【文档说明】高一数学人教A版2019必修第一册同步备课试题 2.1等式性质与不等式性质（第1课时） Word版含解析.docx，共(18)页，1.536 MB，由小赞的店铺上传

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2.1等式性质与不等式性质（第1课时）（2种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：用不等式(组)表示不等关系1．完成一项装修工程，请木工每人需付工资800元，请瓦工每人需付工资700元，现工人工资预算为20000元，设请木工x人，瓦工y人，则x，y满足的关系式是（）A．87200xy+

B．87200xy+C．87200xy+=D．87200xy+【答案】D【分析】根据给定条件直接列出不等式即可判断作答.【详解】因请木工每人需付工资800元，木工x人，则需付木工工资800x元，因请瓦工每人需付工资700元，瓦工y人，则需付瓦工工资700y元，于是得完成这项装修工程，共需

付工资(800700xy+)元，而工人工资预算为20000元，因此有：800x+700y≤20000，即8x+7y≤200，所以x，y满足的关系式是：87200xy+.故选：D2．如图两种广告牌，其中图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，图（2）

是一个矩形，从图形上确定这两个广告牌面积的大小关系，并将这种关系用含字母(),abab的不等式表示出来（）A．()2212abab+B．()2212abab+C．()2212abab+D．()2212abab+【答案】A【分析】利用三角形的

面积计算公式、矩形的面积计算公式、基本不等式的性质即可得出．【详解】解：图（1）是由两个等腰直角三角形构成的，面积2211122=+Sab．图（2）是一个矩形，面积2Sab=．可得：221()()2ababab+．故选：A3．如图，在一个面积为200m2的矩形地

基上建造一个仓库，四周是绿地，仓库的长a大于宽b的4倍，则表示上述的不等关系正确的是（）A．4abB．()(4200)4ab++=C．4(4)(4)200abab++=D．44200abab=【答案

】C【分析】由已知条件及矩形面积公式即可求解.【详解】解：由题意知4ab，根据面积公式可以得到()(4200)4ab++=.故选:C．4．用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，靠墙的一边长为xm.（1）若要求菜园的面积不小于110m2，试用不等式组

表示其中的不等关系;（2）若矩形的长、宽都不能超过11m，试求x满足的不等关系.【答案】（1）01815-110.2xxx，；（2）811x.【分析】（1）由边长表示出面积，再由边长与面积

的范围求解即可；（2）由长与宽的范围都不超过11m，求解即可【详解】（1）因为矩形菜园靠墙的一边长为xm，而墙长为18m，所以018x，这时菜园的另一边长为30-15-22xx=，()m，所以菜园的面积15-2xSx=

，依题意有110S，即15-1102xx，故该题中的不等关系可用不等式组表示为01815-110.2xxx，（2）因为矩形的另一边长15-112x，所以8x，又018x，且11x，所以811x.题型二

：比较两个实数(代数式)大小5．设a＞b＞1，y12311,,11bbbyyaaa+−===+−，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y2＜y3＜y1【答案】C【分析】利用作差法先比较y1，y2，再比较y2，y3即可得

出y1，y2，y3的大小关系.【详解】解：由a＞b＞1，有y1﹣y2()()1111bbabaabbabaaaaaa++−−−=−==+++＞0，即y1＞y2，由a＞b＞1，有y2﹣y3()()1111

bbabbabaabaaaaaa−−−+−=−==−−−＞0，即y2＞y3，所以y1＞y2＞y3，故选：C.6．已知10a−，那么32aaa−−，，的大小关系是（）A．23aaa−−B．23aaa−

−C．32aaa−−D．23aaa−−【答案】B【分析】利用作差法比较大小.【详解】解：10a−Q，10a+，01a−．2(1)0aaaa−−=−+，232()(1)0aaaa−−=+．23aaa−−．

故选：B．7.请根据“糖水加糖变得更甜了”提炼出一个不等式：______（设糖水为a克，含糖为b克，加入的糖为m克）．【答案】bbmaam++(0,0)abm【分析】a克糖水中有b克糖(0)ab，若再添m克糖(0)m，浓度发生了变化，只要分别计算出添糖前后的浓度进行比较即得．【

详解】a克糖水中有b克糖，糖水的浓度为：ba；a克糖水中有b克糖(0)ab，若再添m克糖(0)m，则糖水的浓度为bmam++，又糖水变甜了，说明浓度变大了，bbmaam++，0a，0b，ab

，0m.故答案为：bbmaam++，(0,0)abm8.（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小关系为__.【答案】（x+1）（x+5）＜（x+3）2【分析】作差，判断差的符号，即可得到答案.【详解】解：（x+1）（x+5）﹣（x+3

