【文档说明】浙江省七彩阳光新高考研究联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(21)页，1.708 MB，由小赞的店铺上传

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浙江七彩阳光新年高考研究联盟2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题一､选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设集合|1,|12==−AxxBxx，则A

B=（）A.{|1}xx−B.|1xxC.|11xx−D.|12xx【答案】A【解析】【分析】根据并集的概念运算可得结果.【详解】因为集合|1,|12==−AxxBxx，所

以AB={|1}xx−.故选：A2.直线3310xy++=的倾斜角为（）A.30B.60C.120D.150【答案】C【解析】【分析】根据直线的一般式方程，求得斜率，即可求得直线的倾斜角.【详解】直线3310xy+

+=的斜率333k=−=−设其倾斜角为，故可得tan3=−，又)0,，故120=.故选：C.3.若直线ab⊥rr，且//a平面，则直线b与平面的位置关系是（）A.bB.//bC.b或//bD.b与相交或//b或b都有

可能【答案】D【解析】【分析】.作图观察即得解.【详解】如图所示，所以b与相交或//b或b都有可能，故选：D【点睛】本题主要考查空间直线和平面的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象能力.4.洛书，古称龟书，是阴阳五行术

数之源.在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数，其各行各列及对角线点数之和皆为15.如图，若从五个阳数中随机抽取三个数，则能使得这三

个数之和等于15的概率是（）A.110B.15C.310D.25【答案】B【解析】【分析】根据已知条件先求出基本事件总数，利用列举法求出能使这三个数之和等于15包含的基本事件个数，再利用古典概型即可求出概率.【详解】从5个阳数

1,3,5,7,9中随机抽取3个数，基本事件总数为3510C=种取法，能使这三个数之和等于15的基本事件有：1,5,93,5,7，，共2种，能使得这三个数之和等于15的概率：21105P==；故选：B.5.函

数sincosyxxx=+的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由0x=时的函数值排除两个选项，再由导数确定0x=附近的单调性排除一个，得正确选项．【详解】0x=时，1y=，排除AC，sincossincosyxxxxxx=

+−=，(0,)2x时，0y，函数递增，排除B．故选：D．6.若抛物线24yx=的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3470xy++=的距离之和的最小值是（）A.2B.135C.145D.3【答案】A【解析】【分析】过点P作PAl⊥，垂足为点A

，过点P作直线3470xy++=的垂线段PB，垂足为点B，计算出点F到直线3470xy++=的距离d，由抛物线的定义可得PAPF=，利用当B、P、F三点共线可求得PAPB+的最小值.【详解】如下图所示，过点P作PAl⊥，垂足为点A，过点P作直线3470xy++=的垂线段PB，垂足为点B，抛物线

24yx=的准线为:1lx=−，焦点为()1,0F，点F到直线3470xy++=的距离为2237234d+==+，由抛物线的定义可知PAPF=，所以，2PAPBPFPBd+=+=，当且仅当B、P、F三点共线时，等号成立，因此，P到准线l的距离与P到直线347

0xy++=的距离之和的最小值是2.故选：A.7.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关……”其大意为:有一个人走378里路,第一天健步走,从第二天起因

脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天到达目的地…….则此人后四天走的路程比前两天走的路程少()里.A.198B.191C.63D.48【答案】A【解析】【分析】由题意可知,每天走的路程里数构成以公比

12的等比数列,由6378S=求得首项,可计算:12aa+及5346aaaa+++，即可求得答案.【详解】设每天走的路程里数为na,则na是公比为12的等比数列,由6378S=得16112378112a−=

−解得:1192a=所以111922nna−=后四天走的路程:5346aaaa+++,前两天走的路程:12aa+，又1219296288aa=+=+，且6378S=，∴634537828890aaaa+=−=++，∴()()415

23628890198aaaaaa−++=−=++故此人后四天走的路程比前两天走的路程少198，故选:A.【点睛】本题考了等比数列在实际中的应用,解题关键是掌握等比数列的基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.8.如图所示，三棱

锥S一ABC中，△ABC与△SBC都是边长为1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小为23，若S，A，B，C四点都在球O的表面上，则球O的表面积为（）A.73πB.133πC.43πD.3π【答案】A【解析】【分析】取线段B

