【文档说明】湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市2021-2022学年高二上学期期末调研考试数学试题 含解析.docx，共(22)页，1.304 MB，由envi的店铺上传

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2021年下学期期末调研考试试卷高二数学一､选择题：本题共8小题，每小题5分共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若两直线()1:1320laxy−−−=与()2:120lxay−++=平

行，则a的值为（）A.2B.2C.2−D.0【答案】A【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件可得(1)(1)(3)10aa−+−−−=，即可求a的值.【详解】由题意知：(1)(1)(3)10aa−+−−−=，整理得240a−=，∴2a=，故选：A2.若

抛物线2xmy=过点)(1,4−，则该抛物线的焦点坐标为（）A.10,16−B.1,016−C.)(1,0−D.)(0,1−【答案】A【解析】【分析】把点(1,4)−代入抛物线方程可得m，进而求出抛物线的标准方程，结合抛物线的性质，进而得到焦点坐标．【详解】抛物

线2xmy=经过点(1,4)−，41m−=，抛物线标准方程为214xy=−，抛物线焦点坐标为1(0,)16−．故选：A．3.若曲线xye=在0x=处的切线，也是lnyxb=+的切线，则b=（）A.1−B.1C.

2D.e【答案】C【解析】【分析】利用导数求得曲线xye=在0x=处的切线方程，并设该切线与曲线lnyxb=+切于点(),lnttb+，利用导数的几何意义求出切点的坐标，代入切线方程可求得实数b的值.【详解】对于函数xye=，exy=，则001xye===

，又001xye===，所以，曲线xye=在0x=处的切线方程为1yx−=，即1yx=+，设直线1yx=+与曲线lnyxb=+相切于点(),lnttb+，对于函数lnyxb=+，其导数为1yx=，由导数的几何意义可得11t=，得1t=，

所以，切点坐标为()1,b，代入切线方程得112b=+=.故选：C.【点睛】本题考查利用两曲线的公切线求参数，解题时要注意以下两点：（1）切线的斜率等于函数在切点处的导数值；（2）切点为函数图象与切线的公共点.4.在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在原点，焦点12,FF在x

轴上，离心率为22，过1F的直线l交椭圆于,AB两点，且2ABF的周长为16，则椭圆C的方程为A.22184xy+=B.221164xy+=C.221816xy+=D.221168xy+=【答案】D【解析】【分析】结合椭圆定义可知2ABF的周长为4a，由此求得a；利用离

心率可求得c；根据椭圆222bac=−可求得2b，进而得到椭圆方程.【详解】设椭圆方程为()222210xyabab+=由椭圆定义知：12122AFAFBFBFa+=+=2ABF的周长为4a即416a=，解得：4a=22cea

==22c=2221688bac=−=−=椭圆C的方程为221168xy+=故选：D【点睛】本题考查椭圆标准方程的求解，涉及到椭圆定义和离心率的应用问题.5.在等比数列{}na中，37,aa是函数321()

4913fxxxx=++−的极值点，则5a=A.4−B.3−C.3D.4【答案】B【解析】【详解】∵()3214913fxxxx=++−，∴由()2890fxxx=++=可知379aa=，378aa+=−∵等比数列中3527aaa=

且30a∴53a=−，故选B.6.已知过点(2,2)P的直线与圆22(1)5xy+−=相切，且与直线10axy−+=垂直，则=a（）A.12−B.12C.2−D.2【答案】B【解析】【分析】首先由点

P的坐标满足圆的方程来确定点P在圆上，然后求出过点P的圆的切线方程，最后由两直线的垂直关系转化为斜率关系求解.【详解】由题知，圆22(1)5xy+−=的圆心(0,1)C，半径5r=.因为222(21)5+−=，所以点(2,2)P在圆C上，所以过点P的

圆C的切线l与直线PC垂直，设切线l的斜率k，则有1PCkk=−，即21120k−=−−，解得2k=−.因为直线10axy−+=与切线l垂直，所以1ka=−，解得12a=.故选：B.7.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平

面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且2=PMMC，=PNND，=++NMxAByADzAP，则xyz++=（）A.23−B.23C.1D.56【答案】B【解析】【分析】由2=PMMC，=PNND，得21,32PMP

CPNPD==，然后利用向量的加减法法则把向量NM用向量,,ABADAP表示出来，可求出,,xyz的值，从而可得答案【详解】解：因为2=PMMC，=PNND，所以21,32PMPCPNPD==所以2132

