【文档说明】高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 2.1等式性质与不等式性质（第2课时） Word版含解析.docx，共(10)页，1.236 MB，由小赞的店铺上传

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2.1等式性质与不等式性质（第2课时）（3种题型分类基础练+能力提升练）（分层作业）【夯实基础】题型一：根据不等式的性质判断命题1.下列命题中正确的是（）A．若,abcd，则acbdB．若acbc，则abC．若,abcd，则acbd−−D．若22abcc，则ab【答案】D【详

解】对于A，令1,1,2,3abcd==−=−=−，则23acbd=−=，∴A错误；对于B，令1,2,1abc===−，则acbc，但ab，∴B错误；对于C，令2,1,1,0abcd====，满足,abcd，但acbd

−=−，∴C错；对于D，因为22abcc，所以20c，不等式两边同乘以2c得：ab，D选择正确．2．下列结论正确的是（）A．若ab，则acbcB．若ab，则11abC．若22acbc，则abD．若ab，则22ab【答案】C【详解】对于A：当ab时，若取0c，

则有acbc.故A不正确；对于B：当ab时，取1,1ab==−时，有11ab.故B不正确；对于C：当22acbc，两边同乘以21c，则ab.故C正确；对于D：当ab，取1,1ab==−时，有22=ab.故D不正确.【点睛】（1）多项选择题是

2020年高考新题型，需要要对选项一一验证；（2）判断不等式成立的解题思路：①取特殊值进行否定；②利用不等式的性质直接判断.3．（多选）下列命题为真命题的是（）A．若2211abcc++，则abB．若23,21ab−−，则35ab

−C．若ab，则22abD．若0cab，则abcacb−−【答案】ABD【分析】利用不等式的性质可判断ABD选项；举反例可判断C选项.【详解】A选项，不等式2211abcc++两边同乘210c+，得ab，为真命题.B选项，21b−−，则12b−

，利用同向可加性，可知35ab−，为真命题.C选项，取3,1ab=−=，满足ab，但22ab，为假命题.D选项，0cab，0cbca−−，故11cacb−−，又0ab，利用同向可乘性，可知abcacb−−，为真命题.故选：ABD题型二：根据不等式的性质证明不等式

4．证明：cb，baca.【分析】根据同向不等式的可加性证明即可.【详解】证明：0()()000cbcbcbbacacababa−−+−−−.故得证.5．已知0ab，求证：22ab.【分析】利不等式的性质证明即可【

详解】因为0ab，所以20aab，20abb>>，所以22ab题型三：根据不等式的性质求取值范围6.已知实数x，y满足41xy−−−，145xy−−，则9zxy=−的取值范围是（）A．726zz−B．120zz−

C．415zzD．115zz【答案】B【详解】令mxy=−，4nxy=−，则343nmxnmy−=−=，所以85933zxynm=−=−．因为41m−−，所以5520333m−．因为15n−，所以8840333n−，所以120z−.故选：B7.已

知04x，06y，则2xy−的取值范围是_________【答案】628xy−−【详解】解：因为04x，06y，所以028x，60y−−，所以628xy−−，8.已知1423x

,y−，则23zxy=−的取值范围是__________.【答案】()11,2−【详解】因为14x−，所以228x−，因为23y，所以936y−−−，则11232xy−−，所以23zxy=−的取值范围是()11,2−.9.若13a，25b，则231ab

−+的取值范围为______．【答案】()12,1−【详解】解：因为13a，所以226a；又因为25b，所以1536b−−−，所以122311ab−−+．10．已知1260a<<，1536b

<<，求2ab−，2ab的取值范围．【答案】2ab−的取值范围是()60,30−，2ab的取值范围是2,83．【详解】因为1536b<<，所以72230b−−−．又1260a<<，所以127226030ab−−−，即60230

ab−−．因为1260a<<，所以242120a<<，因为1536b<<，所以1113615b，所以2421203615ab，即2283ab．所以2ab−的取值范围是()60,30−，2ab的取值范

围是2,83．11．（1）已知,abcd，求证：acbd−−；（2）已知410,24ab，求ab的取值范围；（3）已知12,224abab−+，求4ab−的取值范围．【答案】（1）

证明见解析；（2）15ab；（3）5410ab−．【分析】（1）根据不等式的性质可证明该不等式.（2）先求出1b的范围，从而可求ab的取值范围.（3）根据()()432ababab−=−++可求4ab−的取值范围．【详解】（1）因为,abcd，所