C的中点D，连结AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∠ADS23=，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点

即球心O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由此能求出球O的表面积．【详解】解：取线段BC的中点D，连结AD，SD，由题意得AD⊥BC，SD⊥BC，∴∠ADS是二面角A﹣BC﹣S的平面角，∴∠ADS23=，由题意得BC⊥平面ADS，分别取AD，SD的三等分点E，F，在平面ADS内

，过点E，F分别作直线垂直于AD，SD，两条直线的交点即球心O，连结OA，则球O半径R＝|OA|，由题意知BD12=，AD32=，DE1336AD==，AE2333AD==，连结OD，在Rt△ODE中，3ODE=，OE3=DE12=，∴OA2＝OE2+AE2712=，∴球

O的表面积为S＝4πR273=．故选：A．【点睛】本题考查了几何体的外接球、球的表面积公式，解题的关键是作出外接球的球心，需熟记公式，考查了考生的空间想象能力，属于中档题.二､多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在

每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）9.已知复数z满足()12i3iz+=+(i是虚数单位)，以下命题正确的是()A.2z=B.z的虚部为i−C.复平面上z对应的点在第四象限D.2z=【答案】AC【解析】【分析】根据复数的四则运算法则求出

z，根据复数的基本概念逐项判断即可．【详解】()()()()()3i12i3i55i12i3i=1i12i12i12i5zz+−+−+=+===−++−，则221(1)2z=+−=，故A正确；∵z＝1－i，∴z的虚部为－1，故B错误；z对应的点(1，－1)在第四

象限，故C正确；2zz==，故D错误．故选：AC．10.已知函数()33fxxx=−，下列说法中正确的是（）A.函数()fx在原点()0,0处的切线方程是30xy+=B.1−是函数()fx的极大值点C.函数()si

nyxfx=+在R上有3个极值点D.函数()sinyxfx=−在R上有3个零点【答案】ABD【解析】【分析】由导数的几何意义求出切线方程判断A，由导数确定函数的单调性，极值点判断B，由()fx的性质判断其与函数sinyx=的

图象的交点个数判断D．利用导数确定极值点个数判断C．【详解】2()33fxx=−，(0)3f=−，又(0)0f=，所以切线方程是3yx=−，即30xy+=，A正确；1x−或1x时，()0fx

，11x−时，()0fx，所以()fx在(,1)−−和(1,)+上都递增，在(1,1)−上递减，因此1−是极大值点，B正确；显然1是极小值点，(1)4f−=，(1)2f=−，<2x−时，()2fx−，2x时，()2fx，(

)02f，()02f−，sin[1,1]yx=−，在[,]22−上递增，在3[,]22和3[,]22−−上递减，因此()yfx=与sinyx=的图象有3个交点，即sin()yxfx=−有3个零点，D正确；

设()sin()gxxfx=+3sin3xxx=+−，2()cos33gxxx=+−，令2()()cos33hxgxxx==+−，则()6sinhxxx=−，设()()6sinxhxxx==−，则()6cos0xx=−恒成立，所以()

x，即()hx是增函数，而(0)0h=，所以0x时，()0hx，0x时，()0hx，所以()gx在(,,0)−上递减，在(0,)+上递增，(0)2g=−0，易知(1)(1)0gg−

=，所以()gx存在两个零点，由()gx的单调性知这两个零点就是()gx的两个极值点，C错．故选：ABD．11.已知定义在R上的奇函数()fx满足()()4fxfx−=−，且在区间0,2上单调递增，则（）A.()()20192017ff=B.()()20192

020ff=C.()()20202019ffD.()()20202018ff【答案】AC【解析】【分析】利用已知可以求出函数的周期，然后把位置区间的函数值转化到已知区间上，再根据函数的单调性进行判断.【详解】()fx满足()()4fxfx−=−，()()()84fxf

xfx−=−−=所以函数()fx是以8为周期的函数，又()fx是定义在R上的奇函数则()()20171ff=，()()20182ff=，()()()()()201933141fffff==−−=−−=()()()()()2020440400fffff==−−

