【文档说明】山西省实验中学2023—2024学年高二年级第一学期期中考试题 数学答案.docx，共(20)页，1.044 MB，由小赞的店铺上传

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山西省实验中学2023-2024学年高二数学上学期期中考试答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若(1,0,1)M，(2,,3)Nm，(2,2,1)Pn+三点共线，则mn+=（）A．4B．2−

C．1D．0【答案】A【分析】根据空间向量平行坐标关系计算求解即可.【详解】因为(1,,2)MNm=，(1,2,)MPn=，所以212mn==，解得2mn==．故4mn+=．故选：A.2.已知两条平行直线1l：360xy−+=与2l：()300xyCC−+=间的距离为4，则C的

值为（）A.14B.－2C.－10D.14或－10【答案】B【解析】【分析】根据两平行直线的距离公式可得()226413C−=+−，求解即可.【详解】根据两平行直线的距离公式可得()226413C−=+−，解得1

4C=或2C=−，又因为0C，所以2C=−.故选：B.3.已知()0,1A−，()0,231B−，过点()2,1P−−的直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A.π0,6

B.π0,3C.π0,6D.π0,3【答案】D【解析】【分析】画出图象，结合斜率公式求得倾斜角的取值范围.【详解】画出图象如下图所示，()11020PAk−−−==−−，所以直线PA的倾斜角为0，()()2311302PBk−

−−==−−，所以直线PB的倾斜角为π3，结合图象可知，直线l的倾斜角的取值范围是π0,3.故选：D.4.一条光线从点()1,3A−射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点()3,1B，则点P的坐标为（）A.()0,0B.()1,0C.3,02D.()2,

0【答案】D【解析】【分析】如图，由题可得点B关于x轴的对称点B，后可得直线AB方程，则直线AB与x轴交点即为点P.【详解】如图，由题可得()3,1B关于x轴的对称点为()3,1B−，则直线AB方程为：()3121331yxyx−+==−+−−−−，

令0y=，得2x=，则点P()2,0.故选：D5.已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲

线D．线段答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，动点P的轨迹是椭圆．6.如图，在平行六面体1111ABCD

ABCD−中，ABAD=，1160BADBAADAA===，若11ACBC⊥，则1AAAB为（）A.1B.12C.23D.32【答案】D【解析】【分析】设1,,ABaADbAAc===，且1,abmAAn===，以,,abc为一个空间基底，求得1ACab

c=+−，1BCbc=+，结合110ACBC=，列出方程，即可求解.【详解】设1,,ABaADbAAc===，且1,abmAAn===，因为1160BADBAADAA===，以,,abc

为一个空间基底，可得1ACabc=+−，1BCbc=+，又因为11ACBC⊥，可得2211()()ACBCabcbcabacbc=+−+=++−2231022mmnn=+−=，即22230nmnm−−=，即22()3

0nnmm−−=，解得32nm=或1nm=−（舍去），即1AAAB的值为32.故选：D.7．在椭圆22194xy+=上求一点M，使点M到直线2100xy+−=的距离最大时，点M的坐标为（）A．98,5

5−−B．()3,0−C．252,3−−D．135,23−−【答案】A【分析】先利用判别式法，求出与椭圆相切的直线方程，然后即可求得本题答案.【详解】设直线20xyb++=与椭圆22194xy+=相切，联立方

程2220194xybxy++=+=，得2225164360ybyb++−=①，因为直线与椭圆相切，所以22(16)425(436)0bb=−−=，得5b=，当5b=时，250xy++=与2100xy+−=的距离最大，最大距离为35，把5

b=代入①得，22258064(58)0yyy++=+=，得85y=−，代入250xy++=，得95x=−，所以点M的坐标为98(,)55−−，故选：A8．已知椭圆22196xy+=，12,FF为两个焦点，O为原点，P为椭圆上一点，123cos5FPF=，则||PO=（）A

．25B．302C．35D．352【答案】B【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理求出221212,PFPFPFPF+的值，利用()1212POPFPF=+，根据向量模的计算即可求得答案.【详解】由题意椭圆22196xy+=，12,FF为两个焦点，可得3,6,3abc===，则122

