【文档说明】甘肃省张掖市第二中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题含答案.doc，共(8)页，863.500 KB，由小赞的店铺上传

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张掖二中2020—2021学年度第二学期期中考试试卷高二数学（理科）命题人：苟丫丫审题人：彭万坤一、单选题(每小题5分，共12小题)1．若复数z满足iiz+=+1)2(，则复数z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限

D．第四象限2．（原创）复数iiz−+−=213的共轭复数为（）A．i5351+−B．i5351−−C．i5351+Di5351−．3．已知2nC＝10，则n的值为（）A．10B．5C．3D．24．设函数)(xf在R上可导，且=−+=→xfxffx2021)1()1(,2021)1

(lim0求（）A．1B．20211C．2021D．05．设直线1=y与y轴交于点A，与曲线3xy=交于点B，O为原点，记线段OA，AB及曲线3xy=围成的区域为．在内随机取一个点P，已知点P取在OAB内的概率等

于32，则图中阴影部分的面积为（）A．31B．41C．51D．326．下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是（）A．大前提无限不循环小数是无理数，小前提π是无理数，结论π是无限不循环小数B．大

前提无限不循环小数是无理数，小前提π是无限不循环小数，结论π是无理数C．大前提π是无限不循环小数，小前提无限不循环小数是无理数，结论π是无理数D．大前提π是无限不循环小数，小前提π是无理数，结论无限不循环小数是无理数7．在用反证法证明“已知Ryx,，且0

+yx，则yx,中至多有一个大于0”时，假设应为（）A．yx,都小于等于0B．yx,至少有一个大于0C．yx,都大于0D．yx,至少有一个小于等于08．函数)0,(|,sin|||ln)(−+=x

xxxxf的图象大致是（）A．B．C．D．9．已知函数xxxfsin2021)(+=，且218,2ln,23−===zyx，则)(),(),(zfyfxf的大小关系为（）A．)()()(zfyfxfB．)()()(zfxfyfC．)()()(x

fyfzfD．)()()(yfxfzf10．函数y=x2在区间[x0，x0+x]上的平均变化率为k1，在[x0﹣x，x0]上的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系是（）A．k1>k2B．k1<k2C．k1=k

2D．k1与k2的大小关系不确定11．下面给出了关于向量的三种类比推理：①由数可以比较大小，类比得向量可以比较大小；②由平面向量a的性质22||aa=，类比得到空间向量a的性质22||aa=；③由向量相等的传递性：若cbba==,，则ca=，可类比得到

向量平行的传递性：若a∥b，b∥c则a∥c.其中正确的是（）A．①②③B．①③C．②③D．②12．设)(xf是奇函数)(xf的导函数，0)1(=f，当)(2)(,0xfxfxx时，则使得0)(xf成立的x的取值范围是（）A．

(-1,0)∪(0,1)B．)1,0()1,(−−C．),1()0,1(+−D．),1()1,(+−−二、填空题（每小题5分，共4小题）13．已知函数3()2fxx=+，则=)2(f______．14．已知i是虚数单位，复数iiz−+=11，则=||z________．15

．=+20)cos(sindxxx__________．16．如图，有4个编号为1,2,3,4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，并且相邻的小三角形颜色不同，则

不同的涂色方法种数共有________．三、解答题（第17题10分，其余各题每题12分）17．（10分）7名同学，站成一排排队：（1）甲站在最中间的排法共有多少种？（2）甲、乙两名同学相邻的排法共有多少种？（3）甲、乙和丙三名同学都不能相邻的排法共有多少种？18．（12分）已知函数1)(−−

=xexfx(e是自然对数的底数).（1）求曲线)(xfy=在点))1(,1(f处的切线方程；（2）判断函数)(xf是否存在极值，若存在，求出极值；若不存在，说明理由.19．（12分）在数列}{na中，a1＝1，

3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2，n∈N*)．（1）由递推公式求3211,1,1aaa的值，并猜想}1{na的通项公式（2）求证：数列}1{na是等差数列并求数列}{na的通项公式．20．（12分）已知函数xaxxxf3)(23+−=．（1）若)(xf在),3[+上是增函数，求实数a