NMPMPNPCPD=−=−21()()32ACAPADAP=−−−211()322ABADAPADAP=+−−+211366ABADAP=+−,因为=++NMxAByADzAP，所以211,,366xyz===−，所以23xyz++=，故选：B8.已知函数()fx是定义在(,0)(

0,)−+上的奇函数，()fx是()fx的导函数，且(1)0f−=，当0x时()()0xfxfx+，则使得()0fx成立的x的取值范围是（）A.(,1)(0,1)−−B.(1,0)(1,+)−C.(,1)(1,+)−−D.(1,0)(0,1)−【答

案】B【解析】【分析】构造函数()()Fxxfx=，根据题意可得()Fx的奇偶性与单调性，结合()Fx的图象即可求解．【详解】解：由题意可知，函数()fx是奇函数，令函数()()Fxxfx=，则函数()Fx为偶函数

，又当0x时，()()()0Fxxfxfx=+，所以函数()()Fxxfx=在(0,)+上单调递减，根据对称性可知，函数()()Fxxfx=在(,0)−上单调递增，又(1)0f−=，所以()1f(1)0f=−−=，所以()1F0=，函数()F

x的大致图象如图所示：数形结合可知，使得()0fx成立的x的取值范围是(1−，0)(1，)+．故选：B．【点睛】本题考查函数的性质、导数的应用，考查构造函数法，转化思想和数形结合思想，属于中档题．二､多选题：本题共4小题，每小题5分，共2

0分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知双曲线C过点()1,2且渐近线为3yx=，点P在双曲线C的一条渐近线上，O为坐标原点，F为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（）A.双曲线C的离心率为2B.双曲线

C的方程是2231xy−=C.||PF的最小值为2D.直线310xy−−=与C有两个公共点【答案】AB【解析】【分析】设双曲线的方程为()223,0xy−=，由双曲线C过点()1,2求出，判断B；再由离心率公式判断A；联立直线和双曲线方程判断D.【详解】设双曲线的方程为(

)223,0xy−=，由双曲线C过点()1,2可得()223121=−=，即双曲线C的方程是2231xy−=，故B正确；2231xy−=可化为22113xy−=，则3123,1,1333abc===+=，233233cea===，故A正确；由题意可得23,03F

，当直线PF与渐近线3yx=垂直时，||PF取最小值，且最小值2330314−=，故C错误；由2231031xxyy−=−−=，解得3,03xy==，即直线310xy−−=与C只有一个交点，故D错误；故选：AB10.已知递减的等差数列n

a的前n项和为nS，59SS=，则（）A.70aB.7S最大C.140SD.130S【答案】ABD【解析】【分析】根据项的正负可判断AB，利用前n项和与通项的关系可判断CD.【详解】因为59SS=，故67890aaaa+++=，

所以780+=aa，因为等差数列na为递减数列，故公差0d，所以780,0aa，故AB正确.又()147870Saa=+=，137130Sa=，故C错误，D正确.故选：ABD.11.下列说法错误的是（）A.

若直线210axy−+=与直线20xay−−=互相垂直，则1a=−B.直线sin20xy++=的倾斜角的取值范围是30,,44C.过()11,xy，()22,xy两点的所有直线的方程为112121yyxxyyxx−−=−−D.经过点(1,1)且

在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为20xy+−=【答案】ACD【解析】【分析】A．根据直线垂直的等价条件进行判断，B．根据直线斜率以及正切函数的图象和性质进行判断，C．当直线和坐标轴平行时，不满足条件．D．过原

点的直线也满足条件．【详解】解：A．当0a=，两直线方程分别为1y=和2x=，此时也满足直线垂直，故A错误，B．直线的斜率sink=−，则11k−剟，即1tan1−剟，则30,,44，故B正确，C．当12xx=，

或12yy=，时直线方程为1xx=，或1yy=，此时直线方程不成立，故C错误，D．若直线过原点，则直线方程为yx=，此时也满足条件，故D错误，故选：ACD．12.已知函数()322fxxaxb=−+，若()fx区间0,1的最小值为1−且最

大值为1，则a的值可以是（）A.0B.4C.332D.33【答案】AB【解析】【分析】先求导，分类讨论利用导数法研究函数的最值，即可求解【详解】()26263afxxaxxx=−=−，令()