6PFPFa+==①，即221212236PFPFPFPF++=，由余弦定理得2222121212122cos(23)FFPFPFPFPFFPF=+−=，123cos5FPF=，故212123()2(1)125PFPFPFPF+−+=，②联立①②，解得：22

121215,212PFPFPFPF=+=，而()1212POPFPF=+，所以1212POPOPFPF==+，即22121122111153302212222252POPFPFPFPFPFPF=+=++

=+=，故选：B【点睛】方法点睛：本题综合考查了椭圆和向量知识的结合，解答时要注意到O为12FF的中点，从而可以利用向量知识求解||PO.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．关于空间向量，以下说法正确的是（）A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B．若对空间中任意一点O，有111632OPOAOBOC=++，则,,,PABC四

点共面C．已知向量{,,}abc组是空间的一个基底，则{,,}abca+也是空间的一个基底D．若0ab，则,ab是钝角【答案】ABC【分析】根据向量共面的定义可判断A，根据共面定理可判断B，根据基底的定义可判断C，利用向量夹角的取值范围判断D.【详解】对于

A，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A正确；对于B，因为111,632OPOAOBOC=++且1111632++=，所以P，A，B，C四点共面，B正确；对于C，因为{,,}abc是空间中的一组基底，所以,,abc不共面且都不为0，假设,,a

bca+共面，则()abca=++，即00==，则0a=，与其为基底矛盾，所以,,abca+不共面，所以{,,}abbcca+++也是空间的一组基底，C正确；对于D，若0ab，则,ab是钝角或是180，D错误；故选：ABC10．已知直线l：2

10kxyk−++=和圆O：228xy+=，则（）A．直线l恒过定点(21),B．存在k使得直线l与直线0l：220xy-+=垂直C．直线l与圆O相交D．直线l被圆O截得的最短弦长为22【答案】BC【分析】利用直线方程求定点可判断选项A；利用两直线的垂直关系与斜率的关系判断选项B；利用

直线恒过定点在圆内可判断选项C；利用弦长公式可判断选项D.【详解】对A，由210kxyk−++=可得，()210kxy+−+=，令20x+=，即2x=−，此时1y=，所以直线l恒过定点(21)−,，A错误；

对B，因为直线0l：220xy-+=的斜率为12，所以直线l的斜率为2−，即2k=−，此时直线l与直线0l垂直，满足题意，B正确；对C，因为定点(21)−,到圆心的距离为41522+=，所以定点(21)−

,在圆内，所以直线l与圆O相交,C正确；对D，设直线l恒过定点(21)A−,，圆心到直线l的最大距离为5OA=,此时直线l被圆O截得的弦长最短为28523−=，D错误；故选：BC.11．下列命题中正确的是（）A．双曲线221x

y−=与直线20xy+−=有且只有一个公共点B．平面内满足2(0)PAPBaa−=的动点P的轨迹为双曲线C．若方程22141xytt+=−−表示焦点在y轴上的双曲线，则4tD．已知双曲线的焦点在y轴

上，焦距为4，且一条渐近线方程为3yx=，则双曲线的标准方程为2213xy−=【答案】AC【分析】A选项，联立求出双曲线221xy−=与直线20xy+−=只有一个交点，A正确；B选项，举出反例；C选项，根据焦点在y轴上，得到不等式组，求出4t；D选项，由双曲线焦距和渐近线方程，得到1

b=，3a=，得到双曲线方程.【详解】对于A，解方程组22120xyxy−=+−=得唯一解5434xy==,所以双曲线221xy−=与直线20xy+−=有且只有一个公共点，所以A对；对于B，当||2ABa=时，满足2PA

PBa−=的动点P的轨迹为两条射线，不是双曲线，所以B错；对于C，若方程22141xytt+=−−表示焦点在y轴上的双曲线，则40t−且10t−，解得4t，所以C对；对于D，设双曲线标准方程为22221(0,0)yxabab−=，由24c=，则2c=，渐近线方程为

