【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：5.4三角函数的图象与性质 5.4.3正切函数的性质与图象 含解析【高考】.docx，共(14)页，317.636 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第五章三角函数5.4三角函数的图象与性质5.4.3正切函数的性质与图象[目标]1.能够作出y＝tanx的图象；2.理解并记住正切函数的性质；3.会利用正切函数的图象与性质解决相关问题．[重点]正切函数的性质．[难点]正切函数的图象、性质及其应用．知识点一正切函数y＝tanx的图象

[填一填]正切函数y＝tanx的图象叫做正切曲线.[答一答]1.正切函数y＝tanx的图象与x＝kπ＋π2，k∈Z有公共点吗？提示：没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋π2(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．2.直线y＝a与

y＝tanx的图象相邻两交点之间的距离是多少？提示：由图象结合正切函数的周期性可知，两交点之间的距离为π.3.观察正切函数曲线，写出满足下列条件的x的集合．(1)满足tanx＝0的集合为．{x|x＝kπ，k∈Z}(2)满

足tanx<0的集合为．{x|kπ－π2<x<kπ，k∈Z}(3)满足tanx>0的集合为．{x|kπ<x<kπ＋π2，k∈Z}-2-知识点二正切函数y＝tanx的性质[填一填](1)定义域是．{x|x

≠kπ＋π2，k∈Z}(2)值域是R，即正切函数既无最大值，也无最小值．(3)周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是π.(4)奇偶性：正切函数是.奇函数(5)单调性：正切函数在开区间内是增函数．(kπ－π2，kπ＋π2)，k∈Z(6)对称性：正切函数的图

象关于原点对称，正切曲线都是中心对称图形，其对称中心坐标是，正切函数无对称轴．(kπ2，0)(k∈Z)[答一答]4.y＝tanx在定义域上是增函数吗？提示：y＝tanx在每个开区间(－π2＋kπ，π2＋kπ)，k∈Z内都是增函数，但在整个定义域上不具

有单调性．5.正切函数图象与x轴有无数个交点，交点的坐标为(kπ，0)(k∈Z)，因此有人说正切函数图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，这种说法对吗？提示：不对．正切函数的图象不仅仅关于点(kπ，0)对称，还关于点(π2＋kπ，0)(k∈Z)对称，因此

正切函数y＝tanx的对称中心为(kπ2，0)(k∈Z)．类型一利用正切函数图象求定义域及值域[例1]求下列函数的定义域和值域：(1)y＝tanx＋π4；(2)y＝3－tanx.[解](1)由x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z得，x≠k

π＋π4，k∈Z.所以函数y＝tanx＋π4的定义域为{xx≠kπ＋π4，k∈Z，其值域为(－∞，＋∞)．(2)由3－tanx≥0得，tanx≤3.结合y＝tanx的图象可知，在－π2，π2上，满足tanx≤3的角x应

满足－π2<x≤π3，所以函-3-数y＝3－tanx的定义域为xkπ－π2<x≤kπ＋π3，k∈Z，其值域为[0，＋∞)．(1)求与正切函数有关的函数定义域要列出使各部分都有意义的不等式(组)，然后求出x的范围.(2)求值域要用换元的思想，把ta

nx看作可取任意实数的自变量.[变式训练1](1)求函数y＝tanx＋1＋lg(1－tanx)的定义域．(2)求函数y＝sinx＋tanx，x∈－π4，π4的值域．解：(1)由题意得tanx＋1≥0，1－tanx>0，即－1≤tanx<1.∵在－π

2，π2内，满足上述不等式的x的取值范围是－π4，π4.又y＝tanx的周期为π，∴所求x的取值范围是kπ－π4，kπ＋π4，k∈Z，即为此函数的定义域．(2)y1＝sinx，y2＝tanx均满足在区间－π4，π4上单调递增，∴函数y＝sinx＋tanx也满足在区间

－π4，π4上单调递增，∴此函数在－π4，π4上的值域为－22－1，22＋1.类型二正切函数的周期性[例2]求函数y＝3tan4x＋π4与函数f(x)＝tanx＋|tanx|的最小正周期．[解]函数y＝3tan4x＋π4的最

