【文档说明】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（七）数学（文）试卷 含解析.doc，共(20)页，1.583 MB，由小赞的店铺上传

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文科数学试卷一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数212zi=+(i是虚数单位)，则z=（）A.1255i+B.1255i−C.2455i+D.2

455i−————C分析：先化简复数z，再求解其共轭复数即可.解答：()()()21222412121255iziiii−===−++−，∴2455zi=+，故选:C.2.已知集合1,0,1A=−，1cos,2xByyxA

==−，则集合AB=（）A.1,0−B.C.1,0,1−D.0,1————D分析：先利用余弦函数的性质化简集合B，再利用交集运算求解.解答：因为集合1,0,1A=−，1cos,2xByyxA==−{01}

=，，所以{01}AB=，，故选：D.3.某单位有管理人员､业务人员､后勤人员共m人，其中业务人员有120人，现采用分层抽样的方法从管理人员､业务人员､后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，

且抽取的管理人员与业务人员的比为1:4，抽取的后勤人员比业务人员少20人，则m的值为（）A.170B.180C.150D.160————A分析：根据分层抽样的概念及计算方法，列出等式，即可求解.解答：若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1∶4，

所以抽取的业务人员有24人，又抽取的后勤人员比业务人员少20人，抽取的后勤人员有4人，所以120624424m=++，解得170m=.故选：A.4.已知515a=，155b=，15log5c=，则（）A.cba

B.cabC.abcD.bca————B分析：利用指数函数和对数函数的单调性判断.解答：因为50110155a==，105551b==，1155log5log10c==，所以cab，故选：B.5.已知()f

x、()gx是定义在R上的偶函数和奇函数，若()()22xfxgx−−=，则()1g−=（）A.5B.5−C.3D.3−————D分析：根据题意可得出关于()1f−、()1g−的方程组，进而可解得()1g−的值.解答：()()22xfxgx−−=，所以，()()31128fg−−−=

=，①，()()112fg−=，②，因为()fx、()gx是定义在R上的偶函数和奇函数，由②可得()()112fg−+−=，则有()()()()118112fgfg−−−=−+−=，解得()13g−=−.故

选：D.6.命题p：存在实数a，使得对任意实数x，()coscosxax−=−恒成立；命题q：0b，()lnbxfxbx−=+为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A.()pqB.()pqC.pqD.()()

pq————C分析：对于命题p，取πa=可判断真假；对于命题q，由()()lnln0bxbxfxfxbxbx+−−+=+=−+，可判断真假，从而逐项排除可得答案.解答：对于命题p，取πa=，对任意实数x，cos(π)cosxx−=−成立，因此p真命题；对于命题

q，函数()fx的定义域是()bb−，，且()()lnln0bxbxfxfxbxbx+−−+=+=−+，∴()lnbxfxbx−=+为奇函数，因此q真命题，所以q为假命题，p为假命题，所以()pq为假命题，故A错误；()pq为假命题，故B错误；pq为真命题，故C正确；()()pq

为假命题，故D错误.故选：C7.方程()()22220xxmxxn−−−−=有4个不等的实根，且组成一个公差为1的等差数列，则mn的值为（）A.158−B.158C.1516−D.1516————C分析

：由题意设4个根组成的等差数列为1x，2x，3x，4x，根据韦达定理可知14232xxxx+=+=，进而可得1232xd+=，求出4个根即可求解.解答：设4个根组成的等差数列为1x，2x，3x，4x，则14232xxxx+=+=，∴1232xd+=.又

∵1d=，∴112x=−，∴212x=，332x=，452x=，∴1516mn=−，故选：C8.已知函数()()2sinfxx=+(0，2)的图象上相邻两个最值点间的距离为3，且过点()0,3−，则要得到函数()yfx=

的图象，只需将函数2sinyx=的图象（）A.向右平移1个单位B.向左平移1个单位C.向右平移12个单位D.向左平移12个单位————A分析：由函数过点(0,3)−，可得π3=−，由函数的最值和最值间的距离可得6T=，进而可得π3=，求出函数解析式π

π()2sin33fxx=−，可得结果.解答：由题意(0)2sin3f==−，又π||2，所以π3=−.易知()fx的最大值为2，最小值为2−，则相邻两个最值点间的距离为224562TT+==，所以π3=.所以ππ()2sin33fxx=−

