【文档说明】云南师范大学附属中学2021届高三高考适应性月考卷（七）数学（理）试卷 含解析.doc，共(20)页，1.558 MB，由小赞的店铺上传

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理科数学试卷一､选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知复数212zi=+(i是虚数单位)，则z=（）A.1255i+B.1255i−C.2455i+D.2455i−

————C分析：先化简复数z，再求解其共轭复数即可.解答：()()()21222412121255iziiii−===−++−，∴2455zi=+，故选:C.2.已知集合1,0,1,|1cos,2MNyyxxM=−==−，则集合MN的

真子集的个数是A.1B.2C.3D.4————C1cos1,1cos00,1cos122−−=−=−=，则0,1,0,1,NMNMN==的真子集的个数为2213−=个.本题选择C

选项.3.某单位有管理人员､业务人员､后勤人员共m人，其中业务人员有120人，现采用分层抽样的方法从管理人员､业务人员､后勤人员中抽取部分职工了解他们的健康状况，若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1:4，抽取的后勤

人员比业务人员少20人，则m的值为（）A.170B.180C.150D.160————A分析：根据分层抽样的概念及计算方法，列出等式，即可求解.解答：若抽取的管理人员有6人，且抽取的管理人员与业务人员的比为1∶4，所以抽取的业务人

员有24人，又抽取的后勤人员比业务人员少20人，抽取的后勤人员有4人，所以120624424m=++，解得170m=.故选：A.4.已知()fx、()gx是定义在R上的偶函数和奇函数，若()()22xfxgx−−=，则()1g−=（）A.5B.5−C.3

D.3−————D分析：根据题意可得出关于()1f−、()1g−的方程组，进而可解得()1g−的值.解答：()()22xfxgx−−=，所以，()()31128fg−−−==，①，()()112fg−

=，②，因为()fx、()gx是定义在R上的偶函数和奇函数，由②可得()()112fg−+−=，则有()()()()118112fgfg−−−=−+−=，解得()13g−=−.故选：D.5.命题p：存在实数a，

使得对任意实数x，()coscosxax−=−恒成立；命题q：0b，()lnbxfxbx−=+为奇函数，则下列命题是真命题的是（）A.()pqB.()pqC.pqD.()()pq——

——C分析：对于命题p，取πa=可判断真假；对于命题q，由()()lnln0bxbxfxfxbxbx+−−+=+=−+，可判断真假，从而逐项排除可得答案.解答：对于命题p，取πa=，对任意实数x，cos(π)cosxx−

=−成立，因此p真命题；对于命题q，函数()fx的定义域是()bb−，，且()()lnln0bxbxfxfxbxbx+−−+=+=−+，∴()lnbxfxbx−=+为奇函数，因此q真命题，所以q为假命题，p为假命题，所以()pq为假命题，故A错误；()pq为假命题，故B错误；pq为

真命题，故C正确；()()pq为假命题，故D错误.故选：C.6.若2xa−，ya，1xa−+(0a，且1a)成等比数列，则点(),xy在平面直角坐标系内的轨迹位于（）A.第三象限B.第四象限

C.第一象限D.第二象限————B分析：由等比数列的定义可得，221yxx=−−+，求出,xy的范围，即可得出结论.解答：因为2xa−，ya，1xa−+成等比数列，所以221()yxxaaa−−+=，即221yxx

=−−+，20x−，2x，所以21xx−+，所以0y，所以位于第四象限.故选:B.7.方程()()22220xxmxxn−−−−=有4个不等的实根，且组成一个公差为1的等差数列，则mn的值为

（）A.158−B.158C.1516−D.1516————C分析：由题意设4个根组成的等差数列为1x，2x，3x，4x，根据韦达定理可知14232xxxx+=+=，进而可得1232xd+=，求出4个根即可求解.解答：设4个根组成的等差数列为

1x，2x，3x，4x，则14232xxxx+=+=，∴1232xd+=.又∵1d=，∴112x=−，∴212x=，332x=，452x=，∴1516mn=−，故选：C8.已知函数()()2sinfxx=+(

0，2)的图象上相邻两个最值点间的距离为3，且过点()0,3−，则要得到函数()yfx=的图象，只需将函数2sinyx=的图象（）A.向右平移1个单位B.向左平移1个单位C.向右平移12个单位D.向

左平移12个单位————A分析：由函数过点(0,3)−，可得π3=−，由函数的最值和最值间的距离可得6T=，进而可得π3=，求出函数解析式ππ()2sin33fxx=−，可得结果.解答：由题意(0)2sin3f==−，又π

||2，所以π3=−.易知()fx的最大值为2，最小值为2−，则相邻两个最值点间的距离为224562TT+==，所以π3=.所以ππ()2sin33fxx=−π2sin(1)3x=−，故要得到函数(

