【文档说明】湖南省衡阳市衡阳县部分学校2024-2025学年高二上学期第一次月考数学测评卷（A卷） Word版含解析.docx，共(24)页，1.518 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学上学期测评卷（A卷）【满分：150分】一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知(2,1,3)ax=，(1,2,9)by=−，如

果//ab，则xy+=（）A.43−B.0C.43D.1−【答案】A【解析】【分析】根据向量共线定理，结合空间向量线性关系的坐标关系列方程求参数，即可得结果.【详解】由//ab，则存在R，使ab=，则21239xy==−=，解得163213xy==−

=，所以134623xy+=−=−.故选：A.2.已知直线30xy++=与直线2610xy++=间的距离为102，则=（）A.92−或112B.9−C.9−或11D.6或4−【答案】A【解析】【分析】运用两条平行直线间

的距离公式计算即可.【详解】直线30xy++=可化为2620xy++=，所以222110226−=+，解得92=−或112=．故选：A.3.若椭圆2222:1(0)xyCabab+=满足2ab=

，则该椭圆的离心率e=（）A.12B.32C.33D.54【答案】B【解析】【分析】由椭圆离心率的公式221cbeaa==−计算.【详解】椭圆2222:1(0)xyCabab+=满足2ab=，则该椭圆的离心率2222131142ccbea

aa===−=−=.故选：B.4.已知点()1,0M−，()1,0N，若直线上存在点P，使得0PMPN=，则称该直线为“相关点直线”．给出下列直线:①3yx=+；②43yx=③2y=；④21yx=+，其中为“相关点直线”的是（）A.①③

B.②④C.②③D.③④【答案】B【解析】【分析】根据0PMPN=可判断点P的轨迹为圆221xy+=，将问题转化为直线与圆有共同点即可，利用代数法联立方程判别式法或者利用圆心到直线的距离与半径的关系的几何法即可求解.【详解】由题意可知，点P的轨迹是以O

为圆心、1为半径的圆，其方程是221xy+=．解法一:①把3yx=+代入221xy+=并整理得，2340xx++=，∴94470=−=−，∴直线与圆相离，∴直线3yx=+不是“相关点直线”．同理，通过联立直线和圆的方程，可得直线②43yx=，④21yx

=+与圆相交，直线③2y=与圆相离．所以②④符合题意．故选:B．解法二:①圆心()00，到直线3yx=+，即30xy−+=的距离为00332122−+=，∴直线与圆相离，∴直线3yx=+不是“相关点直线”．同理，通过比较圆心到直线的距离与半径

的大小，可得直线②43yx=，④21yx=+与圆相交，直线③2y=与圆相离．所以②④符合题意．故选:B．5.已知1F，2F是双曲线2221(0)4xybb−=的左、右焦点，过1F的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，若2ABF△为等边三角形，则b=（）A.6B.26C.42

D.46【答案】B【解析】【分析】等边三角形中22||ABAFBF==，12FAF中，11224AFBFBFa=−==，2128AFAFa=+=，12120FAF=o，由余弦定理列方程求解.【详解】∵2ABF

△为等边三角形，∴22||ABAFBF==，∴111224AFBFBABFBFa=−=−==，2128AFAFa=+=，12120FAF=o，12FAF中，由余弦定理有2221212(2)2cos120112cAFAFAFAF=+−=，∴228c=，

∴22224bca=−=，∴26b=.故选:B.6.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是22,0,10xyy=，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为（

）A.12B.1C.2D.52【答案】B【解析】【分析】设小球圆心()00,y()00y，求出抛物线上点(),xy点到圆心距离平方，根据二次函数的性质求出0y的取值范围，即可得解.【详解】设小球圆心()00,y()00y，若小

球触及凹槽的最底部，则小球半径0ry=，又抛物线上点(),xy点到圆心距离平方为：()()()2222220000221dxyyyyyyyyy=+−=+−=+−+，若2d最小值在(0,0)时取到，则小球触及凹槽的最底部，故此二次函数的对称轴位置应在y轴的左侧，所以

010y−，所以01y，所以01r，从而清洁钢球的半径r的范围为01r，所以清洁钢球的最大半径为1.故选：B．7.如图，在正方体ABEF­DCE′F′中，M，N分别为AC，BF的中点，则平面MNA与平面MNB的夹角的余弦值为（）A.－13B.13C.