π2sin(1)3x=−，故要得到函数()yfx=的图象，只需将函数π2sin3yx=的图象向右平移1个单位.故选:A9.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”

，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙

戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（）A.庚子年B.辛丑年C.己亥年D.戊戌年————B分析：根据“干支纪年法”的规则判断．解答：天干的周期为10，地支的周期为12，因为

1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以2014年为甲午年，从2014年到2021年，经过了7年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年，故选：B.10.已知三棱锥ABCD−的所有顶点都在球O的球面上，且AB⊥平面BCD，

23AB=，4ACAD==，22CD=，则球O的表面积为（）A.20B.18C.36D.24————A分析：根据AB⊥平面BCD，得到ABBC⊥，ABBD⊥，再由23AB=，4ACAD==，22CD=，得到BCBD⊥，则三棱锥ABCD−截取于

一个长方体，然后由长方体的外接球即为三棱锥的外接球求解.解答：因为AB⊥平面BCD，所以ABBC⊥，ABBD⊥，∴224(23)2BCBD==−=，在BCD△中，22CD=，∴222CDBCBD=+，∴BCBD⊥.如图所示：三棱锥

ABCD−的外接球即为长方体AGFH-BCED的外接球，设球O的半径为R，则2R=222222(23)2225BABCBD++=++=，解得5R=，所以球O的表面积为20π，故选：A.11.已知函数()sincosefxxxxx

=−+，当4,4x−且0x时，方程()0fx=的根的个数是（）A.7B.6C.9D.8————D分析：设()egxx=，()sincoshxxxx=−，求方程()0fx=的根的个数，即求函数()ygx=与()yhx=的交

点个数，利用函数均为奇函数求区间交点数即可.解答：设()egxx=，()sincoshxxxx=−，()fx与()gx均为奇函数，∴只需求()ygx=与()yhx=在(0,4]上的交点个数.∵()sinhxxx=，所以()hx在(0,)和(2,3)上单调递增，在(,2)和

(3,4)上单调递减，且()()()()()00,,22,33,44hhhhh===−==−；又()egxx=单调递减且()()()(),444eeghgh==，∴在(0,4]上有4个交点，故在[4,0)−上也

有4个交点，故方程()0fx=在[4,4]−且0x上有8个根，故选：D.点拨：关键点点睛：将函数拆分成两个函数()egxx=，()sincoshxxxx=−，研究它们在指定区间上的交点个数.12.已知双曲线C：2212xy−=，若直线l：()0ykxmkm=+与双曲线C交于不同的两点

M，N，且M，N都在以()0,1A−为圆心的圆上，则m的取值范围是（）A.()1,03,3−+B.()3,+C.()(),03,−+UD.1,33−————A分析：由直线与双曲线方

程联立，消去x得到222(12)42(1)0kxkmxm−−−+=，根据相交两点，则222120120kmk−=+−，①，设MN的中点为00()Gxy，，根据M，N都在以()0,1A−为圆心的圆上，即AGMN⊥，得到k，m的关系，再结合①求解.解

答：设11()Mxy，，22()Nxy，，由22222(12)42(1)022ykxmkxkmxmxy=+−−−+=−=，，则222120120kmk−=+−，，由根与系数关系得122412mkxxk+=−，21222(1)12mxxk−+=−，设MN的中点为00()Gxy，，

则02212kmxk=−，0212myk=−，∵AGMN⊥，∴21212mkkkm+−=−，∴22k=31+m，解得103m−或3m，故选：A.二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若实数x，y满足2,0,0,xxyxy

+−则不等式组表示的平面区域的面积为___________.————4分析：作出不等式组对应的平面区域，求出交点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．解答：可行域如图所示的阴影部分，A（2，2），B（2，﹣2），故11224422OABSAB===．故答案为：4．1

4.已知点O为坐标原点，抛物线23yx=与过焦点的直线交于A，B两点，则OAOB等于___________.————2716−分析：由题知抛物线23yx=的焦点3,04F，进而分直线AB斜率存在和不存在两种情况讨论求解