3yx=，即3ab=，由222cab=+，解得1b=，3a=，双曲线的标准方程为2213yx−=，所以D错.故选：AC12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为1DD，1BB的

中点，则下列选项正确的是（）A.直线1FC与底面ABCD所成的角为30°B.平面1ABE与底面ABCD夹角的余弦值为23C.直线1FC与直线AE的距离为305D.直线1FC到平面1ABE的距离为24【答案】BC【解析】【分析】以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系

，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.【详解】如图所示，以点D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴，则()1,0,0A，()11,0,1A，()11,1,1B，()10,1,1C，10,0,2E

，11,1,2F，A选项：111,0,2FC=−，平面ABCD的法向量()10,0,1AA=，设直线1FC与底面ABCD所成的角为，则1111111,52sincos,551

4FCAAFCAAFCAA====，直线1FC与底面ABCD所成的角不为30，故A错误；B选项：()10,1,1AB=，11,0,2=−AE，设平面1ABE的法向量(),,nxyz=r，则1=+=01=+=02nAByznAExz

−，令=2z，则()1,2,2n=−r设平面1ABE与底面ABCD的夹角为，则1112cos=cos,===1332AAnAAnAAn，平面1ABE与底面ABCD夹角的余弦值为23，故B正确；C选项，()1,1,0FE=−−，直

线1FC与直线AE的距离为：22111301215524FCFEdFEFCFE=−=−=，故C正确；D选项，1//FCAE，AE平面1ABE，1FC平面1ABE，又10,1,2AF=，平面1ABE的法向量()1

,2,2n=−r，直线1FC与平面1ABE的距离为：()2222113122AFnhn−+===+−+，故D错误；故选：BC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.经过点()0,5，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的一般式方程为________.【答案

】53150xy−+=【解析】【分析】由题可知，直线在x上轴截距为-3，再利用截距式可直接求得直线方程【详解】∵直线过（0，5），∴直线在y轴上的截距为5，又直线在两坐标轴上的截距之和为2，∴直线在x轴上的截距为2-5=-3∴直线方程为135xy+=−,即5x-3y+15=0【点睛】直线方

程有五种基本形式，在只知道横纵截距的情况下，截距式是最快捷的一种方式14.在我国古代数学名著《九章算术》中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑．已知在鳖臑−PABC中，PA⊥平面ABC，2PAABBC===．M为PC的中点，则点P到平面M

AB的距离为______．【答案】2【解析】【分析】利用等体积法求得P到平面MAB的距离.【详解】因为PA⊥平面ABC，BC平面ABC，所以BCPA⊥，依题意可知,,,,BCABBCPAABPAAABPA⊥⊥=平面PAB，所以BC⊥平面PAB，由于M是PC的中点，

所以M到平面PAB的距离是C到平面PAB的距离的一半，即M到平面PAB的距离是1.22ACPB==,()2222223PC=+=，所以3AMBM==，由于2AB=，所以()22123122MABS=−=，12222PABS==，设P到平面MAB的距离为h，则MPABPMABVV−−=

，即11212233hh==.故答案为：215．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的焦点为F，O为坐标原点，P为C上一点，且OPF△为正三角形，则双曲线的离心率为．【答案】31+/13+【分析】依

题意画出图形，根据余弦定理与双曲线的定义建立,,abc等量关系求解离心率.【详解】由对称性，不妨设F为右焦点，则P在右支上，设双曲线左焦点为1F，依题意，三角形OPF为正三角形，则OPOFPFc===，连接1PF，在1PFF中，11,2,3PF

cFFcPFF===，由余弦定理得，222222111π12cos422332PFPFFFPFFFccccc=+−=+−=，可得13=PFc，又12PFPFa−=，即32cca−=，所以23131cea===+−.

