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专练26正弦定理、余弦定理及解三角形授课提示：对应学生用书53页[基础强化]一、选择题1．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若a＝2，b＝3，B＝π3，则A＝()A．π6B．56πC．π4

D．π4或34π答案：C解析：由正弦定理得asinA＝bsinB，∴sinA＝asinBb＝2×323＝22，又a<b，∴A为锐角，∴A＝π4.2．在△ABC中，b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．

有解但解的个数不确定答案：C解析：由正弦定理bsinB＝csinC，∴sinB＝bsinCc＝40×3220＝3>1，∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b

，c，若a＝2，b＝3，c＝7，则角C＝()A．π6B．π4C．π3D．π2答案：C解析：由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝4＋9－72×2×3＝12，又C为△ABC内角，∴C＝π3.4．已知△ABC中，内

角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为()A．12B．1C．3D．2答案：C解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，又a2＝b2＋c2－bc，∴2cosA＝1，cosA＝1

2，∴sinA＝1－cos2A＝32，∴S△ABC＝12bcsinA＝12×4×32＝3.5．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边．若bsinA＝3csinB，a＝3，cosB＝23，则b＝()A.14B．6

C．14D．6答案：D解析：∵bsinA＝3csinB，由正弦定理得ab＝3bc，∴a＝3c，又a＝3，∴c＝1，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac·cosB＝9＋1－2×3×23＝6，∴b＝6.6．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定答案：B解析：∵bcosC＋ccosB＝asinA，∴sinBcosC＋sinCcosB＝s

in2A，∴sinA＝1，又A为△ABC的内角，∴A＝90°，∴△ABC为直角三角形．7．钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B．5C．2D．1答案：B解析：∵S△ABC＝12AB×BC×sinB＝22sinB＝12，∴sinB

＝22，若B＝45°，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos45°＝1＋2－2×2×22＝1，则AC＝1，则AB2＋AC2＝BC2，△ABC为直角三角形，不合题意；当B＝135°时，由余弦定理得

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos135°＝1＋2＋2×2×22＝5，∴AC＝5.8．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°，

∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为()A．502mB．503mC．252mD．2522m答案：A解析：由正弦定理得ACsinB＝ABsinC，∴AB＝AC·sinCsinB＝50×22sin（180°－45°－105°）＝502.9．[2024·全国甲卷(理)

]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝60°，b2＝94ac，则sinA＋sinC＝()A．32B．2C．72D．32答案：C解析：∵b2＝94ac，∴由正弦定理可得sin2B＝94sinAsinC．∵B＝60°，∴sinB＝3

2，∴34＝94sinAsinC，∴sinAsinC＝13.由余弦定理可得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，将b2＝94ac代入整理得，a2＋c2＝134ac，∴由正弦定理得sin2A＋sin2C＝134sinAsinC，则(sinA＋s

inC)2＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinC＝134sinAsinC＋2sinAsinC＝214sinAsinC＝214×13＝74，∴sinA＋sinC＝72或－72(舍).故选C.二、填空题10．在△

ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，则B＝________．答案：23π解析：由(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac得a2＋c2－b2＋ac＝0.由余弦定理得cosB

＝a2＋c2－b22ac＝－12，又B为△ABC的内角，∴B＝23π.11．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝acosB，①则A＝________；②若sinC＝13，则cos(π＋B)＝________．

答案：①90°②－13解析：①∵c＝a·cosB，∴c＝a·a2＋c2－b22ac，得a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°；②∵cosB＝cos(π－A－C)＝sinC＝13.∴cos(π＋B)＝－cosB＝－sinC＝－13.12．[2023·全国甲卷(理)]在△ABC中，∠BAC＝

60°，AB＝2，BC＝6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝________．答案：2解析：方法一由余弦定理得cos60°＝AC2＋4－62×2AC，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋3.又S△ABC

＝S△ABD＋S△ACD，所以12×2ACsin60°＝12×2ADsin30°＋12AC×ADsin30°，所以AD＝23ACAC＋2＝23×（1＋3）3＋3＝2.方法二由角平分线定理得BDAB＝CDAC，又BD＋CD＝6，所以BD＝26AC＋2，CD＝6ACAC＋2.由角平分线长公式