）2＝﹣4＜0，∴（x+1）（x+5）＜（x+3）2，故答案为：（x+1）（x+5）＜（x+3）29.（1）比较()()26aa−−和()()35−−aa的大小；（2）已知21x−，12y，求2x

y−的取值范围．【答案】（1）()()()()2635aaaa−−−−；（2）621xy−−．【分析】（1）利用作差法比较大小；（2）直接利用不等式的性质求出2xy−的取值范围.【详解】（1）因为()()()()()()222

63581281530aaaaaaaa−−−−−=−+−−+=−，所以()()()()2635aaaa−−−−．（2）因为21x−，所以422x−．因为12y，所以21y−−−，故621xy−−

．10.比较abba+与(00abab+，)的大小.【答案】ababba++【分析】做差化简，分情况讨论比较大小.【详解】()ababba+−+()()()abababababbaabbababa

=−+−=−+−=−−当ab时，0ab−，()00abababbaba−−−，，即ababba++；当ab时，0ab−，()00abababbaba−−

−，，即ababba++；综上所得ababba++.11.已知0ab，证明：11ab.【分析】利用作差法即得.【详解】∵11baabab−−=，0ab00baab−，，0baab−，即11ab.12．已知215xx−，证明：2121121255xxx

x−−++.【分析】利用作差法即得.【详解】∵()()()()()()()()()21121221212121125125111212555555xxxxxxxxxxxxxx−+−−+−−−−==++++++，215xx−，120xx−，()()21550

xx++，2121121255xxxx−−++.【能力提升】一、单选题1．（2023·高一课时练习）已知,ab+R，且221ab−=，则（）A．0ab−B．1ab−C．441ab−D．1ab−【答案】B【详解】对于A：因为2

210ab−=，故22ab，又因为0a，0b，所以ab，从而0ab−，故A错误；对于B：由题意可知，22()()1ababab−=−+=，因为0ab，所以1ababab−=++，故2()1ab+

，即1ab+，从而11abab−=+，故B正确，对于C：因为221ab−=，所以221ab=+，所以()()222222222441211ababababbbb++=+==+−−+=，故C错误；对于选项D：因为22()(1)120abab

b−+=−−−，所以1ab+，即1ab−，故D错误.2．（2023秋·山东潍坊·高一统考期末）若,abcR，则下列不等式一定成立的是（）A．22abB．acbcC．11abD．33ab【答案】D【详解】对于A，当01ab==，则22ab

，故选项A错误；对于B，因为ab，当0c时，可得：acbc，故选项B错误；对于C，作差：11baabab−−=，因为ab，所以0ba−，但ab的符号无法判断，所以选项C错误；对于D，因为ab，由不等式的性质可得：33ab，故选

项D正确，3．（2022秋·浙江衢州·高一校考期中）实数a，b，c满足221aacb=+−−且210ab++=，则下列关系成立的是（）A．bacB．cabC．bcaD．cba【答案】D【详解】由210

ab++=可得21ab=−−，则1a−，由221aacb=+−−可得2(1)0acb−=−，利用完全平方可得所以cb，22131()024babbb−=++=++，ba，综上cba，二、多选题4．（2023秋·宁夏吴忠·高一统考期中）若,,abc

是不为0的实数，且ab，则下列不等式一定成立的是（）A．acbcB．33cacb−−C．11abD．||||aabb【答案】BD【详解】对于A，当ab，0c时，acbc，故A不正确；对于B，

因为ab，()()3330cacbba−−−=−，即33cacb−−，故B正确；对于C，当0ab时，11ab，故C不正确；对于D，由ab可得0ab或0ab或0ab，当0ab时，则0,0abab−−，故||||aabb−−，即||||aab

b，当0ab时，则0ab，故||||aabb，当0ab时，则||||aabb，所以由ab可得||||aabb，故D正确.5．（2023秋·云南大理·高一统考期末）设,ab为正实数，则下列命题正确的是（）A．若2

21ab−=，则1ab−B．若111ab+=，则(1)(1)1ab−−=C．若1ab−=，则1ab−D．若111ab−=，则1ba−【答案】AB【详解】对于A，若221ab−=，则221ab−=，即2(1)?(1)aab+−=，11aa+−，1ab−

，即1ab−，A命题正确；对于B，若111ab+=，可得abab+=，11abab+−+=,即得(1)(1)1ab−−=，B命题正确；对于C，若1ab−=，可取9a=，4b=，则51ab−=，C命题不正确；对于D，