以,abcd−−,则acbd−−．（2）因为410,24ab，所以11142b，所以115ab，所以15ab.（3）已知12,224abab−+，因为()()432ab

abab−=−++，所以5410ab−【能力提升】一、单选题12．（2022秋·福建泉州·高一福建省德化第一中学校考阶段练习）已知25,01abab+−，某同学求出了如下结论：①13a；②12b；③1522b；④422ab

−−；⑤321ab−−；⑥124ab−；，则下列判断中正确的是（）A．①③④B．①②④C．①②⑤D．①③⑥【答案】D【详解】11()()22aabab=++−,1525,1()22abab++,1101,0()22abab−−,则13

a，①正确；=b11()()22abab+−−，151()22ab+，110()22ab−，11()022ab−−−，则1522b，③正确；132()()22ababab−=−++−，51<(+)<122ab−−−，330

()22ab−，则51222ab−−，②④⑤错误，132()()22ababab−=++−，151()22ab+，330()22ab−，则124ab−⑥正确；判断中正确的是①③⑥，选D.二、填空题13．（2022秋·四川绵阳·高一四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知14a

b−+，23ab−，则32ab−的取值范围为【答案】919[,]22【详解】令()()32mabnabab++−=−，则()()32mnamnbab++−=−，所以32mnmn+=−=−，可得1252mn==，故1532()()22ababab−=++−

，而11515()[,2],()[5,]2222abab+−−，故91932[,]22ab−.三、解答题14．（2022秋·内蒙古通辽·高一校考期中）（1）设()223Paa=−+，()()13Qaa=−−，aR.试比较P与Q的大小

.（2）已知0ab，0cd，0e.求证：eeacbd−−；【详解】（1）解：()()()22313PQaaaa−=−+−−−()22224343aaaaa=−+−−+=∵20a，∴0PQ−，∴PQ．（2

）0ab，0cd−−，0acbd−−11acbd−−，又0e，eeacbd−−.15．（2022秋·四川眉山·高一校考阶段练习）（1）已知ππ22−，求−的取值范围；（2）已知0,0abdc，求证：abcd

.【详解】（1）ππππ,2222−−−.ππ−−且0−，π0−−.∴−的取值范围为)π,0−.（2）因为0dc，所以0dc−−，0dc因为0ab，所以0adbc−−，所以0bcad−，所以0babcaddc

dc−−=，所以abcd16．（2022秋·甘肃张掖·高一高台县第一中学校考阶段练习）（1）设()223Paa=−+，()()13Qaa=−−，aR．试比较P与Q的大小．（2）已知0ab，0cd，求证：abcd．【详解】（1）解：()()()22313P

Qaaaa−=−+−−−()22224343aaaaa=−+−−+=∵20a，∴0PQ−，∴PQ．（2）方法一证明：∵0cd，∴0cd，∴110cd又0ab，∴abcd．方法二证明：abadbccdcd−−=∵0dc，0ab，∴adbc，∴0adbc−又0

cd，∴0adbccd−，∴0abcd−，即abcd.17．（2022·全国·高一专题练习）（1）若bc－ad≥0，bd>0，求证：abb+≤cdd+；（2）已知c>a>b>0，求证：abcacb−−；（3）观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6

＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×5.①若两组数a1，a2与b1，b2，且a1≤a2，b1≤b2，则a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1是否成立，试证明；②若两组数a1，a2，a3与b1，b2，b3且a1≤a2≤a3，b1≤b2≤b3，对a1b3＋a2b2＋a3b1，

a1b2＋a2b1＋a3b3，a1b1＋a2b2＋a3b3进行大小顺序(不需要说明理由).【详解】证明：（1）因为0bd，所以10bd，又0bcad−，即bcad，所以cadb，所以11cadb++，即abb+≤cdd+；（2）因为0cab

，所以0,0,cacbcacb−−−−，11ab，所以cacbab−−，所以abcacb−−；（3）解：①成立，证明如下：∵a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝a1(b1－b2)＋a2(b2－b1)＝(a1－a2)(b1－b2)，又

a1≤a2，b1≤b2，∴(a1－a2)(b1－b2)≥0，即a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1；②a1b3＋a2b2＋a3b1≤a1b2＋a2b1＋a3b3≤a1b1＋a2b2＋a3b318．若()0,ab+，则2223ababab+++.