－223D.223【答案】B【解析】【分析】法一：先利用二面角平面角的定义，在两个半平面内分别找到与二面角的棱MN垂直的两条直线，将问题转化为求两直线方向向量的夹角即可；法二：直接转化为求两平面的法向量的夹角即可.【详

解】设正方体棱长为1，以B为坐标原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系B­xyz，则M11022,,，N11,,022，(1,0,0),(0,0,0)AB.解法一取MN的中点G，连接BG，

AG，则G111,,244.因为,AMNBMN为等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB为两平面夹角或其补角．又因为GA=1114,4,2−−，111,44,2GB=−−−，所以，111141616cos,33388G

AGBGAGBGAGB−++===−，设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，则1coscos,3GAGB==.故所求两平面夹角的余弦值为13.解法二设平面AMN的法向量1(,,)nxyz=由于,12,102AM=−，,0,1122AN=−，则1100nAMn

AN==，即1102211022xzxy−+=−+=，令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是1(1,1,1)n=，同理可求得平面BMN的一个法向量2(1,1,1)n=−−.所以12121211cos,333nnnnnn

−===−，设平面MNA与平面MNB的夹角为θ，则121coscos,3nn==.故所求两平面夹角的余弦值为13.故选：B.8.已知椭圆222:1(3)3xyCaa+=，离心率为12．点()00,Pxy为椭圆C上一动点（其中00x，00y），点

1F，2F为椭圆C左右焦点，直线00340xxyy+=与直线2PF在一象限交于点M，则线段PM长度为（）A.2B.3C.1D.4【答案】A【解析】【分析】有椭圆的离心率可求得2a=，则椭圆方程为22:143xyC+=，结合()21,0F和()00,Pxy，可得直线2PF的方程为

()0011yyxx=−−，在再联立方程组，求出2000004,1234yxyMxx骣琪琪--桫，利用两点间距离公式即可求解.【详解】椭圆222:1(3)3xyCaa+=的离心率为12，22222222114cabbeaaa-\=

==-=，则2a=，椭圆22:143xyC+=，此时()21,0F，则直线2PF的方程为()0011yyxx=−−，又点()00,Pxy在椭圆C上，则有22003412xy+=①，设(),MMMxy，联立()000011340yyxxxxyy=−−

+=，解得2000004,1234yxyMxx骣琪琪--桫，则2222222000000000000044312412341234yxyyxxyPMxyxxxx骣骣骣骣+-琪琪琪琪=-+-=+琪琪琪琪----

桫桫桫桫()222200000200044416321616444xyxxyxxx骣骣--++琪琪=+=琪琪---桫桫，由①得：22001234xy-=，代入上式得：()()()()220220000022200012316321616444

326442444xxxxxxPMxxx--++?--+====---.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.点P在圆221:1Cxy+=上，点Q在圆222:6824

0Cxyxy+−++=上，则（）A.PQ的最小值为0B.PQ的最大值为7C.两个圆心所在直线的斜率为43−D.两个圆的公共弦所在直线的方程为68250xy−−=【答案】BC【解析】【分析】求两圆的圆心坐标和半径，结合圆心距求PQ的最值判断AB选项

；由斜率公式计算两个圆心所在直线的斜率，判断选项C；由两圆位置关系判断选项D.【详解】圆221:1Cxy+=，圆心1(0,0)C，半径1r=.圆2C的一般方程化成标准方程，得22(3)(4)1xy−++=，则圆心2(3,4)C−，半径1R=，两圆圆心距22123(4

)5CC=+−=，min||5113PQ=−−=，max||5117PQ=++=，A选项错误，B选项正确.两个圆心所在直线的斜率124433cck−==−，C选项正确.又12CCRr+，所以两圆外离，不相交，没有公共弦，D选项错误.故选：BC.10.我们把离心率为512e+=

的双曲线22221(0,0)xyabab−=称为黄金双曲线。如图所示，1A、2A是双曲线的实轴顶点，1B、2B是虚轴顶点，1F、2F是焦点，过右焦点2F且垂直于x轴的直线交双曲线于M、N两点，则下列命题正确的是（）A.双曲线22151yx−=+是

黄金双曲线B.若2bac=，则该双曲线是黄金双曲线C.若11290FBA=，则该双曲线是黄金双曲线D.若90MON=，则该双曲线是黄金双曲线【答案】BCD【解析】【分析】A选项，51522e+=+，不是黄金双曲线；通过计算得到BCD是黄金双曲线.