的取值范围；（2）若3=x是)(xf的极值点，求)(xf在],1[a上的最大值和最小值．21．（12分）（原创）设数列}{na的前n项和为nS，已知naSnn−=2.若1+=nnab*(nN)（1）计算321,,b

bb的值，并猜想}{nb的通项公式；（2）证明：数列1na+为等比数列，并求数列na的通项公式；（3）设nnbnc=，数列}{nc的前n项和为nT，求nT的值。22．（12分）已知函数)(ln)(Raax

xxf−=.（1）若)(xf存在极值，求a的取值范围；（2）当1−=a时，求证：1)(−xxexf.张掖二中2020—2021学年度第二学期期中考试试卷高二数学（理科）答案一、单选题(每小题5分，共12小题)1．Ciiz+=+1)2(,iiiz−

−=−+=121,复数z在复平面内对应的点（-1，-1）在第三象限2．A因为53121213iiiiiz−−=−−−=−+−=，所以z的共轭复数为i5351+−.3．B由020,1012)1(22=−−=−=nnnn

Cn，解得n＝5或n＝－4(舍)．4．A由导数定义可知，2021)1()1()1(lim0=−+=→xfxffx，所以1202120211)1()1(202112021)1()1(limlim00==−+=−

+→→xfxfxfxfxx.5．B联立====1113yxxyy．则曲边三角形OAB的面积为43411|)41()1(104103=−=−=−xxdxx，∵在内随机取一个点P，点P取在OAB内的概率等于32，∴点P取在阴影部分的概率等于31，∴图中阴影部分的面积为4131

43=．6．B解：A中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故A错误；C、D都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以C、D都不正确，只有B符合演绎推理三段论形式且推理正确，7．C“

yx,至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“yx,都大于0”．8．B函数)(|sin|||ln|)sin(|||ln)(xfxxxxxf=+=−+−=−，是偶函数，A不合要求．

当=x时，0lnsinln)(=+=f，C不合要求；而xxxfxcos1)(,0+=，令0)(=xf时，xyxycos,1−==在),0(上只有一个交点(如下图示)，即区间内只有一个极值点.D不合要求，B符合要求.9．B∵)()(xfxf−=−，函数)(xf为奇函数

，又0cos2021)(+=xxf，∴)(xf在R上单调递增．∵,2ln,2log,233===yxx又由对数的性质可知xy，且213log3=xy，而21221821==−z12118222z−==，∴()()()fyf

xfz，10．A由题意结合函数的解析式有：xxxxxxxxfxxfk+=−+=−+=020200012)()()(，xxxxxxxxxfxfk−=−−=−−=020200022)()()(，则xkk=−421，因为0x，所以k1>k2.11．D向量既有大小又有方向，所

以向量不能比大小，①错；当b为零向量，a与c为不共线的非零向量时，不满足向量平行的传递性，③错误；平面向量或空间向量a，均满足22||aa=，故②正确.12．B令2)()(xxfxg=，则3)(2)()(xxfxfxxg−=，当)(2)(,0xfxfxx时，即0

)(2)(−xfxfx，0)(xg，即函数)(xg在),0(+上单调递增．又)(xf是R上的奇函数，)()(xfxf−=−，)()()()(2xgxxfxg−=−−=−，故函数)(xg为奇函数，由奇函数的对称性可得)(xg在)

0,(−上单调递增．又0)1(=f，0)1(=−f，)1(0)1()1(−===gfg，．所以当x>!时0)(xg，当0<x<1时0)(xg，当-1<x<0时0)(xg，当x<-1时0)(xg，由0)(xf可得，只需0)(xg成立；

所以0)(xf的解集为)1,0()1,(−−二、填空题（每小题5分，共4小题）13．答案：12解析：23)(xxf=,=)2(f1214.答案：1，1||,22)1)(1()1(112===+−+=−+=ziiiiiiiz15．答案：2解析：2)1(1)0sin0cos(

)2sin2cos(|)sincos()cos(sin2020=−−=+−−+−=+−=+xxdxxx16．答案：260分为两类：第1类：若1,3同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有1种涂法(与1相同)，

4有4种涂法．故N1＝5×4×1×4＝80(种)．第2类：若1,3不同色，则1有5种涂法，2有4种涂法，3有3种涂法，4有3种涂法．故N2＝5×4×3×3＝180(种)．综上可知不同的涂法共有N＝N1＋N2＝

