【文档说明】江苏省苏州大学2020届高三高考考前指导卷数学试题含附加题 数学试题.docx，共(20)页，1.023 MB，由小赞的店铺上传

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苏州大学2020届高考考前指导卷数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{|12}Axx=−≤≤，{|1}Bxx=，则A

B=▲．2．已知纯虚数z满足(1i)2iza−=+，则实数a等于▲．3．某高速公路移动雷达测速检测车在某时段对某段路过往的400辆汽车的车速进行检测，根据检测的结果绘制出如图所示的频率分布直方图，根据直方图的数据估计400辆汽车中时速在区间[90110)，的约有▲辆．4．函数()

12lgfxxx=−+的定义域为▲．5．在直角坐标系xOy中，已知双曲线221(0)yx−=的离心率为3，则的值为▲．6．执行如图所示的程序框图，输出的S的值为▲．7．展览会会务组安排了分别标

有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，采用等可能随机的顺序前往酒店接嘉宾．某与会嘉宾设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．则该嘉宾坐到“3号”车的概率是▲．8

．已知函数()cosfxxx=，则()fx在点(())22f，处的切线的斜率为▲．9．已知nS是等比数列{}na前n项的和，若公比2q=，则1356aaaS++的值是▲．10．已知2sincos()4=+，则tan()4−的值是▲

．11．《九章算术》是我国古代著名数学经典．里面对勾股定理的论述比西方早一千多年，其中有这样一个问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯该材料，锯口深一寸，锯道长一尺．问这块圆柱形木料的直径是多少？长

为1丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分）．已知弦1AB=尺，弓形高1CD=寸，估算该木材的体积约为▲（立方寸）．（注：1丈10=尺100=寸，π3.14）开始输出S结束i≤10i←3NYS

←S+2i（第6题图）i←i＋2S←4墙体CDFEBAO（第11题图）12．已知函数2|log2|01()31xxfxxx+=−，≤，，，若存在互不相等的正实数123xxx，，，满足123xxx且12

3()()()fxfxfx==，则31()xfx的最大值为▲．13．已知点P为正方形ABCD内部一点（包含边界），EF，分别是线段BCCD，中点．若0CPDP=，且APAEAF=+，则+的取值范围

是▲．14．已知D是ABC△边AC上一点，且1s432coCBDABDDAC===，，，则3ABBC+的最大值为▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本

小题满分14分）ABC△的内角ABC，，的对边分别为abc，，，且1a=，3cossinCcA=．（1）求C；（2）若3b=，D是AB上的点，CD平分ACB，求ACD△的面积．16．（本小题满分14分）如图

，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，点E在棱PC上（异于点PC，），平面ABE与棱PD交于点F．（1）求证：ABEF∥；（2）若AF⊥EF，求证：平面PAD⊥平面ABCD．EFABCDP（第16题图）17．（

本小题满分14分）如图，某公园内有一半圆形人工湖，O为圆心，半径为1千米．为了人民群众美好生活的需求，政府为民办实事，拟规划在OCD△区域种荷花，在OBD△区域建小型水上项目．已知AOCCOD==．（

1）求四边形OCDB的面积（用表示）；（2）当四边形OCDB的面积最大时，求BD的长（最终结果可保留根号）．18．（本小题满分16分）如图，已知椭圆22221(0)xyabab+=的离心率为22，短轴长为2，左、右顶点分别为A

B，．设点(2)(0)Mmm，，连接MA交椭圆于点C．ODCBA（1）求该椭圆的标准方程；（2）若OCCM=，求四边形OBMC的面积．（第18题图）19．（本小题满分16分）已知函数2()2lnfxxaxx=−+（其中a为常数）．（1）求函数()fx的单调区间；

（2）设函数()fx有两个极值点1212()xxxx，，若12()fxmx＞恒成立，求实数m的取值范围．20．（本小题满分16分）对于数列{}na，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}na为P数列．（1）若{}na的前n项和32

nnS=+，试判断{}na是否是P数列，并说明理由；（2）设数列12310aaaa，，，，是首项为1−，公差为d的等差数列，若该数列是P数列，求d的取值范围；（3）设无穷数列{}na是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列{}{}nnbc，是从{}na中取出部分项按原来的顺序所组成的不同