【详解】A选项，51151522e+=++=+，不是黄金双曲线；B选项，222bacca==−，化成220−−=caac，即210ee−−=，又1e，解得512e+=，是黄金双曲线；C选项，∵11290FBA=，∴222111212||||BFBAFA+=，∴

22222()bcbaac+++=+，化简得220caca−−=，由B选项知是黄金双曲线；D选项，∵90MON=，∴MNx⊥轴，22||bMFa=，且2MOF是等腰Rt，∴2bca=，即2bac=，由B选项知是黄金双曲线.综上，BCD是黄金双曲线.

故选：BCD【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率常用的方法有：（1）公式法（求出,ac再求离心率）；（2）方程法（通过已知得到关于e的方程，解方程得解）.11.如图，四棱锥SABCD−中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，SAAB=，O、P分别是,ACSC的中点，M是棱SD上的动点

，则（）A.OMAP⊥B.存在点M，使//OM平面SBCC.存在点M，使直线OM与AB所成的角为30D.点M到平面ABCD与平面SAB的距离和为定值【答案】ABD【解析】.【分析】根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法逐一判断各个选项即可.【详解】根据已知条

件，以A为坐标原点，AB、AD、AS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设2SAAB==，则()0,0,0A，()2,2,0C，()2,0,0B，()0,2,0D，()0,0,2S，()1,1,1P，()1,1,0O；由

M是棱SD上的动点，设()0,,2M−，()02，因为()1,1,1=AP，()1,1,2OM=−−−，所以1120APOMll?-+-+-=，即OMAP⊥，故A正确；当M为SD中点时，OM是SBD的中位线，所以//OMSB，又OM平面SBC

，SB平面SBC，所以//OM平面SBC，故B正确；()2,0,0AB=，()1,1,2OM=−−−，若存在点M，使直线OM与AB所成的角为30，则()()2213cos302112ABOMABOM===+

−+−，化简得23970λλ−+=，无解，故C错误；由题意可知：点M到平面ABCD的距离12dλ=−，AD为平面SAB的法向量，所以点M到平面SAB的距离为222AMADdAD===，所以1222ddλλ+=−+=，故D正确.故选：ABD三、填空题

：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.如图，已知圆22:16,,OxyAB+=是圆O上两个动点，点(2,0)P，则矩形PACB的顶点C的轨迹方程是___________．【答案】2228xy+=【解析】【分析】设点(,

)Cxy，连接,ABPC交于M，可写出M的坐标，再在直角OMB△中，OMMB⊥，利用勾股定理列方程可得x,y的关系式，即顶点C的轨迹方程.【详解】设点(,)Cxy，如图连接,ABPC交于M，由矩形PA

CB可知M为PC的中点，2,22xyM+，PMMB=连接,OBOM，在直角OMB△中，OMMB⊥，则22222OBOMBMOMMP=+=+即2222221622222xyxy+++=+−+，整理得2228xy+=，所以顶点C的轨

迹方程是2228xy+=故答案为：2228xy+=【点睛】关键点睛：本题考查求轨迹方程，解题的关键是求谁设谁，设点(,)Cxy，然后再利用图像的几何关系找到x,y的关系式，即求得轨迹方程，考查学生的直观想象能力与运算求解能力，属于中档题

.13.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，90BAC=，12ABACAA===，点G，E，D分别是棱11AB，1CC，AC的中点，点F是棱AB上的点．若GDEF1=−，则线段DF的长度为______．【答案】2【解析】【分析】根据题意，以A点为坐标原点，以1

,,ABACAA分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，设出点F坐标，根据题意，列出方程，求出点F坐标，进而可求出结果.【详解】因为在直三棱柱111ABCABC−中，90BAC=，因此，以A点为坐标原点，以1,,ABACAA分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐

标系，因为12ABACAA===，点G，E，D分别是棱11AB，1CC，AC的中点，所以(1,0,2)G，(0,2,1)E，(0,1,0)D，则(1,1,2)GD=−−，又点F是棱AB上的点，所以设(,0,0

