【文档说明】宁夏回族自治区银川一中2023-2024学年高二上学期期中考试+数学+含解析.docx，共(27)页，1.897 MB，由小赞的店铺上传

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银川一中2023-2024学年第一学期高二年级期中考试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线2023yx=+的倾斜角为（）A.

π4B.π3C.2π3D.3π42.焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为23椭圆方程为（）A.2214xy+=B.2212xy+=C.2212yx+=D.2214yx+=3.在空间直角坐标系中，直线12,ll的方向量分别为()()2,1,

3,2,2,2ab=−=，则（）A.12ll⊥B.12ll//C.1l与2l异面D.1l与2l相交4.已知动点(,)Mxy满足2222(2)(2)4xyxy++−−+=，则动点M的轨迹是（）A.射线B.直线C.椭圆D.双曲线一支5.圆1C：()()22314xy−++=关于直线0xy+=对

称的圆2C的方程为（）A()()22314xy−+−=B.()()22134xy++−=C.()()22314xy+++=D.()()22134xy−++=6.双曲线()222210,0xyabab−=的离心率为2，则此双曲线的

渐近线倾斜角可以是（）A.π4B.2π3C.3π4D.5π67.过点()1,1A，()3,3B且圆心在直线3yx=上的圆与y轴相交于P，Q两点，则PQ=（）A.3B.32C.23D.48.如图所示，用一束与平面成60角的平行光线照射半径为3的球O，在平面上形成的投影为椭圆C的的.及其内部，

则椭圆C的（）A.长轴长为3B.离心率为22C.焦距为2D.面积为3π二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0

分）9.已知双曲线22:1169yxC−=−的焦点分别为12,FF，则下列结论正确的是（）A.渐近线方程为340xy=B.双曲线C与椭圆221259xy+=的离心率互为倒数C.若双曲线C上一点P满足122PFPF=，则12PFF△的周长为28D.若

从双曲线C的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为610.有关圆221:2880Cxyxy+++−=与圆222:4410Cxyxy+−−−=的下列哪些结论是正确的（）A.圆1C的圆心坐标为()1,4−−

，半径为5B.若,MN分别为两圆上两个点，则MN的最大距离为835+C.两圆外切D.若,PQ为圆2C上的两个动点，且4PQ=，则PQ的中点的轨迹方程为()()22225xy−+−=11.如图，在平行六面体1111ABCDABCD

−中，11ABADAA===，且1160AABAADBAD===，则下列说法中正确的有（）A.11BDAAADAB=+−B.13BD=C.1ACBD⊥D.直线1AC⊥平面11BDDB12.若实数x，y

满足曲线C：214yx=+-，则下列结论正确的是（）A.13yB.3yx+的最小值为15C.直线()33ykx=−+与曲线C恰有1个交点，则实数2,25kD.曲线C上有4个点到直线3460xy−

+=的距离为1.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线1l：410xay++=，2l：()26210axya++++=，当12ll∥时，a的值为__________.14.若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线220xy-+=经过椭

圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为______.15.设1F，2F分别是椭圆C的左，右焦点，过点1F的直线交椭圆C于M，N两点，若113MFFN=，且24cos5MNF=，则椭圆C的离心率为_____

____.16.已知()11,Mxy，()22,Nxy是圆C：()()22344xy−+−=上的两个不同的点，若22MN=，则1122xyxy+++的取值范围为___________．四、解答题：本大题共6小题

，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知离心率为54双曲线C与椭圆2214520xy+=的焦点相同.（1）求双曲线C的标准方程；（2）求双曲线C的焦点到渐近线的距离.18.已知圆22:3Cxy+=，直线

l过点()2,0A−.的（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的斜率；（2）线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.19.如图，在直三棱柱111ABCABC-中，16,8,10AAACABBC====，点D是线段BC的中点，（1）求证：1ABAC⊥（

2）求D点到平面11ABC距离；20.椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点()2,0且短轴长为2.（1）求椭圆C的标准方程：（2）过点()2,1且倾斜角为π4的直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴交于