)yfx=的图象，只需将函数π2sin3yx=的图象向右平移1个单位.故选:A9.“干支纪年法”是中国历法上自古以来使用的纪年方法，甲､乙､丙､丁､戊､己､庚､辛､壬､癸被称为“十天干”，子､丑､寅､卯､辰､巳､午､未､申､酉､戌､亥叫做“十二地支”.“天干

”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪年法，其相配顺序为：甲子､乙丑､丙寅､……､癸酉､甲戌､己亥､丙子､……､癸未､甲申､乙酉､丙戌､……､癸巳､……，共得到60个组合，周

而复始，循环记录.已知1894年是“干支纪年法”中的甲午年，那么2021年是“干支纪年法”中的（）A.庚子年B.辛丑年C.己亥年D.戊戌年————B分析：根据“干支纪年法”的规则判断．解答：天干的周期为10，地支的周期为12，因为1894年是“干支纪年法”中的甲午年，所以

2014年为甲午年，从2014年到2021年，经过了7年，所以“天干”中的甲变为辛，地支中的午变为丑，即2021年是辛丑年，故选：B.10.在正方体1111ABCDABCD−中，三棱锥11ABCD−的内切球的表面积为16，则正方体外

接球的体积为（）A.81B.288C.36D.722————B分析：设正方体的棱长为a，求出三棱锥11ABCD−的内切球半径，设1A到平面1BCD的距离为h，可得1114ABCDOBCDVV−−=，从而可得43a=，求出正方

体的对角线可得正方体外接球的半径，利用球的体积公式即可求解.解答：设正方体的棱长为a，则2BDa=，因为三棱锥11ABCD−的内切球的表面积为16π，所以三棱锥11ABCD−的内切球半径为2.设三棱锥11ABCD−的内切球的球心为O，1A到平面1BCD的距离为h，则1114ABCDOBCDV

V−−=，∴111142833BCDBCDShSh==△△，∴h=6283a=，43a=.所以正方体外接球的半径1362Ra==，正方体外接球的体积为34π288π3R=，故选：B11.已知函数()esincos2fxxxxx=−+，当4,4x−且0x时，方

程()0fx=的根的个数是（）A.7B.6C.9D.8————D分析：设e()2gxx=，()sincoshxxxx=−，求方程()0fx=的根的个数，即求函数()ygx=与()yhx=的图象的交点个数.利用函数均为奇函数求解即可解答：设e()2gx

x=，()sincoshxxxx=−，求方程()0fx=的根的个数，即求函数()ygx=与()yhx=的图象的交点个数.因为()fx与()gx均为奇函数，故只需求函数()ygx=与()yhx=的图象在(04π]，上的交点个数.

因为()sinhxxx=，所以()hx在(0π)，，(2π3π)，上单调递增，在(π2π)，，(3π4π)，上单调递减.画出函数()ygx=与()yhx=在(04π]，上的图象，如图所示：得两图象在(04π]，上有4个交点，故在[4π0)−，上也有4个

交点，故方程()0fx=在[4π4π]−，上有8个根，故选：D点拨：关键点点睛：将函数函数拆分成两个函数e()2gxx=，()sincoshxxxx=−研究其交点个数是关键12.已知双曲线C：2212xy−=，若直线l：()0ykxmk

m=+与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，且M，N都在以()0,1A−为圆心的圆上，则m的取值范围是（）A.()3,+B.()1,03,3−+C.()(),03,−+UD.1,3

3−————A分析：设出直线方程与双曲线方程联立，利用判别式、两根之和与两根之积列不等式，根据M，N都在以()0,1A−为圆心的圆上列出等量关系，进而可得答案.解答：设11()Mxy，，22()Nxy，，由22222(12)42(1)022ykx

mkxkmxmxy=+−−−+=−=，，因为直线l与双曲线的右支相交，则2221200120kmk−+−，①，且1224012mkxxk+=−，21222(1)012mxxk−+=−②，设MN的中点为00()Gxy，，则02212

kmxk=−，0212myk=−，则2122AGmkkkm+−=∵AGMN⊥，∴21212mkkkm+−=−，∴2231km=+③，由①②③得3m，故选：A.点拨：方法点睛：解决直线与双曲线的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简

，然后应用根与系数的关系建立方程或不等式求解.二､填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.若实数x，y满足2,0,0,xxyxy+−则不等式组表示的平面区域的面积为___________.————4分析：作出不等式组对应的平面区域，