)Fa，则(,2,1)EFa=−−，因为1GDEF=−，所以221a−−+=−，因此1a=.所以(1,0,0)F，因此22112DF=+=.故答案为2【点睛】本题主要考查空间中两点间的距离，灵活运用空间向量法求解

即可，属于常考题型.14.抛物线2:4Exy=与圆()22:125Mxy+−=交于A、B两点，圆心()0,1M，点P为劣弧AB上不同于A、B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则PMN的周长的取值范围是______．【答

案】()10,12【解析】【分析】由题可得抛物线的焦点，过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得||||MNNH=，故PMN的周长为||5PH+，联立圆与抛物线可得,AB点坐标，可得||PH的取值范围，可得答案.【详解】解：∵圆()22:125Mxy+−=交

，抛物线2:4Exy=，∴圆心(0,1)M也是抛物线的焦点，抛物线的准线为1y=−，过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，可得||||MNNH=，故PMN的周长||||||||||||||5lNMNPMPNHNPMPPH=++=++=+，由()2224125xyxy=+−=可得(

4,4),(4,4)AB−，又圆22:(1)25Mxy+−=与y轴正半轴交于(0,6)C，所以46Py，又因为||1PPHy=+，所以||PH取值范围为(5,7)，所以PMN的周长||5PH+的取值范围为(10,12).故答案为：(10,12).的四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知圆()22:24Mxy−+=，点()()1,RPtt−.（1）若1t=，半径为1的圆N过点P，且与圆M相外切，求圆N的方程；（2）若过点P的两条直线被圆M截得的弦长均为23，且与y轴分别交于点S、T，34ST=，求t.【答案】（1）()

2211xy++=或2229155xy++−=（2）1t=【解析】【分析】（1）设圆心(),Nab，根据已知条件可得出关于a、b的方程组，解出a、b的值，即可得出圆N的方程；（2）分析可知直线PS、PT的斜率存在，设过点P且斜率存在的直线的方程为()1ytkx−=+，即

0kxykt−++=，利用勾股定理可得出228610kktt++−=，可知直线PS、PT的斜率1k、2k是关于k的二次方程228610kktt++−=的两根，求出S、T的坐标，结合韦达定理可求得t的值.【小问1详解】解：设圆心(),Nab，圆M的圆心为()2,0M，由题意可

得()()()222229111abab−+=++−=，解得10ab=−=或2595ab=−=，因此，圆N的方程为()2211xy++=或2229155xy++−=.【

小问2详解】解：若过点P的直线斜率不存在，则该直线的方程为1x=−，圆心M到直线1x=−的距离为3，不合乎题意.设过点P且斜率存在的直线的方程为()1ytkx−=+，即0kxykt−++=，由题意可得2232311ktk+=−=+，整理可得228610kktt++−=，设直线PS、P

T的斜率分别为1k、2k，则1k、2k为关于k的二次方程228610kktt++−=的两根，()222363214320ttt=−−=+，由韦达定理可得1234tkk+=−，21218tkk−=，在直线

PS的方程110kxykt−++=中，令0x=，可得1ykt=+，即点()10,Skt+在直线PT的方程220kxykt−++=中，令0x=，可得2ykt=+，即点()20,Tkt+，所以，()2212121283444tSTkkkkkk+=−=+−==，解得

1t=.16.已知四棱锥SABCD−中，底面ABCD是矩形，SABD⊥，22SAADCD==，M是SB的中点．（1）证明：MCBD⊥；（2）若SAAD⊥，2SA=，点P是SC上的动点，直线AP与平面AMC所成角的正弦值为1

010，求SPSC．【答案】（1）证明见解析（2）12SPSC=【解析】【分析】（1）取AB的中点N，连接MN、CN，推导出BD⊥平面CMN，再利用线面垂直的性质定理可证得结论成立；（2）以点A为坐标原点，AD、AB、AS所在直线分别为x、y、z轴建立

空间直角坐标系，设SPSC=，其中01≤≤，求出平面AMC的一个法向量的坐标，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得解.【小问1详解】取AB的中点N，连接MN、CN，因为M、N分别为SB、AB的中点，则//MNSA，因为SABD⊥，所以

，BDMN⊥，设直线CN与直线BD交于Q点，因为//BNCD，则BNQDCQ=，NBQCDQ=，所以，BNQCDQ△∽△，所以，12NQBQBNCQDQDC===，故13NQBQNCBD==，设ADa=，则22

