−=12.已知双曲线()2

222:10,0xyCabab−=，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点，M是双曲线右支上一点，连接1MF交双曲线C左支于点N，若2MNF是等边三角形，则双曲线的离心率为______.【答案】7为【解析】【分析】记等边2

MNF的边长为m，利用双曲线的定义得到4ma=，进而在12NFF△中利用余弦定理求得7ca=，从而求得双曲线的离心率.【详解】因为2MNF是等边三角形，不妨记2MFm=，所以2MNNFm==，由双曲线的定义得122MFMFa−=，故12MFam=+，所以(

)1122NFMFMNamma=−=+−=，又由双曲线的定义得212NFNFa−=，所以22maa−=，故4ma=，所以12NFa=，24NFma==，在12NFF△中，12120FNF=，则2221212122cos120FFNFNFN

FNF=+−，所以222144162242caaaa=+−−，整理得227ca=，故7ca=，所以双曲线的离心率为7cea==.故答案为：7..二、选择题（每小题5分，共20分）13.下列说法中正确的是（）A.事件A、B至少有一个发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率大B.

事件A、B同时发生的概率一定比A、B中恰有一个发生的概率小C.互斥事件一定是对立事件，对立事件也是互斥事件D.互斥事件不一定是对立事件，而对立事件一定是互斥事件【答案】D【解析】【分析】对于AB，利用事件运算方法，举反例排除

即可；对于CD，根据对立事件与互斥事件的概念，对选项进行分析判断即可.的【详解】对于A，因为事件A，B中至少有一个发生包括事件A发生B不发生，A不发生B发生和A，B都发生；事件A，B中恰有一个发生包括事件A发生B不

发生，A不发生B发生；又当事件A，B为对立事件时，事件A，B都发生的概率为0，所以事件A、B至少有一个发生与A、B中恰有一个发生是相等事件，两者概率相等，故A错误；对于B，若A、B是相等事件，此时A、B恰有一个发生为不可能事件，概率为0，而事件A、B同时发生的概率必然大于或等于0，故B错

误；对于CD，由互斥事件和对立事件的概念知，互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故C错误，D正确.故选：D.14.质检部门检查一箱装有2500件包装食品的质量,抽查总量的2%,在这个问题中,下列说法正确的是()A.总体是指这箱2500件包装食品B.个体是

一件包装食品C.样本是按2%抽取的50件包装食品D.样本容量是50【答案】D【解析】【分析】本题考查的对象是：质检部门检查一箱装有2500件包装食品的质量，依据总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，样本容量是样本中包含的个

体的数目，即可作出判断．【详解】A、2总体是指这箱2500件包装食品的质量，错误；B、个体是一件包装食品的质量，错误；C、样本是按2%抽取的50件包装食品的质量，错误；D、样本容量是50，正确．故选D．【点睛

】本题考查了总体、个体、样本和样本容量的概念与应用问题，是基础题．15.现须完成下列2项抽样调查：①从12瓶饮料中抽取4瓶进行食品卫生检查；②某生活小区共有540名居民，其中年龄不超过30岁的有180人，年龄在超过30岁不超过60岁的有2

70人，60岁以上的有90人，为了解居民对社区环境绿化方面的意见，拟抽取一个容量为30的样本.较为合理的抽样方法分别为（）A.①抽签法，②分层随机抽样B.①随机数法，②分层随机抽样C.①随机数法，②抽签法D.①抽签法，②随机数法【答案】A【解析】【分析】根据抽签法以及分层抽样

的使用条件，可得答案.【详解】对于①，由于抽取的总体个数与样本个数都不大，则应用抽签法；对于②，抽取的总体个数较多，且总体有明确的分层，抽取的样本个数较大，则采用分层随机抽样.故选：A.16.如图，某建筑物是数

学与建筑的完美结合．该建筑物外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，且此双曲线()222210,0yxabab−=的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为（）．A.2213yx−=B.221279yx−=C.22193y

x−=D.22139yx−=【答案】D【解析】【分析】不妨设渐近线方程为ayxb=，根据点到直线的距离得到3b=，2cea==，得到双曲线方程.【详解】不妨设渐近线方程为ayxb=，即0axby−=，下焦点为()0,Fc−，下焦点到渐近线的距离为223bcdbba===+，离心

率2cea==，222+=abc，解得3,23ac==，故双曲线方程为22139yx−=.故选：D三．解答题17.在等差数列na中，nS为其前n项的和，已知1322aa+=，545S=．（1）求na；（2）求数列nS的最大值．【答案】（1）215n

an=−+（2）49【解析】【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，即可解出1a，d的值，进而求解即可；（2）根据等差数列的前n项和公式求出nS，结合二次函数的性质即可求解.【小问1详解】设等差数列na的公差为d，由1322aa+=，545S=，

可得111222545452aadad++=+=，解得113a=，2d=−，所以()11215naandn=+−=−+.【小问2详解】因为()()()212132151474922nnnaanSnnnn+−+=

==−+=−−+，因为Nn，所以当7n=时，nS取得最大值49.18.已知焦点在y轴上的椭圆C，过点(2,0)−，离心率32e=直线l:2yxb=+被椭圆C所截得的弦长为35，（1）求椭圆C的标准方程；（2）求实数b的值.【答案】（1）221164yx+=；（2）2b=.【解

析】【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆C的长短半轴长即可作答.（2）联立直线l与椭圆C的方程，利用弦长公式求解作答.【小问1详解】因为椭圆C的焦点在y轴上，且过点(2,0)−，则椭圆C的短半轴长为2，设其长半轴长为a，由离心率32e=得：2222224314aea

a−==−=，解得216a=，所以椭圆C的标准方程是221164yx+=.【小问2详解】由222416yxbxy=++=消去y并整理得：2284160xbxb++−=，有221632(16)0bb=−−，即232b，设直线l被椭圆C所截弦的端点1122(,),