求出交点的坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可．解答：可行域如图所示的阴影部分，A（2，2），B（2，﹣2），故11224422OABSAB===．故答案为：4．14.已知点O为坐标原点，抛物线23yx=与过焦点的直线交于A，B两点，则OAOB等于________

___.————2716−分析：由题知抛物线23yx=的焦点3,04F，进而分直线AB斜率存在和不存在两种情况讨论求解即可.解答：设2113yAy，，2223yBy，，当直线AB斜率不存在时，

1233,22ypyp===−=，所以22121233yyOAOByy==，，221212127916yyyy+=−.当直线AB斜率存在时，设方程为()304xmym=+，与抛物线联立方程得：29304ymy−−=所以1294yy=−，∴

22121233yyOAOByy==，，221212127916yyyy+=−.故答案为：2716−.点拨：本题考查过抛物线的焦点的弦的性质，考查运算求解能力，分类讨论思想，是中档题.本题

解题的关键在于根据已知条件分直线AB斜率存在和不存在两种情况讨论；此外，掌握过抛物线焦点的弦的相关性质，能够快速解题.15.已知33nxx+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，若把其展开式

中所有的项重新排列，则有理项互不相邻的概率为___________.————79分析：根据26CCnn=，可得8n=，利用二项式展开式的通项公式求出有理项，再利用插空法以及古典概型的概率计算公式即可求解.解答：由26CCnn=

，得8n=，所以33nxx+的展开式中的通项为38183C()rrrrTxx−+==548683Crrrx−−，当0r=，6时为有理项，其余7项为无理项，所以有理项互不相邻的概率为727899AA7A9P==.故答案为：7916.设函

数()422ln333xfxxa=++，若曲线e1e1sin22yx−+=+上存在点()00,xy，使得()()00ffyy=成立，则实数a的取值范围是___________.————213,222ee−−分析：利用函数()fx单调性可得00()f

yy=，问题转化为()fxx=在[1e]，内有解，即232ln2axxx=−−在[1e]，内有解，令23()2ln2gxxxx=−−，利用导数求出()gx的值域即可求解.解答：因为00()xy，在曲线e1e1sin22yx−+=+上，1sin1

x−，∴01ey≤≤.由于()fx=422ln333xxa++在定义域内是增函数，所以若00()fyy，则000(())()ffyfyy，与00(())ffyy=矛盾，若00()fyy，则000(())()ffyfyy，与00(())ffyy=矛盾，所以00()fyy=，则

问题转化为()fxx=在[1e]，内有解，即方程2422ln333xxax++=在[1e]，内有解，得方程232ln2axxx=−−在[1e]，内有解，令23()2ln2gxxxx=−−，则()gx=(32)(1)xxx+−，∴[1e]x，时，()0gx

，即()gx在[1e]，上单调递增，所以(1)()ggx≤213(e)()ee222ggx−−≤≤≤.故答案为：213,222ee−−三､解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.ABC的

内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设()3sin2cosbAaB=+.（1）求角B；（2）若3b=，且ABC的面积等于32，求11ac+的值.————（1）2π3；（2）112.分析：（1）利用正弦定理的边角互化以及辅助角公式即可求解.（

2）根据三角形的面积公式可得2ac=，再利用余弦定理可得11ac+=，代入即可求解.解答：解：（1）因为3sin(2cos)bAaB=+，所以3sinsinsin(2cos)ABAB=+.∵(0π)A，，∴sin0A

，∴3sincos2BB−=，∴π2sin26B−=，∴ππ62B−=，∴2π3B=.（2）因为32ABCS=，∴12π3sin232ac=，∴2ac=.又∵22222cos()bacacBacac=+−=+−，∴11ac+=.∴11112acacac++==.18.支

付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据：每周使用支付宝次数123456及以上40岁及以下人数334873040岁以上人数4566

420合计7810141150（1）如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面22列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计40岁及以

下人数40岁以上人数合计（2）每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支付宝达人”中，随机抽取3名用户.①求抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁

以上“支付宝达人”的概率；②为了鼓励40岁以上用户使用支付宝，对抽出的40岁以上“支付宝达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X(单位：元)，求X的数学期望.附：()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++

，其中nabcd=+++.()20PKk0150.100.050.0250.0100.0050.0010k2.0722.7063.8415.02466357.87910.828————（1）列联表答案见解析，在犯错误率不超过0.0

5的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关；（2）①1825；②600.分析：（1）根据题干列联表，计算2K，对照参照值得出结论；（2）视频率为概率，可得答案；记抽出的40岁以上“支付宝达人”的人数为Y，满足

