【文档说明】河南省漯河市高级中学2024-2025学年高二上学期8月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(15)页，1.430 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二上学期8月试题数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写

在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．在平行四边形ABCD中，点E满足2CEEB=，则AE=（）A．23ABAD+B．13+ABADC．14ABAD+D．34ABAD+2．

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A＝45°，2a=，3b=，则∠C＝（）A．60°B．75°C．60°或120°D．15°或75°3．已知复数2i1iz−=−，则z的虚部为（）A．12−B．12C．1i2−D．

1i24．已知数据1，2，3，5，m（m为整数）的平均数是极差的34倍，从这5个数中任取2个不同的数，则这2个数之和不小于7的概率为（）A．25B．310C．35D．125．已知函数()()sin0,0,2fxAxA=+的一段图象过点(0,1)，如图所示，则函数()fx

=（）A．()sin26fxx=+B．()2sin23fxx=+C．()sin23fxx=+D．()2sin26fxx=+6．已知ABCV中，1AC=，2AB=，3BC

=，点M为AB中点，连接CM．将ACM△沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，且平面ACM⊥平面BCM，则二面角ABCM−−的余弦值为（）A．21313B．1313C．23913D．557．已知正四棱台的体积为143，上、下底面边长分别为√2,2√2，其顶点都在同一球面上

，则该球的表面积为（）A．20πB．25πC．36πD．50π8．如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h厘米由关系式()()sinhtAt=+确定，其中0A，0，π.小球从最低点出发，经过2秒后，

第一次回到最低点，则下列说法中正确的是（）A．()πsinπ2htAt=+B．9t=秒与53t=秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为2C．当00tt时，若小球有且只有三次到达最高点，则

05,7tD．当1220tt时，若12,tt时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，则12πsin1tt=+二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部

分选对得3分，有选错的得0分。）9．某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的2000名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为)))))40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100，若同一组中数据用该组

区间中间值作为代表值，则下列说法中正确的是（）A．考生参赛成绩的平均分约为72.8分B．考生参赛成绩的第75百分位数约为82.5分C．分数在区间[60,70)内的频率为0.2D．用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本，则成绩在区间)70,80应抽取30人1

0．如图,在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M为11BC的中点，则下列说法中正确的是（）A．若点O为11CD的中点，则//MO平面1ADBB．连接BM，则直线BM与平面11BDDB成角正弦值为105C

．若点N为线段BC上的动点（包含端点），则MNDN+的最小值为17D．若点Q在侧面正方形11ADDA内（包含边界），且1MQAC⊥，则点Q的轨迹长度为211．设点D是ABCV所在平面内一点，O是平面上一个定点，则下列说

法正确的有（）A．若2133ADABAC=+，则D是BC边上靠近B的三等分点B．若coscosABACADABBACC=+，（R且0），则直线AD经过ABCV的垂心C．若ADxAByAC=+，且x，Ry，12xy+=，则BCD△是

ABCV面积的一半D．若平面内一动点P满足ABACOPOAABAC=++，（R且0），则动点P的轨迹一定通过ABCV的外心三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）12．在ABCV中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若ππ64A且22ba

ac−=，则1tantanAB+的取值范围为.13．在四边形ABCD中，2BCAD=，点P是四边形ABCD所在平面上一点，满足10100PAPBPCPD+++=.设,st分别为四边形ABCD与PAB的面积，则ts=.14．已知菱形ABCD的边长为2，π3ABC=．将DAC△沿着对角

线AC折起至DAC△，连结BD．设二面角DACB−−的大小为，当2π3=时，则四面体DABC的外接球的表面积为．四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）15．如图，在三棱柱111ABCAB

C−中，12ABAA==，1AC=，160BACAAB==，平面11AABB⊥底面ABC，,MN分别是11,ACAC的中点，P是1BC与1BC的交点．(1)证明：平面1//PBN平面1BAM；(2)求平面P

AB与平面1ACM夹角的余弦值．16．2024年3月31日，贵州铜仁梵净山春季马拉松在梵净山赛道成功举行，其中志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障.铜仁市文体广电旅游局承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组

)45,55，第二组)55,65，第三组)65,75，第四组)75,85，第五组85,95，绘制成如图所示的频率分布直方图.(1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第80百分位数；(2)现从以上各组

中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.