得AD2＝AB×AC－BD×CD＝2AC－12AC（AC＋2）2，又由方法一知AC＝1＋3，所以AD2＝2＋23－12×（1＋3）（3＋3）2＝2＋23－(23－2)＝4，所以AD＝2.[能力提升]13．(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝8，b<

4，c＝7，且满足(2a－b)cosC＝c·cosB，则下列结论正确的是()A．C＝60°B．△ABC的面积为63C．b＝2D．△ABC为锐角三角形答案：AB解析：∵(2a－b)cosC＝ccosB，∴

(2sinA－sinB)cosC＝sinCcosB，∴2sinAcosC＝sinBcosC＋cosBsinC，即2sinAcosC＝sin(B＋C)，∴2sinAcosC＝sinA．∵在△ABC中，sinA≠0，∴cosC＝12，∴C＝60°，A正确．由余弦定理，得c2＝a2＋b2－

2abcosC，得49＝64＋b2－2×8bcos60°，即b2－8b＋15＝0，解得b＝3或b＝5，又b<4，∴b＝3，C错误．∴△ABC的面积S＝12absinC＝12×8×3×32＝63，B正确．又cosA＝b2＋

c2－a22bc＝9＋49－642×3×7<0，∴A为钝角，△ABC为钝角三角形，D错误．14．[2023·全国甲卷(理)]已知四棱锥P­ABCD的底面是边长为4的正方形，PC＝PD＝3，∠PCA＝45°，则△PBC

面积为()A．22B．32C．42D．62答案：C解析：如图，过点P作PO⊥平面ABCD，垂足为O，取DC的中点M，AB的中点N，连接PM，MN，AO，BO.由PC＝PD，得PM⊥DC，又PO⊥DC，PO∩PM＝P，所以DC⊥平面POM，又OM⊂平面POM，所以DC⊥OM.在正方形A

BCD中，DC⊥NM，所以M，N，O三点共线，所以OA＝OB，所以Rt△PAO≌Rt△PBO，所以PB＝PA.在△PAC中，由余弦定理，得PA＝PC2＋AC2－2PC·ACcos45°＝17，所以PB＝17.在△PBC中，由余弦定理，得cos∠PCB＝PC2＋BC2－B

P22PC·BC＝13，所以sin∠PCB＝223，所以S△PBC＝12PC·BCsin∠PCB＝42，故选C.15．[2022·全国甲卷(理)，16]已知△ABC中，点D在边BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD.当ACAB取得最小值时，BD＝________．答案：3－1解析

：以D为坐标原点，DC所在的直线为x轴，DC→的方向为x轴的正方向，过点D且垂直于DC的直线为y轴，建立平面直角坐标系(图略)，易知点A位于第一象限．由AD＝2，∠ADB＝120°，得A(1，3).因为CD＝2BD，所以设B(－x，0)，x＞0，则C(2x，0).所以AC＝（2x－1）2＋（

0－3）2＝4x2－4x＋4，AB＝（－x－1）2＋（0－3）2＝x2＋2x＋4，所以ACAB2＝4x2－4x＋4x2＋2x＋4.令f(x)＝4x2－4x＋4x2＋2x＋4，x＞0，则f′(x)＝（4x2－4x＋4

）′（x2＋2x＋4）－（4x2－4x＋4）（x2＋2x＋4）′（x2＋2x＋4）2＝（8x－4）（x2＋2x＋4）－（4x2－4x＋4）（2x＋2）（x2＋2x＋4）2＝12（x2＋2x－2）（x2＋2x

＋4）2．令x2＋2x－2＝0，解得x＝－1－3(舍去)或x＝3－1.当0＜x＜3－1时，f′(x)＜0，所以f(x)在(0，3－1)上单调递减；当x＞3－1时，f′(x)＞0，所以f(x)在(3－1，＋∞)上单调递增．所以当x＝3－1时，f(x)取得最小值，即ACAB取得最小值，此时BD＝

3－1.16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且6S＝(a＋b)2－c2，则tanC＝________．答案：125解析：由余弦定理得2abcosC＝a2＋b2－c2，又6S＝(a＋b)2－c2，所以6×12absinC＝(a＋b)2－c2＝a2＋

b2－c2＋2ab＝2abcosC＋2ab，化简得3sinC＝2cosC＋2，结合sin2C＋cos2C＝1，解得sinC＝1213，cosC＝513，所以tanC＝125.