【文档说明】宁夏银川市第二中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学（文）试题 含解析.docx，共(15)页，599.004 KB，由小赞的店铺上传

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银川二中2021-2022学年第二学期高二年级期中考试文科数学试题注意事项：1.本试卷共22小题，满分150分.考试时间为120分钟.答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡.一、选择题:本大题共12小题，每小题

5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题1.点M的直角坐标是(1,3)−，则点M的极坐标为（）A.(2,)3B.2(2,)3C.423（，）D.5(2,)3【答案】B【解析】【分析】设点

M的极坐标，再根据直角坐标与极坐标的关系求解即可【详解】设点M的极坐标为()),,0,2则()()22132=−+=，故3cos2=，1sin2=−，故23=，故点M的极坐标为2(2,)3故选：B2.若不等式xam−的解集为1,5−，求实数,a

m的值（）A.2,7am=−=B.2,3am=−=C.2,3am==−D.2,3am==【答案】D【解析】【分析】根据绝对值不等式的解法建立条件关系即可求出实数,am的值.【详解】因为xam−，即amxam−+

，因为不等式xam−的解集为1,5−，所以15amam−=−+=，解得：2,3am==.故选：D.3.若(3,)3A，546B（，），则AB=（）A.3B.4C.5D.13【答案】C【解析】【分析】化,AB两点的极坐标为直角坐标，再由两点间的距离公式求

解.【详解】由两点(3,)3A，546B（，），得,AB两点的直角坐标分别为()333,,23,222AB−，由两点的距离公式得：22333927232631263452244AB

=++−=+++−+=.故选：C.4.下列点在曲线sin2,()cossinxy==+为参数上是A.1(,2)2−B.31(,)42−C.(2,3)D.(1,3)【答案】B【解析】【详解】将参数方程化为普通方程是()2101

yxx=+，代入各点可得31(,)42−在曲线上.考点：参数方程.5.不等式321xx++的解集为（）A.1（，）+B.（2，+）C.1−（，）D.2−（，）【答案】B【解析】【分析】根据绝对值不等式的方法求解即可【详解】

321xx++即321213xxxx++−−+，即243xx−，即2x的故选：B6.在以O为极点的极坐标系中，圆8cos=和直线cos=a相交于,AB两点.若OAB是等边三角形，则a的值等于（）A.5B.112C.6D.132【

答案】C【解析】【分析】由OAB为等边三角形，结合圆的对称性可得π6=，从而可求出，进而可求出a【详解】因为圆8cos=和直线cos=a相交于,AB两点，且OAB是等边三角形，所以π6=，所以π8c

os436==，所以π3cos43cos43662a====，故选：C7.已知直线的极坐标方程为π2sin42+=，则极点到该直线的距离是（）A.22B.1C.2D.2【答案】A【解析】【分析】先将

直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再利用点到直线的距离公式求解即可【详解】由π2sin42+=，得ππ2sincoscossin442+=，sincos1+=，得10xy+−=，所以极点到该直线的距离为2

20012211d+−==+，故选：A8.曲线221xy+=在坐标伸缩变换43xxyy==：下的方程是（）A.22431xy+=B.221691xy+=C.22143xy+=D.221169xy+=【答案】D【解析】【分析】根

据伸缩变换，将(),xy用(),xy表示出来，代入曲线方程中即可求解.【详解】4433xxxxyyyy====：，将(),xy代入曲线221xy+=中可得：221169xy+=故选：D9.设()()fxxaa=−

R，当13x−时，()3fx，则a的取值范围（）A.()0,2B.0,2C()2,0−D.2,0−【答案】B【解析】【分析】解不等式()3fx，结合已知条件可得出集合的包含关系，可得出关于实数a的不等式组，由此可解得实数a的取值范围.【详

