【文档说明】江西省莲塘第二中学2020-2021学年高二第一学期期末考试数学（理）试卷 含答案.doc，共(10)页，212.500 KB，由管理员店铺上传

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2020-2021学年第一学期期末考试高二理科数学考试时间：120分钟总分150分一、单选题（5*12=60）1．在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．下列说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x

≠1”B．若a，b∈R，则“ab≠0”是“a≠0”的充分不必要条件C．命题“∃x0∈R，x20＋x0＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1>0”D．若“p且q”为假命题，则p，q全是假命题3．已知p：|x＋1|>2，q：x>a，且p是q的充分不必要条件

，则a的取值范围是()A．a≤－3B．a≥－3C．a≤1D．a≥14．将自然数0,1,2，…按照如下形式进行摆列：根据以上规律判定，从2020到2022的箭头方向是()5．由曲线y＝x，直线y＝x所围

成的封闭图形的面积是()A.16B.12C.23D．16．关于x的方程x3－3x＋3－a＝0有三个不同实根，则实数a的取值范围是()A．(1，5)B．(－∞，1)C．(0，5)D．(5，＋∞)7．已知双曲线

x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为()A.x24－y24＝1B.x28－y28＝1C.x24－

y28＝1D.x28－y24＝18．已知直线ax＋y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则直线与抛物线相交弦的弦长为()A．6B．7C．8D．99．已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝

f(x)相切，则直线l的方程为()A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝010．已知f(x)＝14x2＋sinπ2＋x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是()11．已知函数f(x)＝lnx＋12ax2－2x有两个极值点，

则实数a的取值范围是()A．(－∞，1)B．(0，2)C．(0，1)D．(0，3)12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f′(x)，若对任意的x>0都有2f(x)＋xf′(x)>0成立，则()A．4f(－2)<9f(3)B．4f(－2)>9f(3)C．2f

(3)>3f(－2)D．3f(－3)<2f(－2)二、填空题（5*4=20）13．i是虚数单位，21－i2020＋1＋i1－i7＝________.14．定积分的值为________.15．若P为曲线y＝lnx上一动点，Q为直线y＝x＋1上一动点，则|PQ|mi

n＝________.16．已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cosx，x∈(－1,1)，且f(0)＝0，如果f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________．三、解答题17．

已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立；命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．(1)若p为真命题，求m的取值范围；(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围

．18．已知函数f(x)＝(x－a)ex(a∈R)．(1)当a＝2时，求函数f(x)在x＝0处的切线方程；(2)求f(x)在区间[1,2]上的最小值．19．已知函数f(x)＝xlnx(x>0)．(1)求f(x)的单调区间和极值；(2

)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥－x2＋mx－32恒成立，求实数m的最大值．20．已知中心为坐标原点O，焦点在y轴上的椭圆M的焦距为4，且椭圆M过点(1，3)．(1)求椭圆M的方程；(2)若过点C(0,1)的直线l与椭圆M交于A，B两点，AC→＝2CB→，求直线l的方程．

21．已知函数f(x)＝x＋1ex(其中e≈2.718…为自然对数的底数)．(1)若F(x)＝f(x)－f(－x)，求F(x)的单调区间；(2)若方程f(x)＝kx＋32在(－2，＋∞)上有两个不同的实数根，求实数k的取值范围．22

．在直角坐标系xOy中，曲线C1：x＝3cosθ，y＝2sinθ(θ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ－2cosθ＝0.(1)求曲线C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1上有一动点M，曲线C2上有一动点N，求|MN

|的最小值．2020-2021学年第一学期期末考试高二理科数学答案一、单选题（5*12=60）1.D2.B3．D4．A5．A6．A7.B8．C9．B10．A11．C12．A二、填空题（5*4=20）13－1－i14．-115．216．(1，2)三、解答

题17.解(1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．(2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成

立，∴m≤x，命题q为真时，m≤1.∵p且q为假，p或q为真，∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．当p真q假时，则1≤m≤2，m>1，解得1<m≤2；当p假q真时，m<1或m>2，m≤1，即m<1.综上所述，m的取值范围为18.解f′(x)＝(x＋1－a)e

x.(1)当a＝2时，f′(x)＝(x－1)ex.∴f(0)＝－2，f′(0)＝－1，∴所求切线方程为y＋2＝－x，即x＋y＋2＝0.(2)令f′(x)＝0得x＝a－1.①若a－1≤1，则a≤2.当x∈[1,2]时，f′(x

