【文档说明】安徽省滁州市定远县民族中学2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题 含解析.docx，共(16)页，1.174 MB，由小赞的店铺上传

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2021-2022学年度第二学期高一期中考试数学试题第Ⅰ卷（选择题60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)1.已知正方形ABCD的边长为6，M在边BC上且3BCBM=，N为DC的中点，则AMBN=A.-6B

.12C.6D.-12【答案】A【解析】【分析】以向量,BABC为基底，将,AMBN用基底表示，结合向量数量积的运算律，即可求解.【详解】由M在边BC上且3BCBM=，N为DC的中点，13AMBMBABCBA=−=−，1122BNBCCNBCCDBCBA=+=+

=+，11()()32AMBNBCBABCBA=−+2215112186362BCBCBABA=−−=−=−.故选：A.【点睛】本题考查向量基本定理以及向量的数量积运算，考查计算求解能力，属于基础题.2.已知a→，b→为平面向量，且()4,3a→=，()23,18ab→→+

=，则a→，b→夹角的余弦值等于（）A.865B.－865C.1665D.－1665【答案】C【解析】【分析】先根据向量减法得b→，再根据向量夹角余弦值的坐标公式计算即可得答案.【详解】∵()4,3a→=，∴()28,6a→=．

又()23,18ab→→+=，∴()5,12b→=−，∴()4531216ab→→=−+=．又22435a→=+=，()2251213b→=−+=，∴1616cos,51365ababab→→→→→→===．故选：C.3.在ABC中，30A=，3b=，1c=，则=a

（）A.2B.3C.2D.1【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理即可求出a的值．【详解】解：因30A=，3b=，1c=，2222cosabcbcA=+−2231231cos30=+−1=，

故1a=．故选：D．【点睛】本题考查余弦定理的应用，属于基础题．4.在锐角中ABC，角,AB所对的边长分别为,ab.若2sin3,aBbA=则角等于A.12B.6C.4D.3【答案】D【解析】【详解】试题分析：32sin32sinsin3sinsin23aBbABBAA=

===为考点：正弦定理解三角形5.设()122,34,2fzzizizi=−=+=−−，则()12fzz−=A15i−B.29i−+C.2i−−D.53i+【答案】D【解析】【分析】先求得1255zzi−=+,再代入()fz即

可【详解】由题,()()1234255zziii−=+−−−=+,所以()()1255253fzziii−=+−=+,故选:D【点睛】本题考查复数的加减法的代数运算,属于基础题6.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△

ABC的直观图，则在△ABC的三边及中线AD中，最长的线段是()A.ABB.ADC.BCD.AC【答案】D【解析】【详解】因为A′B′与y′轴重合，B′C′与x′轴重合，所以AB⊥BC，AB=2A′B′，BC=B′C′.所以在直角△ABC中，AC为斜边，故AB<AD<AC，BC<A

C.故选D.7.已知圆锥的高为3，底面半径为3，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积等于()A.83πB.323π.C.16πD.32π【答案】B【解析】【分析】作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形PAB，外接球的截面是圆为球的大圆是PAB的外接圆，由图可得球的半径与圆锥

的关系．【详解】如图，作轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形PAB，PAB的外接圆是球的大圆，设该圆锥的外接球的半径为R，依题意得，R2＝(3－R)2＋(3)2，解得R＝2，所以所求球的体积V＝43πR3＝

43π×23＝323π，故选B．【点睛】本题考查球的体积，关键是确定圆锥的外接球与圆锥之间的关系，即球半径与圆锥的高和底面半径之间的联系，而这个联系在其轴截面中正好体现．8.(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古

代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约

为3，估算出堆放的米约有A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛【答案】B【解析】【详解】试题分析：设圆锥底面半径为r，则12384r=，所以163r=，所以米堆的体积为211163()5433

=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B.考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式9.已知向量()()()1,1,3,1,1,1ababc+=−=−=，设,ab的夹角为，则（）A.ab=B.ac⊥C.b∥cD.135