点Q，P是椭圆C上的一点，求PQ的最小值.21.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，3ABBCCA===，1ADCD==，平面11AACC⊥平面ABCD，1AAAB⊥.（1）求证：1AA⊥平面ABCD；（2）若E为线段BC的中点，直线1AE与平面

ABCD所成角为45°，求平面1AAE与平面11AEC的夹角的余弦值.22.已知圆E：2222140xyx++−=，点M是圆E上的动点，点()2,0F，N为MF的中点，过N作SNMF⊥交ME于S，设点S的轨迹为曲线C.的（1）求曲线C的方程；（2）过点()0,1P的动直线l与

曲线C相交于A，B两点.在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使QAPAQBPB=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.银川一中2023-2024学年第一学期高二年级期中考

试数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直线2023yx=+的倾斜角为（）A.π4B.π3C.2π3D.3π4【答案】A【解析】【分析】设直线2023yx=+的倾斜角为()0π，然后利用斜率公式即可【

详解】设直线2023yx=+的倾斜角为()0π，由2023yx=+可得斜率tan1k==，即π4=故选：A2.焦点在y轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为23的椭圆方程为（）A.2214xy+=B.2212xy+=C.2212yx+=D

.2214yx+=【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，结合题干列出方程，即可.【详解】因为焦点在y轴上，故设椭圆方程为22221yxab+=，则22222332cab=−==，且2ab=，解得：224,1ab==，所以

椭圆的标准方程为2214yx+=.故选：D3.在空间直角坐标系中，直线12,ll的方向量分别为()()2,1,3,2,2,2ab=−=，则（）A.12ll⊥B.12ll//C.1l与2l异面D.1l与2l相交【答案】A【解析】【分析】应用空间向量数量积的坐

标运算，结合向量垂直表示即可确定直线的位置关系.【详解】由()()2,1,32,2,24260ab=−=+−=，故ab⊥，所以12ll⊥.故选：A4.已知动点(,)Mxy满足2222(2)(2)4xyxy++−−+=，则动点M的轨迹是（）A

.射线B.直线C.椭圆D.双曲线的一支【答案】A【解析】【分析】利用两点间的距离公式分析条件的几何意义可得.【详解】设()()122,0,2,0FF−，由题意知动点M满足12124MFMFFF−==|，故动点M的轨迹是射线.故选：A.5.圆1C：()()22314xy−

++=关于直线0xy+=对称的圆2C的方程为（）A.()()22314xy−+−=B.()()22134xy++−=C.()()22314xy+++=D.()()22134xy−++=【答案】D【解析】【分析】圆1C关于直线对称的圆2C之间的关系为：圆心关于直

线对称，半径相等.所以求出(3,1)−关于直线0xy+=对称的对称点即可解题.【详解】圆1C：()()22314xy−++=的圆心为(3,1)−，半径为2，设(3,1)−关于直线0xy+=对称的对称点

为(,)ab，则1(1)1331022baab+−=−−+−+=，解得13ab==−.(3,1)−关于直线0xy+=对称的对称点为(1,3)−，圆1C：()()22314xy−++=关于直线0xy+=对

称的圆2C的方程为()()22134xy−++=.故选：D.6.双曲线()222210,0xyabab−=的离心率为2，则此双曲线的渐近线倾斜角可以是（）A.π4B.2π3C.3π4D.5π6【答案】B【解析】【分析】由双曲线

的渐近线的斜率与双曲线的离心率的关系，以及直线斜率与倾斜角的关系即可求解.【详解】由于双曲线()222210,0xyabab−=的渐近线为byxa=，且注意到双曲线的离心率为cea=，又在双曲线中有平方关系：222cab=+，所以离心率为22221c

abbeaaa+===+，又由题意2e=，所以有2212ba+=，解得3ba=，即双曲线的渐近线的斜率为3ba=，由直线斜率和倾斜角的关系可知此双曲线的渐近线的倾斜角可以是2π3或π3.故选：B.7.过点()1,1A，()3,3B且圆心在直线3yx