603afxxx=−=，解得0x=或3a.①当0a时，可知()fx在0,1上单调递增，所以()fx在区间0,1的最小值为()0fb=，最大值为()12fab=−+.此时a，b满足题设条件当且

仅当1x=−，21ab−+=，即0a=，1b=−.故A正确.②当3a时，可知()fx在0,1上单调递减，所以()fx在区间0,1的最大值为()0fb=，最小值为()12fab=−+.此时a，b满足题设条件当且仅当21ab−+=−，1b=，即4a=，1b=.故B正确.③当0

<<3a时，可知()fx在0,1的最小值为3327aafb=−+，最大值为b或2ab−+或3127ab−+=−，1b=，则332a=，与0<<3a矛盾.若3127ab−+=−，21ab−+=，则33a=或33a=−或

0a=，与0<<3a矛盾.故C､D错误.故选：AB三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”，在某种玩法中，用表示解下(9,)

nnnN个圆环所需的移动最少次数，若11a=，且1121,22,nnnanaan−−−=+为偶数为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为______.【答案】16【解析】【分析】根据递推关系可以得到奇数项的递推关系式，判断奇数项为等比

数列，写出奇数项构成的数列的通项公式，由此可得5a的值，即为所求.【详解】由已知可得，当*Nn时，()21221212222124nnnnaaaa+−−=+=−+=,所以21na−是以11a=为首项，以4q=为公比的等比数列，∴112114nnnaaq−−−==

,∴31252314416aa−−====,故答案为：1614.已知函数()2lnkfxxxx=−−在()0,+上是单调递增函数，则实数k的取值范围是__________.【答案】1k³【解析】【分析】求出函数的导数，问题转化为22kxx−

+…，结合二次函数的性质求出k的取值范围即可．【详解】解：若()fx在(0,)+上是单调递增函数，则22()10kfxxx=+−…在(0,)+上恒成立，即22kxx−+…，222(1)11xxx−+=−−+„，故1k³，故答案为：1

k³15.如图，在三棱锥OABC−中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c，M为ABC内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为0a，0b，0c，则000abcabc++=______.【

答案】1.【解析】【分析】根据OABCMOBCMOACMOABVVVV−−−−=++，利用等体积法即可求得答案.【详解】如图，设点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的投影点分别为,,DEF，连接,,,,,,MDMEMFMAMBMCMO,则OABCMOBCMOACMOABVVVV−−−

−=++.而111326OABCVabcabc−==，()00000011111113232326MOBCVbcaacbabcbcaacbabc−=++=++，所以()000000111

66abcabcbcaacbabcabc=++++=.故答案为：1.16.我们通常称离心率为512−的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=，A1，A2分别为左､右顶点，B1，B2分别为上､下顶点，F1，F2分别为左､右焦点，P为椭圆上一点，现给出以下四

个条件：①2112212AFFAFF=；②11290FBA=；③1PFx⊥轴，且21POAB∥；④四边形的1221ABAB的内切圆过焦点1F，2F.其中能使椭圆C为“黄金椭圆”的条件是______和______.【答案】①.②##④②.④##②【解析】【分析】先求出椭

圆的顶点和焦点坐标，根据椭圆的基本性质求出离心率判断①；根据勾股定理以及离心率公式判断②；根据21POABkk=结合斜率公式以及离心率公式判断③；由四边形1221ABAB的一个内角11260=BAB即三角形121ABB是等边三角形，得到3ab=，结合离心率公式判

断④.【详解】由条件得到2(2)()()cacac=−−，即2cac=−或2cca=−（舍)，解得：15132ca−=，所以①不正确；若11290FBA=，则由射影定理可得：1122=OBFOOA，即2bca=，所以220caca+

−=，即2ee10+−=，e(0,1)，解得51e2−=；所以②正确；若1PFx⊥轴，如图可得2(,)bPca−，又21//POAB，则斜率相等，所以2bcaba=−−，即bc=，或2babc−=−−，显然不符合，所以222e2===+ccacc，所以③不