解】由()3fxxa=−可得33xa−−，解得33axa−+，因为当13x−时，()3fx，则1,33,3aa−−+，所以，3133aa−−+，解得02a.故选：B.10.直线415325xtyt=−=−+（t为参

数）被曲线π22cos4=+所截的弦长（）.A.45B.85C.345D.2345【答案】D【解析】【分析】先将直线的参数方程化为普通方程，曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，然后求出圆心到直线的距离，再利用圆

心距，弦和半径的关系可求出弦长【详解】直线415325xtyt=−=−+（t为参数）消去参数得3450xy++=，由π22cos4=+，得ππ22coscos22sinsin44=−，2

cos2sin=−，22cos2sin=−，2222xyxy+=−，即22(1)(1)2xy−++=，所以圆的圆心为(1,1)−，半径2r=，所以圆心到直线3450xy++=的距离为223454534d−+==+，所以所求弦长为2216234222255r

d−=−=，故选：D11.已知函数1()fxxaxa=−++，若存在0x，使得0()2fx成立，则a的取值范围（）A.1−B.1C.11−，D.11−，【答案】C【解析】【分析】由题意得min()2fx，由绝对值不等式的性质可得mi

n1()fxaa=+，所以12aa+，由不等式的性质得12aa+，所以12aa+=，从而可求出a的取值【详解】存在0x，使得0()2fx成立，等价于min()2fx，因为111()()fxxaxxaxaaaa=−++−−+=+，当且仅当1()0xaxa−+时成立

，所以min1()fxaa=+，则12aa+，因为11122aaaaaa+=+=，当且仅当1aa=，即1=a时取等号，所以122aa+，所以12aa+=，解得1a=或1a=−，所以a的取值范围为

11−，，故选：C12.已知0ab，且()()332abab++=，则下列不等式一定成立的是（）A.222ab+B.222ab+C.2ab+D.2ab+【答案】A【解析】【分析】利用作差法可判断AB选项；

利用特殊值法可判断CD选项.【详解】因为()()()()()23322443344222abababababababab++−+=+++−++()2332220ababababab=+−=−，所以，()2222ab+，因为2220ab

ab+，则222ab+，A对B错；若1412ab==，则()()332abab++=成立，但134412222ab+==，C错；若1412ab==−，则()()332abab++=成立，则

2ab+不成立，D错.故选：A.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若点M的极坐标是11(2,)6，则点M的直角坐标为______【答案】(3,1)−【解析】【分析】根据极坐标与直角坐标的关系求解即可【详解】点M的直角坐标

为11112cos,2sin66，即(3,1)−故答案为：(3,1)−14.曲线25()12xttyt=−+=−为参数与坐标轴的交点是_______【答案】11(0,)(,0)52、【解析】【分析】分别令0,0xy==求解t与对应的点坐标即可【详解】令0x=，则25

0t−+=，此时25t=，1125yt=−=，故与x轴的交点是10,5；令0y=，则120t−=，此时12t=，1252xt=−+=，故与x轴的交点是1,02；故答案为：10,5、

1,0215.不等式136xx−++的解集_______.【答案】(),42,−−+【解析】【分析】根据给定条件，分段去绝对值符号，求解不等式作答.【详解】当3x−时，原不等式化为：136xx−+−−

，解得4x−，则4x−，当31−x时，原不等式化为：136xx−+++，无解，当1x时，原不等式化为：136xx−++，解得2x，则2x，所以原不等式的解集为(),42,−−+.故答案为：(),42,−−

+16.在直角坐标系xOy中，曲线C方程为221416xy+=，直线l的参数方程为1cos2sinxtyt=+=+（t为参数），若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，则l的斜率是_____.【答案】2−【

解析】【分析】将直线的参数方程代入曲线方程化简22(13cos)4(2cossin)80t+++−=，由题意可知120tt+=，则()12242cossin013costt++=−=+，从而可求出直线的斜率【详解】因为直线l