(,)AxyBxy，于是21212,228bbxxxx+=−=−，22221212||12()454(2)3548bbABxxxx=++−=−−=，解得2b=，满足条件，所以2b=.19.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，6ABAD==，18AA=.（1）求异面直线1AC

与1AB所成角的余弦值；（2）求直线AC与平面1ABD所成角的正弦值.【答案】（1）734170（2）48241【解析】【分析】（1）以A为坐标原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得异面直线1AC与1AB所成角的余弦值；（2）利用空间向量

法可求得直线AC与平面1ABD所成角的正弦值.【小问1详解】解：以A为坐标原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A、()6,0,0B、()0,6,0D、()6,6,0C、()10,0,8

A、()16,6,8C，所以，()16,6,8AC=，()16,0,8AB=−，所以，11111128734cos,17023410ACABACABACAB==−=−，因此，异面直线1AC与1AB所成角的余弦值

为734170.【小问2详解】解：设平面1ABD的法向量为(),,nxyz=，()6,6,0BD=−，则1660680nBDxynABxz=−+==−=，取4x=，则()4,4,3n=，因

为()6,6,0AC=，所以，48482cos,416241ACnACnACn===.因此，直线AC与平面1ABD所成角的正弦值为48241.20.某电子商务公司对10000名网络购物者某年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间[0.

3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．求：（1）直方图中的a的值；（2）在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数．（3）为了更好了解消费者和激励消费，网络公司决定在这10000名消费者中用分层随机抽样法

抽取100名进一步做调查问卷和奖励.再从这100名中消费在0.7,0.9内的个体内抽取一等奖两名，求中奖的2人中消费在0.7,0.8)[，]0.8,0.9[内各一人的概率.【答案】（1）3.0；（2）6000；（3）1645.【解析】【分析】（1）根据给定的频

率分布直方图，利用各小矩形面积和为1，列式计算作答.（2）求出消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率即可求解作答.（3）求出抽取的100名消费者中，消费在0.7,0.9内的个体数，及消费在0.7

,0.8)[，]0.8,0.9[内的个体数，再利用组合求概率作答.【小问1详解】由频率分布直方图得：(1.52.52.00.80.2)0.11a+++++=，解得3.0a=，所以直方图中的a的值为3.0.【小问2详解】由频率分布直方图得，消费金额在区间[0.5,0.9]内的频率是1(

1.52.5)0.10.6−+=，所以消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物者的人数约为：100000.66000=.【小问3详解】用分层随机抽样法抽取的100名消费者中，消费在0.7,0.9内的个体数为(0.080.02)10010+=，其中消

费在0.7,0.8)[，]0.8,0.9[内的个体数分别为0.081008=，0.021002=，因此从10人中任取2人的试验有210C个基本事件，消费在0.7,0.8)[，]0.8,0.9[内各一人的事件A有1182CC

个基本事件，所以中奖的2人中消费在0.7,0.8)[，]0.8,0.9[内各一人的概率1182210CC16()C45PA==.21.已知抛物线2:4yx=的焦点为F，准线为l；（1）若F为双曲线222210xCyaa−=：（

）的一个焦点，求双曲线C的离心率e；（2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若22PFPE=，求直线EP的方程；（3）经过点F且斜率为()0kk的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线,OAOB分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若

是，求出定点的坐标；若不是，说明理由；【答案】（1）2（2）10xy−+=（3）以线段MN为直径的圆C过定点()()1,0,3,0−，理由见详解【解析】【分析】（1）先求抛物线的焦点坐标，再根据题意求双曲线的,ac，即可得离心率；（2）根据抛物线的定义进行转化分析可得π4

MEP=，进而可得直线EP的倾斜角与斜率，利用点斜式求直线方程；（3）设直线l'的方程及A，B两点的坐标，进而可求M，N两点的坐标，结合韦达定理求圆C的圆心及半径，根据圆C的方程分析判断定点.【小问1详解】抛物线2:4yx=的焦点为()1,0F，准线为:1lx=−，双曲线

C的方程为双曲线22221xya−=，即222112xya−=，则221,22bca==+，由题意可知：2112ca=+=，则22a=，故双曲线C的离心率2cea==.【小问2详解】由（1）可知：()1,0E−，过点P作直线l的

垂线，垂足为M，则PFPM=，∵2sin2PMPFMEPPEPE===，且π0,2MEP，∴π4MEP=，故直线EP的倾斜角π4=，斜率tan1k==，∴直线EP的方程为1yx=+，即10xy−+=.【小问3详解】以线段MN为直径的圆C过定点()()1,0,3,0−，

理由如下：设直线()()()1122:1,,,,lykxAxyBxy=−，联立方程()214ykxyx=−=，消去y可得：()2222220kxkxk−++=，则可得：()2212122222,1kkxxxxkk++===，∵直线11:yO

Ayxx=，当=1x−时，11yyx=−，∴111,yMx−−，同理可得：221,yNx−−，∵()()()12121212121212112222kxkxyykxxxxxxxxxx−−−+−+−+

=−=−()2222222kkkk+−=−=，()()()()21212212121212121212114kxkxkxxyykMNxxxxxxxxxxxx−−−=−−−=−==+−

()222222414kkkkk++=−=，则线段MN为直径的圆C的圆心21,Ck−，半径21212krMNk+==，故圆C的方程为()()22224121kxykk+

++−=，整理得()224230xyxyk++−−=，令0y=，则2230xx+−=，解得1x=或3x=−，故以线段MN为直径的圆C过定点()()1,0,3,0−.【点睛】思路点睛：过定点问题的两大类型及解法：(1)动直线l过定点问题．解法：设动直线

方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．获得更

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