=【答案】BD【解析】【分析】由已知条件求出,ab的坐标，然后逐个分析判断即可.【详解】因为()()1,1,3,1abab+=−=−，所以(1,1),(2,0)ab=−=，对于A，因为(1,1),(2,0)ab=−=，所以2,2ab==，所以ab，所以A错误，对于B，因为(1,1)

,(1,1)ac=−=，所以0ac=，所以ac⊥，所以B正确，对于C，因为(2,0),(1,1)bc==，所以2101，所以b与c不共线，所以C错误，对于D，因为(1,1),(2,0)ab=−=，,ab的夹角为，所以22cos222abab−===−，因为0180，所以

135=，所以D正确，故选：BD10.若ABC为钝角三角形，且2a=，3b=，则边C的长度可以为（）A.2B.3C.10D.4【答案】AD【解析】【分析】由条件15c，又ab，所以在ABC中为钝角的可能为角B或角C,所以2490c+

−，或2490c+−，解得答案.【详解】由三角形的边长能构成三角形，则有15c，又ab，所以在ABC中为钝角的可能为角B或角C.则249cos022cBc+−=或249cos0223cC+−=所以2490c+−或2490c+−，解得：15c

或135c所以选项A、D满足.故选：AD【点睛】本题考查余弦定理的应用，做题时要注意钝角这个条件，钝角可能的情况，属于中档题.11.（多选）圆柱的侧面展开图是边长分别为2a，a的矩形，则圆柱的体积为（）A.3aB.32aC.33

aD.34a【答案】AB【解析】【分析】按圆的高分类讨论，求出底面半径后由体积公式计算．【详解】设圆柱底面半径为r，若高是a，则22ra=，ar=，232aaVraa===，若高是2a，则2ra=，2ar=，2322222aaVraa

===．故选：AB．12.一个圆柱和一个圆锥底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等，下列结论正确的是（）A.圆柱的侧面积为22RB.圆锥的侧面积为22RC.圆柱的侧面积与球

面面积相等D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3：1：2的【答案】CD【解析】【分析】依次判断每个选项：圆柱的侧面积为24R，A错误；圆锥的侧面积为25R，B错误；圆柱的侧面积为24R，C正确；计算体积之比为3：1：2，D正确，得到答案.【详解

】依题意得球的半径为R，则圆柱的侧面积为2224RRR=，∴A错误；圆锥的侧面积为255RRR=，∴B错误；球面面积为24R，∵圆柱的侧面积为24R，∴C正确；2322VRRR==圆柱，

2312233VRRR==圆锥，343VR=球33324:2::3:1:233:VVVRRR==圆柱圆锥球，∴D正确.故选：CD.【点睛】本题考查了圆柱，圆锥，球的表面积，意在考查学生的计算能力.二、填空题(共4小题，

每小题5分，共20分)13.已知1e，2e是夹角为23的两个单位向量，122aee=−，12bkee=+，若0ab=，则实数k的值为______．【答案】54##1.25【解析】【分析】由0ab=，结合数量积公式转化，即可求解k值.【详解】因为0ab

=，所以()()121202eekee=−+，即()22222120keekee−+−=，又因为1e，2e是夹角为23的两个单位向量，所以22222211,cos32eeeeee====−，所以54k=.故答案为：5414.若复数z满足53zzi+=+，则复数z=____

____________.【答案】1135i+【解析】【分析】由z一定为实数,由题可知z的虚部为3,设()3aaRzi=+,进而求解即可【详解】因为53zzi+=+,所以z的虚部为3,设()3aaRzi=+,则235aa++=,解得115a=,所以1135zi=+,故答案

为:1135i+【点睛】本题考查相等复数,考查复数模的应用15.在ABC中，60A=，23BC=，D为BC中点，则AD最长为_________.【答案】3【解析】【分析】在ABD和ADC中，分别利用余弦定理，求得22262bcx+=+，再在ABC中，利用余弦定理和基本不等式

，即可求解.【详解】如图所示，设ADx=，ADB=，则ADC=−，在ABD中，由余弦定理，可得2222cosABBDADBDAD=+−，即22323coscxx=+−，①在ADC中，由余弦定理，可得2222cos()