即可.解答：设2113yAy，，2223yBy，，当直线AB斜率不存在时，1233,22ypyp===−=，所以22121233yyOAOByy==，，221212127916yyyy+=−.当直线AB斜率存在时，设

方程为()304xmym=+，与抛物线联立方程得：29304ymy−−=所以1294yy=−，∴22121233yyOAOByy==，，221212127916yyyy+=−.故答案为：2716−.点拨：本题考查过

抛物线的焦点的弦的性质，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题解题的关键在于根据已知条件分直线AB斜率存在和不存在两种情况讨论；此外，掌握过抛物线焦点的弦的相关性质，能够快速解题.15.在半径为a的圆上有A，B两点，且ABa=，在该圆上任取一点P，则使PAB△为锐角三角形

的概率为___________.————16分析：设圆心为O，连接AO，BO并延长交圆于点C，D，根据圆的性质，得到点P在点C与点D之间的劣弧上时，ABP△为锐角三角形，即可求解.解答：如图所示，设圆心为O，连接A

O并延长交圆于点C，连接BO并延长交圆于点D，连接BC，AD，CD，因为AC，BD为直径，所以90ABCBAD==，当点P在点C或点D处时，ABP△为直角三角形，当点P在点C与点D之间的劣弧上时，ABP△为锐角三角形，故使ABP△为锐角三角形的

概率为6013606=.故答案为：16.16.偶函数()fx的定义域是,22−，其导函数是()fx.当02x时，()()cossin0fxxfxx+，则关于x的不等式()2cos3fxfx的解集为_________

__.————ππππ,,2332−−分析：根据02x时，()()cossin0fxxfxx+，构造函数()()cosfxFxx=，用导数法研究其单调性，再根据()fx是,

22−上的偶函数，得到()Fx为偶函数，然后将原不等式转化为π(||)3FxF求解.解答：令()()cosfxFxx=，则2()cos()sin()cosfxxfxxFxx+=，因

为当02x时，()()cossin0fxxfxx+，所有当π02x，时，()0Fx，∴()Fx在π02，上单调递减，因为()()()()cos()cosfxfxFxFxxx−−===−，∴()Fx为偶函数.当ππ22x−，时，co

s0x，则π()2cos3fxfx等价于π()3πcoscos3ffxx，即π()3FxF.因为()Fx为偶函数，所以π(||)3FxF，∴π||3x，又因为ππ22

x−，，所以所求解集为ππππ2332−−，，.故答案为：ππππ,,2332−−点拨：思路点睛：先由02x时，()()cossin0fxxfxx+，构造函数()()cosfxFxx=，研究其单调性和奇偶性，

再利用函数单调性的定义解不等式.三､解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设()3sin2cosbAaB=+.（1）求角B；（2）若3b=，且ABC的面积等于32，求11ac+的值.————（1）2π3；（2）112.分析：（

1）利用正弦定理的边角互化以及辅助角公式即可求解.（2）根据三角形的面积公式可得2ac=，再利用余弦定理可得11ac+=，代入即可求解.解答：解：（1）因为3sin(2cos)bAaB=+，所以3sinsinsin(2cos)ABAB=+.∵(0π)A，，∴sin0A，∴3sinco

s2BB−=，∴π2sin26B−=，∴ππ62B−=，∴2π3B=.（2）因为32ABCS=，∴12π3sin232ac=，∴2ac=.又∵22222cos()bacacBacac=+−=+−，∴11ac+=.∴11112acacac++==.18.支付宝为

人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据：每周使用支付宝次数123456及以上40岁及以下人数334873040岁以上人数4566420合计7810141150（1）如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，

完成下面22列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计40岁及以下人数40岁以上人数合计（2）每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付

宝达人”，在该市所有“支付宝达人”中，采用分层抽样的方法抽取5名用户，再从这5人中随机抽取2人，赠送一件礼品，求选出的这2人中至少有1名40岁以上用户的概率.附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++.()20PKk0.1

50.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828————（1）列联表答案见解析，在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关；（2）710.分析：（1）

由数据完成列联表，代入公式即可得出结果.（2）5名“支付宝达人”中，40岁及以下的人数为3人，40岁以上的人数为2人，列举所有任选2人的结果，由古典概型公式即可得出结果.解答：（1）由题中表格数据可得22列联表如下：不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计40岁及以下人数10455540岁以上人数1