小正周期为T＝π4；f(x)＝tanx＋|tanx|＝0，x∈kπ－π2，kπ，2tanx，x∈kπ，kπ＋π2，k∈Z，作出f(x)＝tanx＋|tanx|的简图，如图所示，易得函数f(x)＝

tanx＋|tanx|的最小正周期T＝π.-4-一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)＋B(A≠0，ω>0)的最小正周期为T＝πω，常常使用此公式来求周期，也可以借助函数图象求周期.[变式训练2]若函数y＝tan3ax－π3(a≠0)的最小正周期为π2，则a＝.±23解析：

T＝π|3a|＝π2，所以a＝±23.类型三正切函数的单调性及应用[例3](1)求函数y＝tan12x－π4的单调区间；(2)比较tan－13π4与tan－12π5的大小．[解](1)由kπ－π2<12x

－π4<kπ＋π2，k∈Z得，2kπ－π2<x<2kπ＋3π2，k∈Z.所以函数y＝tan12x－π4的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋3π2，k∈Z，无单调递减区间．(2)由于tan－13π4＝tan－3π－π4＝tan－

π4＝－tanπ4，tan－12π5＝－tan2π＋2π5＝－tan2π5，又0<π4<2π5<π2，而y＝tanx在0，π2上单调递增，所以tanπ4<tan2π5，所以－tanπ4>－

tan2π5，即tan－13π4>tan－12π5.(1)求函数y＝Atan(ωx＋φ)的单调性时可将ωx＋φ看成一个整体，利用y＝tanx的单调性求解，但需注意A、ω的正负性对函数单调性的影响.(2)比较正切值的大小时可利用

诱导公式将角转化到区间－π2，π2内，再利用正切函数的单调性比较.[变式训练3](1)函数y＝3tanπ6－x4的单调区间是.递减;4kπ－4π3，4kπ＋8π3，k∈Z(2)比较大小：tan－7π4tan－95π.>-5-解析：(1)y＝3ta

nπ6－x4＝－3tanx4－π6，由kπ－π2<x4－π6<kπ＋π2，k∈Z，得4kπ－4π3<x<4kπ＋8π3，k∈Z.所以y＝3tanπ6－x4的单调递减区间为4kπ－4

π3，4kπ＋8π3，k∈Z.(2)∵tan－74π＝－tan2π－π4＝tanπ4，tan－95π＝－tan2π－π5＝tanπ5，又0<π5<π4<π2，y＝tanx在0，π

2内单调递增，∴tanπ5<tanπ4，∴tan－74π>tan－95π.类型四正切函数图象与性质的综合应用[例4]设函数f(x)＝tan(ωx＋φ)ω>0，0<φ<π2，已知函数y＝f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2，且图象关于点M－

π8，0对称．(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调区间；(3)求不等式－1≤f(x)≤3的解集．[解](1)由题意，知函数f(x)的最小正周期T＝π2，即π|ω|＝π2.因为ω>0，所以ω＝2.从而f(x)＝ta

n(2x＋φ)．因为函数y＝f(x)的图象关于点M－π8，0对称，所以2×－π8＋φ＝kπ2，k∈Z，即φ＝kπ2＋π4，k∈Z.因为0<φ<π2，所以φ＝π4.故f(x)＝tan2x＋π4.(2)令－π2＋kπ<2x＋π4<π2＋kπ，k∈Z，得－3π4＋kπ

<2x<kπ＋π4，k∈Z.即－3π8＋kπ2<x<π8＋kπ2，k∈Z.所以函数的单调递增区间为－3π8＋kπ2，π8＋kπ2，k∈Z，无单调递减区间．(3)由(1)，知f(x)＝tan2x＋π4.-6

-由－1≤tan2x＋π4≤3，得－π4＋kπ≤2x＋π4≤π3＋kπ，k∈Z.即－π4＋kπ2≤x≤π24＋kπ2，k∈Z.所以不等式－1≤f(x)≤3的解集为x－π4＋kπ2≤x≤π24＋kπ2，k∈Z.(1)正切函数y＝tanx与x轴相邻交点间的距