=−−==又()fx在区间0,2上单调递增，()()()2100fff=即：()()20192017ff=，()()20202019ff，()()20202018ff故选：AC.12.已知正方体1111ABCDABCD

−棱长为4,E为BC的中点，F为线段1CC上的动点，过点,,AEF的平面截该正方体所得的截面记为S，下列说法中正确的是（）A.当F为线段1CC中点时，S为等腰梯形B.当3CF=时，S与11CD的交点G满足143CG=C.当34CF时

，S为六边形D.三棱锥1DDBF−的体积为定值【答案】ABD【解析】【分析】通过空间想象结合图形可判断AC；建立空间直角坐标系，利用向量共面可得G点坐标，可判断B；根据三棱锥1DDBF−与三棱锥1BD

DF−等体积，结合图形可知.【详解】A中，当F为线段1CC中点时，易知1EFBC∥，11BCAD∥所以1EFAD∥，截面S为梯形1AEFD，A正确；如图建立空间直角坐标系，则(4,2,0),(4,4,3)EF，设(,4,4)Gm，因

为,,,AEFG四点共面，所以,,AGAEAF共面，所以存在x，y使得AGxAEyAF=+的即(,4,4)(4,2,0)(4,4,3)mxy=+，即4424434xymxyy+=+==，解得83m=，所以143CG=，B正

确，如图，当34CF时，设7(4,4,),(0,,4),(,4,4)2FHnGm，在平面11AADD内作AHEF，交11AD于点H，在平面1111DCBA作HGAE，交11CD于点G，则7(4,2,0),(0,2,),(0,,4),(,4,0)2AEEFAHnHGmn====−由7(0

,,4)(0,2,)2n=得167n=，(,4,0)(4,2,0)mn−=得1m=所以，A、E、F、G、H五点共面，即截面为五边形AEFGH，故C错误；由图知，111111132323DDBFBDD

FVVDDDCBC−−===，D正确.故选：ABD三､填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知向量()()1,,,4,//axbxab==，则x=___________.【答案】2【解析】【分析】由向量平行的坐标表示计算．【详解】由题意24x=，2x

=．故答案为：2．14.某中学举行电脑知识竞赛，现将参赛学生的成绩进行整理后，分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图.则参赛学生的成绩的中位数是___________．【答案】65【解析】【分析】根据频率分布直方图求出每一组频率，判断中位数在哪一组，

再根据中位数左边小矩形面积和右边小矩形面积均为0.5即可求出中位数．【详解】频率分布直方图第一组频率为0.3，第二组频率为0.4，∵0.3＜0.5，0.3＋0.4＞0.5，∴中位数在60到70之间，设中位数为x，则0.3＋(x－60)×0.04＝0.5，解得x＝65．故答案为：

65．15.在平面直角坐标系xOy中，双曲线22221xyab−=（0a，0b）的左焦点F关于一条渐近线的对称点恰好落在另一条渐近线上，则双曲线的离心率为________.【答案】2【解析】【分析】设出(,0)Fc−关于直线byx

a=的对称点为00(,)Pxy，求出,22cbcPa−，由212bcbacac=−−−，结合222bca=−即可求解.【详解】设(,0)Fc−关于直线byxa=的对称点为00(,)Pxy，则000022yxcbabyxa−=

=−，解得02cx=，02bcya=−，所以,22cbcPa−因为直线PF与直线byxa=互相垂直，则212bcbacac=−−−，即223ba=，又222bca=−，所以224ca=，解得2e=.故答案为：216.对xR，x表示不超

过x的最大整数，如3.143=，0.6180=，若数列na满足154a=，211nnnaaa+=−+，Nn，记数列1na的前n项和为nT，则2022T=___________.【答案】3【解析】【分析】

推导出111111nnnaaa+=−−−，利用裂项法可求得20222023141Ta=−−，利用数列的单调性推导出20232a，求出2022T的范围，即可得解.【详解】因为211nnnaaa+=−+，所以，()111nnn

aaa+−=−，则()11111111nnnnnaaaaa+==−−−−，所以，111111nnnaaa+=−−−，则2022122320222023120231111111111111111Taaaaaaaa=−+−++−=−−−−−−−−−2023141a=−−，因为211nnnaaa+