53045合计2575100将列表中的数据代入公式计算得：2K的观测值2100(30104515)3.0303.84125755545k−=，所以在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关.（2）设事件M为“选出的这2人中至少有1名40岁以上用户”

，则事件M为“选出的这2人中都是40岁及以下用户”，由题意，所抽取的5名“支付宝达人”中，40岁及以下的人数为3人，分别设为a，b，c，40岁以上的人数为2人，分别设为x，y.则从5人中选出2人的所有

可能结果为：{}ab，，{}ac，，{}ax，，{}ay，，{}bc，，{}bx，，{}by，，{}cx，，{}cy，，{}xy，，共10种，其中，选出的这2人中都是40岁及以下用户的结果为{}ab，，{}ac，，{}bc，，共3种，所以

3()10PM=，所以37()1()11010PMPM=−=−=.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，且//ADBC，90ABC=，PD⊥平面ABCD，1AD=，4BC=，23CD=，2P

D=.（1）求证：平面PBD⊥平面PCD；（2）求点C到平面PAB的距离.————（1）证明见解析；（2）463.分析：（1）在直角梯形ABCD中，过D作DFAB，根据1AD=，4BC=，利用勾股定理得到BDCD⊥，再由PD⊥平面ABCD，得到PDBD⊥，然后利用线面垂直的判定定理证

得BD⊥平面PCD即可.（2）设点C到平面PAB的距离为h，分别确定PA，PB，由CPABPABCVV−−=，利用等体积法求解.解答：（1）如图，在直角梯形ABCD中，过D作DFAB，交BC于F，因为1AD=，

4BC=，∴3CF=.又∵23CD=，∴3DFAB==，∴2BD=，∴222BDCDBC+=，∴BDCD⊥.又因为PD⊥平面ABCD，∴PDBD⊥，且PDCDD=，∴BD⊥平面PCD.又∵BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PCD.

（2）设点C到平面PAB的距离为h，在RtPAD△中，223PAPDAD=+=，在RtPBD△中，226PBPDBD=+=，由CPABPABCVV−−=，得：22116116(3)43232232h−=

，∴463h=，即点C到平面PAB的距离为463.点拨：方法点睛：求点到平面的距离的常用方法：（1）直接法；（2）转化为所在的直线到平面的距离求解；（3）等体积法；（4）向量法.20.已知抛物线()220ypxp=上一点(),4Mm到焦点F的距离是4.（1）求抛

物线的方程；（2）过点F任作直线l交抛物线于,AB两点，交直线2x=−于点C，N是AB的中点，求CACBCNCF的值.————（1）28yx=；（2）1.分析：（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解；（2）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为零，根据对称性只考虑斜率为正

的情况，设点,,,ABNF在准线上的投影分别为1A，1B，G，H，||||(0)||||CACBaaCNCF=，所以||||||||CACBaCNCF=，即11||||||||CACBaCGCH=，设直线AB的方程为2xmy=+，设11()Axy，，

22()Bxy，，联立直线与抛物线，结合韦达定理，再在2xmy=+中，令2x=−得点C坐标，再由1212()()()2CCCCyyyyyyayy+−−=−−，化简整理可得a的值，进而得到结论.解答：解：（1）因为42pMF

m=+=①，且点(4)Mm，在抛物线上，所以216pm=②.由①②得4p=，所以抛物线的方程为28yx=.（2）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为零，设点,,,ABNF在准线上的投影分别为1A，1B，G，H，||||(0)||||CACBaaCNCF=，所以||

||||||CACBaCNCF=，∴11||||||||CACBaCGCH=.设直线AB的方程为2xmy=+，代入28yx=，得28160ymy−−=.设11()Axy，，22()Bxy，，则128yym+=，1

216yy=−.在2xmy=+中，令2x=−，得4ym=−，即42Cm−−，.所以1212()()()2CCCCyyyyyyayy+−−=−−，即22121212()()2CCCCayyyyyyyyyay−+−++=+，所以224161616816maammm−++

=+，即21(1)10am−+=，∴1a=，所以||||1||||CACBCNCF=.点拨：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若