二项分布，得出期望，又500XY=，可得奖励总金额的期望.解答：（1）由题中表格数据可得22列联表如下：不喜欢使用支付宝喜欢使用支付宝合计40岁及以下人数10455540岁以上人数153045合计2575100将列表中的数据代入公式计算得：2K的观测值22100

(30104515)3.0303.84125755545K−=，所以在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关.（2）视频率为概率，在该市“支付宝达人”中，随机抽取1名用户，该用户为4

0岁及以下的“支付宝达人”的概率为35，为40岁以上的“支付宝达人”的概率为25.①抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率为33321815525P=−−=

.②记抽出的40岁以上“支付宝达人”的人数为Y，则500XY=.由题意得235YB，，∴26()355EY==，所以X的数学期望6()500()5006005EXEY===.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是直角梯形，且//ADBC，9

0ABC=，PD⊥平面ABCD，1AD=，4BC=，23CD=.（1）求证：平面PBD⊥平面PCD；（2）若直线PC与平面PAB所成角的正弦值为42121，求线段PD的长.————（1）证明见解析；（2）2或6.分析：（

1）过D作DFAB，交BC于F，可证四边形ABFD为矩形，分别求得CF、DF、BD的长，根据勾股定理，可证BDCD⊥，根据题意，可得PDBD⊥，根据线面垂直的判定定理，可证BD⊥平面PCD，根据面面垂直的判定定理，即可得证.（2）如图建系，求得各点坐标，进而可得AB，PA

，PC坐标，求得平面PAB的法向量n，根据线面角的向量求法，代入公式，即可得答案.解答：（1）证明：如图，在直角梯形ABCD中，过D作DFAB，交BC于F，∵DFAB，ADBF，90ABC=，∴四边形ABFD为矩形，∵1AD=，4BC=，∴

3CF=.又∵23CD=，∴223DFDCFCAB=−==，∴222BDBFFD=+=，∴222BDCDBC+=，∴BDCD⊥.又∵PD⊥平面ABCD，∴PDBD⊥，且PDCDD=，∴BD⊥平面PCD.又∵BD平面PBD，∴平面PBD

⊥平面PCD.（2）解：如图，分别以DA，DF，DP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设(0)PDaa=，则：(100)A,,，(13,0)B,，(00)Pa,,，(330)C−,,，∴(030)AB=，，，(10)PAa=−，，，(33)PCa=−−,,.设(

)nxyz=，，为平面PAB的法向量，由·0·0ABnPAn==，即300yxaz=−=，令xa=，可取(01)na=，，，设PC与平面PAB所成角为，则22||4421sincos,21||||121PCnaPCnPCnaa====++，解得2a=或6a=，

即线段PD的长为2或6.点拨：解题的关键熟练掌握线面垂直的性质定理，面面垂直的判定定理，并灵活应用，利用向量求解线面角时，平面法向量与直线方向向量所成角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值，考查计算求解的能力，属基础题.20.已知抛物线()220ypxp=上一点(),4Mm到焦点F的距离是4.（

1）求抛物线的方程；（2）过点F任作直线l交抛物线于,AB两点，交直线2x=−于点C，N是AB的中点，求CACBCNCF的值.————（1）28yx=；（2）1.分析：（1）根据抛物线的定义列出方程即可求解；（2）由题意知，直线AB

的斜率存在，且不为零，根据对称性只考虑斜率为正的情况，设点,,,ABNF在准线上的投影分别为1A，1B，G，H，||||(0)||||CACBaaCNCF=，所以||||||||CACBaCNCF=，即1

1||||||||CACBaCGCH=，设直线AB的方程为2xmy=+，设11()Axy，，22()Bxy，，联立直线与抛物线，结合韦达定理，再在2xmy=+中，令2x=−得点C坐标，再由1212()()()2CCCCyy

yyyyayy+−−=−−，化简整理可得a的值，进而得到结论.解答：解：（1）因为42pMFm=+=①，且点(4)Mm，在抛物线上，所以216pm=②.由①②得4p=，所以抛物线的方程为28yx=.（2）由题意知，直线AB的斜率存在，且不为零，设点

,,,ABNF在准线上的投影分别为1A，1B，G，H，||||(0)||||CACBaaCNCF=，所以||||||||CACBaCNCF=，∴11||||||||CACBaCGCH=.设直线AB的方程为2xmy=+，代入28yx=，得28160ymy−−=.设11

()Axy，，22()Bxy，，则128yym+=，1216yy=−.在2xmy=+中，令2x=−，得4ym=−，即42Cm−−，.所以1212()()()2CCCCyyyyyyayy+−−=−−，即2212121