CDADa==，22222622NCBNBCaaa=+=+=，所以，1636NQCNa==，且()222223BDADABaaa=+=+=，1333BQBDa==，所以，222222632

aaaNQBQBN+=+==，所以，BDCN⊥，又因为MNCNN=，MN、CN平面CMN，则BD⊥平面CMN，因为MC平面CMN，故MCBD⊥.【小问2详解】因为SAAD⊥，SAAB⊥，ABAD⊥，以点A为坐标原点，AD、

AB、AS所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因为2SA=，则()0,0,0A、()0,0,2S、()2,22,0C、()0,22,0B、()0,2,1M，设平面AMC的法向量为(),,mxyz=，则()2,22,0AC=，()0,2,1AM=，则222020mAC

xymAEyz=+==+=，取2x=，则()2,1,2m=−，设()()2,22,22,22,2SPSC==−=−，其中01≤≤，()()()0,0,22,22,22,22,22APASSP=+=+−=−，因为直线AP与平面

AMC所成角的正弦值为1010，则()222110cos,1051684mAPAPmmAP−===−+，解得12=，即12SPSC=.17.已知抛物线2:4Cxy=，过点(0,2)D的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线

为1l，在点B处的切线为2l，直线1l与2l交于点M.（1）设直线1l，2l的斜率分别为1k，2k，证明：122kk=−；（2）设线段AB的中点为N，求MNAB的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）12,22

【解析】【分析】（1）设切线方程，分别用点,AB的横坐标表示12,kk，联立直线l与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果；（2）联立直线方程求点M坐标，由中点坐标公式可得N点坐标，从而得到|𝑀𝑁|，再由弦长公式可得|𝐴𝐵|，由MNAB的表达式求取值范围即可.【小问1详解】

由题意知，直线l的斜率存在，设点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥2,𝑦2)，直线l的方程为2ykx=+，由22,4,ykxxy=+=得2480xkx−−=，216320k=+，124xxk+=，128xx=−.由214yx=，得切点211,4xAx，

222,4xBx，则切线1l的方程为()21114xykxx−=−，代入24xy=，得()221111440xkxxkx−−−=，所以2211111161640kkxx=−+=，解得1112kx=，同理，得切线2l的斜率2212kx=，所以121211(

8)244kkxx==−=−.【小问2详解】由（1）可得()()21212441yykxxk+=++=+，故()212212yyk+=+，()()22,21Nkk+.由（1）得()21111:42xxlyxx−=−，可化为211124xyxx=−，①同理得22221:24xlyxx=

−，②由①②，得1222xxxk+==，1224xxy==−，即(2,2)Mk−，则()()2221222MNkk=++=+.()222121212114ABkxxkxxxx=+−=++−()()()22221432412kkkk=++=++，所以22212

1112121MNkABkk+==+++.由20k，211k+，得21011k+，故12,22MNAB，即MNAB的取值范围为12,22.【点睛】方法点睛：解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程

联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角

形的面积等问题．18.如图所示的多面体中，四边形ABCD是菱形且1DBABDM===，2PBMD=，DM⊥平面ABCD，//PBDM，点N为PC上的动点.（1）求证：存在点N，使得//AMBN.（2）求二面角AMPC−−的正弦值.【答案】（1）证明

见解析（2）265【解析】【分析】（1）证明//AM平面PBC，平面MABN与PC交于点N，有//AMBN；（2）以D为原点建立空间直角坐标系，向量法解决二面角问题.【小问1详解】证明：因为四边形ABCD是菱形，所以//ADBC，又AD

平面PBC，BC平面PBC，所以//AD平面PBC.又//PBDM，DM平面PBC，PB平面PBC，所以//DM平面PBC.又ADDMD=，,ADDM平面ADM，所以平面//ADM平面PBC.又AM平面AMD，所以//AM平面PBC，所以平面MABN与PC必有交

点，且该交点为N，满足//AMBN.【小问2详解】以D为原点，DC，DM所在直线分别为y，z轴，过点D在平面ABCD内作垂直于DC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系.因为四边形ABCD是菱形，DBAB=，所以