的参数方程为1cos2sinxtyt=+=+（t为参数），表示过点(1,2)的直线，所以将直线的参数方程代入曲线C方程得224(1cos)(2sin)16tt+++=，化简整理得()()2213cos42

cossin80tt+++−=，因为直线l的参数方程1cos2sinxtyt=+=+中参数t的几何意义为直线上的点到点(1,2)的位移，所以两交点到中点的距离和为0，即120tt+=，所以()12242coss

in013costt++=−=+，解得2cossin0+=，所以tan2=−，所以l的斜率是2−，故答案为：2−三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.设函数()3fxxax=−+，其中0a．

（Ⅰ）当1a=时，求不等式()32fxx+的解集；（Ⅱ）若不等式()0fx的解集为{|1}xx−≤，求a的值．【答案】（Ⅰ）{|3xx或1}x−；（Ⅱ）2.【解析】【分析】（Ⅰ）当1a=时，()32fxx+可化为|1

2x|−，去掉绝对值求解即可；（Ⅱ）()0fx可化为不等式组{30xaxax−+或{30xaaxx−+，分别求解与已知不等式的解集对应相等，求出a的值．【详解】（Ⅰ）当1a=时，()32fxx+可化为|12x|−，由此可得3x或1x−．故不等式()32fxx+的解集

为{|3xx或1}x−．(Ⅱ)由()0fx得30xax−+，此不等式化为不等式组{30xaxax−+或{30xaaxx−+，即4xaax或2xaax−，因为0a，∴不等式组的解

集为{|}2axx−，由题设可得2a−=1−，故2a=．【点睛】本题考查含绝对值的不等式的解法，考查学生计算能力和分类讨论思想，属于基础题．18.在直角坐标系xoy中，曲线1C的方程为22(2)4xy−+=，以O为极点，x轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，

曲线2C的极坐标方程为6sin=．（1）求曲线1C的极坐标方程；（2）已知射线1:6l=与曲线1C交于,OA两点，射线22:3l=与曲线2C交于,OB两点．求AOB面积．【答案】（1）4cos=（2）9【解析】【分析】（1）根据coss

inxy==化简求解即可（2）设1(,)6A，22,3B，再结合极坐标的几何意义与三角形面积公式求解即可【小问1详解】由()2224xy−+=，即2240xyx+−=，将cossinxy

==，代入2240xyx+−=，得24cos0−=，即4cos=，故曲线1C的极坐标方程为4cos=．【小问2详解】依题意，设1(,)6A，22,3B．由曲线1C的极坐标方程为4

cos=．得14cos236==，曲线2C的极坐标方程为6sin=．则226sin333==，所以12121sin2333192362AOBS=−==V19.（1）设,,,abcR且0,1abcabc++==．证明

：0abbcca++；（2）已知,,abc为正数，且满足1abc=．证明：222111abcabc++++【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）将()20abc++=展开可得()22212abb

cacabc++=−++，由题意可得a，b，c都不为0，则2220abc++即可求证；（2）利用基本不等式可得2222222.2,2ababacacbcbc+++，三式相加，结合1abc=，可得结论【详解】（1）因为()22222220abcabca

bbcac++=+++++=，所以()22212abbcacabc++=−++，因为1abc=，所以a，b，c都不为0，则2220abc++，所以()222102abbcacabc++=−++.（2）因为a，b，c为正数，2222222.2,2abab

acacbcbc+++，所以222222222abacbcabacbc+++++++，所以222abcabacbc++++，因为1abc=，所以222111abacbcabcabcabc++++=++，当且仅当abc==时取等号，即222111abcabc

++++20.在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为3cos(sinxy==为参数），直线l的参数方程为4171717117xatyt=−=+t（为参数）.（1）若1a=−，求C与l的交点坐标；（2）若4a−时，曲线C上的点到l距离的最大值为17，求a.【