2()()2CCCCayyyyyyyyyay−+−++=+，所以224161616816maammm−++=+，即21(1)10am−+=，∴1a=，所以||||1||||CACBCNCF=.点拨：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到

根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．21.已知函数()1ln1=+++fxaxbxx.（1）若

24ab+=，当2a时，讨论()fx的单调性；（2）若1b=，()()3Fxfxx=−，且当22a−时，不等式()1Fx在区间1,2上有解，求实数a的取值范围.————（1）答案见解析；（2）1,ln2−+.分析：（1）首先求出函数的定义域，由2

4ab+=，消去参数b，求出导函数，再对参数a分类讨论，分别求出函数的单调区间；（2）当1b=时，2()ln1Fxaxxx=−++，再求出导函数222224()aaxFxx++−=，对224a−分类讨论，求出函数的最大值，即可求出参数的取值范围；

解答：解：（1）因为()1ln1=+++fxaxbxx所以函数()fx的定义域为(0)+，.由24ab+=，得1()ln(42)1fxaxaxx=++−+，则2[(2)1](21)()axxfxx−

+−=，当4a=时，()0fx，函数()fx在(0)+，上单调递减；当24a时，1()002fxx或12−xa，11()022fxxa−，所以()fx在102，，

12a+−，上单调递减，在1122，−a上单调递增；当4a时，1()002fxxa−或12x，11()022fxxa−，所以()fx在102a−，，12+，上单调递减，在1122，−a上单调递增.（2）当1b

=时，2()ln1Fxaxxx=−++，[12]x，，则22222222224()1aaxaxaxFxxxxx++−++=++==.①当2204a−≥，即2222a−时，()0Fx≥，所以()Fx在[12]，上单调递

增，所以max()(2)FxF=.②当2204a−，即22a时，设2220(80)xaxa++==−的两根分别为1x，2x，则12xxa+=−，122xx=，∴10x，20x，所以在区间[12]，上，222()0xaxFxx++=，所以()Fx在[12]，上单调递

增，所以max()(2)FxF=.综上，当22a−时，()Fx在区间[12]，上的最大值为(2)ln221Fa=+≥，∴1ln2a−≥，所以实数a的取值范围是1ln2−+，.点拨：用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：(1)在利用导数讨论函数的单调

区间时，首先要确定函数的定义域；(2)不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；(3)利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的

应用.22.在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为4cos2sin=−，以极点O为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为2,32,xtyt=−+=+(t为参数).（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l

的普通方程；（2）若()0,1P−为平面直角坐标系中的一点，Q为C上的动点，求PQ的中点M到直线l的距离的最大值.————（1）C：22(2)(1)5xy−++=，l：270xy−+=；（2）552.分析：（1）由极坐标与普通方程的转化即可得出22(2)(1)5xy−++

=，消参可得270xy−+=.（2）设(25cos15sin)Q+−+，，利用点到直线的距离公式可得结果.解答：（1）曲线C的极坐标方程为24cos2sin=−，所以曲线C的直角坐标方程为2242xyxy+=−，即22(2)(1)5xy−++=.

将直线l的参数方程消去参数t得直线l的普通方程为270xy−+=.（2）设(25cos15sin)Q+−+，，则551cos1sin22M+−+，.所以点M到直线l的距离51525cos1sin7105cossin10cos()222555d++−++−

++===，其中5sin5=，25cos5=，所以max51055225d+==.23.已知函数()2fxxa=−.（1）若对任意的2,2x−，()42fxx−+恒成立，求实数a的取值范围；（2）若()fxm，

()fym，求证：24333axym−+.————（1）(,8][4,)−−+；（2）证明见解析.分析：（1）由题意可得|2|42xax−−−≥恒成立，即32ax−≤或2ax+≥恒成立，只需min(32)ax−≤或

max(2)ax+≥即可.（2）只需证|24|3xyam−+≤，由|2|xam−≤，|2|yam−≤，利用绝对值三角不等式即可证明.解答：（1）解：当[22]x−，时，|2|2xx+=+，所以()4

|2|fxx−+恒成立，即|2|42xax−−−≥，∴22xax−−≥或22xax−−+≤，∴32ax−≤或2ax+≥恒成立，所以min(32)ax−≤或max(2)ax+≥.又[22]x−，，∴8a−或4

a，所以实数a的取值范围是(8][4)−−+，，.（2）证明：要证24333axym−+，只需证|24|3xyam−+≤.由()fxm，()fym，得|2|xam−≤，|2|yam−≤，则|24||(2)2(2)||(2)||2(2)|23xyaxayaxayammm−+=−−−

−+−+=≤≤，所以24333axym−+.