离为一个周期；(2)y＝tanx的对称中心为kπ2，0，不但包含y＝tanx的零点，而且包括直线x＝π2＋kπ(k∈Z)与x轴的交点.[变式训练4]已知函数y＝tan(2x＋θ)图象的一个对称中

心为点π3，0，若－π2<θ<π2，求θ的值．解：因为函数y＝tanx图象的对称中心为点kπ2，0，其中k∈Z，所以2x＋θ＝kπ2，令x＝π3，得θ＝kπ2－2π3，k∈Z.又－π2<θ<π2，当k＝1时，θ＝－π6，当k＝2时，θ＝π3.所以θ＝－π6或π3.1.若tan

x≥0，则(D)A．2kπ－π2<x<2kπ(k∈Z)B．x≤(2k＋1)π(k∈Z)C．2kπ－π2<x≤kπ(k∈Z)D．kπ≤x<kπ＋π2(k∈Z)2.函数y＝2tan3x－π4的一个对称中心是(C)A．π3，0B．π6，0C．－π4，0

D．－π2，0解析：由3x－π4＝kπ2，得x＝kπ6＋π12，令k＝－2得x＝－π4.故选C．3.函数y＝1tan(π－x)是()-7-A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数也是偶函数D．非奇非偶函数4.使函数y＝2tanx

与y＝cosx同时为单调增的区间是.－π＋2kπ，－π2＋2kπ(k∈Z)和－π2＋2kπ，2kπ(k∈Z)解析：由y＝2tanx与y＝cosx的图象知，同时为单调增的区间为－π＋2kπ，－π2＋2kπ(k∈Z)和－π2＋2kπ，2kπ

(k∈Z)．5．求函数y＝tan(π－x)，x∈－π4，π3的值域．解：y＝tan(π－x)＝－tanx，在－π4，π3上为减函数，所以值域为(－3，1)．——本课须掌握的两大问题1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋π2，k

∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y＝tanx的定义域是{x|x≠kπ＋π2，k∈Z}，值域是R.(2)正切函数y＝tanx的最小正周期是π，函数y＝Atan(ωx＋φ)(Aω≠0)的周期为T＝π|ω|.(

3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上单调递增，不能写成闭区间．正切函数无单调递减区间．-8-第五章5.4.3正切函数的性质与图象A组·素养自测一、选择题1．函数y＝tan(x＋π4)的定

义域是(A)A．{x∈R|x≠kπ＋π4，k∈Z}B．{x∈R|x≠kπ－π4，k∈Z}C．{x∈R|x≠2kπ＋π6，k∈Z}D．{x∈R|x≠2kπ－π6，k∈Z}[解析]由正切函数的定义域可得，x＋π4≠π2＋kπ，k∈Z，∴x≠π

4＋kπ，k∈Z.故函数的定义域为{x∈R|x≠π4＋kπ，k∈Z}．2.已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点(π12，0)，则φ可以是(A)A.－π6B.π6C.－π12D.π12[解析]∵函数的图象过点(π12，0)，∴tan(π6＋φ)＝0，∴π6＋φ＝kπ

，k∈Z，∴φ＝kπ－π6，k∈Z，令k＝0，则φ＝－π6，故选A．3．函数f(x)＝tan(ωx－π4)与函数g(x)＝sin(π4－2x)的最小正周期相同，则ω＝(A)A．±1B．1C．±2D．2[解析]π|

ω|＝2π|－2|，ω＝±1.4．函数y＝tan12x－π3在一个周期内的图象是(A)-9-[解析]由f(x)＝tan12x－π3，知f(x＋2π)＝tan[12(x＋2π)－π3]＝tan12x－π3＝f(x)．∴f(x)的周期为2π，排除