数列，其所有项和分别为12TT，，求{}na是P数列时a与q所满足的条件，并证明命题“若0a且12TT=，则{}na不是P数列”．苏州大学2020届高考考前指导卷数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、

C三小题，请选定其中两题．．．．．．，并在相应的．．．．．答题区域．．．．内作答．．．，若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4−2：矩阵与变换（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，设点(5)Px，在

矩阵M1234=对应的变换下得到点(2)Qyy−，，求1xy−M．B．选修4−4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴

，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin()24−=，曲线C的参数方程为2cos3()sin22xy=−+=，≤≤，求l与曲线C交点的直角坐标．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共

计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在四棱锥PABCD−中，//ABCD，2224ABCDBCAD====，60DAB=，AEBE=，PAD△为正三角

形，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）求二面角PECD−−的余弦值；（2）线段PC上是否存在一点M，使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为68？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由．EACDPB（第22题图）23．（本小题满分10分）已知非空集合M满足{012}Mn

，，，，*(2)nnN≥，．若存在非负整数()kkn≤，使得当aM时，均有2kaM−，则称集合M具有性质P．记具有性质P的集合M的个数为()fn．（1）求(2)f的值；（2）求()fn的表达式．苏州大学2020届高考考前指导卷参考答案一、填空题：本大

题共14小题，每小题5分，共计70分．1．{|12}xx≤2．23．2804．1(0]2，5．26．527．568．π2−9．1310．12−11．5306612．413．24[1]33−，14．1655解答与提示：1．{|12}ABxx=≤．

2．2i(2i)(1i)22i1i222aaaaz+++−+===+−．因为z为纯虚数，所以2020aa−=+，，解得2a=．3．由图可知，时速在区间[8090)[110120)，，，的频率为(0.010.02

)100.3+=，所以时速在区间[90110)，的频率为10.3−，所以时速在区间[90,110)的车辆约为4000.7280=辆．4．由1200xx−≥，，解得102x≤，即函数()fx的定义域为1(0]2，．5．离心率131cea+===，所以2

=．6．执行第一次循环105Si==，；执行第二次循环207Si==，；执行第三次循环349Si==，；执行第四次循环5211Si==，，终止循环．所以52S=．7．记方案一与方案二坐到“3号”车的概率分别为P1，P2，三辆车的出车顺序可能为：123，132，213，23

1，312，321．方案一坐“3号”车可能：132，213，231，所以136P=；方案二坐“3号”车可能：312，321，所以226P=．则该嘉宾坐到“3号”车的概率1256PPP=+=．8．()cossinfxxxx=−，所以在π2x=处的切线的斜率为ππ()22

kf==−．9．2312135616[1()]111(1)131aqaaaqaqSqq−++−===−+−．10．因为π2sincos()4=+，解得1tan3=，所以11π13tan()14213−−==−+．11．如图，10AB=（寸），则5AD=（寸），1C

D=（寸），设圆O的半径为x（寸），则(1)ODx=−（寸）．在RtADO△，由勾股定理可得2225(1)xx+−=，解得13x=（寸），则该木材的体积约为221001316900x==（立方寸）．12．函数()fx的图象如右图所示，由题意，30()2fx，即31

9x，因为123()()()fxfxfx==，所以3133()(3)xfxxx=−，令3(1,3)tx=，构造函数32()3gttt=−+，2()36gttt=−+，所以当2t=时，max()(2)4gtg==，所以31()xfx的最大值为4．13．设正方形ABCD的边长为a，

以A为原点，ABAD，所在直线为分别为xy，轴建立平面直角坐标系，则(00)(0)()(0)ABaCaaDa，，，，，，，．设()Pxy，，因为0CPDP=，所以()()0xayaxya−−−=，，，即222()()24aaxya−+−=，设cos22sin2aaxaya=+=

+，．又因为()()22aaEaFa，，，，APAEAF=+，所以()()()22aaxyaa=+，，，，即22axaaya=+=+，，所以2232()[(sincos)]1sin()332234aaxyaa+=+=++=++，由P为正方形A