ACCDADCDAD=+−−，即22323cosbxx=++，②由①+②，可得22262bcx+=+，在ABC中，由余弦定理，可得2222cos60BCABACABAC=+−，即22222222221(23)()322bccbbccbbcx+=+−

+−=+=+，解得29x，所以3x，即AC的最大值为3.故答案：3.的为【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，以及利用基本不等式求解最值问题，其中解答中熟练应用余弦定理得到22262bcx+=+，结合基本不等式求解是解答的关键，着重考查推理与运算

能力.16.在ABC中，π3A=，1b=，3a=，则ABC的面积为______.【答案】32【解析】【分析】由已知利用正弦定理可求sinB的值，根据大边对大角，特殊角的三角函数值，三角形的内角和定理可求B，C，根据三角形的面积公

式即可计算得解．【详解】3A=，1b=，3a=由正弦定理可得：31sin32B=，解得：1sin2B=baBA6B=，可得：2CAB=−−=113sin31sin2222ABCSabC===本题正确结果：32【点睛】本题主

要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．三、解答题(共6小题，第17小题10分，其他小题各12分，共70分)17.在平面直角坐标系xOy中，已知,,ABC三点的坐标分别为()()()2,1,3,5,,3ABCm−(Ⅰ

)若ABAC⊥，求实数m的值(Ⅱ)若,,ABC三点能构成三角形，求实数m的取值范围.【答案】(Ⅰ)22m=−(Ⅱ)83m【解析】【详解】试题分析：(Ⅰ)由ABAC⊥，得0ABAC=，用坐标表示计算即可；(Ⅱ)若,,ABC三点能构成三角形，则,,ABC三点

不共线AB，与AC不平行，用坐标表示即可.试题解析：(Ⅰ)由题意有，()()1,6,2,4,ABACm==−由ABAC⊥，得0ABAC=故()21460m−+=解得22m=−(Ⅱ)若,,ABC三点能构成三角形，则,,ABC三点不共线.则AB与AC不平行

，故()14620m−−解得83m.18.已知复数()21231,23,aizaizzaia=+=−=+R.(1)当a为何值时，复数123zzz−+是实数？(2)当a为何值时，复数123zzz−+是纯虚数？【答案】(1)4−；(2)1.【解析】【分析】

先求得()()2123124zzzaaai−+=−+++,当其为实数时,虚部为0；当其为纯虚数时,实部为0,虚部不为0,进而求解即可【详解】(1)由题意,()()()()()22123123124zzzaiaiaiaaai−+=+−−++=−+++,若复数123zzz−+

是实数,则40a+=,即4a=−.(2)由（1）,若复数123zzz−+是纯虚数,则212040aaa−+=+,即1a=【点睛】本题考查复数的分类,考查已知复数的类型求参数问题19.在ABC中,a､b､c分别是角A､B､C的对边,且

()2coscos0acBbC++=.(1)求角B的大小;(2)若13b=,3ac=,求ABC的周长.【答案】(1)23;(2)413+.【解析】【分析】(1)利用余弦定理及变形化简，可得角B的大小（2）利用余弦定理求解ac+的值，即可求解A

BC的周长.【详解】(1)由余弦定理,得222cos2acbBac+−=,222cos2abcCac+−=,将上式代入()2coscos0acBbC++=,整理得222acbac+−=−,2221cos222acbacBacac+−

−===−,角B为ABC的内角,.23B=.(2)将13b=,3ac=,23B=,代入2222cosbacacB=+−,即()2222cosbacacacB=+−−,()2113212acac

=+−−,4ac+=,ABC的周长为413acb++=+.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的周长，属于中档题.20.如图，D为直角△ABC斜边BC上一点，3ACDC=，（1）若30DAC=，求角B的大小；（2）若2BDDC=，且22AD=，求DC的长；【答案】

（1）3；（2）2.【解析】【分析】（1）利用正弦定理、外角性质、三角形内角和定理即可得出；（2）设DCx=，则2BDx=，3BCx=，3ACx=，于是3sin3B=，6cos3=B，6ABx=，再