B，D．令tanx2－π3＝0，得x2－π3＝kπ(k∈Z)．∴x＝2kπ＋2π3(k∈Z)，若k＝0，则x＝2π3，即图象过点2π3，0，故选A．5．函数y＝tanπ6－x的定义域为2π3，3π2，则函数的值域为(

C)A．(3，＋∞)B．－33，＋∞C．(－3，＋∞)D．33，＋∞[解析]由2π3<x<3π2，即－3π2<－x<－2π3，得π6－3π2<π6－x<π6－2π3，即－4π3<π6－x<－π

2，从而tanπ6－x>tan－4π3＝－3.故函数的值域为(－3，＋∞)．6．在区间[－2π，2π]内，函数y＝tanx与函数y＝sinx的图象交点的个数为(B)A．3B．5C．7D．9[解析]在同一直角坐标系中画出函数y＝tanx与函数y＝sinx在区间[－2π，2π]内的图象

(图象略)，由图象可知其交点个数为5，故选B．二、填空题7．函数y＝3tan(2x＋π3)的对称中心的坐标为__(kπ4－π6，0)(k∈Z)__.[解析]令2x＋π3＝kπ2(k∈Z)，得x＝kπ4－π6(k∈Z)

，∴对称中心的坐标为(kπ4－π6，0)(k∈Z)．-10-8．求函数y＝tan(－12x＋π4)的单调区间是__(2kπ－π2，2kπ＋32π)(k∈Z)__.[解析]y＝tan(－12x＋π4)＝－tan(12x－π4)，由kπ－π2<12x－π4<kπ＋π2(k∈Z)，得2kπ－π

2<x<2kπ＋32π，k∈Z，∴函数y＝tan(－12x＋π4)的单调递减区间是(2kπ－π2，2kπ＋32π)，k∈Z.9．函数f(x)＝tanax(a>0)的图象的相邻两支截直线y＝π3所得线段长为2，则a的值为__π2__.[

解析]由题意可得T＝2，所以πa＝2，a＝π2.三、解答题10．求下列函数的周期及单调区间．(1)y＝3tanπ6－x4；(2)y＝|tanx|.[解析](1)y＝3tanπ6－x4＝－3tan

x4－π6，∴T＝π|ω|＝4π，∴y＝3tanπ6－x4的周期为4π.由kπ－π2<x4－π6<kπ＋π2(k∈Z)，得4kπ－4π3<x<4kπ＋8π3(k∈Z)，∴y＝3tanx4－π6在4kπ－4π3，4kπ＋8π3(

k∈Z)内单调递增，无单调递增区间．∴y＝3tanπ6－x4在4kπ－4π3，4kπ＋8π3(k∈Z)内单调递减．(2)由于y＝|tanx|＝tanx，x∈kπ，kπ＋π2(k∈Z)，－

tanx，x∈kπ－π2，kπ(k∈Z).∴其图象如图所示，由图象可知，周期为π，单调增区间为kπ，kπ＋π2(k∈Z)，单调减区-11-间为kπ－π2，kπ(k∈Z)．11．已知－π3≤x≤π4，f(x)＝tan2x＋2t

anx＋2，求f(x)的最值及相应的x值．[解析]∵－π3≤x≤π4，∴－3≤tanx≤1，f(x)＝tan2x＋2tanx＋2＝(tanx＋1)2＋1，当tanx＝－1，即x＝－π4时，ymin＝1；当tanx＝1，即x＝π4时，ymax＝5.B组·素养

提升一、选择题1．若a＝log12tan70°，b＝log12sin25°，c＝log12cos25°，则(D)A．a<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．a<c<b[解析]∵0<sin25°<sin65°＝cos25°<1＝tan45°<tan70