=上的圆与y轴相交于P，Q两点，则PQ=（）A.3B.32C.23D.4【答案】C【解析】【分析】由题意设圆的圆心、半径分别为(),3,aar，则圆的方程为()()2223xayar−+−=，结合已知条件即可求出圆的方程，在圆的方程中令0x=，即可求出P，Q两点的坐标，由此即可得解.【详解】因为圆

心在直线3yx=上，所以设圆的圆心、半径分别为(),3,aar，则圆的方程为()()2223xayar−+−=，将()1,1A，()3,3B代入圆的方程有()()()()222222113333aaraar−+−=−+−=，解得214ar==，所以圆的方程为()()22134

xy−+−=，在圆的方程中令0x=得()2314y−+=，解得33y=，所以()()333323PQ=+−−=故选：C.8.如图所示，用一束与平面成60角的平行光线照射半径为3的球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则

椭圆C的（）A.长轴长为3B.离心率为22C.焦距为2D.面积为3π【答案】C【解析】【分析】先根据投影的特点确定椭圆C的a，b的取值与球O半径长之间的关系，再结合椭圆的性质计算离心率分别判断各个选项即可．【详解】.由题意知：,3,60OBABOBBAO

⊥==，32sin32OBOABAO===椭圆C的长轴长224aOA==，A错误；椭圆C短轴长为球O的直径，即223,3bb==,22431,abc=−=−=椭圆C的焦距为22c=，C正确；椭圆C的离心率1

2cea==，B错误；由图可知：椭圆C的面积大于球O大圆的面积，又球O大圆的面积3πS=，椭圆C的面积大于3π，D错误．故选：C．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分（在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知双曲线22:1169yxC−=−的焦点分别为12,FF，则下列结论正确的是（）A.渐近线方程为340xy=B.双曲线C与椭圆221259xy+=的离心率互为倒数C.若双曲线C上一点P满足122PFPF

=，则12PFF△的周长为28D.若从双曲线C的左､右支上任取一点，则这两点的最短距离为6【答案】CD【解析】【分析】根据椭圆和双曲线的定义及性质一一判定即可.【详解】由题意可得22:1916xyC−=，令22034916xyyx−==，故A错误；易知双曲线和椭圆的离心率分别为1291652

594,93255ee+−====，显然它们不互为倒数，故B错误；由双曲线的定义可知12236PFPF−==，若122PFPF=，则12216,12PFPFPFPF−===，又12216910FF=+=，故12PFF△的周长为121261210

28PFPFFF++=++=，故C正确；由双曲线的图象可知左右两支上距离最近的两点为左右顶点，故D正确.故选：CD10.有关圆221:2880Cxyxy+++−=与圆222:4410Cxyxy+−−−=下列哪些结论

是正确的（）A.圆1C的圆心坐标为()1,4−−，半径为5B.若,MN分别为两圆上两个点，则MN的最大距离为835+C.两圆外切D.若,PQ为圆2C上的两个动点，且4PQ=，则PQ的中点的轨迹方程为()()22225xy−+−=【答案】ABD【解析】【分析】对于A，将圆1C的方程化为标准方程即

可判断；对于B，画出图形结合三角不等式即可求解；对于C，由121212,,rrCCrr−+的关系即可判断；对于D，画出图形，结合垂径分线定理分析即可.【详解】对于A，将圆221:2880Cxyxy+++−=的方程化为标准方程得()()221425xy+++=，由此可知圆1C的圆心坐

标为()1,4−−，半径为5，故A选项正确；对于B，将圆222:4410Cxyxy+−−−=的方程化为()()22229xy−+−=，如图所示：不妨设,MN分别为两圆12,CC上两个点，四个点1212,,,CCMN共线，则由三角

不等式可知11221111MNMCCNCCMNMCCN+++=，的而12,MCCN分别为两圆12,CC的半径，即12125,3MrCrCN====，12CC是指两圆圆心()()121,4,2,2CC−−之间的距离，即()()2212121435CC=−−+−−=，所以11211

25353835CCMNMCCNMCCN+++=++=+，由等号成立的条件可知，当且仅当点M与点1M重合，点N与点1N重合时，11max835MNMN==+，故B选项正确；对于C，由B选项分析可知12121225335538rrCCrr=