故答案为：31+.16．已知点P是直线1l：50mxnymn−−+=和2l：()2250,,0nxmymnmnmn+−−=+R的交点，点Q是圆C：()2211xy++=上的动点，则PQ的最大值是．【答案】623+【分析

】根据题意分析可知点P的轨迹是以AB的中点()3,3M，半径22r=的圆，结合圆的性质运算求解.【详解】因为直线1l：50mxnymn−−+=，即()()510mxny−−−=，令5010xy−=−=，解得51xy==

，可知直线1l过定点()5,1A，同理可知：直线2l过定点()1,5B，又因为()0mnnm+−=，可知12ll⊥，所以直线1l与直线2l的交点P的轨迹是以AB的中点()3,3M，半径1222rAB==的圆，因为圆C的圆心()1,0C−，半径1R=，所以PQ的最大值是

()22313221622MCrR++=++++=+.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在空间直角坐标系中，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，1E在11AB上，1F在11CD上，且11111134BEDFAB==．（1）求向量1B

E，1DF的坐标；（2）求1BE与1DF所成角的余弦值．【答案】（1）11330,,1,0,,144BDFE=−=（2）725【解析】【分析】（1）利用空间向量的坐标表示求解即可；（2）利用空间向量异面直线夹角的求法即可得解.【小问1详解】由题意可

得11(1,1,0),1,,14BE，13(0,0,0),0,,14DF，故11330,,1,0,,144BDFE=−=．【小问2详解】由（1）可知11330,,1,0,,1

44BDFE=−=，所以22222112353501,014444BEDF=+−+==++=．1133700114416BFED=+−+=．所以1111117716cos5525,4

4DFDFDFBEBEBE===．故1BE与1DF所成角的余弦值为725．18.求满足以下条件的参数的值．（1）若直线1l：()120xmy++−=和直线2l：240mxy++=平行，求m的值．（

2）已知直线1l经过点()3,Aa，()2,3Ba−，直线2l经过点()2,3C，()1,2Da−−，若12ll⊥，求a的值．【答案】（1）1m=（2）0a=或5a=【解析】【分析】（1）由两直线平行，根据平行的判定求m的值即可.（2）当两直线的斜率都存

在时，由斜率之积等于1−求解；若一条直线的斜率不存在，由另一条直线的斜率为0求解.【小问1详解】直线()120xmy++−=和直线240mxy++=平行，12(1)0mm−+=，解得1m=或2−，当1m=时，直线1l：220xy+−=和直线2l：240

xy++=平行，当2m=−时，直线1l：20xy−−=和直线2l：2240xy−++=重合，所以1m=；【小问2详解】由题意，知直线2l的斜率2k一定存在，直线1l的斜率可能不存在.当直线1l的斜率不存在时，32a=−，即5a=，此时20k

=，则12ll⊥，满足题意.当直线1l的斜率1k存在时，5a，由斜率公式，得1233235,235123aaaakkaa−−−−−====−−−−−−.由12ll⊥，知121kk=−，即35153aaa−−=−−−，解

得0a=.综上所述，0a=或5a=.19.已知直线l：()420kxykk−++=R．（1）证明：直线l恒过第二象限；（2）若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的一般式方程．【答案】（1）证明见解析（2）16，280xy

−+=【解析】【分析】（1）直线含参先求出定点，进而可证明；（2）直线过定点求面积的最值，可将直线直接设为截距式，再利用基本不等式求出其面积最小值及直线方程.【小问1详解】因为直线方程为：42(4)(2)0kxykkxy−++=++−+=，因为k

R，所以4020xy+=−+=，解得42xy=−=，所以直线恒过点(4,2)−，而点(4,2)−在第二象限，所以直线l恒过第二象限；【小问2详解】设直线l为1(0,0)xyabab+=，因为(4,2)−在直线上，所以421

ab−+=，又4242822ababab−−−+=，所以812ab−，两边同时平方得：321ab−，32ab−，当且仅当4212ab−==，即8a=−，4b=时取等号，所以AOB的面积为1()162Sab=−，即S的最小值为16，此时直

线方程为184xy+=−，化简得：280xy−+=.20．（12分）在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为直角梯形，,ADBCADAB⊥∥，侧面PAB⊥底面1,22ABCDPAPBADBC====，且,EF分别为,PCCD的中点．(1)证明：//DE平面PAB；(2)若直