若111ab−=，可取78a=，7b=，则1ba−，D命题不正确，6．（2023秋·河北邯郸·高一统考期末）下列结论正确的是（）A．xR，12xx+B．若0ab，则3311abC．若()20xx−，则()2

log0,1xD．若0a，0b，1ab+，则104ab【答案】BD【详解】当0x时，1xx+为负数，所以A不正确；若0ab，则110ba，考虑函数3()fxx=在R上单调递增，所以11()()ffab，即3311

()()ab，所以B正确；若()20xx−，则02x，2log(,1)x−，所以C不正确；若0a，0b，1ab+，根据基本不等式有21,0()224abababab++=所以D正确.故选：BD7．（2023秋·重庆九龙坡·高一重庆市杨家坪中学校考

期末）下列命题为真命题的是（）A．若,abcd，则acbd++B．若0,0abc，则ccabC．若ab，则22acbcD．若,abcd，则acbd【答案】AB【详解】对于A，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，故A正确；对于B，()c

baccabab−−=，因为0,0,0−bacab，所以0ccab−，故B正确；对于C，当0c=时，22acbc=故C错误；对于D，当1,2.2,1=−=−==abcd时，acbd=，故D错误；8．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·高一校联考开学考试）若1ab，0c

，则下列不等式一定成立的是（）.A．1abcbacc++B．22abcbac−−C．bcacabD．1122abab−−【答案】BD【详解】对于A：()()()2211bcabcacbcbacbacccbaccbac−++−−−==+++，只有当1c时，1

abcbacc++，故A错误；对于B：()()()2222abcbacabcab−−−=−+−，因为1ab，22,ab所以22abcbac−−，故B正确；对于C：()2222cbabcacbcacababab−−−==，因为1ab，22,ab所以()2

20cbabcacabab−−=，故C错误；对于D：因为1,ab所以220ab−，110ab−，所以1122abab−−，故D正确；三、双空题9．（2022秋·北京·高一校考阶段练习）为满足人民群众便利消

费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为22400m的新型生鲜销售市场．市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的建造面积为228m，月租费为x万元；每间肉食水产店面的建造面积为220m，月租费为0.8万元．全部店面的建造面积

不低于总面积的80%，又不能超过总面积的85%．①两类店面间数的建造方案为种．②市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的90%，则x的最大值为万元．【答案】161【详解】设蔬菜水果类和肉食水产类店分别为,ab,（1）由题意知

，0.85240028200.82400ab+，化简得：48075510ab+，又+80ab=，所以48075(80)510aa+−，解得：4055a，40,41,,55a=K共16种；（2）由题意知0.80.980baxx+，0.8(80)72bbxx

+−，0.880.8[1]88bxbb=+−−，max804040b=−=Q，850.8(1)0.81324x+==，即x的最大值为1万元，10．（2022·全国·高一专题练习）社会实践活动是青年学生按照学校培养目

标的要求，利用节假日等课余时间参与社会政治、经济、文化生活的教育活动.通过社会实践活动，可以使学生丰富对国情的感性认识，加深对社会、对人民群众的了解，从而增强拥护和执行党的基本路线的自觉性；可以使学生在接触实际的过程中巩固和深化课堂知识，锻炼和增强解决实际问题的能力.某学校要建立社会

实践活动小组，小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：①男学生人数多于女学生人数；②女学生人数多于教师人数；③教师人数的两倍多于男学生人数.若男学生人数为7，则女学生人数的最小值为；若男学生人数未知，则该小组人数的最小值为.【答案】512【详解】设男

学生、女学生、教师的人数分别为x、y、z，则2zyxz.若7x=，则727yzz，可得772z，则4,5,6z，当4z=时，y取最小值5，即男学生人数为7，则女学生人数的最小值为5；若x的值未知，当1z=时，则12zy

x=，不满足题意，当2z=时，则24zyx=，不合乎题意，当3z=时，则36zyx=，此时4y=，5x=，则12xyz++=，合乎题意.故当男学生人数未知，则该小组人数的最小值为12.故答案为：5；12.四、解答题11．（2022秋·内蒙古通辽·

高一校考期中）（1）设()223Paa=−+，()()13Qaa=−−，aR.试比较P与Q的大小.（2）已知0ab，0cd，0e.求证：eeacbd−−；【答案】（1）PQ，（2）证明见解析【详解】（1）解：()()

()22313PQaaaa−=−+−−−()22224343aaaaa=−+−−+=∵20a，∴0PQ−，∴PQ．（2）0ab，0cd−−，0acbd−−11acbd−−，又0e，eeacbd−−.12．（2023秋·高一课时练习）比