利用余弦定理即可解出.【详解】（1）在ABC中，根据正弦定理得：sinsinACDCADCDAC=因为3ACDC=，所以3sin3sin3sin302ADCDAC===，又因为33ADCBBADB=+=+，所以23ADC=，所以2636C

=−−=，所以3B=.（2）设DCx=，则2BDx=，3BCx=，3ACx=，所以3sin3ACBBC==，6cos3=B，6ABx=，在ABD△中，由余弦定理得：2222cosADABBDABBDB

=+−，即()222622642623xxxx=+−，解得：2x=，即2DC=【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于中档题.21.已知在复平面内，O为坐标原点，向量12,OZOZ分别对应复

数12,zz，且()213105zaia=+−+，()22251zaia=+−−，12118zz−=.(1)求实数a的值；(2)求以12,OZOZ为邻边的平行四边形的面积S.【答案】(1)3；(2)118.【解析】【分

析】（1）()213105zaia=+−+,()22251zaia=+−−代入12118zz−=中,由相等复数求解即可；（2）由（1）可知()123,1,1,18OZOZ==−,利用数量积求得12,OZOZ的夹角,进而求解即可【详解】(1)

∵()()()221232321110i2521551518zzaaiaaiaaaa−=+−−+−=−−+−=+−+−,∴221503211518aaaa+−=−=+−，解得3a=(2)由

(1)知123,18zizi=+=−+,∴()123,1,1,18OZOZ==−,∴1273,28OZOZ==,设向量12,OZOZ的夹角为,∴12123158cos7314628OZOZOZOZ−+===,∴2511sin1146146=−=,∴12731111

sin288146SOZOZ===【点睛】本题考查相等复数的应用,考查复数的几何意义,考查数量积的应用,考查运算能力22.由于2020年1月份国内疫情爆发，餐饮业受到重大影响，目前各地的复工复产工作在逐步推进，居民生活

也逐步恢复正常．李克强总理在考察山东烟台一处老旧小区时提到，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源，是人间的烟火，和“高大上”一样，也是中国的商机．某商场经营者王某准备在商场门前“摆地摊”，经营“冷饮与小吃”生意．已知该商场门前是一块扇形区域，拟对这块扇形空地AOB进行改造．如图所示，

平行四边形OMPN区域为顾客的休息区域，阴影区域为“摆地摊”区域，点P在弧AB上，点M和点N分别在线段OA和线段OB上，且90OA=米，3AOB=．记POB=．（1）当4=时，求OMON；（2

）请写出顾客的休息区域OMPN的面积S关于的函数关系式，并求当为何值时，S取得最大值．【答案】（1）()135031−；（2）S27003sin2135036=+−，π0θ3<<；当6=时，S取得最大值.【解析】【分析】（1）在△OPM中由正弦定

理求得,PMOM，即可由数量积的定义求得结果；（2）在△OPM中由正弦定理用表示,PMOM，结合三角形的面积公式，即可求得结果，再根据三角函数的性质，即可求得取得最大值时对应的.【小问1详解】根据题意，在△OPM中，2,,12

34MOPPMOMPO===，又90OP=，故由正弦定理sinsinsinOPPMOMPMOMOPMPO==可得：903622242PMOM==−解得64523PMON==−

，306OM=，故OMON()61cos30645213503132OMONAOB==−=−.即OMON()135031=−.【小问2详解】由题可知，在△PMO中，290,,,33OPPMOMPOMOP====−，则由正弦定理sinsinsin

OPOMPMPMOMPOMOP==，可得90sin3sin32OMPM==−，故可得603sin,603sin3OMPM==−，故13sin603sin603sin243PMOSPM

OMPMO==−23127003sinsin27003sincossin322=−=−31127003sin2cos2444=

+−1127003sin2264=+−13503sin267536=+−.(0)3即227003sin213503,(0)63PMOSS==

+−.当6=时，sin216+=，此时S取得最大值.