−=−=+=+=，故两圆相交，而不是外切，故C选项错误；对于D，如图所示：由题意不妨设4PQ=，,PQ中点为R，则122PRPQ==，又由于()()222:229Cxy−+−=的半径为23r=，所以由垂径分线定理可知222222325CRrPR=−=−=，即225

CR=，所以点R的坐标为(),xy，又点2C的坐标为()2,2，所以()()22225xy−+−=，故D选项正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题的关键是对于B、D两选项的判断，因而是否能够准确作出图形、利用数学结合的思想来

判断B、D两选项是解题的关键.11.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，11ABADAA===，且1160AABAADBAD===，则下列说法中正确的有（）A.11BDAAADAB=+−B

.13BD=C.1ACBD⊥D.直线1AC⊥平面11BDDB【答案】ACD【解析】【分析】根据题意由空间向量的加减运算即可得A正确；将11BDAAADAB=+−两边平方利用向量数量积即可求得12BD=，可得B正确；由向量数量积计算可得10ACBD=，即C正确；易知1AC是平面11BD

DB的一个法向量，可得D正确.【详解】由平行六面体可知11DDAA=，所以111BDBAADDDAAADAB=++=+−，即A正确；设ABa=，ADb=，1AAc=，则{,,}abc为空间的一个基底，因为11ABADAA===，1160A

ABAADBAD===，所以2221abc===，12abbcca===rrrrrr，()2222221111()||||||2222BDAAADABcbacbacbcaba=+−=+−=+++−−=，可得12BD=

，故B错误；()1122()()()0ACBDABADAAADABabcbaababbacbca=++−=++−=−+−+−=即10ACBD=，所以1ACBD⊥，故C正确；在平面11BDDB上，取BD，1BB为基向

量，则对于平面11BDDB上任意一点P，存在唯一的有序实数对(,)，使得1BPBDBB=+．又1ACabc=+−，BDba=−，1BBc=，所以1111()()()0ACBPACBDACBBabcbaabcc=+=+−

−++−=．所以1AC是平面11BDDB的法向量．故D正确．故选：ACD．12.若实数x，y满足曲线C：214yx=+-，则下列结论正确的是（）A.13yB.3yx+的最小值为15C.直线()33ykx=−+与曲线C恰有1个交点，

则实数2,25kD.曲线C上有4个点到直线3460xy−+=的距离为1.【答案】AB【解析】【分析】首先画出曲线表示的半圆，再根据点与直线，直线与圆的位置关系逐项判断；【详解】对于A:曲线214yx=+-即()2214xy+−=图象是以(

)01，为圆心，2为半径的半圆，如图，13y，选项A正确；对于B:3yx+代表曲线半圆上的点与()3,0−的斜率，由图可知，曲线取点()2,1B时，斜率最小，()101235k−==−−，选项B正确；对于C：直线()33ykx=−+过定点()3,3A，由图可知，当直线位于,PAPB之间，或者

直线()33ykx=−+与曲线C相切时恰有1个交点，312,32PBk-==-()312325PAk-==--相切时22321kdk−==+，解得：0k=或125k=，故实数212,2055k，，选项C错误；对于D：如图，曲线上最多有2个点到直线3460xy−+=

的距离为1，D错误；故选：AB.的三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线1l：410xay++=，2l：()26210axya++++=，当12ll∥时，a的值为__________.【答案】4−【解析】【分析】根据两条直

线的平行关系求a的值，再把a的值代入直线方程验证平行关系，进而得出a.【详解】因为12ll∥，所以()26240aa+−=，解得4a=−或1a=.当1a=时，1l：410xy++=，2l：8220xy++=，此时1l与2l重合，不符合题意；当4a=−时，1l：4410xy−+=

，2l：2230xy−+−=，此时12ll∥，符合题意.综上，a的值为4−.故答案为：4−.14.若椭圆的对称中心在原点，焦点在坐标轴上，且直线220xy-+=经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为______.【答案】2215xy+=或22154yx+=【解析

】【分析】对椭圆的焦点进行分类讨论，求出,,abc的值即可.【详解】由于直线220xy-+=与坐标轴的交点为()2,0−与()0,1．①当焦点为()2,0−，顶点为()0,1时，此时椭圆焦点在x轴上，且1b=，2c=，所以22222125abc=+=+=