较大小：(1)22ab+和2(1)ab−−；(2)22baab+和ab+，其中0,0ab．【答案】(1)()2221abab+−−≥(2)22baabab++【详解】（1）因为()()()222221110ababab+−−−=−++

，所以()2221abab+−−≥；（2）因为0,0ab，所以()()()223333+−+=+++−+=−ababbaababbabaababababab()()()()2220bbaaabbabaabab−+−−+==，所以22baaba

b++.13．（2023秋·广东·高一统考期末）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好．设某所公寓的窗户面积与地板面积分

别为2ma，2mb．(1)若这所公寓的窗户面积与地板面积的总和为2220m，求这所公寓的窗户面积至少为多少平方米；(2)若同时增加窗户面积和地板面积各2mn，判断这所公寓的采光效果是否变好了，并说明理由．【答案】(1)20；(2)变好了，详细见解析.【详解】（1）设公寓窗户面积与地板面积分别

为22m,mab，则10%220abab+=，所以1010%aba=，所以22010abaa+=+，所以20a.所以这所公寓的窗户面积至少为20平方米.（2）设a和b分别表示公寓原来窗户面积和地板面积，n表示窗户和地板所增加的面积

（面积单位都相同），由题意得：0,0abn，则()()()nbaanaabbnabanbnbbbnbbn−++−−−==+++.因为0,0bn，所以()0bbn+.又因为ab，所以()0nba−.因此0anabnb+−+，即anabnb++.所以窗户和地板同时增加

相等的面积，住宅的采光条件变好了.14．（2022秋·山东青岛·高一山东省青岛第五十八中学校考期中）不等关系是数学中一种最基本的数量关系.请用所学的数学知识解决下列生活中的两个问题：(1)已知b克糖水中含有a克糖（0ba＞＞），再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这

一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式(2)甲每周都要去超市购买某种商品，已知第一周采购时价格是p1，第二周采购时价格是p2.现有两种采购方案，第一种方案是每次去采购相同数量的这种商品，第二种方案是每次去采购用的钱数相同.哪种采购方

案更经济，请说明理由.【答案】(1)amabmb++，证明见解析(2)见解析【详解】（1）该不等式为amabmb++证明：因为ba，所以()0()amaabmbmbmbb+−−=++，于是amabmb++.（2）若按第一种方案采购，每次

购买量为n，则两次购买的平均价格为121222pnpnppn++=，若按第二种方案采购，每次用的钱数是m，则两次购买的平均价格为12122211mmmpppp=++，又212121212()201122()pppppppp+−−=++，所以当12p

p=时，两种方案一样；当12pp时，第二种方案比较经济.15．（2022秋·广东江门·高一江门市第二中学校考期中）（1）已知b克糖水中含有a克糖()0ba，再添加m克糖()0m（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等

式，并证明这个不等式成立．（2）东东和华华拿着钱去超市买糖，超市里面提供两种糖：A种糖每千克1p元，B种糖每千克2p元（两种糖价格不相等）.东东买了相同质量的两种糖，华华买了相同价钱的两种糖.请问两人买到糖的平均价格分别是多少？谁买的糖的平均价格比较高？请证明你的

结论.（物品的平均价格=物品的总价钱物品的总质量）【答案】（1）不等式为maambb++，证明见解析；（2）答案见解析.【详解】解：（1）b克糖水中含有a克糖()0ba，则糖在糖水中所占的比例为ab，再添加m克糖()0m（假设全部溶解），则糖在糖水中所占

的比例mamb++，糖水变甜了，说明加糖后，糖在糖水中所占的比例变大了，即有maambb++，证明如下：()()()()()0mabmbambamaambbbmbbmb+−+−+−==+++，则maambb++；（2）对于东东而言，他买到的糖的平均价格为1

22pp+（元/千克），对于华华而言，设华华买两种糖的费用均为c元，则他买到的糖的总质量为12ccpp+千克，故华华买到的糖的平均价格为12121222ppcccpppp=++（元/千克），()()2121212121

22022pppppppppp−+−=++，即东东买到的糖的平均价格较高.16．（2022秋·江苏苏州·高一苏州市苏州高新区第一中学校联考阶段练习）已知bg糖水中有ag糖0)ba（，往糖水中加入mg糖0)m（，（假设全部溶解）糖水更甜了.(1)

请将这个事实表示为一个不等式(2)证明这个不等式(3)利用（1）的结论证明命题：“若在ABC中abc、、分别为角、、ABC所对的边长，则111cabcab++++”【答案】(1)aambbm++(2)证明见解析(3)证明见解析【详解】（1）由题可得.aambbm+