线PF与平面PAB所成的角为60，求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)55【分析】（1）取PB中点M，连接,AMEM，通过证明四边形ADEM为平行四边形，即可证明结论；（2）由直线PF与平面PAB所成的

角为60，可得,,,,GFPGAGBGAB，建立以G为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案.【详解】（1）证明：取PB中点M，连接,AMEM，E为PC的中点，1,2MEBCMEBC=∥，又1,2ADBCADB

C=∥，,MEADMEAD=∥，四边形ADEM为平行四边形：DEAM∥，DE平面,PABAM平面PAB，DE平面PAB；（2）平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB平面,ABCDABBC=平面ABCD，,BCABBC⊥⊥平面PAB，取AB中点G，连接FG，

则,FGBCFG⊥∥平面PAB，()160,32GPFGFADBC==+=，3tan60,3PGPG==，又2,431,2PAPBAGGBAB====−==，如图以G为坐标原点，GB为x轴，GF为y轴，GP为z轴建立空间直角坐标系，()()()0,0,3,1,4,0,

1,2,0PCD−，()()1,43,2,2,0PCCD=−=−−，设平面PCD的一个法向量，()1,,nxyz=，则11430220nPCxyznCDxy=+−==−−=，取1y=，则()11,1,3

n=−，平面PAB的一个法向量可取()20,1,0n=uur，设平面PAB与平面PCD所成的夹角为，121215cos55nnnn===,平面PAB与平面PCD所成的夹角的余弦为5521．（12分）已知椭圆C

：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的焦距为26，且过点A(2,1)．(1)求椭圆C的方程；(2)若不经过点A的直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于P，Q两点，且直线AP与直线AQ的斜率之和为0，证明：直线PQ的斜率为定值．解(

1)因为椭圆C的焦距为26，且过点A(2，1)，所以4a2＋1b2＝1,2c＝26.又因为a2＝b2＋c2，由以上三式解得a2＝8，b2＝2，所以椭圆C的方程为x28＋y22＝1.(2)证明：设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，

x1≠x2≠2，则y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m.由y＝kx＋m，x28＋y22＝1，消去y并整理，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－8＝0，则x1＋x2＝－8km4k2＋1，x1x2＝4m2－84k

2＋1.因为kAP＋kAQ＝0，所以y1－1x1－2＋y2－1x2－2＝0，化简得x1y2＋x2y1－(x1＋x2)－2(y1＋y2)＋4＝0.即2kx1x2＋(m－1－2k)(x1＋x2)－4m＋4＝0.所以2k(4m2－8)4k2＋1－8km(m－1－2k)4k2＋1－4m＋4＝0，整理

得(2k－1)(m＋2k－1)＝0.因为直线l不经过点A，所以2k＋m－1≠0，所以k＝12.所以直线PQ的斜率为定值．22．（12分）已知椭圆()2222:10xyCabab+=的上顶点到右顶点的距离为7，点M在C上，且点M到右焦点距离

的最大值为3，过点()0,2P且不与x轴垂直的直线l与C交于,AB两点.(1)求C的方程；(2)记O为坐标原点，求AOB面积的最大值.【答案】(1)22143xy+=(2)3【分析】（1）由题设及椭圆性质、参数关系列方程求参数，即可得椭圆方程；（2）设()()1122,,,AxyBxy，直

线:2lykx=+，联立椭圆，应用韦达定理、弦长公式、点线距离公式写出AOB面积关于k的表达式，进而求其最大值.【详解】（1）由题意得，2222273ababcac+==++=，解得224,3ab==，故C的方程为2

2143xy+=.--（2）设()()1122,,,AxyBxy，直线:2lykx=+，联立2223412ykxxy=++=，整理得：()22341640kxkx+++=.由0得214k，且121222164,3434

kxxxxkk+=−=++，()()22212241123134kkABkxxk+−=+−=+，点O到直线l的距离221dk=+，2214123234AOBkSABdk−==+，令21230tk=−，故22413tk=+，故2121231212AOBtSttt==++，当且

仅当12tt=，即523,2tk==时等号成立，故AOB面积的最大值为3.-获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com