所以椭圆的标准方程为2215xy+=．②当焦点为()0,1，顶点为()2,0−时，此时椭圆焦点在y轴上，且2b=，1c=，所以22222215abc=+=+=所以椭圆的标准方程为22154yx+=．综上所述，椭圆的标准方程为

2215xy+=或22154yx+=．故答案为：2215xy+=或22154yx+=．15.设1F，2F分别是椭圆C的左，右焦点，过点1F的直线交椭圆C于M，N两点，若113MFFN=，且24cos5MNF=，则椭圆C的离心率为_________.【答案】2

2##122【解析】【分析】如图，设1FNx=，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得3ax=，后在12NFF△由余弦定理可得122FFa=，即可得答案.【详解】如图，设1FNx=，则13MFx=，4MNx=.又由椭圆定义可得2223,2MFaxFNax=−=−.则在2MNF中，由余弦定理可得

:()()()222222222162234425825MNNFMFxaxaxMNNFxax+−+−−−==−()222288410101681868253xaxaxaxaxxxaxxxax+=+=−

==−.则125,33aaFNNF==，则在12NFF△由余弦定理可得：2222121212255422299335aaaaFFFNFNFNFNa=+−=+−=.又1222222cFFcacea====.故答案为：2216.已知()11,Mxy，()

22,Nxy是圆C：()()22344xy−+−=上的两个不同的点，若22MN=，则1122xyxy+++的取值范围为___________．【答案】10,18【解析】【分析】1122xyxy+++为()11,Mxy和()22,Nxy到直线0xy

+=距离之和的2倍，是MN的中点P到直线0xy+=距离的22倍，利用P点轨迹，求取值范围.【详解】由题知，圆C的圆心坐标()3,4C，半径为2，因为22MN=，所以CMCN⊥．设P为MN的中点，所以2CP=，所以点

P的轨迹方程为()()22342xy−+−=．点P的轨迹是以()3,4C为圆心半径为2的圆.设点M，N，P到直线0xy+=的距离分别为1d，2d，d，所以1112xyd+=，2222xyd+=，122ddd+=，所以()11221

2222xyxyddd+++=+=．因为点C到直线0xy+=的距离为347222+=，所以72722222d−+，即529222d，所以102218d．所以1122xyxy+++的取值范围为10,18

．故答案为：10,18【点睛】思路点睛：利用1122xyxy+++的几何意义，问题转化为为()11,Mxy和()22,Nxy到直线0xy+=距离之和，再转化为MN的中点P到直线0xy+=距离，由P点轨迹是圆，可求取值范围.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解

答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知离心率为54的双曲线C与椭圆2214520xy+=的焦点相同.（1）求双曲线C的标准方程；（2）求双曲线C的焦点到渐近线的距离.【答案】（1）221169xy−=（2）3【解析】【分析

】（1）根据已知条件取得双曲线的,,abc，从而求得双曲线的标准方程.（2）利用点到直线的距离公式求得正确答案.【小问1详解】椭圆2214520xy+=的焦点坐标为()5,0，设双曲线的方程为()22221

0,0xyabab−=，222cab=+，所以双曲线的半焦距5c=.又由54ca=，得4a=，所以3b=，所以双曲线C的标准方程为221169xy−=.【小问2详解】由（1）知，双曲线C的焦点坐标为()5,0，渐近线方程为340xy=，所以双曲线C的焦点到渐近线的距

离为()223540334=+.18.已知圆22:3Cxy+=，直线l过点()2,0A−.（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的斜率；（2）线段AB的端点B在圆C上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】（1）3（2）223(1)4xy++=【解析】【分析】（1）

设出直线l的方程，利用圆心到直线的距离等于半径，建立方程，解出即可；（2）建立点M和点A之间的关系式，再利用点A的坐标满足的关系式得到点M的坐标满足的条件，即可求出.【小问1详解】已知C的圆心是()0