+（2）证明：因为()()()abmaamabamabbmbbmbbmbbm−++−−−==+++，b>a>0，m>0，所以a－b<0，b＋m>0，从而0aambbm+−+，即aambbm++.（3）证明：因为()()11111cabccabaaccab

cababab++−+==+++++−++++++,1111aabbabaabb++++++，故1111aaabababab++++++++，所以111cabcab++++17．（2022·全国·高一专题练习）

已知0a，试比较2211aa+−与11aa+−的值的大小．【答案】1a时，221111aaaa++−−；01a时，221111aaaa++−−．【分析】用做差法比较可得答案.【详解】2222221111211

11aaaaaaaaa+++−+−−==−−−−（），可得1a，i（）当1a时，20a−，210a−，则2201aa−−，即221111aaaa++−−；ii（）当01a时，22010aa−−，，则2201aa−−，即221111aaaa++−−

．综上可得1a时，221111aaaa++−−；01a时，221111aaaa++−−．18．（2022·湖南·高一课时练习）比较下列各题中两个代数式值的大小：(1)()21m−与()21m+；(2)()()222121xxxx++−+与()()2211xxxx

++−+．【答案】(1)22(1)(1)mm−+(2)()()222121xxxx++−+()()2211xxxx++−+【分析】利用作差法得出大小关系.(1)()()()()221121214mmmmmmm−−+=−+−++=−因为0m，所以22(1)(1)0mm−−+，当且仅当0m

=时，取等号.即22(1)(1)mm−+(2)()()222121xxxx++−+()()2211xxxx−++−+()()2222222121xxxxx=+−−+−=−因为0x，所以()()22222

21210xxxx+−−+−，当且仅当0x=时，取等号.故()()222121xxxx++−+()()2211xxxx++−+.19．比较下列各组数的大小()ab.（1）2ab+与211ab+，(0,0)ab；（2）44

ab−与()34aab−.【答案】（1）2112abab++；（2）()4434abaab−−.【解析】利用作差法求解即可.【详解】（1）()()()()22422112222abababababababababab+−−+

+−=−==++++，0a，0b且ab¹，0ab+，()20ab−.()()202abab−+，即2112abab++.（2）()4434abaab−−−()()()()2234abababaab=−++−−()()32233

4abaababba=−+++−()()()()232333ababaababa=−−+−+−()()()()()()222ababaabababaaabb=−−+−++−++()()22232abaabb=−−++()()2222abaab=−−+

+()2220aab++（当且仅当0ab==时取等号），又ab¹，()20ab−，()2220aab++.()()22220abaab−−++()4434abaab−−.【点睛】本题主要考查了利用作差法

比较大小，属于较难题.20.设abcR+，，，试证:对任意实数xy、、z有()()()222abcabbccaxyzxyyzzxabbccacab++++++++++【分析】利用差比较法，证得不等式成立.【

详解】依题意()()()222abcabbccaxyzxyyzzxabbccacab+++++−+++++()()()()()()222222abbcacxyzxyyzxzbccaabcaabbc=++−−−++++++()()2

222babacxxyyybcbccacaca=−+++++++()()22bcbyzzabcaab−++++()()22acazxzababbc+−+++2cxbc++2baxybcca=−+++2cbyz

caab−+++2aczxabbc−++0.所以()()()222abcabbccaxyzxyyzzxabbccacab++++++++++.【点睛】本小题主要考

查利用差比较法证明不等式，考查运算求解能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.21.已知甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：甲乙丙维生素A(单位/kg)600700400维生素B(单位/kg)800400500成本(元/kg)1194若用甲、乙、丙三种食物各

xkg、ykg、zkg配成100kg的混合食物，并使混合食物内至少含有56000单位维生素A和63000单位维生素B，试用x、y表示混合食物成本c元，并写出x、y所满足的不等关系．【分析】设出未知量x,y，z,根据题意列出不等式组即可.【详解】依题意得c＝11x＋9y＋4z，又

x＋y＋z＝100，∴c＝400＋7x＋5y，由及z＝100－x－y，得∴x，y所满足的不等关系为【点睛】这个题目考查了实际应用问题，主要是读懂题意，列出相应的不等关系即可,其中注意定义域的问题.22.某矿山车队有4辆载重为10t的甲

型卡车和7辆载重为6t的乙型卡车，有9名驾驶员．此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂．已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次，写出满足上述所有不等关系的不等式．【分析】设出未知量x,y，根据题意列出不等式组即可.【详解】设每天派出甲型卡

车x辆，乙型卡车y辆，则即【点睛】这个题目考查了实际应用问题，主要是读懂题意，列出相应的不等关系即可,其中注意定义域的问题.