正确；因为四边形为菱形，若命题正确则内切圆的圆心为原点，由圆的对称性可知，圆心到直线21AB的距离等于c，因为直线21AB的方程为：1xyab+=，即0bxayab+−=，所以原点到直线的距离22abdab=+，由题意知：22abcab=+，又222bac=−，整理得：222222()(2)

aaccac−=−，42e3e10−+=，2e(0,1)，解得235e2−=，所以35525151e242−−+−===，所以④正确，故答案为：②，④．四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.17.解答下列各题：（1）求两条平行直线1:6810lx

y++=与2:3460lxy+−=间的距离.（2）求曲线331yx=−在点2,13处的切线方程.【答案】（1）1310（2）3310xy−+=【解析】【分析】（1）由两条平行直线之间的距离公式可到的答案；（2）求出曲线在点处的切线的斜率，再由直线点斜式方程可得答案..【小问1详解】2

:3460lxy+−=可化为2:68120+−=lxy，所以两条平行线间的距离11213103664+==+d.【小问2详解】因为213=f，所以2,13在曲线上，因为()()1331=

−fxx，所以()()()()12'13313131313fxxxx−−=−−=−，所以切线的斜率为()2322113kf−==−=，所以切线方程为213yx−=−，即3310xy−+=.18.已知数列na的前n项和为nS，且12nnaa+=+（*Nn），3412aa+

=.数列nb为等比数列，且1223,babS==.（Ⅰ）求na和nb的通项公式；（Ⅱ）设(1)nnnncab=−，求数列nc的前n项和nT.【答案】（1）21nan=−，3nnb=；

（2）()1341388nnnT+−=−−.【解析】【分析】（1）先得到数列na是以2为公差的等差数列，由3412aa+=求出首项，可得na的通项公式，由1223,babS==求出等比数列的首项与公比，从而可得

nb的通项公式；（2）利用（1）得()()()()()11213213nnnnnnncabnn=−=−−=−−，结合等比数列的求和公式，利用错位相减法可得结果.【详解】（1）由已知得：12nnaa+−=，数列

na是以2为公差的等差数列.3412aa+=，121012a+=，11a=，21nan=−.设等比数列nb的公比为q，12233,babS===，2339bqS===，3q=，3nnb=

.（2）由题意，得()()()()()11213213nnnnnnncabnn=−=−−=−−，()()()()()23133353213nnTn=−+−+−++−−，()()()()()()23131333233213nnnTnn+−=−

+−++−−+−−.上述两式相减，得()()()()()231432333213nnnTn+=−+−+−++−−−−()()()()2112313321313nnn−+−−−=−+−−−+()1341322nn+−=−−,

()1341388nnnT+−=−−.【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列通项公式基本量运算，以及等比数列的求和公式，错位相减法的应用，属于中档题.“错位相减法”求数列的和是重点也是难点，利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（一个等差数列

与一个等比数列的积）；②相减时注意最后一项的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q−.19.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度．（结果保留两位小数

）【答案】支柱A2P2的高度约为3.86m【解析】【分析】以O为原点，AB所在直线为x轴建立坐标系，圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52,将x=–2代入圆方程,可得到A2P2的高度.【详解】以O为原点，

AB所在直线为x轴建立坐标系，如图，则圆心在y轴，设圆心坐标（0，a）．由题意，P（0，4），A（–10，0），所以有（a–4）2=a2+100，解得a=–10.5，所以圆的方程为x2+（y+10.5）2=14.52，将x=–2代入圆方程，得4+（y+10.5）2=1

4.52，整理，得221960yy+−=，解得y=215332−+或y=215332−−（舍去）．所以A2P2=215332−+≈3.86（m），即支柱A2P2的高度约为3.86m．【点睛】直线与圆的方程的实际应用．解决直线与圆的实际应用题的步骤：（1）审题：从题目中抽象出几

何模型，明确已知和未知；（2）建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素；（3）求解：利用直线与圆的有关知识求出未知；（4）还原：将运算结果还原到实际问题中去．20.在如图所示的多面体中，ADBC∥且2ADBC=.ADCD⊥，EGAD∥且EGAD=，CDFG∥且2CDFG

=，DG⊥平面ABCD，2DADCDG===.（1）求点F到直线EC的距离；（2）求平面BED与平面EDC夹角的余弦值.【答案】（1）2（2）223【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质可得DGDA⊥，DGDC⊥，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，代入()22−CEEFEFCE

即可；（2）求出平面BED与平面EDC的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解.【小问1详解】因为DG⊥平面ABCD，DA平面ABCD，DC平面ABCD，所以DGDA⊥，且DGDC⊥，因为ADDC⊥，如图所示，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，