BCD内部一点（包含边界），可得[2]，，所以[]444+，，所以2241sin()[1]3433+=++−，．14．法一：设ADt=，则3CDt=，4ACt=，在ABD△中，222(2)cos22tcA

DBt+−=，在BDC△中，222(3)(2)cos223taBDCt+−=，又coscosADBBDC=−，所以222222(2)(3)(2)22223tctatt+−+−=−，解得2221238tca=+−

，①在ABC△中，2222(4)2cosACtacacB==+−，即2221162tacac=+−，②由①②可得2239322acac++=．所以2222333532(3)(3)(3)()(3)222

8acacacacac+=+−+−=+≥，即2832(3)5ac+≤，所以16535ac+≤，当且仅当3ac=，即8585,515ac==时等号成立，所以3ABBC+的最大值为1655．法二：因为3CDAD=，所以3CDDA=，即3()BDB

CBABD−=−，整理得到3144BDBABC=+，两边平方后有22291316168BDBABCBABC=++，DCBA所以22913216168BABCBABC=++即2291312||||161684BABCBABC=+

+，整理得到223329||||||||2BABCBABC=++，设||||cBAaBC==，，所以22239329(3)22caaccaac=++=+−，因为293333()2222acacca+=≤，所以22229353

2(3)(3)(3)(3)288caaccacaca=+−+−+=+≥，832165355ca+=≤，当且仅当8585515ac==，时等号成立，所以3ABBC+的最大值为1655．二、解答题：本大题

共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）解：（1）因为1a=且3cossinCcA=，所以3cossinaCcA=，·····················2分在ABC△中，由正弦定理sins

inacAC=，所以sinsinaCcA=，所以3sincossinsinACCA=．··························································4

分因为(0)A，，所以sin0A，所以3cossinCC=，因为(0)C，，所以sin0C，所以cos0C，所以tan3C=，·············6分因为(0)C，，所以3C=．···········

···················································8分（2）由（1）知，3ACB=，因为1a=，3b=，所以ABC△的面积1333sinsin2234ABC

SabACB===△，························10分因为D是AB上的点，CD平分ACB，所以1sin12613sin26BCDACDaCDSaSbbCD===△△

，····················································12分因为ABCACDBCDSSS=+△△△，所以33339344416ACDABCSS===△△．·············14分16

．（本小题满分14分）证：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以ABCD∥．··············································································

·····················2分又AB平面PDC，CD平面PDC，所以AB∥平面PDC，··················································

···················5分又因为AB平面ABE，平面ABE∩平面PDCEF=，所以ABEF∥．································································

·················7分（2）因为四边形ABCD是矩形，所以AB⊥AD．因为AF⊥EF，（1）中已证ABEF∥，所以AB⊥AF，······································

············································9分因为AB⊥AD，由点E在棱PC上（异于点C），所以F点异于点D，所以AFADA=，又AFAD，平面PAD，所以AB⊥平面PA

D，·······································12分又AB平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD．··································14分17．（本小题满分14分）解：（1）由题意AOCC

OD==，设四边形OCDB的面积为()S，因为四边形OCDB可以分为OCD△和OBD△两部分，所以11()sinsin(2)22OCDOBDSSSOCODOBOD=+=+−△△，···············3分因为1OBOCOD===，所以1()(sinsin2)2S

=+．因为020−，，所以02．所以四边形OCDB的面积1()(sinsin2)(0)22S=+，，．······················6分（2）由（1）1()(sinsin2)(0)22S=+，，，所以2211()(sin)(sincos

)coscossin22S=+=+−21(4coscos2)2=+−，令()0S=，即24coscos20+−=，解得133cos8−+=或133cos8−−=，因为02，所以存在

唯一的0，使得0133cos8−+=．·····················10分EFABCDP当00时，()0S，()S在0(0)，单调递增；当02时，()0S，()S在0()2，单调递减，所以0=时，max0

()()SS=，··························································12分此时22202cos(2)BDOBODOBOD=+−−22000112cos222(2cos1)4c

os=++=+−=，从而01332cos4BD−+==（千米）．答：当四边形OCDB的面积最大时，BD的长为1334−+千米．··················14分18．（本小题满分16分）解：