,0O，半径是3，设直线斜率为,k则直线方程是()2ykx=+，即20kxyk−+=，则圆心到直线距离为2231kk=+，解得直线的斜率3k=.【小问2详解】设点()()00,,,MxyBxx则，由点M是AB的中点得，

0022,02xxyy−=+=所以00222xxyy=+=①因B在圆C上运动，所以2200:3Cxy+=②①代入②得，22(22)(2)3,xy++=化简得点M的轨迹方程是223(1)4xy++=.为19.如图，在直三棱柱111

ABCABC-中，16,8,10AAACABBC====，点D是线段BC的中点，（1）求证：1ABAC⊥（2）求D点到平面11ABC的距离；【答案】（1）证明见解析（2）322【解析】【分析】（1）利用勾股定理证得ABAC⊥，再由线面垂直得线线垂直，进而线面垂直得线线垂直；（2）建立空间直

角坐标系，利用点面距离的向量公式求解即可.【小问1详解】ABC中，6,8,10ACABBC===，所以ABAC⊥，在直三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥平面ABC，AB平面ABC，所以1AAAB⊥，又因为1AAACA=，A

C平面11ACCA，1AA平面11ACCA，所以AB⊥平面11ACCA，1AC平面11ACCA，所以1ABAC⊥.【小问2详解】由（1）知，1AA⊥平面ABC，AB平面ABC，AC平面ABC，所以11,AAABAAAC⊥⊥，又ABAC⊥，如图

建立空间直角坐标系Axyz−，则()()()()113,4,0,0,0,6,0,8,6,6,0,0DABC，()()1116,0,6,0,8,0ACAB=−=，设平面11ABC的一个法向量为(),,nxyz=r，则11166

080nACxznABy=−===，解得0xzy==，令1z=，则()1,0,1n=，设D到平面11ABC的距离为d，由()3,4,0CD=−得33222CDndn===.20.椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点()2,0且

短轴长为2.（1）求椭圆C标准方程：（2）过点()2,1且倾斜角为π4的直线l与椭圆C交于A、B两点，线段AB的中垂线与x轴交于点Q，P是椭圆C上的一点，求PQ的最小值.【答案】（1）2212xy+=（2）223【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何

性质即可求解.（2）由直线l和椭圆方程式联立得线段AB的中点坐标，得到线段AB的中垂线方程，由此求得Q的坐标，再由椭圆的参数方程得P的坐标，再由两点间的距离公式和复合函数求最值即得.【小问1详解】由题意设椭圆

C的方䄇为()222210xyabab+=，因为椭圆C经过点()2,0且短轴长为2，所以2,1ab==，所以椭圆的标准方程为2212xy+=.【小问2详解】由已知得直线l的方程为1yx=−，设()()1,1

2,2,AxyBxy，将直线1yx=−代入2212xy+=，得2340xx−=，解得403x=或，不妨设10x=则11y=−；同理得2241,33xy==，的即()410,1,,33AB−，所以线段AB的中点坐标21,33

−，所以线段AB的中垂线PQ的方程为13yx=−+，因为线段AB的中垂线PQ与x轴交于点Q，所以令0y=得13x=，得1,03Q，因为椭圆的标准方程为2212xy+=.所以设椭圆的参数方程为2cosαs

inαxy==，0,2π，因为P是椭圆C上的一点，所以()2cosα,sinαP,所以222212210282cosαsinαcosα-cosαcosα33939PQ=−+=+=−+，因为0,2

π，所以1cosα1−，当2cosα3=时，PQ取得最小值为223.21.如图，在四棱柱1111ABCDABCD−中，3ABBCCA===，1ADCD==，平面11AACC⊥平面ABCD，1AAAB⊥.（1）求证：1AA⊥平面ABCD；

（2）若E为线段BC的中点，直线1AE与平面ABCD所成角为45°，求平面1AAE与平面11AEC的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）155.【解析】【分析】（1）由平面11AACC⊥平面ABCD，证明BD⊥平面11AACC，

得1AABD⊥，又1AAAB⊥，可证明1AA⊥平面ABCD.（2）以A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面夹角的余弦值.【小问1详解】连接BD，设ACBDF=，由BABC=，DADC=，得BD是线段AC的垂直平分线，即有BD