答案】（1）(3,0)，2124(,)2525−（2）8【解析】【分析】（1）将曲线C化为标准方程，直线l的参数方程化为一般方程，联立方程可以求得交点坐标.（2）曲线C上的点可以表示成(3cos,sin)P，应用点到直线的距离公式可以表示出P到直线l的距离，再结

合距离最大值为17进行分析，即可求出a的值.【小问1详解】曲线C的普通方程为2219xy+=.当1a=−时，直线l的普通方程为430xy+−=.由22430,19xyxy+−=+=解得3,0xy==或21,2524.25xy=−=从

而C与l的交点坐标为(3,0)，2124(,)2525−.【小问2详解】直线l的普通方程为440xya+−−=，故C上的点(3cos,sin)P到l的距离为|3cos4sin4|17ad+−−=.当4a−时，d的最大值为917a+.由题设得91717a+=，所以8a=.21

.已知函数()4fxxaxa=+−+．（1）若1a=，求不等式()1fx≤解集；（2）对于任意的正实数,mn，且31mn+=，若()2mnfxmn+恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）2xx−（2）5533a−【解析】【分析】（1）分类讨论去绝对值求

解即可；（2）变换2mnmn+根据基本不等式求解最小值，再根据绝对值的三角不等式，结合恒成立问题求解即可【小问1详解】原不等式为411xx+−+，当4x−时，得411xx−−++，显然成立，所以4x−．当41x−−

≤≤时，得411xx+++，得2x−≤所以42x−−，当1x−时，411xx+−−，不成立.综上得不等式的解集为2xx−．【小问2详解】因为,mn为正实数，并且2133325mnmmmnmn

mnmnnmnmnmnm++=+=+=+++=，当且仅当mnnm=，即41mn==时等号成立，所以2mnmn+的最小值5．又因为()()43fxxaxaa+−+=，当xa=−时取到等号，要使()2mnfxmn+恒成

立，只需35a．所以5533a−．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为1cos1sinxtyta=−+=+（t为参数，0≤α＜π），以原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2123sin

+，直线l与曲线C的交点为A，B．的（1）求曲线C的直角坐标方程及α＝2时|AB|的值；（2）设点P（﹣1，1），求||||||||||PAPBPAPB−的最大值．【答案】（1）22143xy+=；|AB|＝3；（2）2．【解析】【分析】(1)

结合222cossinxyxy==+=即可得出曲线C的直角方程，将当α＝2代入直线l的参数方程得出l的直角方程为x＝﹣1，联立曲线方程解出y的值即可.(2)把直线的参数方程代入曲线的

直角方程得出关于t的一元二次方程，结合韦达定理和t的几何意义即可求出结果.【详解】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2＝2123sin+，根据222cossinxyxy==+=，转换直角坐标方程为22143xy+=，当α＝2时，直线l的参数方程为1c

os1sinxtyta=−+=+（t为参数，0≤α＜π），转换为直角坐标方程为x＝﹣1．所以，由221431xyx+==−，解得3||2y=，所以|AB|＝3．（2）把直线的参数方程1cos1sinxtyta=−+

=+，代入22143xy+=，得到（3+sin2α）t2+（8sinα﹣6cosα）t﹣5＝0，设点A对应的参数为1t，点B对应的参数为2t，故1226cos8sin3sinaatta−+=+，12253sintta=−+，故t1、t2的符号相反，由此时的几何意义可

得：||PA|﹣|PB||＝||t1|﹣|t2||＝|t1+t2|，12||||PAPBtt=为||||||||||PAPBPAPB−＝1212=tttt+6cos8=5sinaa−2|sin（α﹣φ）|的最大值为2，

(其中3tan4=).【点睛】(1)极坐标方程与直角坐标方程的互化方法:①直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入直角坐标方程并化简即可．②极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos

θ，ρsinθ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．(2)圆和圆锥曲线参数方程的应用要注意两点：①在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直

线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．②有关圆或圆锥曲线上动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解．的