80＋180＝260(种).三、解答题（第17题10分，其余各题每题12分）17．（1）首先先把甲放在中间的位置，则问题可以看作余下的6个元素的全排列，共有72066=A种排列方法.……3分（2）先将甲、乙两名

同学“捆绑”在一起看成一个元素，有222=A种方法，再与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有72066=A种方法，∴这样的排法一共有14402266=AA种方法.……6分（3）先将其余四个同学排好有2444=A种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和

丙三名同学分别插入这五个“空”有35A种方法，∴一共有14403544=AA种.……10分18．（1）由题可得1)(−=xexf，……2分所以1)1(−==efk，……3分又由题可得2)1(−=ef，……4分所以曲线)(xfy=在点))1(,1(f处的切线方程为)1()1(−=−xkfy，即0

1)1(=−−−yxe.……6分（2）由（1）知1)(−=xexf，令0)(=xf，得x=0，……8分当x变化时，()fx的符号变化情况及()fx的单调性如下表所示：x(－∞，0)0(0，＋∞)()fx－0＋)(x

f减函数极小值f(0)增函数由上表可知：函数)(xf在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，……10分故存在极小值，且极小值为f(0)=0，不存在极大值．……12分19.（1）,71,41,11321===aaa……4分231−=nan……6分（2）证

明：由3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)，整理得当2n时，3111=−−nnaa……8分所以数列}1{na是以1为首项，以3为公差的等差数列．……10分可得na1＝1＋3(n－1)＝3n－2，所以an＝231−n．……12分20．（1）因为)(xf在),3[+上

是增函数，0323)(2+−=axxxf在),3[+上恒成立，……2分∴min)1(23xxa+，xxy1+=在),1[+上为增函数，当x=3时，,531023)1(23min==+xx……4分所以5a

……5分（2）3=x是)(xf的极值点0630)3(=−=af，有5=a)3)(13(3103)(2−−=+−=xxxxxf令331,0)(===xxxf或……6分x(1，3)3(3，5)()fx－0＋)(xf减函数极小值f(0)增函数)(xf在（

1,3）上单调递减，在（3,5）上单调递增；……8分当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9.又f(1)＝－1，f(5)＝15，……10分∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.……12

分21．（1）;2,111==ba;4,322==ba8,733==ba，猜想nnb2=……4分（2）证明：当1n=时，1112aa+=，则11a=.当2n时，()()111221221nnnnnnnaSSananaa−−−=

−=−−−+=−−，即121nnaa−=+，即()1121nnaa−+=+，所以数列1na+是首项为211=+a，公比为2的等比数列.因为12nna+=，所以21nna=−.……8分（3）nnnnbnc2==，用错位相消求和法得：nnnT22

32221321++++=①=nT213222)1(2221++−+++nnnn②①-②得：1321221212121+−++++=−nnnnT=22)1(1−−+nn22)1(1+−=+nnnT……12分22.（1）函数)(xf的定义域为)

,0(+，axxf−=1)(，……1分当0a时，对任意的0x，0)(xf，故)(xf在),0(+上单调递增，)(xf无极值；…………2分当0a时，令axxf1,0)(==当)1,0(ax时，0)(xf，)(xf单调递增；当)

,1(+ax时，0)(xf，)(xf单调递减.故)(xf在ax1=处取得极大值，无极小值.……4分综上所述，若)(xf存在极值，则a的取值范围为0a.……5分（2）当1−=a时，xxxexfxexx−−−=

−−ln1)(1.设xxxexhx−−−=ln1)(，其定义域为),0(+，则证明0)(xh即可.……6分xxexxhx1)1()(+−+=，设)()(xhxu=xxexx1)1(+−+=，则01)2()(2++

=xexxux，故函数)(xh在),0(+上单调递增.……8分0)12(3)21(−=eh，022)1(−=eh.……10分0)(=xh在)1,21(x上有唯一的实根0x，且010xex=，00ln

xx−=.当00xx时，0)(xh；当0xx时，0)(xh，故函数()hx的最小值为)(0xh.0111ln)()(0000000=−−+=−−−=xxxxexxhxhx.所以1)(−xxexf.……12分