AC⊥，平面11AACC⊥平面ABCD，平面11AACC平面ABCDAC=，BD平面ABCD，于是BD⊥平面11AACC，而1AA平面11AACC，则1AABD⊥，又1AAAB⊥，,ABBD平面ABCD，ABBDB=，所以1AA⊥平面ABCD.【小问2详解】由

3ABBCCA===，得60BAC=，又1ADCD==，3AC=，1322AFAC==，则30DAC=，于是90DAB=，又1AAAB⊥，1AAAD⊥，则以1,,ABADAA为正交基底，建立空间直角坐标系Axyz−，在AB

C中，E为BC中点，即有3322AEAB==，由1AA⊥平面ABCD，得1AEA为1AE与平面ABCD所成角，即145AEA=，有132AAAE==，则130,0,2A，333(,,0)44E，1333(,,)222C，(

3,0,0)B，33(,,0)22C，由1AA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，得1BCAA⊥，又BCAE⊥，1,AEAA平面1AAE，1AEAAA=，则BC⊥平面1AAE，于是平面1AAE的一个法向量为33(,,0)22mBC==−，设平面11AEC的一个法向

量为(),,nxyz=r，13333(,,)442AE=−，1133(,,0)22AC=，则1113333044233022nAExyznACxy=+−==+=，取1y=−，得(3,1,1)n=−，设平面1AAE与平面11AEC的夹角为，则2222233|3(

1)|||1522cos5||||33()()(3)(1)122mnmn−+−===−++−+，所以平面1AAE与平面11AEC的夹角余弦值为155.22.已知圆E：2222140xyx++−=，点M是圆E上的动点，点()2,

0F，N为MF的中点，过N作SNMF⊥交ME于S，设点S的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点()0,1P的动直线l与曲线C相交于A，B两点.在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使QAPAQBPB=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）22142xy+=（2）存在点(0,2)Q满足题意．【解析】【分析】（1）由动点的位置特征，判断出轨迹为椭圆，待定系数法求方程；（2）当直线l与y轴垂直时，得点Q必在y轴上；当直线l与x轴垂直时，得点Q的坐标只可能是(0,2)Q；再证明直线l斜率存

在且(0,2)Q均满足条件即可．【小问1详解】依题意可知圆E的标准方程为()22216xy++=，圆心()2,0E−，因为线段MF的垂直平分线交ME于点S，所以SMSF=，动点S始终满足422SESFSESMEMEF+=+===，

故动点S满足椭圆的定义，曲线C是以,EF为焦点的椭圆，设椭圆方程为22221xyab+=，因此22422ac==，，解得22abc===，，椭圆C的方程为22142xy+=.【小问2详解】存在与点P不同的定点(0,2)Q，使得||||||||=Q

APAQBPB恒成立．理由如下：当直线l与x轴平行时，由椭圆的对称性可知PAPB=，又因为||||||||=QAPAQBPB得，则QAQB=，从而点Q必在y轴上，可设0(0,)Qy，当直线l与x轴垂直时，则()()0,2,0,2AB−，如果存在定点Q满足条件，由||||||||=QA

PAQBPB，即00|2|21|2|21yy−−=++，解得01y=或02y=，若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点坐标只能是(0,2)；当直线l不平行于x轴且不垂直与x轴时，可设直线l的方程为1ykx=+，联立221

142ykxxy=++=，消去y并整理得：()2212420kxkx++−=，22(4)8(12)0kk=++，设A、B的坐标分别为()11,Axy、()22,Bxy，122412kxxk+=−+，122212xxk=−+，

又点B关于y轴对称的点B的坐标为2(x−，2)y，又11111211AQykxkkxxx−−===−，22222211QBykxkkxxx−−===−+−−，121220AQQBxxkkkxx+−=−=AQQBkk=，则Q、

A、B三点共线，12||||||||||||||||xQAQAPAQBQBxPB===；故存在与点P不同的定点(0,2)Q，使得||||||||=QAPAQBPB恒成立．【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题

目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、

弦长、斜率、三角形的面积等问题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com