（1）因为椭圆22221(0)xyabab+=的离心率为22，短轴长为2，所以2222222babcca==+=，，，解得21ab==，，所以该椭圆的标准方程为2212xy+=．················

····································4分（2）因为点(2)(0)(20)MmmA−，，，，所以直线AM的方程为(2)22myx=+，即2(2)4myx=+．由22122(2)4xymyx+==+，，消去y得2

222(4)22280mxmxm+++−=．··············7分设00()Cxy，，则2022824mxm−−=+，所以2022424mxm−=−+，所以0244mym=+．连接OM，取OM的中点R，

则2()22mR，，·········································10分连接CR，因为OCCM=，所以CROM⊥．又3020422242322OMCRmymmmkkmx−−===−−，，所以324124232mmmm−=−−，即422

80mm+−=，因为0m，所以2m=，·································································13分所以四边形OBMC的面积2114242222223(2)4ABMAOCSSS=−=−=+△△．····

·································································································16分19．（本小题满分16分）解

：（1）因为2()2lnfxxaxx=−+，所以222()(0)xaxfxxx−+=．···············2分令2()22pxxax=−+，216a=−，当0≤即44a−≤≤时，()0px≥，即()0fx≥，所以函数()fx单调递增区间为(0)+，．当0

即4a−或4a时，2212161644aaaaxx−−+−==，．若4a−，则120xx，所以()0px，即()0fx，所以函数()fx的单调递增区间为(0)+，．若4a，则210xx，由()0fx即()0px，

得10xx或2xx；由()0fx，即()0px得12xxx．所以函数()fx的单调递增区间为12(0)()xx+，，，；单调递减区间为12()xx，．综上，当4a≤时，函数()fx的单调递增区间为(0)+，，无减区间；

当4a时，函数()fx的单调递增区间为12(0)()xx+，，，，单调递减区间为12()xx，．·······································6分（2）由（1）得222()(0)xaxfxxx−+=，若()fx有两个极值点12xx，，则1

2xx，是方程2220xax−+=的两个不等正实根，由（1）知4a．则1212212axxxx+==，，故1201xx，····················8分要使12()fxmx恒成立，只需12()fxmx恒成立．因为222

311111111111221()2ln222ln22ln1fxxaxxxxxxxxxxxx−+−−+===−−+，········10分令3()22ln(01)htttttt=−−+，则2()32lnhttt=−+，··························12分当01t

时，()0ht，()ht为减函数，所以()(1)3hth=−．··················14分由题意，要使12()fxmx恒成立，只需满足3m−≤．所以实数m的取值范围(3]−−，．······················

·································16分20．（本小题满分16分）解：（1）由32nnS=+，可知1123nnnnaSS++=−=，故1320nnnaS+−=−对一切正整数n都成立，故{}na是P数列．·············

···3分（2）由题意知，该数列的前n项和为(1)2nnnSnd−=−+，11nand+=−+，由数列12310aaaa，，，，是P数列，可知211aSa=，故公差0d．213(1)1022nndSandn+−=−++对满足19n≤≤中的

每一个正整数n都成立，即23(1)1022dndn−++对于19n≤≤都成立．·······································6分由2231(1)1022399(1)1022dddd−+

+−++，，可得8027d，故d的取值范围是8(0)27，．·····8分（3）若{}na是P数列，则12aSaaq==，若0a，则1q，又由1nnaS+对一切正整数n都成立，可知11nnqaqaq−−，即12()nqq−对一切正整数n都成立，

由1()0nq，1()(01)nq，，故20q−≤，可得2q≥．若0a，则1q，又由1nnaS+对一切正整数n都成立，可知11nnqaqaq−−，即(2)1nqq−对一切正整数n都成立，又当(1]q−−，时，(2)1nqq−

当2n=时不成立，故有(01)(2)1qqq−，，，或2(10)(2)1qqq−−，，，解得15(0)(01)2q−，，．所以{}na是P数列时，a与q所满足的条件为02aq，≥，或015(01)(0)2aq−