17．在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手（1到5号）登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2

名．观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中选3名歌手．（1）求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；（2）X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求“2X”的事件概率．18．如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，侧棱1AA⊥

平面ABCD，//ABCD，ABAD⊥，1ADCD==，12AAAB==，E为棱1AA的中点，M为棱CE的中点．(1)证明：1BCCE⊥；(2)求异面直线BM与AD所成角的余弦值；(3)求点1C到平面1BMB的距离．19．已知函数()2sin3co

ssin1fxxxx=+−.(1)求()fx的单调递增区间；(2)在锐角ABCV中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，2b=，且()12fA=，求ABCV面积的取值范围.数学答案1．B【详解】因为2CEEB=，所以13BEBC=，所以1133BAEABBEACADB

AB=+==++.2．D【详解】在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若∠A＝45°，2a=，3b=，利用正弦定理：sinsinabAB=，整理得23sin32sin22bABa===，所以B＝60°或120°.当B＝60°时，C＝75°，当B＝120°时，C

＝15°．3．A【详解】依题意，2i(2i)(1i)3i31i1i(1i)(1i)222−−++====+−−+z，则31i22z=−，所以z的虚部为12−.4．A【详解】当5m时，113(1)54mm

+=−，得5911m=（舍），当15m时，113(51)54m+=−，得4m=，当1m≤时，113(5)54mm+=−，得3119m=（舍），4m=，从1，2，3，5，4中任取2个数结果:(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),

(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)共10种，符合题意(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)，共4种，所以概率为42105=．5．D【详解】由图知，πT=，则2π2π==

.由图知，()fx在π6x=取得最大值，且图象经过π,012−，故ππsin0126fA−=−+=，所以π2π,6kk−+=Z，故π2π,6kk=+Z，又因为π2，所

以π6=，函数又经过(0,1)，故()π0sin16fA==，得2A=.所以函数()fx的表达式为()π2sin26fxx=+．6．B【详解】取CM的中点D，过点D作BC的垂线，垂足为E，连接'AE，则B

CDE⊥，因为在ABCV中，1AC=，2AB=，3BC=，点M为AB中点，所以90,1CAMBMCM====，则ACM△为等边三角形，所以60,120,30CMACMBMCBMBC====，'ADCM⊥，将ACM△沿直线CM折起，使得点A到达A'的位置，则'A

CM为等边三角形，''90,1CAMBMCMAC=====，12CD=，14DE=，'32AD=，因为平面ACM⊥平面BCM，且'AD平面ACM，ADCM⊥，平面ACM平面BCMCM=，所以'AD⊥平面BCM，因为BC平面BCM，所以'BCAD⊥，又因为'A

DDED=，',ADDE平面'ADE，所以⊥BC平面'ADE，又因为'AE平面'ADE，所以'AEBC⊥，则二面角A'-BC-M的平面角为'AED，在直角三角形'ADE中，22223113244AEADDE=+=+=，所以''1134cos13134DEAED

AE===，7．A【详解】在正四棱台1111ABCDABCD−中，22AB=，112AB=，体积为143，故143=13(2+8+√2×8)ℎ⇒ℎ=1则𝐵𝐷=√(2√2)2+(2√2)2=4，𝐵1𝐷1=√(√2)2+(√2)2=2，连接BD、AC

相交于点E，11BD、11AC相交于点F，设外接球的球心为O，若O在台体外，设O到底面ABCD的距离为h，则半径为𝑅=√𝐸𝐵2+ℎ2=√𝐵1𝐹2+(1+ℎ)2，即√4+ℎ2=√1+(1+ℎ)2，解得1h=，若O在台体内，O到底面ABCD的距离为h，则半径为𝑅=√𝐸𝐵2+ℎ2

=√𝐵1𝐹2+(1−ℎ)2，即√4+ℎ2=√1+(1−ℎ)2，解得1h=−，舍去，综上所述，1h=，故5R=，所以24π20πR=.8．B【详解】由题可知小球运动的周期2sT=，又0，所以2π2=，解得π=，当0st=时，sinAA