过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．21.已知函数()1ln1=+++fxaxbxx.（1）当0a=时，函数()fx的极小值为5，求正数b的值；（2）若1b=，()()3Fxfxx=−，且当22a−时，不等式()1Fx在区间1,2上有

解，求实数a的取值范围.————（1）4；（2）1,ln2−+.分析：（1）由0a=，得到1()1fxbxx=++，求导21()fxbx=−+，再利用极值的定义，由函数()fx的极小值为5求解.（2）由

1b=，得到2()ln1Fxaxxx=−++，[12]x，，求导222222224()aaxxaxFxxx++−++==，分2204a−≥，2204a−讨论求得最大值求解.解答：（1）函数()fx的定义域为(0)+，.当0a=时，1()1fxbxx=++，则21()fxb

x=−+，1()00fxxb，1()0fxxb，所以()fx在10b，上单调递减，()fx在1b+，上单调递增，所以函数()fx的极小值为1215fbb=+=，∴4b=.（2）当1b=时，2()ln1Fxa

xxx=−++，[12]x，，则22222222224()1aaxaxaxFxxxxx++−++=++==.①当2204a−≥，即2222a−时，()0Fx≥，所以()Fx在[12]，上单调递增，所以max()(2)FxF=；②当220

4a−，即22a时，设2220(80)xaxa++==−的两根分别为1x，2x，则12xxa+=−，122xx=，∴10x，20x，所以在区间[12]，上，222()0xaxFxx++=，所以()Fx在[12]，上单调递增，所以

max()(2)FxF=.综上，当22a−时，()Fx在区间[12]，上的最大值为(2)ln221Fa=+≥，∴1ln2a−≥，所以实数a的取值范围是1ln2−+，.点拨：方法点睛：不等式有解问题的解法：若()fx在区间D上有最值，则()()max,00xDf

xfx；()()min,00xDfxfx；若能分离常数，即将问题转化为：()afx（或()afx），则()()minafxafx；()()maxafxafx.22.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4cos2sin=−，以极点O为原点，极

轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为2,32,xtyt=−+=+(t为参数).（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若()0,1P−为平面直角坐标系中的一点，Q为C上的动点，

求PQ的中点M到直线l的距离的最大值.————（1）C：22(2)(1)5xy−++=，l：270xy−+=；（2）552.分析：（1）由极坐标与普通方程的转化即可得出22(2)(1)5xy−++=，消参可得270xy−+=.（2）设(25cos15sin)Q+−+，，利用点到直线的距离公式

可得结果.解答：（1）曲线C的极坐标方程为24cos2sin=−，所以曲线C的直角坐标方程为2242xyxy+=−，即22(2)(1)5xy−++=.将直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为270

xy−+=.（2）设(25cos15sin)Q+−+，，则551cos1sin22M+−+，.所以点M到直线l的距离51525cos1sin7105cossin10cos()2

22555d++−++−++===，其中5sin5=，25cos5=，所以max51055225d+==.23.已知函数()2fxxa=−.（1）若对任意的2,2x−，()42fxx−+恒成立，求实数a的取值范围；（2）若()fxm，()fym，求

证：24333axym−+.————（1）(,8][4,)−−+；（2）证明见解析.分析：（1）由题意可得|2|42xax−−−≥恒成立，即32ax−≤或2ax+≥恒成立，只需min(32)ax−≤或max(2)ax+≥即可.（2）

只需证|24|3xyam−+≤，由|2|xam−≤，|2|yam−≤，利用绝对值三角不等式即可证明.解答：（1）解：当[22]x−，时，|2|2xx+=+，所以()4|2|fxx−+恒成立，即|2|42xax−−−≥，∴22xax−−≥或

22xax−−+≤，∴32ax−≤或2ax+≥恒成立，所以min(32)ax−≤或max(2)ax+≥.又[22]x−，，∴8a−或4a，所以实数a的取值范围是(8][4)−−+，，.（2）证明：要证24333axym−+，只需证|24|3xyam−+≤

.由()fxm，()fym，得|2|xam−≤，|2|yam−≤，则|24||(2)2(2)||(2)||2(2)|23xyaxayaxayammm−+=−−−−+−+=≤≤，所以24333axym−+.