60DAB=，又1ABDM==，2PB=，PB⊥平面ABCD，所以(0,1,0)C，31,,022B，31,,022A−，(0,0,1)M，31,,222P.31,,122A

M=−，31,,122MP=，()0,1,1MC=−，设平面AMP的法向量为(),,mxyz=.则有3102231022mAMxyzmMPxyz=−++==++=，取1z=−，则0,2xy==，得(0,2,1)m=−.设平面MPC的法向量为(,

,)nabc=，则有310220nMPabcnMCbc=++==−=，取3a=−，则1,1bc==，得()3,1,1n=−.则3012111cos,555mnmnmn−+−===，所以二面角AMPC−−正弦值为2126155−=.19.在平面直角坐标系xOy中

，已知双曲线221:142xyC−=与椭圆222:142xyC+=，A，B分别为1C的左､的右顶点，点P在双曲线1C上，且位于第一象限.（1）直线OP与椭圆2C相交于第一象限内的点M，设直线PA，PB，MA，MB的斜率分别为1k，2k，3k，4k，求1234kkkk+++的值；（2）直线AP

与椭圆2C相交于点N（异于点A），求APAN的取值范围.【答案】（1）0（2）()16,+【解析】【分析】（1）方法1：设直线():0OPykxk=，联立双曲线方程和椭圆方程，求得P，M两点坐标，因为()2,0A−，()2,0B，则可求出121kkk+=，341

kkk+=−，所以12340kkkk+++=；方法2：设()()1111,0,0Pxyxy，()()2222,0,0Mxyxy，因为点P在双曲线1C上，点Q在椭圆线2C上，得出x，y的关系，即可求出12kk+，34kk+，再利用O，P，M三点共线，即可求出123

4kkkk+++的值.（2）设直线AP的方程为2ykxk=+，联立双曲线方程求出P点坐标，联立椭圆方程求出N点坐标，即可求出()2416114kAPANk+=−，因为点P位于第一象限，可求k的取值范围，则可求出函数值

域，即APAN的取值范围.【小问1详解】方法1：设直线():0OPykxk=，联立22142ykxxy=−=，消y，得()22124kx−=，所以20120kk−，解得202k，设()()1111,0,0Pxyxy，则12122122

12xkkyk=−=−，所以2222,1212kPkk−−.联立22142ykxxy=+=，消y，得()22124kx+=，设()()2222,0,0Mxyxy，则2222212212xkkyk=+=+，

所以2222,1212kMkk++.因为()2,0A−，()2,0B，所以211111221112821124224412kyyxykkkxxxkk−+=+===−+−−−，222223422222821124224412kyy

xykkkxxxkk++=+===−−+−−+，所以1234110kkkkkk+++=+−=.方法2设()()1111,0,0Pxyxy，()()2222,0,0Mxyxy，因为()2,0A−，()2

,0B，所以11111221112224yyxykkxxx+=+=−+−，22223422222224yyxykkxxx+=+=−+−.因为点P在双曲线1C上，所以2211142xy−=，所以221142xy−=，所以112

1xkky+=.因为点Q在椭圆线2C上，所以2222142xy+=，所以222242xy−=−，所以2342xkky+=−.因O，P，M三点共线，所以1212yyxx=，所以121234120xxkkkkyy+++=−=.【小问2详解】设直线AP的方程为2ykxk=+，联立22224ykxkxy

=+−=，消y，得()()22222184210kxkxk−+++=，解得12x=−，2224212kxk+=−，所以点P的坐标为222424,1212kkkk+−−，因为点P位于第一象限，所以222420124012kkkk+

−−，解得202k，联立22224ykxkxy=++=，消y，得()()22222184210kxkxk+++−=，解得32x=−，2422412kxk−=+，所以点N坐标为222244,1212kkkk−++，所以()22222224161422444221

212121214kkkkkAPANAPANkkkkk++−==+++=−+−+−，设21tk=+，则312t，为的所以22161616314(1)48384ttAPANt

tttt===−−−+−−+.因为函数3()4fxxx=+在区间31,2上单调递增，所以当312t时，3748tt+，所以30841tt−+，所以1616384tt−+，即16APAN，故APAN的

取值范围为()16,+.【点睛】（1）此题考查椭圆与双曲线对称性辨析，求解直线与曲线交点坐标，根据坐标表示斜率之积和斜率之和证明结论.（2）解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量

的等量关系．