°，∴log12sin25°>log12cos25°>log12tan70°.即a<c<b.2．(2019·河北新高考高一模拟选科)已知函数f(x)＝mtanx－ksinx＋2(m，k∈R)，若f(π3)＝1，则f(－π3)＝(C)A．1B．－1C．3D．－3[解析]∵

f(x)＝mtanx－ksinx＋2(m，k∈R)，f(π3)＝1，∴f(π3)＝mtanπ3－ksinπ3＋2＝3m－32k＋2＝1，∴3m－32k＝－1，∴f(－π3)＝mtan(－π3)－ksin(－π3)＋2＝－3m＋32k＋2＝3.3．(多选题)下列说法正确的是(BD)-12-A．t

an8π7>tan2π7B．sin145°<tan47°C．函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为πωD．函数y＝2tanx(π4≤x<π2)的值域是[2，＋∞)[解析]A错误，tan8π7＝tan(π＋π7)＝

tanπ7，因为0<π7<2π7<π2，函数y＝tanx在(0，π2)上单调递增，所以tanπ7<tan2π7，即tan8π7<tan2π7；B正确，sin145°＝sin35°<1，tan47°>1，故sin145°<tan47°；C错误，函数y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为π|ω|；D正确

，∵π4≤x<π2，∴由函数的单调性可知y＝2tanx≥2，故选BD．4．(多选题)已知函数f(x)＝tanx，对任意x1，x2∈(－π2，π2)(x1≠x2)，给出下列结论，正确的是(AD)A．f(x1＋π)＝f(x1)B．f(－x1

)＝f(x1)C．f(0)＝1D．f(x1)－f(x2)x1－x2>0[解析]由于f(x)＝tanx的周期为π，故A正确；函数f(x)＝tanx为奇函数，故B不正确；f(0)＝tan0＝0，故C不正确；D表明函数为增函数，而f(x)＝tanx为区间(－π2，π2)上的增函数，故D正确．二、填

空题5．若函数y＝tanωx在(－π2，π2)内是减函数，则ω的范围为__[－1,0)__.[解析]若ω使函数在(－π2，π2)上是减函数，则ω<0，而|ω|>1时，图象将缩小周期，故－1≤ω<0.6．给出下列命题：(1)函数y＝tan|x|不是周期函数；(2)函数y＝tanx在定义域内

是增函数；(3)函数y＝tan(2x＋π3)的周期是π2；(4)y＝sin5π2＋x是偶函数．其中正确命题的序号是__(1)(3)(4)__.[解析]y＝tan|x|是偶函数，由图象知不是周期函数，

因此(1)正确；y＝tanx在每一个区间-13-－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)内都是增函数但在定义域上不是增函数，∴(2)错；y＝tan(2x＋π3)的周期是π2.∴(3)对；y＝sin52π＋x＝cosx是偶函数，∴(4)对．因此，正确的

命题的序号是(1)(3)(4)．7．若tan2x－π6≤1，则x的取值范围是__－π6＋kπ2，5π24＋kπ2(k∈Z)__.[解析]令z＝2x－π6，在－π2，π2上满足tanz≤1的z的值是－π2<z≤π4，在整个定义域上有－π2＋kπ<z≤π4＋kπ，解不等式－π2

＋kπ<2x－π6≤π4＋kπ，得－π6＋kπ2<x≤5π24＋kπ2，k∈Z.三、解答题8．当x∈π6，π3时，若使a－2tan2x－π3的值总大于零，求a的取值范围．[解析]∵x∈π6，π3，∴0≤2x－π3≤π3.又y＝tanx在

0，π3内单调递增，∴0≤tan2x－π3≤3，∴0≤2tan2x－π3≤23.由题意知a－2tan2x－π3>0对x∈π6，π3恒成立，即a>2tan2x－π3对x∈π6，π3恒成立．∴a

>23.∴实数a的取值范围是(23，＋∞)．9．画出函数y＝|tanx|＋tanx的图象，并根据图象求出函数的主要性质．[解析]由y＝|tanx|＋tanx知y＝0，x∈(kπ－π2，kπ]，2tanx，x∈(kπ，kπ＋π2)(k∈Z)．其图象如图所示．函数的主要性质为：-14-①定义

域：{x|x∈R，x≠π2＋kπ，k∈Z}；②值域：[0，＋∞)；③周期性：T＝π；④奇偶性：非奇非偶函数；⑤单调性：单调增区间为[kπ，kπ＋π2)，k∈Z.