，，，．12分下面用反证法证明命题“若0a且12TT=，则{}na不是P数列”．假设{}na是P数列，由0a，可知2q≥且{}na中每一项均为正数，若{}nb中的每一项都在{}nc中，则由这两数列是不同

数列，可知12TT，若{}nc中的每一项都在{}nb中，同理可得12TT．若{}nb中至少有一项不在{}nc中且{}nc中至少有一项不在{}nb中，设{}{}nnbc，是将{}{}nnbc，中的公共项去掉之后剩余项依次构成的数列，它们的所有项和分别

为12TT，，不妨设{},{}nnbc中的最大项在{}nb中，设为ma，则2m≥，则21211mmTaaaaT−+++≤≤，故21TT，所以21TT，故总有12TT，与12TT=矛盾．故{}n

a不是P数列．·································16分数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两题．．．．．．，若多做，则按作答的前两题评分．A．选修4−2：矩阵与变换（本小题满分10分）

解：依题意12345x=2yy−，即102320xyxy+=−+=，，解得48xy=−=，，····················3分由逆矩阵公式知，矩阵M1234=

的逆矩阵1213122−−=−M，···················7分所以1xy−M213122−=−48−1610=−．························

·······················10分B．选修4−4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）解：直线22(sincos)222l−=：，所以直线l的直角坐标方程为20xy−+=．·····

········································3分曲线C的普通方程为22(2)1(32)xyx++=−−≤≤，·································6分2220(2)1(32)xyx

yx−+=++=−，≤≤-，消去y整理得22870xx++=，则222x=−−，所以交点坐标为22(2)22−−−，．·································10分【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时

应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）解：设O是AD中点，PAD△为正三角形，则POAD⊥．因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PO平面PAD，所以POABCD⊥面．又因为2ADAE==，60DAB

=，所以ADE△为正三角形，所以OEAD⊥．建立如图所示空间直角坐标系Oxyz−，则(003)(030)(230)(100)PECD−−，，，，，，，，，，，，于是(233)(033)(103)PCPEDP=−−=−

=，，，，，，，，．···················2分（1）设平面PEC的法向量为1()xyz=，，n，由110,0PCPE==nn，得一个法向量为1(011)=，，n，平面EDC的一个法向量为2(001)=，，n，所以1212cos22==，nn，又由图可得二面角PECD

−−为锐角，所以二面角PECD−−的余弦值为22．················································4分（2）设(01)PMPC=≤≤，则(233)PM=−−，，，(12333)DMDPPM=+=−−，，，(03

3)PE=−，，，················6分所以2|63|6|cos|||8||||610104DMPEDMPEDMPE−===−+，，·················8分解得13=或23，所以存在点M为线段PC的三等

分点．···························10分23．（本小题满分10分）解：（1）当2n=时，{0}{1}{2}{02}{012}M=，，，，，，，具有性质P，对应的k分别为01211，，，，，故(2)5f=．····

··········································3分（2）设当nt=时，具有性质P的集合M的个数为()ft，则当1nt=+时，(1)()(1)ftftgt+=++，ADCBPEOxyz其中(1)gt+表示1tM+时也具有性质

P的集合M的个数，下面计算(1)gt+关于t的表达式，此时应有21kt+≥，即12tk+≥，故对nt=分奇偶讨论．①当t为偶数时，1t+为奇数，故应该有22tk+≥，则对每一个k，1t+和21kt−−必然属于集合M，且t和2kt−，，k和k共有1tk+−组数，每一

组数中的两个数必然同时属于或不属于集合M，故对每一个k，对应具有性质P的集合M的个数为01111112tktktktktkCCC+−+−+−+−+−+++=，所以21222(1)2221221tttgt−+=++++=−．·········

································5分②当t为奇数时，1t+为偶数，故应该有12tk+≥，同理111222(1)22212221tttgt+−+=++++=−，····································7分综上，可得22()221

(1)()2221ttfttftftt+−+=+−，为偶数，，为奇数，又(2)5f=，由累加法解得212625()425ttttfttt+−−=−−，为偶数，，为奇数，即212625()425nnnnfnnn+−−=−−，为偶数，

，为奇数．·······················································10分