=−，即sin1=−，π，所以π2=−，则()πsinπcosπ2htAtAt=−=−，故A错误；因为()9cos9πhAA=−=，551cosπ332hAA=−=−，所以9t=秒与53t=秒时小球偏离于平衡位置的距离之比为212AA=−，故B正

确；若00tt，则00ππtt，又当00tt时，小球有且只有三次到达最高点，所以05ππ7πt，解得057t，即(05,7t，故C错误；因为()cosπhtAt=−，令114t=，234t=，则()1π2cos42htAA=−=−，()23π2cos4

2htAA=−=，满足1220tt且12,tt时刻小球偏离于平衡位置的距离相同，此时12πsinsinπ0tt==+，故D错误.9．BC【详解】对A，平均成绩为45005550156502750385029501725x=+++++=

．．．．．．．，故A错误；对B，由频率分布直方图知第75百分位数位于[80,90)内，则第75百分位数为0750780825002−+=．．．．，故B正确；对C，分数在区间[60,70)内的频率为0021002=．．，故C正确；对D

，区间)70,80应抽取2000360=．人，故D错误.10．ACD【详解】对于A，四边形11BDDB是正方体1111ABCDABCD−的对角面，则四边形11BDDB是矩形，11//BDBD，由点O、M分别为11CD、1

1BC的中点，得11////OMBDBD，BD平面1ADB，MO平面1ADB，因此//MO平面1ADB，A正确；对于B，连接11AC，则1111ACBD⊥，由1BB⊥平面1111DCBA，11AC平面1111DCBA，得111ACBB⊥，又1111111,,BB

BDBBBBD=平面11BDDB，则11AC⊥平面11BDDB，过M作11//MEAC交11BD于E，连接BE，于是ME⊥平面11BDDB，MBE是直线BM与平面11BDDB所成的角，111242MEAC==，22215BM=+=，1

0sin10MEMBEBM==，B错误；对于C，把正方形ABCD与正方形11BCCB置于同一平面内，且在直线BC两侧，连接DM，则MNDN+的最小值为224117DM=+=，C正确；对于D，延长MO与11AD的延长线交于H，由1111//,//MOBDBMDH，得11BMHD为平

行四边形，111DHBM==，取AD中点G，连接GH交1DD于F，连接1AD，由11//,AGDHAGDH=，得四边形1ADHG是平行四边形，1//GHAD，F为1DD的中点，由1CC⊥平面1111DCBA，1

1BD平面1111DCBA，得111CCBD⊥，又1111ACBD⊥，1111111,,ACCCCACCC=平面11ACC，则11BD⊥平面11ACC，而1AC平面11ACC，则111ACBD⊥，同理11

ACAD⊥，因此11,ACMOACGH⊥⊥，而MOGHH=，,MOGH平面MGH，于是1AC⊥平面MGH，又1ACMQ⊥，则MQÌ平面MGH，又Q平面11ADDA，因此点Q的轨迹是平面MGH与正方形11ADDA相交所得线段GF，而1122GFAD==，所以点Q的轨迹长度

为2，D正确.11．ABC【详解】对于A，由2133ADABAC=+可得，)13311(3ADABABACACAB=−−=−+，即得13BDBC=，故点D是BC边上靠近B的三等分点，故A正确；对于B，因()coscosABACADABBACC=+，则()()cos

coscoscosABACABBCACBCADBCBCABBACCABBACC=+=+coscos()()0coscosABBCBACBCCBCBCABBACC−=+=−+=，即ADBC⊥，故直线AD经过ABCV的垂心，即B

正确；对于C，因ADxAByAC=+，12xy+=，则222ADxAByAC=+，设2AMAD=，则22AMxAByAC=+，因221xy+=，故,,MBC三点共线，如图1所示，12DMAM=，故DBC△的BC边上的高是ABCV的BC边上的高的一半，故BCD△是ABCV