(1)若存在常数M，使得不等式2222ababMabababab++++++对任意正数a，b恒成立，试求常数M的值，并证明不等式：22abMabab+++；(2)证明不等式：32232332abababababab+++

+++.【详解】证明：(1)当ab=时，2233M，故23M=，由(2)2(2)222()222222ababbababaabababababab+−+−+=+=−+++++++，且2223ababab+++，利用不等式性质可得，2322ab

abab+++；(2)欲证32232332abababababab++++++，只需证明32322323abababababab−−++++，即3223abababab−−++，①当ab=时，显然不等式3223abababab−−

++成立，②当ab¹时，不妨令ab，即0ab−，故32233223abababababab−−++++，由于ab，显然3223abab++成立，故原不等式32232332abababababab++++++成立；同

理，当ab时，原不等式32232332abababababab++++++也成立.综上所述，对于任意a，()0b+，32232332abababababab++++++均成立.19．（1）比较3x与21xx−+的大小；（2）已知abc，且0abc+

+=，①求证：ccacbc−−．②求ca的取值范围．【详解】解：（1）32322(1)()(1)(1)(1)xxxxxxxx−−+=−+−=+−，当1x=时，2(1)(1)0xx+−=，故321xxx=−+，当1x时，2(1)(1)0xx+−，故321xxx−+，当1

x时，2(1)(1)0xx+−，故321xxx−+；（2）①证明：abc且0abc++=，0c，abc，0acbc−−，两边取倒数得11acbc−−，又0c，ccacbc−−，从而得证．②abc且0abc++=，0,0ac

，所以0ca，1ba，因为0abc++=，所以10bcaa++=，即1bcaa=−−，所以11ca−−，即2ca−，综上，20ca−.20．（2022秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）已知bg糖水中有

ag糖0)ba（，往糖水中加入mg糖0)m（，（假设全部溶解）糖水更甜了.(1)请将这个事实表示为一个不等式(2)证明这个不等式(3)利用（1）的结论证明命题：“若在ABC中abc、、分别为角、、ABC所对的边

长，则111cabcab++++”【详解】（1）由题可得.aambbm++（2）证明：因为()()()abmaamabamabbmbbmbbmbbm−++−−−==+++，b>a>0，m>0，所以a－b<0，b＋m>0，从

而0aambbm+−+，即aambbm++.（3）证明：因为()()11111cabccabaaccabcababab++−+==+++++−++++++,1111aabbabaabb++++++，故1111aaabababab++++++++，所以111cabcab++++21.已

知,,,(0,1)abcd，试比较abcd与3abcd+++−的大小，并给出你的证明．【详解】3abcdabcd+++−证明如下：因为,(0,1)ab，所以()()()11110ababababab−+−=−−+=−−，即1abab+−因为,,(0,1)abc，所以()0,1ab

，所以()111abcabcabcabc=+−+−+−，即2abcabc++−，因为,,,(0,1)abcd，所以()0,1abc，()1213abcdabcdabcdabcd+−++−+−=+++−

，即证得3abcdabcd+++−22．（2022秋·江西赣州·高一校考阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若acbd，那么称点(a，b）是点(),cd的“上位点”，同时点(),cd是点(),ab的“下位点”.(1)试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点

”坐标；(2)已知点(),ab是点(),cd的“上位点”，判断是否一定存在点P满足是点(c，d）的“上位点”，又是点(),ab的“下位点”，若存在，写出一个点P坐标，并证明；若不存在，则说明理由；(3)设正整数n满足

以下条件，对集合{02017,Z}mttt∣，总存在*kN，使得点(),nk既是点()100,m的“下位点”，又是点()101,1m+的“上位点”，求正整数n的最小值.（1）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若acbd，那么称点

(),ab是点(),cd的“上位点”，同时点(),cd是点(),ab的“下位点”.点()3,5的一个“上位点”坐标可以是()3,4，一个“下位点”坐标可以是()3,6(答案不唯一).（2）点(),ab是点(),cd的“上位点”，一定存在点(),

Pacbd++满足是点(),cd的“上位点”，又是点(),ab的“下位点”.证明如下：点(),ab是点(),cd的“上位点”，acbd，即22,0accadcdbcdcadbcadbcbddbddbdd++−−−−==+++，即accbdd++，即点(),Pacbd++是点

(),cd的“上位点”，220acaabbcabadbcadbdbbdbbdb++−−−−==+++，即aacbbd++，即点(),Pacbd++是点(),ab的“下位点”.综上可得：点(),Pac

bd++满足是点(),cd的“上位点”，又是点(),ab的“下位点”.（3）若正整数n满足条件，则1001011nmkm+，在{02017,}mtttZ∣时恒成立，由（2）中结论可得：21,201kmn=+=时，满足条件，若200n„，则100101211nmmm++不

成立，(因为10021nmm+即1200nm+).