则(0,0,0)D，(2,0,0)A，(0,2,0)C，(0,0,2)G，(2,0,2)E，(0,1,2)F，(1,2,0)B，所以(222)=−CE,,，(2,1,0)=−EF，所以求点F到直线EC的距离为()2

22420412444CEEFEFCE−−+−=+−=++.【小问2详解】(1,2,0)DB=，(2,0,2)DE=设平面BED的法向量为1(,,)nxyz=，则1100==

DDnnBE，即20220xyxz+=+=，令1y=，有1()2,1,2n=−，设平面EDC的法向量为2(,,)nxyz=，则2200==DEnnCD，即20220yxz=+=，令1x=，有2(101)

n=,,-，设平面BED和平面EDC的夹角为，121212(2)0(2)422coscos,341410132nnnnnn−++−=====++++，所以平面BED和平面EDC的夹角的余弦值为223．21.已知椭圆2222:1xyCab

+=（0ab）离心率等于23，且椭圆C经过点52,3P.（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作倾斜角分别为,的两条直线PA，PB，设PA，PB与椭圆C异于点P的交点分别为A，B，若+=，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是

定值，请说明理由.【答案】（1）22195xy+=（2）直线AB的斜率是定值，为23【解析】【分析】（1）由题意得222342519caab=+=，再结合222abc=+可求出22,ab，从而可求出椭圆C的方程；（2）由

题意得，两条直线PA，PB的斜率均存在，且互为相反数，设直线PA为5(2)3ykx−=−，则直线PB为5(2)3ykx−=−−，设1122(,),(,)AxyBxy，然后将两直线方程分别代入椭圆方程中可求出12,xx，再求直线AB的斜率化简可得结果【小问1详解】因为椭圆22

22:1xyCab+=（0ab）离心率等于23，且椭圆C经过点52,3P，所以222342519caab=+=且222abc=+，解得229,5ab==，所以椭圆C的方程为22195xy+=【小问2详解】由题意得，两条直线PA，PB

的斜率均存在，且互为相反数，设直线PA为5(2)3ykx−=−，则直线PB为5(2)3ykx−=−−，设1122(,),(,)AxyBxy，将5(2)3ykx−=−代入22195xy+=，得2222(59)(3036)3660200kxkkxkk++−+−−=，所以212363025

9kkxk−+=+，所以21218301059kkxk−−=+，同理可得22218301059kkxk+−=+，所以212121212121(2)(2)(4)AByykxkxkxxkxxxxxx−−−−−−+−===−−−22222222183010183010459591830

101830105959kkkkkkkkkkkkk+−−−−+−++=+−−−−++22236204596059kkkkk−−−+=+22223620203659260359kkkkkk

−−−−+==+所以直线AB的斜率是定值，等于2322.已知函数2()lnfxaxx=−，Ra．（1）若()0fx，求a的取值范围；（2）若1a=−时，方程()3fxbx=−（Rb）在1[,2]2上恰有两个不等的实

数根，求实数b的取值范围．【答案】（1）1[,)2e+；（2）5ln)4[2,2+．【解析】【分析】(1)由给定成立的不等式分离参数，再构造新函数并探讨其最大值即可得解；(2)构造函数21()3ln(2)2Fxxxxbx=−++，探求其单调性并确定函数值的取值情况即可作答.

【详解】（1）函数2()lnfxaxx=−的定义域为(0,)+，22()0ln0lnfxaxaxxx−，设函数2ln()(0)xgxxx=，则312ln()xgxx−=，由()0gx得0xe，由()0gx得xe，即函数()gx在(0,)e递

增，在(,)e+递减，从而得xe=时，函数()gx取最大值1()2gee=，所以实数a的取值范围是1[,)2e+；（2）由题意：23ln0xxxb−++=在1[,2]2上恰有2个不相等的实数根，设函数21()3ln(2)2Fxxxxbx=−++，则(21)(1)()xxF

xx−−=，由()0Fx得12x，由()0Fx得112x，则()Fx在1[,1)2上递减，在(1,2]上递增，min()(1)2FxFb==−，15()ln2,(2)2ln2,24Fb

Fb=−−+=−++13(2)()2ln2024FF−=−，1(2)()2FF，而()3fxbx=−(Rb)在1[,2]2上恰有2个不相等的实数根，则有5ln20420bb−−−，解得5ln224b+，所以实数b的取值范围5l

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