)≥0，则f(x)在[1,2]上单调递增．∴f(x)min＝f(1)＝(1－a)e；②若a－1≥2，则a≥3.当x∈[1,2]时，f′(x)≤0，则f(x)在[1,2]上单调递减．∴f(x)min＝f(2)＝(2－a)e2；③若1<a－1<2，则2<a<3.f′(x)，f

(x)随x的变化情况如表：∴f(x)的减区间为(1，a－1)，增区间为(a－1,2)，∴f(x)min＝f(a－1)＝－ea－1.综上可知当a≤2时，f(x)min＝(1－a)e；当a≥3时，f(x)min＝(

2－a)e2；当2<a<3时，f(x)min＝－ea－1.19．解(1)由题意知f′(x)＝lnx＋1，令f′(x)>0，得x>1e，令f′(x)<0，得0<x<1e，∴f(x)的单调增区间是1e，＋∞，单调减区

间是0，1e，f(x)在x＝1e处取得极小值，极小值为f1e＝－1e，无极大值．(2)由f(x)≥－x2＋mx－32及f(x)＝xlnx，得m≤2xlnx＋x2＋3x，问题转化为m≤2xlnx＋x2＋3xmin.令g(x)＝2xlnx＋x2＋3x(

x>0)，则g′(x)＝2x＋x2－3x2，由g′(x)>0⇒x>1，由g′(x)<0⇒0<x<1.所以g(x)在(0,1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g(x)min＝g(1)＝4，即m≤4，所以m的最大值是

4.20．解(1)设椭圆M的方程为y2a2＋x2b2＝1(a>b>0)．∵2c＝4，∴c＝2，∴a2－b2＝c2＝4.又椭圆M过点(1，3)，∴3a2＋1b2＝1.由a2－b2＝4，3a2＋1b2＝1，解得a2＝6，b2＝2，∴椭圆M的方程为y26＋x22＝1.(2)当直线l的斜率不存在

时，直线l的方程为x＝0.此时点A，B的坐标分别为(0，－6)和(0，6)，不满足＝2，∴直线l的斜率一定存在．设直线l的方程为y＝kx＋1，由y＝kx＋1，y26＋x22＝1，消去y并整理，得(3＋k2)x2＋2kx－5＝0.∵直线l与椭圆交于A，B两点，∴Δ＝4k2＋

20(3＋k2)＝24k2＋60>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2k3＋k2，x1x2＝－53＋k2.又∵＝2，∴(－x1,1－y1)＝2(x2，y2－1)，∴x1＝－2x2，∴x1＋x2＝－x2＝－2k3＋k2，∴x2＝2k3＋k2；x

1x2＝－2x22＝－53＋k2，∴8k2(3＋k2)2＝53＋k2，即8k23＋k2＝5，解得k2＝5，满足Δ>0.∴k＝±5.故直线l的方程为y＝±5x＋1.21．解(1)由题意知，F(x)＝f(x)－f(－x)＝x＋1ex－－x＋1e－x，所以F′(x)＝－xex＋xex＝x

ex－1ex.当x<0时，ex－1ex<0，所以xex－1ex>0，即F′(x)>0，当x＝0时，F′(x)＝0，当x>0时，ex－1ex>0，即F′(x)>0，所以F′(x)≥0恒成

立，当且仅当x＝0时等号成立，所以F(x)＝f(x)－f(－x)在R上单调递增，即F(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．(2)因为f(x)＝x＋1ex，所以f′(x)＝－xex，当x<0时，f′(x)>0，当x＝0时，f′(x)＝0，当x>0时，f′(x)<0，故函数f(x

)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x＝0处取得最大值，且f(0)＝1，当x趋近于－∞时，f(x)趋近于－∞，当x趋近于＋∞时，f(x)趋近于0，故函数f(x)的大致图象如图所示，结合函数图象可知，当k≤0时，方程f(x)＝k

x＋32有且仅有一个实数根．22．解①由ρ－2cosθ＝0得ρ2－2ρcosθ＝0.∵ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x，∴x2＋y2－2x＝0，即曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.②由①可

知，圆C2的圆心为C2(1,0)，半径为1.设曲线C1上的动点M(3cosθ，2sinθ)，由动点N在圆C2上可得|MN|min＝|MC2|min－1.∵|MC2|＝(3cosθ－1)2＋4sin2θ＝

5cos2θ－6cosθ＋5，∴当cosθ＝35时，|MC2|min＝455，∴|MN|min＝|MC2|min－1＝455－1.