=−+，则()2110nnnaaa+−=−，则1nnaa+，因为154a=，225521116416a=−+=，344121361125616256a=−+=，24361361312562562a=−+，因为二次函数21yxx=−+在1,2+

上为增函数，则254493711424aaa=−+−+=，26554973711216416aaa=−+−+=，所以，202362aa，故()20222023143,41Ta=−−，即20223T=.故答案为：

3.四､解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.如图，在△ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且cossinbBACaB=.（1）求BAC的大小；（2）若,22,5ABADACCD⊥==，求

ACD的面积.【答案】（1）4；（2）1或3.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，整理化简即可求得结果；（2）根据（1）中所求，解得CAD，在三角形CAD中由余弦定理求得AD，再根据三角形面积公式即可求得结果.【小问1详解】在△ABC中，由正弦定理，得

sincossinsinBBACBACB=，∵sin0B，∴cossinBACBAC=，∵()0,A，∴4BAC=.【小问2详解】∵ABAD⊥，且4BAC=，∴4CAD=，在△ACD中，由余弦定理得2222cosCD

ACADACADCAD=+−，2π5842cos4ADAD=+−解得，1AD=或3AD=，所以△ACD的面积为1sin24SACADAD==，故1S=或3S=.18.已知圆222212:(1)(2)1,:(3)(4)3CxyCxy−+−=−+−=，点,,PAB分别在x轴和圆

12,CC上.（1）判断两圆的位置关系；（2）求PAPB+的最小值.【答案】（1）外离；（2）21013−−﹒【解析】【分析】(1)判断两圆圆心距和两圆半径之和及半径之差的关系即可判断两圆的位置关系；(2)根据圆的性质可知()()12minmin13PAPBPCPC+

=+−−，作1C关于1C(1，2)关于x轴的对称点1(1,2)C−，则()1212minPCPCCC+=，据此即可求得答案．【小问1详解】圆1C的圆心为1C(1，2)，半径为1，圆2C的圆心为2C(3，4)，半径为3，∵1222

13CC=+，∴两圆外离；【小问2详解】()()12minmin13PAPBPCPC+=+−−，作1C(1，2)关于x轴的对称点1(1,2)C−，则当1C、P、2C三点共线时，所求最小值为121321013CC−−=−−．19.已知三棱锥DABC−中，平面ACD⊥平面ABC，45,22AC

BACDDADCBC=====.（1）证明：CBDB⊥；（2）求CB与平面DAB所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）22211【解析】【分析】（1）作DEAC⊥于E，连接EB，证明CB⊥面DEB，可得线线垂直；（2）过点E作//EFBC交AB于F，以EF，EB，ED

为,,xyz轴建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面角．【小问1详解】证明：作DEAC⊥于E，连接EB，由已知平面ACD⊥平面ABC，DE面ACD，面ACD面ABCAC=，∴DE⊥面ABC，BC面ABC，∴DEBC⊥，D

ADC=，45ACD=，所以45DAC=，90ADC=，2AEDEEC===，在△BCE中，由余弦定理得21221cos451EB=+-创窗=，222EBBCCE+=，∴CBEB⊥，又EBDEE=I，,EBDE平面DEB，∴CB⊥面DEB，而

DB平面DEB．∴CBDB⊥【小问2详解】过点E作//EFBC交AB于F，则F为AB的中点，由（1）EF，EB，ED两两垂直，以E为原点，建立空间直角坐标系（如图），则E（0，0，0），B（0，1，0），C（－

1，1，0）A（1，－1，0），D（0，02），(1,2,0)AB=−，()1,1,2AD=−，()1,0,0CB=.设平面DAB的法向量为(),,nxyz=，则00nABnAD==，即2020xy

xyz−+=−++=，取4x=，则()4,2,2n=，设所求角为，则4222sin11||22nCBnCB===，所以CB与平面DAB所成角的正弦值为22211．20.已知数列na中，13a=，点()1,nnaa+在直线3yx=上.（1）求数列na的通项公式及其前n项的和

nS；.（2）设*,Nnnnbna=，证明：1234nbbb+++.【答案】（1）3nna=，1332nnS+−=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据等比数列的通项公式结合前n项和公式，即可求得结果；（2）利用错位相减法求得nb的前n项和，再证明即可.【小问