面积的一半，即C正确；对于D，由()ABACOPOAABAC=++可得，()ABACAPABAC=+，如图2，取00,||||ABACABACABAC==，则有00||||1ABAC==，以00,ABAC为两邻边作00ABDC，易知00ABDC是菱形，故

AD平分BAC，且00ADABAC=+故得，APAD=，故动点P的轨迹为BAC的平分线，即动点P的轨迹一定通过ABCV的内心，故D错误.12．231,3【详解】由余弦定理得2222cosacbacB+−=，将22baac−=代入，

则22cosaccacB=−，故2coscaaB−=，又由正弦定理得sinsin2sincosCAAB−=，且()sinsin=sincoscossinCABABAB=++，整理得()sinsinBAA−=，因为(),0,πAB，故BAA−=或BA

A−=−（舍去），得2BA=，于是211tan11tantantantan2tan2tanAAAABAA−+=+=+，由于ππ64A，则3tan,13A，而函数1yxx=+在3

,13上单调递增，所以143tan2,tan3AA+，即123tan1,tan3AB+.13．211【详解】在四边形ABCD中，2BCAD=，则四边形ABCD是梯形，且//ADBC，令2AD=，4BC=，记M，

N，X，Y分别是AB，CD，BD，AC的中点，显然//,//,//MXADNYADMNAD，于是点M，X，Y，N顺次共线并且1MXXYYN===，显然2PAPCPY+=，2PBPDPX+=，而10100PAPBPCPD+++=，则100PYPX+=，因此点P在线段XY上，且111

PX=，设A到MN的距离为h，由面积公式可知112211222311PABAPMABCDABCDSStPMhPMsSSMNhMN+======．14．283/283【详解】连接BD交AC于点O,由题意，点O为AC中点，且,BOACDOAC⊥⊥,则BOD即二

面角DACB−−的平面角.如图，设,MN分别是ACD△和BAC的外心，分别过点M作PM⊥平面ACD,过点N作PN^平面ABC,PMPNP=,则点P为四面体DABC的外接球球心.由,BOACDOAC⊥⊥，,,BODOOBODO=平面BOD¢,故得，AC⊥平面BOD

¢,又AC平面ACD，AC平面ABC，故得，平面BOD⊥平面ACD，平面BOD⊥平面ABC，故,,,PNOM四点共面.由2π3=可知π3PON=,133π2,tan13233ONPNON====，故四面体

DABC的外接球的半径为：22222371()33PBPNBN=+=+=,于是四面体DABC的外接球的表面积为2728π4π()33=.15．(1)证明见解析(2)15【详解】（1）连接,NPMN，因为,MN分别

是11,ACAC的中点，P是1BC与1BC的交点，所以NP为11ABCV的中位线，所以1//NPAB，又因为NP平面1BAM，1AB平面1BAM，所以//NP平面1BAM，又因为1//MNBB且1

MNBB=，所以四边形1MNBB为平行四边形，所以1//NBMB，因为1NB平面1BAM，MB平面1BAM，所以1//NB平面1BAM，又因为1NPNBN=，所以平面1//PBN平面1BAM；（2）因为12ABAA==，160AAB=，所以1AAB△是等边三角形，取AB的中点

为O，连接1AO，则1AOAB⊥，13AO=，又因为平面11AABB⊥底面ABC且交线为AB，所以1AO⊥底面ABC，因为2AB=，1AC=，60BAC=，所以3BC=，所以222ACBCAB+=，所以

90C=，所以取BC的三分之一等分点E，2BECE=，连接OE，则OEAB⊥以O为坐标原点，以OE所在的直线为x轴，以AB所在的直线为y轴，以1OA所在的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()310,1,

0,0,1,0,,,0,22ABC−−()133333,,0,0,2,3,,,44442MBP−，𝐴1(0,0,3)，则()1131331330,2,0,,,

,,,3,,,34422244ABBPACAM==−=−−=−−，设平面PAB的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，平面1ACM的法向量为𝑛⃗=

(𝑥2,𝑦2,𝑧2)，111120031300442ymABxyzmBP==−+==，令12x=，则110,1yz==−，所以()2,0,1m=−，同理可得，222112223130022

0333044xyznACnAMxyz−−===−−=，令23x=，则223,3yz=−=，所以()3,3,3n=−，所以()()2222223033,2015,33315mnmn=+−==++−==+−+=，所以31cos,5515mnmnmn===

，所以平面PAB与平面1ACM夹角的余弦值15.16．(1)69.5；77.5(2)11209【详解】（1）由图得(0.0050.020.0450.005)101a++++=，解得0.025a=，则500.05600.25700.

45800.2900.0569.5x=++++=，0.050.250.450.75++=，0.750.20.950.8+=，设第80百分位数为x，则[75,85)x，0.75(75)0.020.8x+−=，解得77.5x=，故这

100名候选者面试成绩的平均数为69.5，第80百分位数为77.5.（2）设第二组、第四组所有面试者的面试成绩的平均数、方差分别为221212,,,xxSS，且两组的频率之比为0.2550.24=，则第

二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数为562480709x+==，第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为：22222112254()()99SSxxSxx=+−++−225440(6270)50(8070)99

=+−++−52060099=+11209=，故第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差为11209.17．（1）415；（2）1725.【详解】（1）设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“

观众乙选中3号歌手”则()122323CPAC==，()243535CPBC==事件A与B相互独立，A与B相互独立则AB表示事件“甲选中3号歌手，且乙没选中3号歌手”()()()()()22413515PABPAPBPAPB==−==即观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手

的概率是415（2）设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则()243535CPCC==依题意，A，B，C相互独立，A，B，C相互独立，且ABC，ABC，ABC，ABC彼此互斥()()()()2322231333323553553557

5PXPABCPABCPABC==++=++=()()23318335575PXPABC====()()()331817223757525PXPXPX==+==+=故“2X”的事件的概率为172518．(1

)证明见解析；(2)1111；(3)105.【详解】（1）由1AA⊥底面ABCD，,ADAB平面ABCD，得11,AAADAAAB⊥⊥，而ABAD⊥，即直线1,,ADAAAB两两垂直，以点A为坐标原点，直线1,,ADAAAB分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则11111(1,0,

0),(1,0,1),(1,2,1),(0,2,2),(0,1,0),(,,)(0,0,0),(0,0,2)22,2ABDCCBEM，1(1,1,1)EC=，(1,0,1)BC=−，显然101111BCEC==−，即1BCEC⊥，所以1BC

CE⊥.（2）113(,,),(1,0,0)222BMAD=−=，2221112cos,11113()()()222BMADBMADBMAD===++−，所以异面直线BM与AD所成角的余弦值为1111.

（3）1113(,,),(0,2,0)222BBBM=−=，11(1,0,1)CB=−，设平面1BMB的法向量(,,)nxyz=，则1201130222nBBynBMxyz===+−=，令

1z=，得(3,0,1)n=，所以点1C到平面1BMB的距离11||2105||10nCBdn===.19．(1)πππ,π,63kkk−+Z(2)3,232【详解】（1）因为()2sin

3cossin1fxxxx=+−，所以()1cos23311sin21sin2cos222222xfxxxx−=+−=−−，即()π1sin262fxx=−−.令πππ2π22π,262kxkk

−−+Z,解得ππππ,63kxkk−+Z，所以()fx的单调递增区间为πππ,π,63kkk−+Z.（2）结合（1）问，因为()π1sin262fxx=−−所以()π11sin2622fAA=−−=,即πsin216A−=

，所以ππ22π,62Akk−=+Z，即3πAkπ=+,kZ.因为在锐角ABCV中，π0,2A,所以π3A=.因为2b=，所以11π3sin2sin2232ABCSbcAcc===.在ABCV中,由正弦定理可得s

insincbCB=，即sinsinbCcB=，在ABCV中易得()πsinsinsin3CABB=+=+,31π2cossin2sin22sin3cossin331sinsinsinsintanBBBbCBBcBBBBB+++=====+,因

为ABCV为锐角三角形，且π3A=，且易得2π3CB=−，所以π022ππ032BB−，得ππ,62B，所以3tan3B，易得3114tanB+，即14c，所以1

33sin,23222ABCSbcAc==.故ABCV面积的取值范围为3,232.