1详解】因为点()1,nnaa+在直线3yx=上，所以13nnaa+=，又13a=，故数列{na}是以3为公比，3为首项的等比数列，所以3nna=，()31313nnS−==−1332n+−.【小问2详解】由题可知3nnnb=，记12nnTbbb=+

++，所以212333nnnT=+++L①①13，得2311123333nnnT+=+++②①-②，得2111211111132133333233223nnnnnnnnnT++++=+++−=−−=−，故332443nnnT+=−

，又32043nn+，故34nT，即证.21.已知椭圆22221(0)xyabab+=的左右焦点为12,FF，且()21,0F为长轴的一个四等分点.（1）求椭圆的标准方程；（2）分别过12,FF作斜率为12,

kk的两条直线1l和21,ll与椭圆交于,AB两点，2l与椭圆交于,CD两点，且121kk=.求证：11ABCD+为定值，并求出该定值.【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析，定值为712【解析】【分析】（1）由已知易得224,3ab==

，从而可得椭圆的方程；（2）直线()11:1lykx=+、()22:1lykx=−分别与椭圆联立求出弦长，再根据目标及条件计算可得结果.【小问1详解】由已知1c=，2a=，所以2223bac=−=，因此椭圆的

标准方程为22143xy+=；【小问2详解】设A（1x，1y），B（2x，2y），C（3x，3y），D（4x，4y）直线()11:1lykx=+，()22:1lykx=−联立方程()12213412ykxxy=++=得222211

1(34)84120kxkxk+++−=，∴211221834kxxk−+=+，21122141234kxxk−=+，()212211212211211()434kABkxxxxk+=+++−=，联立方程()22213412ykxxy=−+=得2222222(34)84120kx

kxk+−+−=，同理可得()222212134kCDk+=+，222222121212222222121212343467781111||||1211121kkkkkkABCDkkkkkk++++++=+=+++++由已知121kk=，化简得11712ABCD+==

定值.22.已知函数()1ln,fxxaxax=−+R.（1）当52a=时，求函数()fx的单调区间；（2）若32522a，记()fx的两个极值点分别为()()121212,,fxfxxxxx−−的最大值与最小值分别为,Mm，求Mm−的值.【答案】（1）单调增区间1,

22，单调减区间是10,2和(2,)+；（2）ln23【解析】【分析】（1）求得()fx，利用导数的正负即可求得函数的单调区间；（2）根据12,xx是()fx0=的两个根，利用根于系数的关系，结合a的取值范围，令12xtx

=，将()()1212fxfxxx−−转化为关于t的函数，再利用导数求其最大值和最小值即可求得结果.【小问1详解】()fx的定义域为()0,+，故()()()2221215122xxfxxxx−−=−−+=−当()0fx¢>时，则122x，当()0fx时，则10

2x或2x，所以()fx的单调增区间是1,22，单调减区间是10,2和(2,)+【小问2详解】()222111,axaxfxxxx−+=−−+=−所以12,xx是210xax−+=的两个根，则240a=−

，故可得12xxa+=，121=xx，且2a，不妨设12xx，则2142aax−−=，2242aax+−=，是.令212222444(4)xaatxaaaa−−===+−+−，则t为关于a的减函数，而32522a，所以得1142t所以()()12121212121212l

nln112fxfxxxxxaxxxxxxxx−−+=−−+=−+−−−121ln2ln1xttxt+=−+−，令()12ln1tgttt+=−+−，则()()212ln1tttgtt−−=−，且1142t，而()12lnhtttt=−−，则()22121110htttt=+−=−

，即()ht在()0,+上是单调增函数，在()0,1上，()()10hth=，所以()0gt，即()gt在()0,1上是减函数，即在11,42上也是减函数，从而11ln2423Mmgg−=−=.获得更多资源请扫码加入享学资源

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